W mowie potocznej formu lujemy takie zdania, o których możemy powiedzieć, że sa. du na to, jaka jest aktualna sytuacja w otaczaja

1. WIADOMOŚCI WSTE PNE. 1.1. Rachunek zdań. W mowie potocznej formu lujemy takie zdania, o których możemy powiedzieć, że sa prawdziwe ba dź fa lszywe bez wzgle du na to, jaka jest aktualna sytuacja w otaczaja cym nas świecie. Na przyk lad zdanie: Jeśli dziś jest środa, to jutro be dzie czwartek jest prawdziwe, a zdanie: 3 jest liczba parzysta jest fa lszywe. Natomiast ocena prawdziwości zdania: Matematyka jest latwa zależy już od subiektywnego odczucia osoby je wypowiadaja cej. W dalszym cia gu be da nas interesowa ly zdania pierwszego rodzaju. Przyjmiemy naste ce oznaczenia i definicje. Definicja 1.1.1. Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź orzekaja ca, której można przypisać jedna z dwóch ocen: prawde lub fa lsz. Prawdziwość i fa lszywość nazywamy wartościami logicznymi zdania. Prawde oznaczamy cyfra 1, a fa lsz cyfra 0. Zdania be dziemy oznaczać symbolami p, q, r, s, a wartość logiczna zdania w(p). Wówczas w(p) = 0 oznacza, że zdanie p jest fa lszywe, a w(q) = 1 oznacza, że zdanie q jest prawdziwe. Z danych zdań możemy przy pomocy spójników i, lub, jeśli..., to..., wtedy i tylko wtedy, gdy..., nie tworzyć nowe zdania. Spójniki te nazywamy funktorami zdaniotwórczymi. Funktory zdaniotwórcze oznaczamy naste cymi symbolami i nadajemy im odpowiednio nazwy nie negacja lub alternatywa i koniunkcja jeśli..., to... implikacja wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność Ze spójników i zdań prostych możemy tworzyć zdania z lożone. Na mocy przyje tych poprzednio oznaczeń definicje spójników możemy zapisać przy użyciu naste cej tabelki p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

Zbudowane przy użyciu zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów wyrażenia rachunku zdań nazywamy także formu lami rachunku zdań albo schematami rachunku zdań. Każda formu la staje sie zdaniem, gdy w miejsce wyste cych w niej liter podstawiamy zdania. Wśród wszystkich formu l rachunku zdań szczególnie ważna role pe lnia tautologie. Definicja 1.1.2. Zdanie prawdziwe bez wzg ledu na wartości logiczne zdań sk ladowych nazywamy tautologia. Ważnym zagadnieniem rachunku zdań jest sprawdzenie, czy dana formu la jest tautologia. Najcze ściej stosowana metoda badania wartości logicznej wyrażeń rachunku zdań jest metoda zero-jedynkowa. Polega ona na rozpatrzeniu wszystkich uk ladów wartości logicznych zmiennych zdaniowych wyste cych w danym wyrażeniu. Metode ta zilustrujemy naste cym przyk ladem. Przyk lad 1.1.1. Sprawdzić czy wyrażenie ( p q ) [ (q r ) ( p r ) ] jest tautologia. p q r p q q r p r (q r) (p r) (p q) [(q r) (p r)] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Zadanie 1.1.1. Sprawdzić czy podane zdania sa tautologiami a) p ( q p ) [, b) p ( q r )] [ (p ) ( ) ] q p r, c) p ( p q ), d) ( p q ) p, e) ( p q ) ( p q ), f) ( p q ) ( p q ), g) ( p q ) ( p q ) - prawo de Morgana, 2

