Wprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.

Transkrypt

1

2 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie

3 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są

4 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są badanie procesu dochodzenia do równowagi długookresowej

5 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są badanie procesu dochodzenia do równowagi długookresowej istnienie takiej równowagi

6 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są badanie procesu dochodzenia do równowagi długookresowej istnienie takiej równowagi szybkość dostosowań w obliczu szoków egzogenicznych

7 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są badanie procesu dochodzenia do równowagi długookresowej istnienie takiej równowagi szybkość dostosowań w obliczu szoków egzogenicznych dodatkowo modele dynamiczne można wykorzystać do

8 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są badanie procesu dochodzenia do równowagi długookresowej istnienie takiej równowagi szybkość dostosowań w obliczu szoków egzogenicznych dodatkowo modele dynamiczne można wykorzystać do budowania prognoz

9 opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są badanie procesu dochodzenia do równowagi długookresowej istnienie takiej równowagi szybkość dostosowań w obliczu szoków egzogenicznych dodatkowo modele dynamiczne można wykorzystać do budowania prognoz objaśniania dynamiki zmiennej zależnej

10 Szereg czasowy - definicja nieformalna Proces stochastyczny jest to zbiór ścieżek możliwych realizacji zmiennej losowej. Każdą pojedynczą ścieżkę nazywamy szeregiem czasowym {y 1, y 2,..., y T }

11 Model DL Specyfikacja modelu Wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną jest rozłożony w czasie

12 Model DL Specyfikacja modelu Wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną jest rozłożony w czasie Budując model zjawiska uwzględnia się nie tylko bieżące wartości zmiennej objaśniającej, ale również jej opóźnione wartości

13 Model DL Specyfikacja modelu Model DL może spełniać założenia KRML

14 Model DL Specyfikacja modelu Model DL może spełniać założenia KRML Model DL ma następującą postać y t = µ + β 0 x t + β 1 x t β p x t p + ε

15 Model DL Specyfikacja modelu Model DL może spełniać założenia KRML Model DL ma następującą postać y t = µ + β 0 x t + β 1 x t β p x t p + ε Jeżeli zmienne objaśniające są nielosowe i składnik losowy modelu nie podlega autokorelacji to model DL spełnia założenia KMRL

16 Specyfikacja modelu Szacowana jest zależność miedzy zmianą stopy bezrobocia (U) a zmianą poziomu cen (inflacja) na podstawie danych miesięcznych dla Polski inflacja t = c + β 0 U t + β 1 U t 1 + β 2 U t 2 +β 3 U t 3 + β 4 U t 4 + ε t

17 Specyfikacja modelu Source SS df MS Number of obs = F( 5, 122) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = inflacja Coef. Std. Err. t P> t stopa L L L L _cons

18 Specyfikacja modelu Parametrów modelu DL nie można interpretować tak jak parametrów modelu regresji, bowiem jednostkowa zmiana wartości zmiennej w kolejnym okresie powoduje zmianę wartości opóźnienia zmiennej

19 Specyfikacja modelu Parametrów modelu DL nie można interpretować tak jak parametrów modelu regresji, bowiem jednostkowa zmiana wartości zmiennej w kolejnym okresie powoduje zmianę wartości opóźnienia zmiennej W związku z tym interpretowany jest rozmiar natychmiastowej reakcji na szok, oraz efekt długookresowy.

20 Mnożnik bezpośredni Specyfikacja modelu Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi E(y t + y) = µ + β 0 (x t + x) + β 1 x t β p x t p

21 Mnożnik bezpośredni Specyfikacja modelu Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi E(y t + y) = µ + β 0 (x t + x) + β 1 x t β p x t p E(y t + y) = µ + β 0 x t + β 1 x t β p x t p + β 0 x

22 Mnożnik bezpośredni Specyfikacja modelu Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi E(y t + y) = µ + β 0 (x t + x) + β 1 x t β p x t p E(y t + y) = µ + β 0 x t + β 1 x t β p x t p + β 0 x E(y t + y) = E(y t ) + β 0 x

23 Mnożnik bezpośredni Specyfikacja modelu Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi E(y t + y) = µ + β 0 (x t + x) + β 1 x t β p x t p E(y t + y) = µ + β 0 x t + β 1 x t β p x t p + β 0 x Zatem mnożnik jest równy E(y t + y) = E(y t ) + β 0 x E( y) x = β 0

24 Mnożnik skumulowany Specyfikacja modelu opisuje reakcję y na zmianę x w τ kolejnych okresach i wynosi E(y t + y) = µ+β 0 (x t + x)+...+β τ (x t τ + x)+...+β p x t p

25 Mnożnik skumulowany Specyfikacja modelu opisuje reakcję y na zmianę x w τ kolejnych okresach i wynosi E(y t + y) = µ+β 0 (x t + x)+...+β τ (x t τ + x)+...+β p x t p τ E(y t + y) = E(y t ) + β i x i=0

26 Mnożnik skumulowany Specyfikacja modelu opisuje reakcję y na zmianę x w τ kolejnych okresach i wynosi E(y t + y) = µ+β 0 (x t + x)+...+β τ (x t τ + x)+...+β p x t p E(y t + y) = E(y t ) + Zatem mnożnik jest równy τ β i x i=0 E( y) x = τ s=0 β s

27 Mnożnik długookresowy Specyfikacja modelu Opisuje reakcję y na zmianę jednostkową wszystkich zmiennych niezależnych x

28 Mnożnik długookresowy Specyfikacja modelu Opisuje reakcję y na zmianę jednostkową wszystkich zmiennych niezależnych x Jest on równy E( y) x = β = s=0 β s

29 Średnie opóźnienie Specyfikacja modelu Opisuje czas, w którym realizuje się połowa efektu trwałej zmiany zmiennej niezależnej x w = s=0 s β s β

30 Przykład Specyfikacja modelu Mnożnik bezpośredni jest równy 4,46. Zatem 1% wzrost stopy bezrobocia powoduje wzrost inflacji o 4,46 punktu procentowego.

