0.1 Modele Dynamiczne

Transkrypt

1 0.1 Modele Dynamiczne Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od ich wartości przeszłych, oraz wartości zjawiska z poprzednich okresów. Lemat 1 Mnożnik bezpośredni mierzy krótkookresową reakcję na zmianę wartości zmiennej objaśniającej. Wynosi on β 0 Lemat 2 Mnożnik długookresowy mierzy skumulowany efekt powstający wskutek zmiany zmiennej wartości objaśniającej w okresie 0. Dla modelu bez części autoregresyjnej wynosi on β τ = τ i=0 β i, a gdy część autoregresyjna występuje to β τ = P τ i=0 β i 1 P p i=0 γ i Operator opóźnień Użytecznymi narzędziami skracającymi zapis postaci analitycznej modeli dynamicznych są oprerator opóźnień i operator różnicowy. Operator opóźnień jest zdefiniowany następująco: Lx t = x x 1 Ten operator możemy w obliczeniach traktować jak liczbę. Ma on następujące własności: La = a L 2 x t = L(Lx t ) = Lx t 1 = x t 2 L p x t = x t p Operator różnicowy Drugim użytecznym narzędziem jest operator różnicowy x t = x t x t 1 Ten operator również może w obliczeniach być traktowany jak liczba. Ma on następujące własności: a = 0 1

2 2 x t = x t = (x t x t 1 ) = (x t x t 1 ) (x t 1 x t 2 ) p x t =... = (x t x t 1 )... (x t (p+1) x t p ) x t = x t 1 + x t x t = (1 L)x t Możemy połączyć użycie obu operatorów: 2 x t = (1 L) 2 x t = (1 2L + L 2 )x t = x t 2x t 1 + x t 2 = x t x t 1 Dodatkowo zauważmy, że: (1 L) 2 x t = (1 L)(1 L)x t = (1 L)(x t x t 1 ) = (x t x t 1 ) (x t 1 x t 2 ) Dynamiczne równanie regresji możemy przedstawić jako: y t = α + β i L i x t + ɛ t = α + B(L)x t + ɛ t i=0 gdzie B jest wielomianem zmiennej L: B(L) = β 0 L 0 + β 1 L 1 + β 2 L Wielomian operatora opóźnień to wyrażenie postaci: A(L) = 1 + al + (al) 2 + (al) = al i i=0 jeśli a < 1, wtedy: A(L) = 1 1 al Modele o opóźnieniach rozłożonych Distributed Lags Model z opóźnieniami rozłożonymi ma następującą formę: y t = α + β γ i L i x t + ε t i=0 możemy go zapisać jako: y t = α + β(1 γl) 1 x t + ε t (1) 2

3 0.1.5 Model autoregresyjny Ten sam model możemy zapisać w formie autoregresyjnej. Mnożąc (1) przez (1 γl) otrzymujemy: po uporządkowaniu dostajemy: y t (1 γl) = α(1 γl) + βx t + ε t (1 γl) y t = α(1 γ) + βx t + γy t 1 + (1 γl)ε t możemy go również zapisać za pomocą operatora opóźnień: C(L)y t = α + βx t + ε Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych (ARDL) Autoregressive Distributed Lags Bardziej ogólnym zapisem modeli dynamicznych jest postać ARDL. y t = µ + p r γ i y t i + β j x t j + δw t + ε t (2) i=1 j=0 gdzie o składniku losowym ɛ t zakładamy że jest homoscedastyczny i nieskorelowany. Możemy zapisać model (2) w bardziej zwięzłej postaci: gdzie: oraz C(L)y t = µ + B(L)x t + δw t + ε t C(L) = 1 γ 1 L 1 γ 2 L 2... γ p L p B(L) = β 0 β 1 L 1 β 2 L 2... β r L r Model w tej postaci zapisujemy jeszcze krócej jako ARDL(p, r). Liczby wskazują na rząd wielomianów operatorów użytych do zapisu modelu. Klasyczny Model Regresji Liniowej jest specjalnym przypadkiem ARDL dla którego p = 0, oraz r = Stacjonarność Lemat 3 Proces stochastyczny jest słabo (wariancyjnie) stacjonarny jeśli var(x i ) = σ 2 < oraz cov(x t, x t+h ) = cov(x t+j, x t+j+h ) = γ h dla dowolnych t, j, h. 3