h) ( p q ) ( p q ) - prawo de Morgana, i) ( p q ) ( p q ) [, j) p ( q r )] [ (p ) ( ) ] q p r -prawo rozdzielności koniunkcji wzgle dem alternatywy, [ k) p ( q r )] [ (p ) ( ) ] q p r -prawo rozdzielności alternatywy wzgle dem koniunkcji. Interptretacja fizyczna koniunkcji i alternatywy. Niech p, q oznaczja wy la czniki, z których każdy może być w la czony (stan 1) albo wy la czony (stan 0). W stanie 1 wy la cznik przewodzi pra d, natomiast w stanie 0 wy la cznik nie przewodzi pra du. Stan uk ladu utworzonego przez po la czenie szeregowe wy la czników p i q zależy od stanu wy la cznika p i od stanu wy la cznika q tak, jak wartość logiczna koniunkcji p q zależy od wartości logicznych zdań p i q. W zwia zku z tym można powiedzieć, że koniunkcje realizuje po la czenie szeregowe. Podobnie stan uk ladu utworzonego przez po la czenie równoleg le wy la czników p i q zależy od stanu wy la cznika p lub od stanu wy la cznika q tak, jak wartość logiczna alternatywy p q zależy od wartości logicznych zdań p i q. W zwia zku z tym można powiedzieć, że alternatywe realizuje po la czenie równoleg le. Warunek konieczny i dostateczny. Jeżeli ze zdania p wynika zdanie q (p q), to mówimy, że p jest warunkiem dostatecznym (wystarczaja cym) dla q, natomiast q jest warunkiem koniecznym dla p. Przyk lad 1.1.2. Podzielność liczby n przez 4 jest warunkiem dostatecznym podzielności liczby n przez 2. 4 / n 2 / n Podzielność liczby n przez 4 nie jest warunkiem koniecznym podzielności liczby n przez 2, o czym świadczy przyk lad liczby 6, która jest podzielna przez 2, ale nie jest podzielna przez 4. Może sie zdażyć, że warunek konieczny jest jednocześnie warunkiem dostatecznym. Mówimy wówczas, że jest to warunek konieczny i dostateczny. Przyk lad 1.1.3. Podzielność liczby n przez 2 i przez 5 jest warunkiem koniecznym i dostatecznym podzielności liczby n przez 10. ( 2 / n 5 / n ) 10 / n 3

1.2. Rachunek zbiorów. Poje cie zbioru i należenia do zbioru przyjmujemy jako pierwotne i nie wymagaja ce definiowania. Jeżeli element a należy do zbioru A, to piszemy a A, w przeciwnym przypadku, gdy element a nie należy do zbioru A piszemy a A. Definicja 1.2.1. Zbiór, którego wszystkimi elementami sa a 1, a 2,..., a n nazywamy zbiorem skończonym. Zbiór, który posiada tylko jeden element nazywamy zbiorem jednoelementowym. Zbiór, do którego żaden element nie należy nazywamy zbiorem pustym. Zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty nazywamy zbiorem nieskończonym. Niech A i B be da dowolnymi zbiorami. Definicja 1.2.2. Mówimy, że zbiór A jest równy zbiorowi B, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A. Piszemy wtedy A = B. Określimy teraz dzia lania na zbiorach. Definicja 1.2.3. Suma zbiorów A i B nazywamy zbiór z lożony ze wszystkich elementów, które należa do zbioru A lub do zbioru B. a ( A B ) [ (a ) ( ) ] A a B Definicja 1.2.4. Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór z lożony z elementów, które jednocześnie należa do zbioru A i do zbioru B. a ( A B ) [ (a ) ( ) ] A a B Definicja 1.2.5. Różnica zbiorów A i B nazywamy zbiór z lożony z tych elementów, które należa do zbioru A i nie należa do zbioru B. a ( A \ B ) [ (a ) ( ) ] A a B Definicja 1.2.6. Jeżeli każdy element zbioru A należy do zbioru B, to mówimy, że zbiór A zawiera sie w zbiorze B. a ( A B ) [ (a ) ( ) ] A a B 4

Definicja 1.2.7. Zbiory A i B nazywamy roz la cznymi, jeżeli nie maja wspólnego elementu, tzn. A B =. Przypuśćmy teraz, że wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory, w ustalonym zagadnieniu sa podzbiorami jednego zbioru, który oznaczymy przez X. Wtedy dla każdego rozpatrywanego zbioru A mamy: A X. Zbiór X nazywać be dziemy przestrzenia. Definicja 1.2.8. A = X \ A. Dope lnieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbiór [ (x x A ) ( ) ] X x A Przyk lad 1.2.1. Dope lnieniem zbioru liczb ujemnych (do zbioru liczb rzeczywistych) jest zbiór liczb nieujemnych. Każde dzia lanie w rachunku zbiorów ma swój odpowiednik w rachunku zdań i na odwrót. Możemy to ustalić porównuja c określenia odpowiednich dzia lań. Na przyk lad iloczynowi zbiorów odpowiada koniunkcja, gdyż a A B wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem zbioru A i (koniunkcja) jest elementem zbioru B. Fakt ten prowadzi w konsekwencji do wykorzystania praw rachunku zdań przy dowodzeniu praw rachunku zbiorów. Niech dane be da dwa dowolne i niepuste zbiory A i B oraz niech a A i b B. Uporza dkowana pare elementów a i b be dziemy oznaczali (a, b). Definicja 1.2.8. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór uporza dkowanych par (a, b) takich, że a A i b B. A B = {(a, b) : a A b B}. Zadanie 1.2.1. Udowodnić podane równości a) (A B) C = (A C) (B C), b) (A B) C = (A C) (B C), c) (A B) = A B, d) (A B) = A B, e) (A \ B) B =, f) A \ B = A B, g) A \ B = A \ (A B), h) (A \ B) C = (A C) \ B, i) (A B) (A B) = B. Zadanie 1.2.2. Podaj interpretacje geometryczna na p laszczyźnie OXY naste - cych zbiorów a) < 2, 3 > < 1, 5 >, b) N {2}, c) R < 1, >, d) R {π}. 5

