1 Modele ADL - interpretacja współczynników

Transkrypt

1 1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β Pokazać jaki będzie wpływ na y t zmiany x t 1 i x t o jednostkę. Jak nazywany jest współczynnik β τ? 3. Policzyć odchylenie standardowe współczynnika b τ, jeżeli oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji estymatora MNK dla b = [ µ, β 0, β ] 1 ma postać: Var(b) = Σ b = σ µµ σ µ0 σ 00. σ µ1 σ 01 σ Sformułuj prognozę dla y T dla x T i x T 1 5. Policz średnie opóźnienie dla tego modelu ZADANIE 1.2 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + α 1 y t 1 + α 2 y t 2 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest interpretacja współczynnika β 0 2. Dany jest scenariusz bazowy, w którym x t = x t, x t 1 = x t 1, x t 2 = x t 2, y t 2 = y t 2,y t 3 = y t 3 (a) Policzyć, ile wyniesie E(y t ) w scenariuszu bazowym (b) Policzyć, o ile zmieni się E(y t ) w stosunku do scenariusza bazowego, jeśli zamiast x t 1 przyjmiemy x t 1 = x t (c) Policzyć, o ile zmieni się E(y t ) w stosunku do scenariusza bazowego, jeśli przyjmiemy x t 1 = x t 1+ 1, x t = x t Ile wynosi mnożnik długookresowy w tym modelu? 4. Jak wygląda równowaga długookresowa w tym modelu? 5. Przyjmijmy, że β 0 = 0. Jaki dodatkowe ograniczenie musi być prawdziwe, aby x nie był przyczyną w sensie Grangera y? ZADANIE 1.3 Dla modelu ADL postaci dla zależności zmian bezrobocia w/g bael od inflacji dla Polski w latach otrzymaliśmy następujące oszacowanie parametrów 1

2 Source SS df MS Number of obs = F( 3, 34) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE =.9648 bael Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] bael L L inf _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi Przy rozwiazywaniu zadań liczby zaokraglać do setnych 1. policz i zinterpretuj mnożnik bezpośredni 2. policz i zinterpretuj mnożnik długookresowy 3. Jaka będzie wartość oczekiwana bezrobocia jeśli: inflacja będzie stale równa 0% inflacja będzie stale równa 40% Co implikują te wartości w odniesieniu do polityki gospodarczej? 4. co implikuje wynik testu Breuscha-Godfreya jeśli chodzi własności estymatorów w tej regresji? ZADANIE 1.4 Dla danych kwartalnych dla Polski z lat wyestymowano następujący model 4 bael t = µ + α 1 4 bael t 1 + α 1 4 bael t 2 + β 0 pkb t + ε t gdzie pkb t oznacza stopę wzrostu realnego PKB w stosunku do analogicznego kwartału poprzedniego roku a bael t jest stopą bezrobocia według BAEL. 2

3 Source SS df MS Number of obs = F( 3, 30) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = S4.bael Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] bael LS L2S pkb _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi Durbin-Watson d-statistic( 4, 34) = Przy rozwiazywaniu zadań liczby zaokraglać do setnych 1. Za pomocą jakiego testu powinno się przetestować w tym modelu autokorelację, dlaczego jest to ważne i jaki jest wynik tego testu dla α = 0.05? 2. Policz dla jakiej stopy wzrostu PKB oczekiwana stopa bezrobocia utrzymywać się będzie na stałym poziomie. 3. Liczby dotyczące bezrobocia i PKB są następujące: kwartał PKB BAEL Jaka będzie prognoza wysokości bezrobocia w ostatnim kwartale 2003 uzyskana z wyestymowanego modelu? 4. Oszacuj na podstawie rozwiązania długookresowego o ile spadłoby bezrobocie w ciągu 10 lat, gdyby udało się w tym czasie utrzymać stopę wzrostu PKB na poziomie 6.5% 3

4 2 Procesy ARIMA ZADANIE 2.1 Otrzymaliśmy następujące wielkości kryteriów informacyjnych AIC (Akaike) i BIC (Bayesowskie) oraz następujące logarytmy funkcji wiarygodności dla modeli ARMA (2, 2), ARMA (2,1), ARMA (1, 1), ARMA (1,0) dla zmiennej y t. Otrzymaliśmy też funkcje ACF i PACF dla y t. Odpowiedzi na poniższe pytania muszą być szczegółowo uzasadnione! Autocorrelations of y Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands Partial autocorrelations of y Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)] model AIC BIC 2 ln L ARM A (2, 2) ARM A (2, 1) ARM A (1, 1) ARM A (1, 0) Który z modeli powinniśmy wybrać zgodnie z kryterium AIC? 2. Który z modeli powinniśmy wybrać zgodnie z kryterium BIC? 3. Który z modeli powinniśmy wybrać kierując się kształtami funkcji ACF i PACF? 4. Który z modeli powinniśmy wybrać testując od ogólnego do szczegółowego (poziom istotności α = 5%, χ (1) = 3.84, χ (2) = 5.99, χ (3) = 7.81) ZADANIE 2.2 Otrzymano następujące wyniki estymacji modelu ARIM A (p, d, q): y t = y t y t 2 + ǫ t + 0.5ǫ t Podaj wielkość p,q 2. Policzyć prognozę dla y T+1 i y T+2 jeśli y T = 1, y T 1 = 2, e T = Czemu równe jest rozwiązanie długookresowe dla tego modelu? 4

5 4. Do jakiej wartości będą zbiegać prognozy przy wydłużaniu ich horyzontu? ZADANIE 2.3 Otrzymano następujące wyniki estymacji modelu ARIM A (p, d, q): y t = 0.2 y t y t 2 + ǫ t + 0.2ǫ t Podaj wielkość p, d, q 2. Policzyć prognozę dla y T+1 i y T+2 jeśli y T = 2, y T 1 = 1, y t 2 = 2, y t 3 = 1, e T = Czemu równe jest rozwiązanie długookresowe dla y t w tym modelu? 3 Niestacjonarność i kointegracja ZADANIE 3.1 Mamy następujący proces ARIM A (p, d, q): y t = µ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 E(ε) = 0 Var(ε) = σ 2 I 1. Podać wielkość p, d, q 2. Udowodnić, że proces ten jest trendostacjonarny 3. Udowodnić, że y t E(y t ) jest procesem I (0) 4. Jakie jest rozwiązanie długookresowego tego procesu? ZADANIE 3.2 Dany jest proces ADL następującej postaci: y t = µ + αy t 1 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t, E(ε) = 0 Var(ε) = σ 2 I 1. Podać warunek konieczny do tego, aby wpływ ǫ t na y t+s malał z upływem czasu - założyć, że lim s α s y t s = 0. Podpowiedź: Zastanów się jak y t 1 zależy od y t 2, x t 1, x t 2,ε t 1. Podstaw uzyskany wzór do wzoru na y t i zastanów się co uzyskamy powtarzając wielokrotnie tą procedurę. 2. Udowodnić, że przy założeniu, że x t jest deterministyczne i spełniony jest warunek z punktu 1 to y t jest trendostacjonarne 3. Pokazać, że y t E(y t ) jest I (0). 4. Znaleźć wielkość mnożnika bezpośredniego i długookresowego dla zmiennej x t. Jaka jest interpretacja tych mnożników? 5. Jakie warunki musi spełniać ǫ t, aby model ten można było wyestymować za pomocą MNK? 5

6 ZADANIE 3.3 Estymacja modelu AR (2) na pierwszych różnicach dla próby 100 obserwacji dała następujący wynik (w nawiasach błędy standardowe): y t = 0, y t y t 1 + ǫ t (0.12) (0.05) (0.10) 1. Wyjaśnić, dlaczego do zmiennych po prawej stronie równania dodano y t 1 2. Przetestować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę o pierwiastku jednostkowym. Podać postaci hipotezy zerowej i alternatywnej. Wartości krytyczne: test pierwiastka jednostkowego ADF, α = 0.05, 100 obs., bez wyrazu wolnego 1.95, z wyrazem wolnym 2.89, wyrazem wolnym i trendem 4.04 Fuller (1976) 3. Mamy drugą zmienną x t, o której wiemy, że jest I (1). Czy sensowne jest testowanie kointegracji między x t i y t? ZADANIE 3.4 Analizujemy związek między wzrostem realnego spożycia ogółem (spoz_o) i wzrostem pkb (pkb) (dane GUS z lat ) Przeprowadzono następujące regresje spoz_o t na spoz_o t 1, pkb t na pkb t 1. Przeprowadzono dodatkowo regresję spoz_o t na pkb t i uzyskano z niej reszty e t. Następnie przeprowadzono regresję e t na e t 1. Uzyskano następujące wyniki: 6