4 Intuicyjnie proces stochastyczny jest stacjonarny jeżeli ma skończoną wariancję oraz kowariancje między obserwacjami nie zależą od czasu, a jedynie od odległości między obserwacjami. Lemat 4 Proces zintegrowany stopnia zero, oznaczamy I(0). Można przedstawić go w postaci x t E(x t ) = i=0 ε t i, gdzie ε t IID (0, σ 2 ) - biały szum. Lemat 5 Proces stochastyczny x t nazywamy procesem zintegrowanym rzędu d jeżeli d x t jest I(0) Stabilność modelu dynamicznego Stabilność modelu dynamicznego zależy od części autoregresyjnej modelu. Lemat 6 Model dynamiczny nazywamy modelem stabilnym jeżeli pierwiastki wielomianu operatora opóźnień jego części autoregresyjnej leżą poza kołem jednostkowym. Rozwiązaniem stabilnym modelu dynamicznego nazywamy rozwiązanie dla którego y t = y t 1 =... = y t p, x t = x t 1 =... = x t q, oraz iε i = Model ARIMA Nazwa modelu jest zbitką trzech nazw. AR pochodzi od procesu autoregresyjnego, I od procesu zintegrowanego, a MA od procesu średniej ruchomej. Postać analityczna modelu jest dość skomplikowana: d y t = µ + γ 1 d y t 1 + γ 2 d y t γ p d y t p + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q ale zapis można uprościć stosując wielomiany operatora opóźnień i operator różnicowy: C(L)[(1 L) d y t ] = µ + D(L)ε t Innym sposobem zapisu modelu jest ARIMA(p, d, q), gdzie p oznacza rząd procesu autoregresyjnego, q rząd procesu średniej ruchomej, a d rząd integracji procesu Pierwiastki jednostkowe i Test Dickey a-fullera Jeżeli proces stochastyczny zawiera pierwiastek który leży wewnątrz bądź na obrzeżu koła jednostkowego, to jest procesem niestacjonarnym. Test Dicke ya- Fullera wykrywa obecność pierwiastków jednostkowych. 4

5 Jeżeli mamy model autoregresji w którym zmienna y t jest szeregiem czasowymi postaci: y t = ρy t 1 + ε t (3) Chcemy sprawdzić czy zmienna y t jest stacjonarna. Wydaje się, że wystarczy przeprowadzić test czy ρ = 1 za pomocą statystyki t-studenta. Jeżeli składnik losowy w równaniu (3) jest procesem białego szumu, to jeśli ρ < 1 to ten proces jest zintegrowany stopnia zero. Lecz w przypadku gdy ρ = 1 równanie reprezentuje proces błądzenia losowego. Wtedy proces generujący y t jest niestacjonarny. W takim przypadku statystyka t nie będzie miała rozkładu t-studenta i nie możemy jej wartości używać do standardowych testów. Rozwiązaniem problemu testowania stopnia integracji jest procedura zaproponowana przez Dickey a i Fullera i nazwana od nazwisk autorów testem DF. Test DF weryfikuje hipotezę, że w równaniu (3) ρ = 1, czyli że mamy pierwiastek jednostkowy. Dlatego ten test również jest nazywany testem pierwiastka jednostkowego. Zapiszmy równanie (3) w postaci: i testujemy hipotezę zerową: y t = (1 + δ)y t 1 + ε t y t y t 1 = δy t 1 + ε t y t = δy t 1 + ε t (4) H 0 : δ = 0 H 1 : δ < 0 odrzucenie hipotezy zerowej δ = 0 na rzecz hipotezy alternatywnej oznacza że y t nie ma pierwiastków w kole jednostkowym, jest zintegrowane stopnia zero I(0). Statystyka testowa t nie ma rozkładu t-studenta. Wartości krytyczne odczytujemy z tablic wartości testu Dickey a-fullera. Wszystkie wartości krytyczne są w lewym ogonie rozkładu i są znacznie niższe od statystyk t- Studenta. Wartości krytyczne testu Dickey-Fuller a otrzymywane są za pomocą symulacji Monte Carlo, więc są one obciążone pewnym błędem. Dlatego niektóre tablice podają nie jedną, a dwie wartości krytyczne dolną i górną. Pomiędzy nimi leży obszar braku konkluzji Test ADF Test Dickey a-fullera nie uwzględnia faktu, że składnik losowy równania (3) może zawierać autokorelację. W przypadku występowania autokorelacji estymatory MNK są nieefektywne. Wobec tego stosuje się Rozszerzony test 5