1.3. Funkcje zdaniowe. Kwantyfikatory. Definicja 1.3.1. Funkcja zdaniowa z jedna zmienna, określona w dziedzinie D nazywamy takie wyrażenie zawieraja ce ta zmienna, które staje sie zdaniem, gdy na miejsce zmiennej podstawimy dowolny element zbioru D. Przyk lad 1.3.1. x jest liczba pierwsza Powyższa funkcja zdaniowa ze zmienna x określona na zbiorze liczb rzeczywistych, na przyk lad dla x = 2 jest zdaniem prawdziwym, a dla x = 100 jest zdaniem fa lszywym. Przyk lad 1.3.2. Każde równanie oraz każda nierówność sa funkcjami zdaniowymi. Wśród wszystkich elementów a z dziedziny D funkcji zdaniowej ϕ wyróżniamy te, dla których zdanie ϕ(a) jest prawdziwe. O takich elementach mówimy, że spe lniaja funkcja zdaniowa. Definicja 1.3.2. Funkcje zdaniowa nazywamy tożsamościowa, jeżeli spe lnia ja każdy element z jej dziedziny, natomiast nazywamy ja sprzeczna, jeżeli nie spe lnia jej żaden element z dziedziny. Dwie funkcje zdaniowe nazywamy równoważnymi, gdy maja wspólna dziedzine i gdy każdy element, który spe lnia jedna z nich, spe lnia także druga i na odwrót. Jeżeli dla każdego x D funkcja zdaniowa ϕ(x) o dziedzinie D jest zdaniem prawdziwym, to fakt ten zapisujemy w naste cy sposób ϕ(x) x D i odczytujemy: dla każdego x jest ϕ(x). Jeżeli w dziedzinie D istnieje co najmniej jeden element x, dla którego funkcja zdaniowa ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym, to piszemy ϕ(x) x D i odczytujemy: istnieje taki x, że ϕ(x). Definicja 1.3.3. Funktor nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, a funktor - kwantyfikatorem szczegó lowym. 6

Zauważmy, że kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji ϕ(x) [ ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )... ϕ(x n ) ]. x X Natomiast kwantyfikator szczegó lowy jest uogólnieniem alternatywy ϕ(x) [ ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )... ϕ(x n ) ]. x X Podamy teraz kilka tautologii rachunku funkcji zdaniowych. 1. [ϕ(x) ψ(x)] ϕ(x) ψ(x) 2. x X x X x X [ϕ(x) ψ(x)] ϕ(x) ψ(x) 3. x X x X x X [ϕ(x) ψ(x)] ϕ(x) ψ(x) 4. x X x X x X [ϕ(x) ψ(x)] ϕ(x) ψ(x) x X x X x X 5. [ Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów ] ϕ(x) ϕ(x) [ x X x X ] ϕ(x) ϕ(x) x X x X Przyk lad 1.3.1. Rozważmy dwa zdania p = [ ] x 0 x < 0 x X q = x 0 x < 0. x X x X Zauważmy, że w(p) = 1 oraz w(q) = 0. Zatem jedynie zdanie p może wynikać ze zdania q (q p). Niech teraz p = [ ] x 0 x < 0 x X q = x 0 x < 0. x X x X W tym przypadku w(p) = 0 oraz w(q) = 1. p q. Zatem może tylko zachodzić Zadanie 1.3.1. Które z podanych zdań sa prawdziwe, a które fa lszywe. a) sin 2x = 2 sin x cos x, x R b) sin 2x = 2 sin x, x R c) x2 = x, x R d) x2 = x, x R 7

