Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Transkrypt

1 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka

2 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie heteroskedastyczności 6. Testowanie autokorelacji

3 - Służą do weryfikacji założeo KMRL - Jeśli któreś z założeo nie jest spełnione należy zastanowid się nad przeformułowaniem modelu - Testy są stosowane po wyestymowaniu modelu

4

5 - Test RESET (Regression Specification Error Test): H : y x 0 i i i - liniowa postad modelu H : y f ( x ) 1 i i i - nieliniowa postad modelu gdzie f () jest nieliniowa

6 Związek pomiędzy zmienną zależną a zmiennymi niezależnymi opisany jest równaniem: y i 1 2x2i 3x3 i K xki i i 1,2, 3 n

7 podważa interpretacje ekonomiczną modelu (interpretacja oszacowanych parametrów) Odrzucenie hipotezy zerowej o poprawności przyjętej formy funkcyjnej niemożliwe udowodnienie własności estymatora MNK (nieobciążonośd czy efektywnośd estymatora MNK )

8 W jaki sposób można rozwiązać problemy zasygnalizowane przez wynik testu? Przebudowanie modelu aby uwzględniał nieliniowośd relacji między zmiennymi (możliwe, że zmienne modelu powinny byd poddane jakiejś transformacji logarytmowanie, potęgowanie, itp.) pominięte zmienne objaśniające 8

9 Zmienna zależna: logarytm płac, Zmienne niezależne to: wiek, wiek podniesiony do kwadratu, płed, wykształcenie (średnie, wyższe; za poziom bazowy przyjmujemy wykształcenie podstawowe), miejsce zamieszkania (małe miasto, średnie miasto, duże miasto; za poziom referencyjny przyjmujemy wieś) oraz stan cywilny zmienna ta przyjmuje wartośd 1, jeśli kawaler lub panna oraz 0 w pozostałych przypadkach

10 Następnie szacujemy równanie regresji rozszerzonej (zmienne y_2 i y_3 to odpowiednio wartości wyliczone podniesione do 2 i 3 potęgi): Statystyka testu: F = 25,421338, z wartością p = P(F(2,1077) > 25,4213) = 0,

11

12 - Test Jarque Berra (Test JB): H 0 : ~ N( 0, 2 I) - składnik los. ma rozkład normalny H 1 : ~ N( 0, 2 I) - składnik los. nie ma rozkładu normalnego

13 Niespełnione dodatkowe założenie o tym, że składnik losowy ma rozkład normalny

14 Jakie są skutki niespełnienia założenia KMRL Próba duża: rozkłady statystyk są bliskie standardowym rozkładom Mała próba: jest problemem, gdyż: To założenie jest niezbędne do wyprowadzenie rozkładów statystyk testowych oraz prawidłowego wnioskowania statystycznego. Estymator b uzyskany metoda MNK jest najlepszym estymatorem wśród liniowych i nieobciążonych estymatorów można znaleźd estymator nieliniowy i nieobciążony o wariancji mniejszej niż estymator b 14

15 W jaki sposób można rozwiązać problemy zasygnalizowane przez wynik testów? Powiększenie próby, ponieważ dla większej próby rozkłady będą bliższe znanym rozkładom asymptotycznym 15

16

17

18 - Służy do weryfikacji czy parametry modelu będą takie same dla kilku różnych podpróbek - Załóżmy, że modele dla podpróbek: s X s s s, gdzie s=1,,m oznacza numer podpróbki y H : m - parametry są takie same w podpróbkach H 1 : r s - parametry różnią się w podpróbkach

19

20

21 Sprawdzimy, czy parametry regresji są takie same w próbkach wyodrębnionych za pomocą zmiennej np. pled KROK 1: przeprowadzamy regresję na całej próbie (nie wprowadzamy do modelu zmiennej płec!) - obliczamy: S=RSS - Suma kwadratów z regresji na całej próbie KROK 2: przeprowadzamy regresję na próbie kobiet - obliczamy: S 1 =RSS 1 - Suma kwadratów z regresji na próbce zawierającej kobiety KROK 3: przeprowadzamy regresję na próbie mężczyzn - obliczamy: S 2 =RSS 2 - Suma kwadratów z regresji na próbce zawierającej mężczyzn

22 Statystyka opisowa: Gdzie: S suma kwadratów reszt z regresji na całej próbie, S j suma kwadratów reszt z regresji na j-tej podpróbie, m liczba wyodrebnionych próbek, K liczba szacowanych parametrów (taka sama we wszystkich regresjach), N liczba obserwacji.

23 Związek pomiędzy zmienną zależną a zmiennymi niezależnymi opisany jest równaniem: y i 1 2x2i 3x3 i K xki i i 1,2, 3 n

24 podważa interpretacje ekonomiczną modelu (interpretacja oszacowanych parametrów) Odrzucenie hipotezy zerowej o tym, że parametry są stabilne niemożliwe udowodnienie własności estymatora MNK (nieobciążonośd czy efektywnośd estymatora MNK )

25 W jaki sposób można rozwiązać problemy zasygnalizowane przez wynik testu? Problem niestabilności parametrów można rozwiązad poprzez estymacje osobnych regresji na wyodrębnionych próbach. 25

26

27 Przypomnienie: Co to znaczy, że w modelu występuje homoskedastyczność/heteroskedastyczność? - heteroskedastyczność ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( n n n n n n Var Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Var Var

28 - Test Goldfelda-Quandta (Test GQ): H 0 : Var( ) i 2 dla i 1,..., N H : Var( ) Var( ) 1 i j zi zj dla gdzie jest pewną zmienną z - Hipoteza zerowa: homoskedastyczność - Hipoteza alternatywna: heteroskedastyczność

