Analiza szeregów czasowych w Grelu (zajęcia 8) Grel jes dość dobrym narzędziem do analizy szeregów czasowych. Już w samej podsawie Grela znajdziemy sporo zaimplemenowanych echnik służących do obróbki danych w domenie czasu. Dla bardziej zaawansowanych użykowników, isnieje dodakowa możliwość doinsalowania modułów X-1-ARIMA oraz TRAMO-SEATS, kóre czynią analizę szeregów czasowych jeszcze ciekawszą. Zaczynając pracę z szeregiem czasowym, powinniśmy się przede wszyskim upewnić, że Grel wie, że jes o szereg czasowy. Odpowiednia informacja wyświelana jes na dole głównego okna programu: Gdyby wyświelana była informacja Niedaowane, a wiemy, że mamy do czynienia z szeregiem czasowym, o należy poinformować Grela o ypie danych wybierając Dane Srukura danych i przechodząc przez proces definiowania odpowiedniego zbioru danych. W maeriałach do zajęć mamy zbiór Say (lub Excela) adl_konsumpcja. Proszę imporować en zbiór do Grela. W czasie imporu proszę usalić, żeby Grel widział dane, jako kwaralne szeregi czasowe, gdzie pierwszą obserwacją jes pierwszy kwarał 1947. Wykresy Szeregi czasowe możemy rysować podświelając zmienną, klikając na niej prawym przyciskiem myszy i wybierając odpowiednią opcję. Operaory opóźnień i różnicowe Operaorów ych używamy przez podświelenie zmiennej i wybranie Dodawanie zmiennych oraz odpowiadającej nam opcji. Do wyboru mamy: opóźnienie zmiennej, wyznaczenie jej pierwszych różnic, wyznaczenie jej sezonowych różnic (gdzie sezony są zdefiniowane w rakcie usalania ypu danych u nas dane kwaralne, więc sezonem jes kwarał) oraz wyznaczenie przyrosu logarymów. Jako polecenia skrypowe funkcje e są posaci:
lags zmienna1 sworzy opóźnienia zmiennej zmienna1 od pierwszego do pierwszego sezonowego, lags a; zmienna sworzy a-e opóźnienie zmiennej zmienna diff zmienna3 pierwsze różnice zmiennej zmienna3 sdiff zmienna4 pierwsze sezonowe różnice zmiennej zmienna4 ldiff zmienna5 pierwsze różnice logarymów zmiennej zmienna5 Isnieją eż wygodniejsze w pracy operaory różnicowe i opóźnień będziemy ich używać w skrypach do ych zajęć. Inne zmienne charakerysyczne dla szeregów czasowych Grel umożliwia również worzenie innych, charakerysycznych dla szeregów czasowych zmiennych. Robi się o wybierając Dodawanie zmiennych oraz wybranie odpowiedniej funkcji. Możemy przykładowo sworzyć zmienne 0-1 dla sezonów (worzony jes zesaw ylu 0-1 zmiennych, ile jes sezonów (a więc np. 1 dla danych miesięcznych)) oraz zmienną czasową (rend liniowy). Modele ADL (Auoregessive Disribued Lags) Przypomnijmy: modele ADL, o modele posaci: p y = α + γ y + β x + ε i i j j i= 1 j= 0 r W modelach ADL wyróżniamy zw. równowagę długookresową. Jes o syuacja, kiedy warość oczekiwana zmiennej objaśnianej nie zmienia się w czasie, jeśli w czasie nie zmieniają się również warości zmiennej objaśnianej (zmiennych objaśniających). Mamy więc: y* = E( y ) = E( y ) =... = E( y ) 1 p x* = x = x 1 =... x s Dla równowagi długookresowej, model ADL można zapisać jako: (1 γ γ... γ ) y* = α + x * β + x * β +... + x * β, albo: 1 p 0 1 y* = α * + x * β, α β0 + β1 +... + βs gdzie α* =, β = 1 γ γ... γ 1 γ γ... γ 1 p 1 W przypadku wysępowania w modelu opóźnień zmiennych objaśniających nie da się urzymać założenia, że zmienne objaśniające są nielosowe (losowe y wymusza losowość jej opóźnień, a e z kolei są jednymi z regresorów). W przypadku losowych zmiennych niezależnych dowiedzenie zgodności esymaora uzyskanego MNK jes możliwe ylko wedy, gdy zmienne niezależne nie są skorelowane z zaburzeniem losowym. Warunek en będzie spełniony jeśli w modelu ADL nie będzie wysępowała auokorelacja czynnika losowego. O ile wzór na mnożniki bezpośrednie jes w modelach ADL aki sam, jak w modelach DL (wielkość parameru sojącego przy nieopóźnionej zmiennej objaśniającej z bieżącego p s
okresu), o zmieni się wzór na mnożnik długookresowy. Wzór en przyjmie posać: β + β +... + β β = = 1... 1 i 0 1 p i= 0 r γ1 γ γ r γ i i= 1 p β. Będziemy chcieli oszacować model konsumpcji posaci: konsum = α + γ konsum + γ konsum + γ konsum + γ konsum + 1 1 3 3 4 4 + β dochod + β dochod + β dochod + β dochod + β dochod + ε 0 1 1 3 3 4 4 Zmiennymi objaśniającymi są opóźnienia zarówno konsumpcji, jak i dochodu należy więc je wygenerować. Okazuje się jednak, że nie jes o w Grelu konieczne wysarczy odpowiednio zadeklarować opóźnienia w momencie specyfikowania modelu. Wybierzmy Model Klasyczna meoda najmniejszych kwadraów i dalej jako zmienną zależna konsum, a niezależną dochod. Teraz powinniśmy jeszcze kliknąć przycisk opóźnienia i wybrać w nim czery opóźnienia dla dochodu i czery opóźnienia dla konsumpcji. W modelach ADL bezwzględnie wymagany jes brak auokorelacji składnika losowego (przez część AR wysępującą w ych modelach, auokorelacja składnika losowego powodowałaby na niezgodność esymaorów MNK). Sprawdźmy więc, czy auokorelacja wysępuje (esem do ego jes es Breuscha-Godfreya, es Durbina-Wasona nie powinien być sosowany przez część AR wysępującą w modelu losowe zmienne objaśniające). W oknie z oszacowanym modelem wybieramy Tesy Tesy auokorelacji i wybieramy rząd opóźnienia (sprawdźmy dla opóźnień od pierwszego do czwarego (dane kwaralne)). Aby dojść do osaecznej posaci modelu ADL zasosujemy meodologię od ogólnego do szczegółowego (parz skryp dra Mycielskiego hp://www.ekonomeria.wne.uw.edu.pl/uploads/main/meodologia.pdf). Innymi sposobami wybrania odpowiedniej wielkości opóźnienia (niż es na łączną isoność najwyższych opóźnień) jes porównywanie konkurujących ze sobą modeli za pomocą e e k e e k ln( n) kryeriów informacyjnych Akaike ( AIC = ln( ) + n ) lub Schwarza ( BIC = ln( ) + n ). Rzecz jasna, preferowany model będzie miał jak najniższe warości kryeriów informacyjnych. Oczywiście każdorazowo musimy sprawdzać możliwość ufania wykonywanym esom na łączną isoność najwyższych opóźnień przez upewnianie się, czy składnik losowy nie polega procesowi auokorelacji. Wszysko o możemy zrobić ręcznie (klikając) bądź przy wykorzysaniu skrypu (skryp adl ). Jaki jes mnożnik długookresowy w ym modelu?