e) x R f) x Ry R g) x Ry R x 0, y < x, y < x. Zadanie 1.3.2. Zbuduj zaprzeczenie podanych zdań. a) cos 2x = cos 2 x sin 2 x, x R b) y < x, x Ry R c) x < y, x Ry R b) x 2 2 0. x R 1.4. Kres górny i dolny zbioru. W tym paragrafie be dziemy rozważać podzbiory przestrzeni liczb rzeczywistych R. Niech Z be dzie dowolnym podzbiorem przestrzeni R. Definicja 1.4.1. Elementem najwie kszym zbioru Z nazywamy te liczbe, która należy do zbioru Z i jest wie ksza od każdego z pozosta lych elementów zbioru Z. max Z = a (a Z x Z ) x a Elementem najniejszym zbioru Z nazywamy te liczbe, która należy do zbioru Z i jest mniejsza od każdego z pozosta lych elementów zbioru Z. min Z = b (b Z x Z ) x b Przyk lad 1.4.1. Elementem najmniejszym zbioru liczb naturalnych jest liczba 1. Zbiór liczb ca lkowitych nie ma elementów najmniejszego i najwie kszego. Niech A =< 2; 4 >. Wtedy max A = 4 oraz min A = 2. Jeżeli A = (2, 4 >, to min A nie istnieje. Definicja 1.4.2. Liczbe a nazywamy ograniczeniem górnym zbioru Z, jeśli x a. x Z 8

Liczbe a nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z, jeśli x a. x Z Przyk lad 1.4.2. Niech dane be da zbiory A = { 2n n+1 : n N} i B = { n 2n 1 : n N}. Wtedy A = {1, 4 3, 3 2, 8 5, 5 3,...}. Zauważmy, że ograniczeniem dolnym zbioru A moga być mie dzy innymi naste ce liczby: -100, -0.5, 0, 1 3. Ponadto B = { 1 3, 1 2, 3 5, 2 3,...}. W tym przypadku ograniczeniem górnym zbioru B sa mie dzy innymi liczby: 1, 3 2, 2, 101. Definicja 1.4.3. Zbiór Z nazywamy ograniczonym od góry, jeżeli istnieje ograniczenie górne zbioru Z. x M M Rx Z Zbiór Z nazywamy ograniczonym od do lu, jeżeli istnieje ograniczenie dolne zbioru Z. x m m Rx Z Zbiór Z nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony od góry i od do lu. przeciwnym przypadku zbiór Z nazywamy nieograniczonym. Przyk lad 1.4.3. Zbiór liczb naturalnych jest ograniczony od do lu i nie jest ograniczony od góry. Zbiór odwrotności liczb naturalnych jest ograniczony od dolu (przez liczbe 0) i od góry (przez liczbe 1). Definicja 1.4.4. Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnych tego zbioru. M = sup Z x Zx M ε>0 x 0 Z x 0 > M ε Kresem dolnym zbioru nazywamy najwie ksze z ograniczeń dolnych tego zbioru. m = inf Z x Zx m ε>0 x 0 Z x 0 < m + ε Zauważmy, że kres górny zbioru jest najmniejsza liczba ograniczaja ca ten zbiór z góry, zaś kres dolny zbioru jest najwie ksza liczba ograniczaja ca ten zbiór z do lu. Ponadto najmniejszy element zbioru (o ile istnieje) jest jednocześnie kresem dolnym tego zbioru, a najwie kszy jego element (o ile istnieje) jest kresem gónym. 9 W

Przyk lad 1.4.4. Rozważmy zbiory A i B z przyk ladu 1.4.2. Mamy sup A = 2, inf A = 1, sup B = 1, inf B = 1 2. Twierdzenie 1.4.1. (Aksjomat cia g lości Dedekinda) Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny. Każdy niepusty zbiór ograniczony z do lu ma kres dolny. Zadanie 1.4.1. Znaleźć kresy podanych zbiorów. A = (, 1 >, B = (2, ), C = {2 n : n N}, D = { n n+1 : n N}, E = { n 1 2n : n N}. Definicja 1.4.5. Otoczeniem punktu x 0 o promieniu δ(δ > 0) nazywamy zbiór Q(x 0, δ) = {x : 0 x x 0 < δ}. Sa siedztwem punktu x 0 o promieniu δ(δ > 0) nazywamy zbiór Z powyższej definicji wynika, że S(x 0, δ) = {x : 0 < x x 0 < δ}. Q(x 0, δ) = (x 0 δ; x 0 + δ) oraz S(x 0, δ) = (x 0 δ; x 0 + δ) \ {x 0 }. Zauwżmy, że w definicji 1.4.5. wykorzystano wartość bezwzgle dna, która w dalszej cze ści wyk ladu be dzie sie cze sto pojawiać. Przypomnimy wie c definicje i pewne w lasności wartości bezwzgle dnej. Definicja 1.4.6. { x, x 0, x = x, x < 0. W laściwości wartości bezwzgle dnej: 1. x 0, 2. x = x, 3. x a a x a x < a; a >, 4. x a (x a x a) x ( ; a > < a; ), 5. x y = x y, 6. x y, dla y 0, 7. x + y x + y (nierówność trójka ta), = x y 10

8. x y x + y, 9. x y x + y, 10. x y x y. Ponadto w dalszym cia gu be dziemy wykorzystywać symbol dużej sigmy Sume n sk ladników zapisujemy krótko w naste cy sposób a 1 + a 2 +... + a n = n a k. Litere k nazywamy wskaźnikiem sumacyjnym, n zaś - górna granica sumowania. Zadanie 1.4.2. Zapisać krótko przy użyciu symbolu dużej sigmy a) sume wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 80, b) sume odwrotności wszystkich liczb naturalnych z przedzia lu (π; 14 >, c) sume kwadratów wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 8, d) sume kwadratów odwrotności wszystkich liczb naturalnych z przedzia lu (0, 2π). Zadanie 1.4.3. Oblicz 4 a) k 2, b) c) d) e) k=0 3 k 3, k=1 3 1 k+1, k=0 5 k=2 4 k=1 k+2 3, k 1 2k. 1.5. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Definicja 1.5.1. Mówimy, że zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B i piszemy A B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnościowa f : A B, która jest odwzorowaniem zbioru A na zbiór B. Zauważmy, że zbiór skończony nie jest równoliczny z żadnym ze swoich podzbiorów. Istnieja zbiory, które sa równoliczne ze swoimi podzbiorami. Na przyk lad zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb nieparzystych lub ze zbiorem liczb podzielnych przez 3. Istotnie w obu tych przypadkach możemy znaleźć różnowartościwa funkcje odwzorowuja ca zbiór liczb naturalnych na jeden 11 k=1

z wymienionych zbiorów. W przypadku zbioru liczb nieparzystych taka funkcja jest f(x) = 2x + 1, x N, zaś w przypadku zbioru liczb podzielnych przez 3 f(x) = 3x, x N. Definicja 1.5.2. Zbiór Z nazywamy zbiorem nieskończonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on równoliczny z pewnym swoim podzbiorem. Na mocy poprzednich rozważań zauważmy, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony. Definicja 1.5.3. Zbiór Z nazywamy zbiorem przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Oczywiście każdy zbiór przeliczalny jest zbiorem nieskończonym. Cze sto mówi sie, że zbiór przeliczalny to zbiór, którego wszystkie elementy można ustawić w cia g nieskończony, przy czym każdy element zbioru wysta pi w tym cia gu tylko raz. Przyk lad 1.5.1. Rozważmy zbiór liczb ca lkowitych. Elementy tego zbioru ustawmy w naste cy cia g 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,.... W cia gu tym każda liczba ca lkowita wysta pi tylko raz. Oznacza to, że zbiór liczb ca lkowitych jest przeliczalny. Definicja 1.5.4. Niepusty zbiór Z, który nie jest ani skończony, ani przeliczalny nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym. 12

2. CIA GI LICZBOWE. Rozdzia l ten rozpoczniemy przypomnieniem podstawowych wiadomości dotycza cych funkcji. Definicja 2.1. Funkcja f : X Y odwzorowuja ca zbiór X w zbiór Y jest to przyporza dkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dok ladnie jedenego elementu ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedzina funkcji, a zbiór Y przeciwdziedzina lub zbiorem wartości. Elementy zbioru X nazywamy argumentami, a elementy zbioru Y - wartościami funkcji. Wykresem funkcji y = f(x) nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, f(x)), x X. Czasami be dziemy stosować naste ce oznaczenie dziedziny funkcji D f. Interesować nas be da przede wszystkim funkcje, których dziedzina i przeciwdziedzina sa podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Takie funkcje nazywamy funkcjami liczbowymi. Przy określaniu tych funkcji niekiedy podajemy tylko przyporza dkowanie nie ustalaja c dziedziny. Obowia zuje wtedy umowa, że za dziedzine należy przyja ć podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, dla którego wzór ustalaja cy przyporza dkowanie ma sens. Tak rozumiana dziedzine nazywamy dziedzina naturalna. Podamy teraz kilka szczególnych w lasności funkcji liczbowych. Definicja 2.2. Funkcje f nazywamy ograniczona z do lu (z góry) na zbiorze A D f, jeżeli zbiór jej wartości jest ograniczony z do lu (z góry), tzn. f(x) ( )m m Rx A Definicja 2.3. Funkcje f nazywamy rosna ca na zbiorze A D f, jeżeli wie kszej wartości argumentu odpowiada wie ksza wartość funkcji, tzn. x 1,x 2 A [ x1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) ] (2.1) Definicja 2.4. Funkcje f nazywamy maleja ca na zbiorze A D f, jeżeli wie kszej wartości argumentu odpowiada mniejsza wartość funkcji, tzn. [ x1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) ] (2.2) x 1,x 2 A Jeżeli w warunku (2.1) os labimy druga nierówność, to funkcje f be dziemy nazywać niemaleja ca. Jeśli zaś os labimy druga nierówność w warunku (2.2), to funkcje be dziemy nazywać nierosna ca. 13