6 Dickey a-fullera (Augmented Dickey-Fuller test). W równaniu regresji po prawej stronie umieszcza się opóźnione wartości zmiennej zależnej. Równanie przyjmuje postać: y t = δy t 1 + k γ i y t i + ε t (5) i=1 Sposób testowania oraz wartości krytyczne testu są identyczne jak w teście Dickey-Fullera Kointegracja i Test Engla-Grengera Jeżeli mamy równanie regresji w którym zmienne x t i y t są szeregami czasowymi, to te szeregi mogą zawierać trendy czasowe. Wobec tego są one niestacjonarne. Jeżeli istnieje między nimi długookresowy związek, to mówimy że procesy x t i y t są skointegrowane jeżeli odchylenia od ścieżki długookresowej są stacjonarne. Formalna definicja kointegracji podana przez Engla i Grengera jest następująca: Lemat 7 Mówimy, że szeregi czasowe są skointegrowane stopnia (d, b) co zapisujemy: x t, y t CI(d, b) jeżeli: 1. Oba szeregi są zintegrowane stopnia b 2. istnieje kombinacja liniowa tych zmiennych a 1 x t + a 2 y t, która jest zintegrowana stopnia d b Lemat 8 Wektor [a 1, a 2 ] nazywamy wektorem kointegrującym. Testowanie kointegracji jest analogiczne do testowania integracji. Sprawdzamy czy kombinacja liniowa zmiennych jest I(0). Test przeprowadzamy za pomocą procedury zaproponowanej przez Engla i Grengera. 1. Testujemy stopień integracji zmiennych związanych z badaną długookresową zależnością. Jeżeli w modelu mamy więcej niż dwie zmienne to stopień integracji zmiennej zależnej nie może być wyższy niż stopień integracji którejkolwiek ze zmiennych objaśniających. Ponadto liczba zmiennych o stopniu integracji wyższym od zmiennej zależnej modelu, powinna być albo równa zero, albo powinny być dwie takie zmienne. 6

7 2. Jeżeli znamy postać wektora kointegrującego [1, β] to test Dickey a- Fullera na kointegrację polega na obliczeniu statystyki t-studenta dla parametru δ w regresji gdzie: u t = δu t 1 + ε t (6) u t = y t βx t i porównaniu jej z wartością krytyczną z tablic dla testu DF. Dla testu ADF procedura jest analogiczna. Obliczamy statystykę t dla parametru δ z równania: k u t = δu t 1 + δ i u t i + ε t (7) Jeżeli relacja długookresowa nie jest znana a prori to najpierw szacujemy MNK parametry wektora kointegrującego. i=1 y t = β 1 x β k x k + ν t Następnie do równania (6) lub (7) w zależności od postaci testu zamiast u t wstawiamy oszacowane wektor reszt ν, więc: lub w przypadku testu ADF: ν t = δν t 1 + ε t ν t = δν t 1 + k δ i ν t i + ζ t i=1 Podobnie jak w przypadku testu integracji statystyka wartości krytyczne dla statystyki t-studenta odczytujemy z tablic testu DF. Gdy musimy oszacować wektor kointegujący wartości krytyczne dla statystyki testowej zależą również od liczby szacowanych parametrów wektora kointegrującego m Mechanizm korekcji błędem (ECM) Jeżeli dwa szeregi czasowe x t i y t są niestacjonarne i skointegrowane, to ich kointegracja powoduje, że składnik losowy relacji długookresowej nie zwiększa się. Engle i Grenger udowodnili, że każdy szereg skointegrowany ma reprezentację za pomocą mechanizmu korekty błędem. Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe, tzn. każdy mechanizm korekty błędem można przedstawić za pomocą szeregów skointegrowanych. 7