Przyczynowość w sensie Grangera Przypomnijmy definicję: Zmienna x jes przyczyną w sensie Grangera zmiennej y, jeśli bieżące warości zmiennej y możemy lepiej prognozować przy użyciu przeszłych warości zmiennej x, niż bez ich użycia. W naszym przypadku, żeby przeesować hipoezę, że dochód jes przyczyną w sensie Grangera konsumpcji, należy oszacować model: konsum = α + γ1konsum 1 + γ konsum + β1dochod 1 + βdochod + ε i przeesować, czy opóźnienia dochodu są łącznie isone (ręcznie lub skryp adl ). Oczywiście nasz model wykonywany był dla niesacjonarnych zmiennych, co nie było uprawnione (regresja pozorna). Miała być o ylko prezenacja sposobu oszacowania podobnego modelu w Grelu. Dodakowo, szeregi e wydają się jednak być skoinegrowane (co powierdza formalny es), można więc naszą analizę uznać za wsęp do wykorzysania mechanizmu koreky błędem (ECM Error Correcion Mechanism). Inegracja i jej esowanie Przypomnijmy: Szereg y nazywamy sacjonarnym, jeśli zachodzi: 1. E( y ) = µ <, czyli gdy jego warość oczekiwana jes sała w czasie,. var( y ) = σ <, czyli gdy jego wariancja jes sała w czasie, 3. cov( y, y τ ) = γ ( τ ), czyli kowariancja pomiędzy elemenami procesu odległymi o τ okresów nie zależy od położenia ych elemenów w czasie (nie zależy od czasu), a jedynie od odległości pomiędzy nimi - τ. Przykładem zmiennej sacjonarnej był biały szum, czyli nasępujący proces: y = ε ε IID(0, σ ) Oo jego wykres:
Innym znanym przykładem był proces AR(1), kórego paramer przy opóźnionej zmiennej objaśnianej był, co do warości bezwzględnej mniejszy od 1, np.: s = 0.8s + ε 1 Wykres: Mówi się eż o zmiennych rendosacjonarnych. Są o zmienne charakeryzujące się rendem, kórych przekszałcenie y E( y ) okazuje się być sacjonarne. Zmienna aka mogłaby przykładowo być dana wzorem: s = 0.8s + 0.11 + ε 1
Zmienna y E( y ) dla powyższego procesu worzona jes w nasępujący sposób: E( y ) = E(0.8s 1 + 0.11 + ε ) = E(0.8 s 1 ) + E(0.11 ) + E( ε ) = E(0.11 ) = 0.11 Więc: y E( y ) = 0.8s 1 + 0.11 + ε 0.11 = 0.8s 1 + ε A wiemy, że en osani proces jes sacjonarny. Inegracja Zmienna y jes zinegrowana rzędu d jeśli jej różnice rzędu d są sacjonarne. Zapisujemy o y ~ I ( d ). Przyjmuje się również, że zmienna sacjonarna y (jako że nie rzeba jej różnicować, żeby uzyskać jej sacjonarność) jes zinegrowana sopnia zero, co zapisujemy y ~ I (0). Zmienne, kóre wykorzysujemy w modelach budowanych dla szeregów czasowych powinny być I(0) (czyli powinny być sacjonarne). Jeśli akie nie są, isnieje niebezpieczeńswo regresji pozornej (spurious regression), czyli orzymania obiecujących wyników esów diagnosycznych dla regresji, kóra nie ma sensu. Oo przykład: Niech y = oraz x =, co na wykresie można przedsawić: A po przeskalowaniu osi:
Ogólnie rzecz biorąc, zmienna x nie powinna w isony sposób wyjaśniać zmiennej y. Nie ulega eż wąpliwości, że obydwie zmienne są niesacjonarne. Co by się jednak sało, gdybyśmy wykonali regresję: y = β0 + β1x + ε? (skryp inegracja ) Okazuje się, że x jes zdecydowanie isone w ej regresji, co kłóci się z naszą znajomością ych zmiennych. Dodakowo bardzo wysoki jes współczynnik deerminacji, zaś jedyne, co może nas niepokoić, o warość saysyki Durbina-Wasona, wskazująca, że w modelu wysępuje auokorelacja składnika losowego. Dlaego właśnie esowanie sacjonarności szeregów czasowych jes ak ważne. Tes Dickey-Fullera Najpowszechniej sacjonarność badana jes esem Dickey-Fullera. Inuicja sojąca za ym esem jes nasępująca: wiemy, że proces błądzenia losowego ( y = y 1 + ε, gdzie ε ~ IID(0, σ ) ) jes niesacjonarny, zaś proces AR(1) posaci y = ρ y + ε, gdzie ε ~ IID(0, σ ) jes sacjonarny gdy zachodzi ρ < 1. Inuicyjnie, 1 spodziewamy się więc, że jedną z esowanych hipoez będzie ρ < 1, a więc sacjonarność szeregu y.
Techniczny sposób przeprowadzenia esu zaproponowali Dickey i Fuller. Poddali oni równanie y = ρ y 1 + ε nasępującym przekszałceniom: y = ρ y + ε 1 y y = ρ y y + ε 1 1 1 y = ( ρ 1) y 1 + ε Przyjmując zaś, że ( ρ 1) = δ, czyli ρ = 1+ δ, esowane równanie przyjmuje posać: (*) y = δ y 1 + ε W modelu ym możemy przeesować nasępujące hipoezy: H : δ = 0 ρ = 1 y I(1) 0 H : δ < 0 ρ < 1 y I(0) 1 A więc szereg y jes sacjonarny przy hipoezie zerowej. Aby zweryfikować hipoezy, szacujemy model (*) za pomocą MNK. Okazuje się jednak, że przy prawdziwości hipoezy zerowej, saysyki -Sudena, obliczane do esowania hipoez, nie mają rozkładu -Sudena, gdyż y jes wedy niesacjonarny. Saysyki -Sudena obliczamy w sandardowy sposób δ ( δ = ) i nazywamy je saysykami Dickey-Fullera (saysykami DF). Ponieważ σ δ saysyki DF nie mają znanego rozkładu, nie wiemy z jakich warości kryycznych dla nich korzysać. Dickey i Fuller symulacyjnie wyprowadzili empiryczne rozkłady dla ych saysyk i sworzyli dla nich ablice warości kryycznych. Warości kryyczne ych saysyk są zawsze ujemne (najczęściej są podawane w ablicach jako dodanie, z zaznaczeniem, że pominięo znak - ) i zawsze odczyujemy dwie warości kryyczne dolną (l) i górną (u). Jeżeli: 1. DF < l, o przyjmujemy hipoezę alernaywną (badany szereg sacjonarny),. l < DF < u, o es nie rozsrzyga o (nie)sacjonarności, 3. DF > u, o nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o niesacjonarności. Jeśli wynikiem esu Dickey-Fullera jes sacjonarność badanego szeregu, o nie mamy się już czym marwić. Gorzej, jeżeli przyjmujemy hipoezę zerową i wierdzimy, że szereg jes niesacjonarny. Nie wynika z ego, że jes on zinegrowany sopnia jeden, jak soi w hipoezie zerowej, ale że jes zinegrowany sopnia co najmniej jeden. Aby poznać jego sopień inegracji rzeba procedurę esu Dickeya-Fullera przeprowadzić dla pierwszych różnic szeregu y, a więc dla y. Pamięając o definicji inegracji mamy, że jeżeli pierwsze różnice szeregu są zinegrowane sopnia 0, a więc są sacjonarne, o sam szereg jes zinegrowany sopnia 1. Tesowane równanie przyjmuje więc posać: y = δ y 1 + ε A hipoezy są eraz nasępujące: H : δ = 0 y I(1) y ~ I () 0 H1 : δ < 0 y I(0) y ~ I(1) Dalsze wnioskowanie jes analogiczne, jak w pierwszym kroku. Ten sposób posępowania pozwala nam swierdzić jaki jes sopień inegracji szeregu. Aby przeprowadzić es Dickey-Fullera, owórzmy zbiór danych daa3-3 (przykładowe dane z zakładki Ramanahan). Narysujmy wykres zmiennej PATENTS i dokonajmy wsępnej inerpreacji rzędu zinegrowania ego szeregu.
Później przeprowadźmy formalny es DF. Musimy więc wygenerować zmienną oraz PATENTS 1 i wykonać regresję: PATENTS = δ PATENTS + ε 1 PATENTS Warość saysyki -Sudena dla zmiennej PATENTS 1 wynosi 4,331. Nie powinniśmy porównywać ej warości z warością kryyczną rozkładu -Sudena, gdyż w ym przypadku saysyka a rozkładu ego nie ma. Powinniśmy za o odczyać warości kryyczne sablicowane przez Dickey i Fullera. Niesey w Grelu akich ablic nie ma rzeba skorzysać z innego źródła. Tablic akich powinniśmy szukać w książkach do ekonomerii (np. W.Charemza i D.Deadman, Nowa ekonomeria, PWE Warszawa 199). Można akich ablic szukać z inernecie (np. po skorzysaniu z wyszukiwarki, jednym z wyników jes: hp://www.suden.overheop.pl/maerialy/efablice.pdf), rzeba jednak pamięać o osrożnym podchodzeniu do nieznanych źródeł. Dla 33 obserwacji l i u wynoszą odpowiednio -1.99 i -1.85. Wynika z ego, że zachodzi DF > u, a więc szereg PATENTS jes niesacjonarny. Wynika z ego, że jes on zinegrowany co najmniej sopnia 1. Tes DF i ADF (omówiony za chwilę) można ławo wyklikać. Należy w ym celu podświelić zmienną i wybrać Zmienna Tes ADF i usalić wszyskie pożądane opcje esu. Proszę również zwrócić uwagę, że Grel podaje p-value dla ego esu. Zobaczmy jak o wszysko można było zrobić za pomocą skrypu ławo się am również wykonuje es DF i ADF (omówiony za chwilę) skryp inegracja. Oczywiście, jak musimy przyjąć hipoezę zerową (szereg zinegrowany co najmniej rzędu 1), o dalej przeprowadzamy es DF w celu usalenia rzędu inegracji szeregu (es dla pierwszych różnic, poem jeśli zajdzie porzeba, dla drugich, rzecich, id.). Jak widać szereg PATENTS jes zinegrowany rzędu/sopnia 1, czyli PATENTS I (1). UWAGA. Tes Dickey-Fullera wysępuje w różnych odmianach: z dryfem, z dryfem i rendem oraz z dryfem i rendem kwadraowym. Zaineresowanych odsyłam np. do wspominanej już pozycji Charemzy i Deadmana. Rozszerzony es Dickey-Fullera (Augmened Dickey-Fuller Tes - ADF) Ułomnością esu Dickey-Fullera jes brak odporności na możliwość wysępowania równaniu esowym auokorelacji składnika losowego. Ułomności ej pozbawiony jes już rozszerzony es Dickey-Fullera, kóry wśród zmiennych objaśniających zawiera również opóźnienia zmiennej objaśnianej (augmenacje), korygujące auokorelację składnika losowego. Oo ogólna posać ego esu (u z dryfem, choć es ADF można, podobnie jak es DF, wykonywać bez dryfu oraz z dodakowym rendem deerminisycznym): y = δ y + δ y + ε 1 i= 1 i i k Hipoezy esu są akie same, jak w eście Dickey-Fullera. Zobaczmy jak dla naszego poprzedniego przykładu wyglądałoby zasosowanie esu DF i ADF dla szeregu R _ D.
Zasosujmy najpierw es DF, a w razie auokorelacji składnika losowego es ADF z jedną augmenacją (cd skrypu inegracja ). Spróbujmy o samo poem wyklikać.