Powiemy, że funkcja f jest monotoniczna, gdy jest rosna ca, maleja ca, nierosna ca lub niemaleja ca. Definicja 2.5. Funkcje f nazywamy parzysta, jeżeli ( x Df f( x) = f(x) ). x D f Definicja 2.6. Funkcje f nazywamy nieparzysta, jeżeli ( x Df f( x) = f(x) ). x D f Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle dem osi OY, a wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgle dem pocza tku uk ladu wspó lrze dnych. Definicja 2.7. Funkcje f nazywamy okresowa, jeżeli T >0x D f [ x + T Df f(x + t) = f(x)]. Liczbe T nazywamy wtedy okresem funkcji f. Zadanie 2.1. Zbadać monotoniczność podanych funkcji na wskazanych zbiorach a) f(x) = 1 x 4, ( ; 0 >; + 1 b) f(x) = x + 1, < 1; ); c) f(x) = 1 1 + x 2, < 0, ); d) f(x) = x2 2x, (, 1 >. Zadanie 2.2. Zbadać, czy podane funkcje sa parzyste, czy nieparzyste a) f(x) = 2 x + 2 x ; b) f(x) = sin x x 3 ; c) f(x) = 2 + x2 x 5 ; d) f(x) = 3 x 3 x. Przypomnimy teraz definicje cia gu liczbowego. Definicja 2.8. Funkcje odwzorowuja ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy cia giem liczbowym. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami cia gu i oznaczamy f(n) = a n. 14

Na mocy tej definicji w lasności funkcji, takie jak monotoniczność i ograniczoność w naturalny sposób można przenieść na cia gi liczbowe. Zadanie 2.3. Zbadać monotoniczność podanych cia gów a) a n = n 1 n ; b) a n = 5 n 3 n ; c) a n = n 2 + 4 n; d) a n = n2 + 1 n 2. Zadanie 2.4. Podaj przyk lad cia gu ograniczonego. Ważna role w zastosowaniach pe lnia cia gi arytmetyczne i geometryczne, znane z kursu matematyki w szkole średniej. Przypomnijmy w tym miejscu kilka podstawowych wiadomości dotycza cych tego zagadnienia. Definicja 2.9. Cia giem arytmetycznym nazywamy cia g, w kórym każdy wyraz, z wyja tkiem pierwszego, różni sie od wyrazu bezpośrednio go poprzedzaja cego o sta la liczbe różna od zera, zwana różnica cia gu r Rn N\{1} a n a n 1 = r Latwo wykazać, że jeżeli r > 0, to cia g jest rosna cy, a gdy r < 0, to cia g jest maleja cy. Ponadto dla cia gu arytmetycznego prawdziwe sa wzory n N\{1} n N\{1} n N\{1} a n = a 1 + (n 1)r, a n = a n 1 + a n+1, 2 S n = a 1 + a 2 +... + a n = a 1 + a n n, S 1 = a 1. 2 Definicja 2.10. Cia giem geometrycznym nazywamy cia g, w kórym stosunek dowolnego wyrazu, z wyja tkiem pierwszego, do wyrazu bezpośrednio go poprzedzaja cego jest sta ly. a n = q a n 1 q Rn N\{1} 15

Liczbe q nazywamy ilorazem cia gu. Dla cia gu geometrycznego prawdziwe sa wzory n N\{1} n N\{1} a n = a 1 q n 1, 1 q n S n = a 1 + a 2 +... + a n = a 1, gdy q 1, 1 q n N\{1} S n = n a 1, gdy q = 1, oraz S 1 = a 1. Ponadto dla cia gu o wyrazach dodatnich mamy n N\{1} a n = a n 1 a n+1. Jeżeli w cia gu geometrycznym o wyrazach dodatnich 0 < q < 1, to cia g ten jest maleja cy, jeśli q > 1, to cia g jest rosna cy. Za lóżmy teraz, że q < 1. Wówczas naste cym wzorem możemy zsumować wszystkie wyrazy cia gu geometrycznego {a n } S = a 1 1 q. Zadanie 2.5. Znaleźć cia g arytmetyczny, którego pierwszy wyraz jest równy 1, a suma pocza tkowych pie ciu wyrazów jest cztery razy mniejsza od sumy naste pnych pie ciu wyrazów. Zadanie 2.6. Sprawdzić, że jeżeli {a n } jest cia giem geometrycznym, to cia g {a n + a n+1 } jest także cia giem geometrycznym. Zadanie 2.7. Obliczyć sume 1 1 2 + 1 2 1 2 2 +.... Zadanie 2.8. Zamienić u lamek 0, 4(12) na u lamek zwyk ly. Zadanie 2.9. Rozwia zać podane równania i nierówności a) 2 x + 2 2x + 2 3x +.. = 1, 16

b) (x + 1) + (x + 1) 2 + (x + 1) 3 +... = x + 3 2, c) 1 + a + a 2 + a 3 +... + a x = (1 + a)(1 + a 2 )(1 + a 4 ), d) (x + 1) + (x + 4) +.. + (x + 28) = 155. 2.1. Granica cia gu. Definicja 2.1.1. Liczbe g nazywamy granica cia gu {a n }, jeżeli prawie wszystkie wyrazy tego cia gu należa do otoczenia liczy g o promieniu ε, tj. lim a n = g n ε>0 δ n>δ a n g < ε. Jeżeli cia g {a n } ma granice to nazywać go be dziemy cia giem zbieżnym. Definicje granicy można również sformu lować w naste pujc y sposób: Liczba g jest granica cia gu, gdy wszystkie jego wyrazy różnia sie od g o dowolnie ma la liczbe dodatnia ε, pocza wszy od pewnego wskaźnika. Ważna jest uwaga, że na ogó l liczba δ, o której mowa w definicji, nie może być ustalona na zawsze, ale zależy od wyboru ε. Ważna role odgrywa przypadek, gdy cia g jest zbieżny do zera. Wówczas mamy lim a n = 0 a n < ε n ε>0 co oznacza, że prawie wszystkie wyrazy cia gu zbieżnego do zera co do wartości bezwzgle dnej sa mniejsze od pewnej ma lej ustalonej liczby dodatniej ε. Twierdzenie 2.1.1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności cia gu {a n } do liczby g jest zbieżność cia gu {a n g} do zera. Dowód. Konieczność warunku wynika bezpośrednio z definicji 2.1.1. granicy cia gu. Aby dowieść dostateczności tego warunku za lóżmy, że cia g α n = a n g jest zbieżny do zera. Mamy wówczas ε>0 δ n>δ δ n>δ α n < ε. Zatem Co kończy dowód. a n g < ε. ε>0 δ n>δ 17

Przyk lad 2.1.1. Rozważmy cia g { n n}. Pokażemy, że jest to cia g zbieżny do 1. Niech wie c a n = n n 1. Korzystaja c ze wzoru Newtona mamy czyli n = ( n n) n = (1 + a n ) n = 1 + na n + n 1 = na n + Niech n 2. Ponieważ a n > 0, wie c ( ) n a 2 n +... + a n 2 n. ( ) n a 2 n +... + a n n 2 czyli n 1 > n(n 1) a 2 n 2 a 2 n < 2 n. Sta d otrzymujemy Zatem a n < n n < 2 n. 2 n. Oznacza to, że dla dowolnie wybranego ε > 0 istnieje taka liczba δ = 2 ε 2, że n>δ Wobec tego możemy twierdzić, że n n 1 < ε. lim n n = 1. n Twierdzenie 2.1.2. Każdy cia g zbieżny jest ograniczony. Dowód. Niech {a n } be dzie cia giem zbieżnym do granicy g. Zatem dla ε = 1 istnieje taka liczba δ, że dla wszystkich n > δ spe lniona jest nierówność a n g < 1. Wobec tego, na mocy nierówności trójka ta mamy a n = a n g + g a n g + g. 18

Sta d wynika, że dla wszystkich n > δ spe lniona jest nierówność a n 1+ g. Dla n δ niech A oznacza najwie ksza z liczb a n. Niech ponadto M = max ( A, 1+ g ). Wtedy dla każdego n N mamy a n M, co oznacza, że cia g {a n } jest ograniczony. Z twierdzenia 2.1.2. wynika, że warunkiem koniecznym zbieżności cia gu liczbowego jest jego ograniczoność. Nie jest to jednak warunek dostateczny, o czym świadczy naste cy przyk lad. Przyk lad 2.1.2. Niech dany be dzie cia g o wyrazie ogólnym a n = ( 1) n. Latwo widać, że cia g ten jest ograniczony, gdyż n N ( 1) n 1. Z drugiej strony wyrazami tego cia gu sa liczby 1 lub 1. Jednakże żadna z nich nie jest jego granica, gdyż istnieja takie otoczenia liczb 1 i 1, w których nie leża prawie wszystkie wyrazy cia gu, np. S(1; 1 2 ), S( 1 : 1 2 ). Liczba różna od 1 i 1 też nie może być granica tego cia gu, bo w jej otoczeniu o dostatecznie ma lym promieniu nie znajduje sie żaden wyraz tego cia gu. Oznacza to, że cia g {( 1) n } nie ma granicy. Z powyższego przyk ladu wynika też, że wśród cia gów liczbowych istnieja takie cia gi, które nie posiadaja granicy. Ponadto możemy również mówić o cia gach rozbieżnych. Definicja 2.1.2. Mówimy, że cia g {a n } jest rozbieżny do plus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy a n > ε. ε δ n>δ Definicja 2.1.3. Mówimy, że cia g {a n } jest rozbieżny do minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy a n < ε. ε δ n>δ Przyk lad 2.1.3. Każdy cia g arytmetyczny o różnicy dodatniej jest rozbieżny do plus nieskończoności. Każdy cia g arytmetyczny o różnicy ujemniej jest rozbieżny do minus nieskończoności. 19