29 - Test Goldfelda-Quandta (Test GQ): - Jako jedyny z testów na heteroskedastyczność ma rozkład wyprowadzony dla małych prób

30 - Test Breuscha-Pagana (Test BP): H 0 : Var( ) i 2 dla i 1,..., N H : Var( ) f ( z ) i i 0 i gdzie f () z i - funkcja różniczkowalna - wektor zmiennych, może zawierać zmienne występujące w wektorze zmiennych objaśniających

31 - Test Breuscha-Pagana (Test BP): - Hipoteza zerowa: homoskedastyczność - Hipoteza alternatywna: heteroskedastyczność - Szczególną postacią testu BP jest test White a z i zawiera wszystkie kwadraty i iloczyny krzyżowe zmiennych objaśniających

32 - Test BP i White a są bardziej uniwersalne niż test GQ jednak rozkłady statystyk testowych dla tych testów są znane tylko dla dużych prób - Przy małych próbach stosujemy test GQ, przy dużych próbach test BP i White a

33 Homoskedastycznośd składnika losowego wariancja błędu losowego jest stała dla wszystkich obserwacji: 2 var( ) 1,2,..., i dla i N

34 Jakie są skutki niespełnienia założenia KMRL estymatory MNK b są nadal nieobciążone i zgodne, ale nieefektywne, co oznacza, że ich błędy standardowe nie są najmniejsze z możliwych. estymator macierzy wariancji-kowariancji b jest już obciążony i niezgodny. Macierz wariancji-kowariancji jest wykorzystywana do testowania hipotez na temat istotności zmiennych, wiec poprawnośd wnioskowania statystycznego jest podważona. estymator s 2 jest obciążony ale zgodny 34

35 W jaki sposób można rozwiązać problemy zasygnalizowane przez wynik testów? Estymator odporny White a Stosowalna UMNK - powiemy na dalszych zajęciach 35

36

37 Przypomnienie: Co to znaczy, że w modelu występuje autokorelacja? - Brak autokorelacji ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( n n n n n Var Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Var Var

38 û t + et et û t e t1-38

39 white_noise Biały szum t 39

40 û t û t + et et û t + - e t1 + t 1 ˆ 1 u t Time

41 û tt + e t e t û t ˆ 1 u t e t1 Time

42 y y rzędu I dodatnia rzędu I ujemna y = 0,6194x + 4, y = x + 0, x x 42

43 - Test Durbina-Watsona (Test DW): H : Cov(, ) 0 0 t t1 - brak autokorelacji H : Cov(, ) 0 1 t t1 - autokorelacja gdzie t 1,..., T

44 - Test Durbina-Watsona (Test DW): - specjalne tablice z wartościami krytycznymi: d, d l u 1. Statystyka DW<2 a) DW < - odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji i przyjmujemy hipotezę o dodatniej autokorelacji d d l b) < DW < - brak konkluzji l d u d u c) DW > - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji

45 - Test Durbina-Watsona (Test DW): 2. Statystyka DW >2 4 dl a) DW > - odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji i przyjmujemy hipotezę o ujemnej autokorelacji 4 du 4 dl b) < DW < - brak konkluzji 4 du c) DW < - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji

46 - Test Durbina-Watsona (Test DW): t, t - Do badania autokorelacji I rzędu (między ) - Rozkład statystki testowej wyprowadzony dla małych prób 1 - Nie można go stosować w modelach gdzie jedną ze zmiennych objaśniających jest opóźniona zmienna zależna

47

48 - Test Breuscha-Godfreya (Test BG): - Do badania autokorelacji wyższego rzędu - Można go stosować w modelach gdzie występują opóźnione zmienne zależne

49 - Test Breuscha-Godfreya (Test BG): H : Cov( ) 0 0 t, ti gdzie i 1,..., s H :... u 1 t 1 t1 s ts t gdzie 2 Var( u) u I - Hipoteza zerowa: brak autokorelacji - Hipoteza alternatywna: autokorelacja

50

51 Brak autokorelacji błędu losowego kowariancja dwóch różnych błędów losowych jest zerowa: cov( i, j) 0 dla i j

52 Jakie są skutki niespełnienia założenia KMRL estymatory MNK b są nadal nieobciążone i zgodne, ale nieefektywne, co oznacza, że ich błędy standardowe nie są najmniejsze z możliwych. estymator macierzy wariancji-kowariancji b jest już obciążony i niezgodny. Macierz wariancji-kowariancji jest wykorzystywana do testowania hipotez na temat istotności zmiennych, wiec poprawnośd wnioskowania statystycznego jest podważona. estymator s 2 jest obciążony ale zgodny 52

53 W jaki sposób można rozwiązać problemy zasygnalizowane przez wynik testów? Estymator odporny Newey a-westa Stosowalna UMNK - powiemy na dalszych zajęciach 53

54 1. Za pomocą jakiego testu weryfikujemy normalnośd składnika losowego? Jaka jest hipoteza zerowa i alternatywna w tym teście? 2. Za pomocą jakiego testu weryfikujemy prawidłowośd formy funkcyjnej? Jaka jest hipoteza zerowa i alternatywna w tym teście? 3. Za pomocą jakiego testu weryfikujemy stabilnośd parametrów? Jaka jest hipoteza zerowa i alternatywna w tych testach? 4. Za pomocą jakich testów testuje się autokorelację? Jaka jest hipoteza zerowa i alternatywna w tych testach? 5. Za pomocą jakich testów testuje się heteroskedastzcynośd? Jaka jest hipoteza zerowa i alternatywna w tych testach?

55 Dziękuję za uwagę