31 Przykład Specyfikacja modelu Mnożnik bezpośredni jest równy 4,46. Zatem 1% wzrost stopy bezrobocia powoduje wzrost inflacji o 4,46 punktu procentowego. Mnożnik długookresowy jest równy s=0 β s = 0,62. Efektem długookresowym wzrostu bezrobocia jest spadek inflacji o 0,6 punktu procentowego.

32 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Tak jak w przypadku modelu DL, wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną jest rozłożony w czasie

33 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Tak jak w przypadku modelu DL, wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną jest rozłożony w czasie Budując model zjawiska uwzględnia się nie tylko bieżące wartości zmiennej objaśniającej, ale również jej opóźnione wartości oraz opóźnione wartości zmiennej objaśnianej

34 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL zazwyczaj nie spełnia założeń KRML

35 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL zazwyczaj nie spełnia założeń KRML ma następującą postać y t = α 1 y t 1 + α 2 y t α q y t q + }{{} AR + µ + β 0 x t + β 1 x t β p x t p +ε }{{} DL

36 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Source SS df MS Number of obs = F( 4, 125) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = inflacja Coef. Std. Err. t P> t inflacja L L stopa L _cons

37 Stan równowagi Zgodność estymatorów MNK dla ARDL y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t q )

38 Stan równowagi Zgodność estymatorów MNK dla ARDL y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t q ) x = x t = x t 1 =... = x t p

39 Stan równowagi Zgodność estymatorów MNK dla ARDL y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t q ) x = x t = x t 1 =... = x t p wstawiając y oraz x do postaci modelu ARDL (1 α 1... α q )y = µ + β 0 x + β 1 x β p x

40 Stan równowagi Zgodność estymatorów MNK dla ARDL równowaga zachodzi przy y = µ + βx gdzie µ = β = µ 1 α i βi 1 α i

41 Przykład Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Stopa inflacji w długim okresie dąży do poziomu y = µ + βx = 0, ,960, ,960 x y = x Przy 10 % bezrobociu stopa inflacji wg modelu powinna wynosić 4,125 %.

42 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Równowaga długookresowa ARDL posiada równowagę długookresową, gdy jego część autoregresyjna jest opisana procesem stacjonarnym

43 Mnożnik bezpośredni Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi E(y t + y) = E(y t ) + β 0 x

44 Mnożnik bezpośredni Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi Zatem mnożnik jest równy E(y t + y) = E(y t ) + β 0 x E( y) x = β 0

45 Mnożnik bezpośredni Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Opisuje natychmiastową reakcję modelu na szok i wynosi Zatem mnożnik jest równy E(y t + y) = E(y t ) + β 0 x E( y) x = β 0 Postać mnożnika jest identyczna jak w przypadku modelu DL

46 Mnożnik długookresowy Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Inaczej jest w przypadku mnożnika długookresowego y = µ + x β

47 Mnożnik długookresowy Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Inaczej jest w przypadku mnożnika długookresowego y = µ + x β po dodaniu uzyskujemy y + E( y) = µ + (x + x)β

48 Mnożnik długookresowy Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Inaczej jest w przypadku mnożnika długookresowego y = µ + x β po dodaniu uzyskujemy y + E( y) = µ + (x + x)β odejmując stronami uzyskujemy E( y) = xβ

49 Mnożnik długookresowy Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Inaczej jest w przypadku mnożnika długookresowego y = µ + x β po dodaniu uzyskujemy y + E( y) = µ + (x + x)β odejmując stronami uzyskujemy E( y) = xβ zatem mnożnik długookresowy wynosi β = βi 1 α i

50 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL zmienne objaśniające są losowe, ponieważ dla losowego y t jego opóźnione wartości są losowe

51 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL zmienne objaśniające są losowe, ponieważ dla losowego y t jego opóźnione wartości są losowe do wykazania zgodności niezbędne jest założenie cov(x t, ε t ) = 0

52 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Niech y t = αy t 1 + ε t

53 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Niech y t = αy t 1 + ε t załóżmy, że cov(ε t, ε t 1 ) = ρ, oraz cov(ε t, ε t s ) = 0 s > 1

54 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Niech y t = αy t 1 + ε t załóżmy, że cov(ε t, ε t 1 ) = ρ, oraz cov(ε t, ε t s ) = 0 s > 1 wobec tego y t 1 = αy t 2 + ε t 1

55 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Obliczmy kowariancję y t oraz ε t 1 cov(y t 1, ε t ) = cov(αy t 2 + ε t 1, ε t )

56 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Obliczmy kowariancję y t oraz ε t 1 cov(y t 1, ε t ) = cov(αy t 2 + ε t 1, ε t ) cov(y t 1, ε t ) = α cov(y t 2, ε t ) +cov(ε }{{} t 1, ε t ) = ρ 0

57 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Obliczmy kowariancję y t oraz ε t 1 cov(y t 1, ε t ) = cov(αy t 2 + ε t 1, ε t ) cov(y t 1, ε t ) = α cov(y t 2, ε t ) +cov(ε }{{} t 1, ε t ) = ρ 0 zatem zmienne objaśniające są skorelowane ze składnikiem losowym

58 Zgodność estymatorów MNK dla ARDL Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi