Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Transkrypt

1 Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek studiów: Finanse i rachunkowość, Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Studia I stopnia/studia II stopnia Opracowała: dr hab. Ewa M. Syczewska, Instytut Ekonometrii, Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH Warszawa, 2011

2 1. W załączonym pliku Excela zawarto dane dotyczące notowań obligacji brytyjskich, amerykańskich, japońskich i niemieckich. Są to notowania dzienne, obejmują 960 obserwacji. Pokażemy na tym przykładzie jak przeprowadzić test Dickeya-Fullera przy użyciu Excela. Należy oszacować regresję przyrostów zmiennej względem zmiennej opóźnionej m y y y u, (1) t t 1 j t j t j 1 I porównać obliczoną wartość statystyki DF s ˆ z wartościami krytycznymi odczytanymi z odpowiednich tablic. Oszacujemy najprostszą wersję regresji, tzn. bez opóźnionych przyrostów zmiennej. Hipoteza zerowa zakłada niestacjonarność badanej zmiennej, Hipoteza alternatywna oznacza, że zmienna jest stacjonarna. Hipotezę zerową odrzucamy, jeśli obliczona wartość statystyki testu ADF jest mniejsza niż wartość krytyczna odczytana z odpowiednich tablic dla przyjętego poziomu istotności i dla liczby obserwacji. Excel w celu przeprowadzenia regresji wymaga umieszczenia obserwacji zmiennych objaśniających w kolejnych sąsiadujących kolumnach, dlatego na podstawie danych dla obligacji tworzymy przyrosty zmiennej oraz wklejamy zmienną opóźnioną. Po wywołaniu Dane Analiza danych Regresja wskazujemy Zakres Y jako kolumnę z przyrostami zmiennej, dla okresów t = 2,3,,T; Zakres X jako kolumnę z wartościami zmiennej opóźnionej (czyli obserwacje zmiennej Y z okresów t=1,2,,t-1). Wartość ilorazu oceny parametru przez błąd szacunku jest właśnie obliczoną wartością statystyki testu Dickeya-Fullera. Statystyka ma bardzo nietypowy rozkład, asymetryczny i przesunięty w stronę wartości ujemnych, dlatego trzeba korzystać z odpowiednich tablic wartości krytycznych. W materiałach załączamy fragment tablic wartości krytycznych z książki Charemzy i Deadmana Nowa ekonometria. Obliczona wartość statystyki dla obligacji brytyjskich jest równa -0,9649, wartość krytyczna odczytana z tablic jest równa -2,02, zatem wartość statystyki testu DF jest większa od wartości krytycznej. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku stacjonarności badanej zmiennej. 2. Powinniśmy przetestować niestacjonarność przyrostów zmiennej. Można to zrobić w tym samym arkuszu Excela. Wygodniej jednak jest przeprowadzić testowanie przy użyciu pakietu ekonometrycznego gretl. W pliku danych greene5_1.gdt, załączonym do instalacji gretl, znajdują się szeregi danych dla zmiennych makroekonomicznych dotyczących gospodarki Stanów Zjednoczonych. Są tu m.in. 2

3 dane o dochodzie do dyspozycji gospodarstw domowych, realdpi, i o konsumpcji zagregowanej tych gospodarstw, realcons. Podświetlamy nazwę zmiennej i wywołujemy test ADF: Następnie trzeba wybrać wersję testu bez stałej, ze stałą, lub ze stałą i trendem. Na ogół najlepiej przyjąć wersję ze stałą, po oszacowaniu regresji sprawdzić istotność stałej zwykłym testem t Studenta. Jeśli jednak na wykresie widać, że zmienna podlega trendowi, prócz poprzedniej wybieramy wersję ze stałą i z trendem. Należy dobrać odpowiednią liczbę opóźnionych przyrostów zmiennej w regresji (1), aby usunąć autokorelację składnika losowego. 3

4 Wybraną liczbę opóźnień wpisujemy w kratce na górze, zaznaczamy że program ma testować istotność opóźnienia od wskazanego maksymalnego rzędu czyli wybrać dla nas najlepszy wariant liczby opóźnień. Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realdpi dla opóźnienia rzędu 10 procesu (1-L)realdpi liczebność próby 193 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(10, 181) = [0.0524] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(1) = asymptotyczna wartość p = 1 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(10, 180) = [0.0499] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_ct(1) = asymptotyczna wartość p = Jak odczytać i zinterpretować wyniki? Statystyka testu tau jest równa 0,668, prawdopodobieństwo jej uzyskania przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej jest równe 4

5 0,97, a więc duże. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy, że zmienna jest niestacjonarna. 3. Teraz powtarzamy tę samą operację dla przyrostów zmiennej jeśli okażą się stacjonarne, będzie to znaczyć że zmienna jest zintegrowana stopnia 1. Ponownie wywołujemy test ADF, tyle że teraz nie ma potrzeby wybierania wersji z trendem, i na dole trzeba zaznaczyć opcję wykorzystaj pierwsze przyrosty zmiennej. Wynik jest następujący: Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu d_realdpi dla opóźnienia rzędu 10 procesu (1-L)d_realdpi liczebność próby 192 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(10, 180) = [0.0038] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(1) = asymptotyczna wartość p = Obliczona wartość statystyki jest mniejsza niż wartość krytyczna. Gretl wyświetla asymptotyczną wartość p czyli asymptotyczny poziom istotności obliczonej wartości statystyki. Prawdopodobieństwo otrzymania wartości statystyki ADF= 2,68 przy założeniu że przyrosty dochodu do dyspozycji są niestacjonarne, jest niewielkie, równe 0,078 (czyli mniejsze niż 0,1). Hipotezę o niestacjonarności przyrostów należy odrzucić. 4. Zbadajmy teraz możliwość występowania relacji kointegrującej dla dwu zmiennych zagregowanej konsumpcji oraz dochodu gospodarstw domowych. Stosujemy metodę Engle a-grangera, tzn. szacujemy regresję konsumpcji względem dochodu, i testujemy, czy reszty są stacjonarne. Hipoteza zerowa zakłada niestacjonarność reszt, co oznacza, że wektor ocen regresji oszacowanej metodą najmniejszych kwadratów, nie jest wektorem kointegrującym badanych zmiennych. Hipoteza alternatywna mówi, że reszty są stacjonarne, co oznacza, że oceny MNK stanowią wektor kointegrujący, czyli są współczynnikami kombinacji liniowej zmiennych, która jest stacjonarna. 5

6 Wybieramy z menu test Engle a-grangera, i zaznaczamy najpierw zmienną, której regresję względem pozostałych szacujemy (tutaj realcons), potem zmienne objaśniające tej regresji (tutaj realdpi). Wybieramy wersję z wyrazem wolnym i liczbę opóźnień regresji ADG dla reszt: 6

7 Wyniki są następujące. Krok 1: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realcons Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realcons dla opóźnienia rzędu 4 procesu (1-L)realcons liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(4, 193) = [0.0000] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(1) = asymptotyczna wartość p = 1 Krok 2: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realdpi Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realdpi dla opóźnienia rzędu 4 procesu (1-L)realdpi liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(4, 193) = [0.3616] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(1) = asymptotyczna wartość p = 1 Krok 3: równanie kointegrujące Równanie kointegrujące - Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1950:1-2000:4 (N = 204) Zmienna zależna: realcons współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const e-08*** realdpi e-25*** Średn.aryt.zm.zależnej Odch.stand.zm.zależnej Suma kwadratów reszt Błąd standardowy reszt Wsp. determ. R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat Logarytm wiarygodności Kryt. inform. Akaike'a Kryt. bayes. Schwarza Kryt. Hannana-Quinna Autokorel.reszt - rho Stat. Durbina-Watsona Krok 4: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej uhat Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu uhat dla opóźnienia rzędu 4 procesu (1-L)uhat 7

8 liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(4, 194) = [0.0058] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(2) = asymptotyczna wartość p = Kointegracja występuje, jeżeli każdy wykorzystywany proces jest I(1), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym nie jest odrzucana oraz proces resztowy(uhat) z równania kointegrującego nie jest zintegrowany I(0), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym jest odrzucana. Mamy tu kolejno: wynik testu ADF dla zmiennej objaśnianej, dla zmiennych objaśniających, a następnie wyniki estymacji regresji w metodzie Engle a-grangera oraz wyniki testu ADF dla reszt. Zinterpretujmy ten ostatni test: obliczona wartość statystyki testu jest równa 0,504, prawdopodobieństwo jej uzyskania przy założeniu niestacjonarności reszt jest równe 0,96, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że reszty są niestacjonarne. Zmienne nie są więc skointegrowane. 5. Dalsze ćwiczenia: proszę przetestować niestacjonarność wybranych zmiennych ekonomicznych lub finansowych, które na s interesują. Proszę w ramach pracy domowej rozwiązać zadania sprawdzające podane w pierwszej części Materiałów dla studenta. 8