8 Rozpatrzmy model: y t = βx t + ɛ t (8) gdzie y t oraz x t są I(1). Przypuśćmy że y t i x t są CI(1, 1) z wektorem kointegrującym [ 1, β]. Wobec tego model (8) można przedstawić za pomocą mechanizmu korekty błędem y t = α 1 x t + α 2 (y t 1 βx t 1 ) + ε t (9) gdzie α 2 < 0. Ten model szacuje się również za pomocą dwustopniowej procedury Engla-Grengera. W pierwszym kroku szacujemy równanie (8) za pomocą MNK i testujemy hipotezę o stacjonarności reszt. Jeśli są stacjonarne to szacujemy (9) zastępując β otrzymanym w pierwszym kroku estymatorem. W ten sposób w równaniu (9) wszystkie zmienne są stacjonarne Zadania Zadanie 1. Mamy proces DL następującej postaci y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t (a) Wyjaśnij jaka jest intepretacja współczynników przy β 0 i β 1 (b) Podaj jaki będzie wpływ na y t zmiany x t 1 i x t o jednostkę. Jak nazywamy współczynnik β τ? (c) Policz odchylenie standartowe współczynnika β τ [, jeżeli macierz ] wariancjikowariancji dla β 0 i β 1 ma postać: var(β τ ) = σ00 σ 01 σ 11 Rozwiązanie ad a) β 0 zmiana y t jeśli x t wzrośnie o jednostkę, β 1 zmiana y t jeśli x t 1 wzrośnie o jednostkę. ad b) β 0 jest to mnożnik bezpośredni, β τ jest to mnożnik długookresowy. β τ = β 0 + β 1 W pierwszym okresie y t zmieni się o β 0, w następnym y t zmieni się o β τ ad c) var(β τ ) = var(β 0 +β 1 ) = var(β 0 )+var(β1)+2cov(β 0 β 1 ) = σ 00 +σ 11 +2σ 01 se(β τ ) = σ 00 + σ σ 01 8

9 Zadanie 2. Mamy proces ARDL następującej postaci: y t = µ + ay t 1 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t (a) Podaj warunek konieczny do tego, aby proces ten był stabilny (wpływ ɛ t na y t+s malał z upływem czasu) (b) Znajdź wielkość mnożnika bezpośredniego i długookresowego dla zmiennej x t. Jaka jest intepretacja tych mnożników? (c) Chcemy przeanalizować scenariusz w którym x t 1 było większe o 1 niż obserwowane. O ile większe w takim przypadku będzie oczekiwany y t? (d) Chcemy przeanalizować scenariusz w którym x t i x t 1 były większe o 1 niż obserwowane. O ile większe w takim przypadku będzie oczekiwany y t? (e) Jakie warunki musi spełniać ɛ t, żeby model ten można było wyestymować za pomocą MNK? Rozwiązanie ad a) Wartości bezwzględne pierwiastków wielomianu opóźnień muszą być większe od 1. 1 al = 0 = L = 1 a L > 1 = a < 1 = a ( 1, 1) ad b) mnożnik bezpośredni β 0 ; mnożnik długookresowy β 0+β 1. Mnożnik bezpośredni to efekt krótkookresowy (natychmiastowy). Mnożnik długo- 1 a okresowy pokazuje efekt zmiany w dłuższym okresie. ad c) E(y t ) wzrośnie o β 1 ad d) E(y t ) wzrośnie o β 0 + β 1 + aβ 0, ponieważ należy uwzględnić wpływ x t 1 na y t 1 ad e) cov(ε t, x t ) = 0, cov(ε t, x t 1 ) = 0, cov(ε t, y t ) = 0, cov(ε t, y t 1 ) = 0 9

10 Zadanie 3. Mamy następujący proces ARIM A(p, d, q): y t = µ + a y t 1 + ε t + θε t 1 E(ε) = 0 var(ε) = σ 2 I (a) Ile wynoszą parametry p, d, q? (b) Jaki jest warunek stabilności procesu y t? (c) Jakie jest rozwiązanie długookresowe dla procesu y t? (d) Czemu jest równa wartość oczekiwana procesu y t? (e) Jaka jest wariancja procesu y t? Rozwiązanie ad a) ARIMA (1,1,1) ad b) Pierwiastek wielomianu operatora opóźnień musi leżeć poza kołem jednostkowym, czyli: można zapisać jako: y t = µ + a y t 1 + ε t + θε t 1 (1 al) y t = µ + ε t + θε t 1 1 al = 0 = L = 1 a L > 1 = a < 1 = a ( 1, 1) ac c) Rozwiązanie długookresowe y = µ 1 a ad d) E( y t ) = E(µ) + E(a y t 1 ) + E(ε t ) + E(θε t 1 ) E( y t ) = E(µ) + E(a y t 1 ) E( y t ) = µ 1 a 10

11 ad e) (var( y t )) = var(µ + a y t 1 + ε t + θε t 1 ) (var( y t )) = var(µ) + var(a y t 1 ) + var(ε t ) + var(θε t 1 ) (var( y t )) = 0 + a 2 var( y t ) + σ 2 I + θ 2 σ 2 I (1 a 2 )(var( y t )) = σ 2 I + θ 2 σ 2 I (var( y t )) = σ2 I + θ 2 σ 2 I (1 a 2 ) Zadanie 7. Estymacja modelu AR(2) na pierwszych różnicach dla próby 100 obserwacji dała następujący wynik (w nawiasach są błędy standardowe) y t = 0, 18 0, 14 y t y t 1 + ε t (0, 12) (0, 05) (0, 10) Przetestuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę o pierwiastku jednostkowym. Dokładnie objaśnij jak brzmi hipoteza zerowa i alternatywna. Rozwiązanie Zapiszmy ogólną postać modelu: Należy przetestować hipotezę y t = α + βy t 1 + γ y t 1 + ε H 0 : β = 0 H 1 : β < 0 Wartość statystyki testowej wynosi t = 0,14 = 2, 8. Wartość krytyczną 0,05 odczytana z tablic testu Dickey a-fullera wynosi t DF (100) = 2, 9. Ponieważ t > t DF brak jest podstaw do odrzucania hipotezy zerowej o istnieniu pierwiastka jednostkowego. Zadanie 8. Powiedzmy, że mamy model: y t = α(y t 1 βx t 1 ) + δ y t 1 + ε t 11

12 i wyniki następujących regresji dla 100 obserwacji (poziom istotności α = 0, 05) y t = 0, 4 y t +0.2 y t 1 (0, 2) (0, 02) x t = 0, 8 x t +0.2 x t 1 (0, 5) (0, 1) (a) Czy w tym przypadku ma sens (i dlaczego) testowanie kointegracji między x t i y t? (b) Powiedzmy, że otrzymałeś z MNK reszty û t z regresji y t na x t a regresji û t na u t 1 ˆ dała następujący wynik (błędy standardowe w nawiasach) û t = 0, 8 u t 1 ˆ (0, 2) Jaki jest wynik testu na kointegrację? Rozwiązanie ad a) Wartość krytyczna testu Dickey a-fullera t DF (100) = 2, 9 ad b) t y = 0, 4 0, 2 = 2 Ponieważ statystyka testowa t y = 2 > t DF wartości krytycznej testu wnioskujemy, że istnieje pierwiastek jednostkowy, czyli szereg y t jest zintegrowany stopnia jeden I(1). t x = 0, 8 0, 5 = 1, 6 Ponieważ statystyka testowa t x = 1.6 > t DF wartości krytycznej testu wnioskujemy że istnieje pierwiastek jednostkowy, czyli szereg y t jest zintegrowany stopnia jeden I(1). Ponieważ oba szeregi są I(1) testowanie kointegracji jest sensowne, bowiem model może wskazywać nie na relację pomiędzy zmiennymi x t i y t, a między trendami zawartymi w zmiennych. t = 0, 8 0, 2 = 4 Ponieważ statystyka testowa t x = 4 < t DF wartości krytycznej testu wnioskujemy że zmienne są skointegrowane. 12

13 Literatura [1] Wojciech Charemza, Derek Deadman (1997) Nowa ekonometria, PWE. [2] William H. Greene (2003) Econometric Analysis, 5th edition. [3] Jerzy Mycielski (2000), WNE. 13