Zadanie 2.1.1. Korzystaja c z definicji granicy cia gu pokazać, że a) lim 2 n n 2 n 1 = 1, b) lim lim n qn = +, q > 1, 1, q = 1, 0, q < 1. 3n 1 n 2n+1 = 3 2, 2.2. Dzia lania arytmetyczne na granicach cia gów. Niech dane be da cia gi liczbowe {a n } i {b n }. Cia gi {a n + b n }, {a n b n }, {a n b n } nazywamy odpowiednio: suma, różnica i iloczynem cia gów {a n } i {b n }. za lożymy dodatkowo, że b n 0, to cia g n N nazywamy ilorazem cia gów {a n } i {b n }. { an b n } Jeżeli Twierdzenie 2.2.1. (o dzia laniach arytmetycznych na granicach cia gów zbieżnych) Jeżeli cia gi {a n } i {b n } sa zbieżne i lim a n = a i lim b n = b, n n to istnieja granice cia gów {a n + b n }, {a n b n }, {a n b n } i 1. lim n + b n ) = a + b, n 2. lim n b n ) = a b, n 3. lim n b n ) = a b, n oraz przy za lożeniu, że 4. lim n a n b n = a b. n N b n 0 i b 0 istnieje granica cia gu { an b n } i Dowód. Niech ε be dzie dowolna liczba dodatnia. Ponieważ lim n a n = a i lim b n = b, to istnieja n takie liczby δ 1 i δ 2, że spe lnione sa naste ce warunki a n a < ε b n b < ε 2 2. n>δ 1 n>δ 2 20

Niech δ = max(δ 1 ; δ 2 ). Wtedy mamy 1. Dla każdego n > δ na mocy nierówności trójka ta (a n + b n ) (a + b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. Oznacza to, że lim n a n + b n = a + b. 2. Dla każdego n > δ na mocy w laściwości 8 wartości bezwzgle dnej (a n b n ) (a b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. Oznacza to, że lim n a n b n = a b. Aby dowieść punktu 3 tego twierdzenia zauważmy, że z za lożenia lim n a n = a na mocy twierdzenia 2.1.2. wynika, że cia g {a n } jest ograniczony, tzn. n>δ M>0n N a n M. Ponadto z za lożenia lim a n = a i lim b n = b wynikaja n n odpowiednio naste ce warunki ε a n a < b n b < ε 2( b +1) 2M. Wobec tego mamy a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a Otrzymaliśmy zatem n>δ M b n b +( b +1) a n a < M ε 2M + ( b +1) ε ε>0 δ n>δ 2( b +1) = ε. a n b n ab < ε. Dowodza c punkt 4 twierdzenia za lóżmy, że b n 0 i lim b n = b 0. n n N Zatem inf b b n = k > 0 oraz ε>0 δ n>δ b n b < kε 2M. 21

Ponadto z za lożenia lim n a n = a mamy oraz Sta d dla n > δ otrzymujemy M>0n N ε>0 δ n>δ a n M a n a < b ε. 2 a n a = a nb b n a = a n(b b n ) + b n (a n a) b n b b n b b n b Zatem mamy co kończy dowód. M k b n b + 1 b a n a < M k kε 2M + 1 b ε b 2 = ε. a n a < ε, b n b ε>0 δ n>δ Czasami spotykamy sie z zagadnieniem obliczenia granicy cia gu w sytuacji, gdy nie można bezpośrednio skorzystać z twierdzenia o dzia laniach arytmetycznych na granicach cia gów zbieżnych. Taki przypadek ma miejsce, gdy jeden z rozważanych cia gów ma granice nieskończona. W obliczaniu takich granic może nam pomóc poniższa tabela. 22

Jeżeli to lim a n = 0, a n > 0 lim n n lim a n = 0, a n < 0 lim n lim a n = ± n lim a n = ± n lim b n = b > 0 n lim a n = ± n lim b n = b < 0 n lim a n = ± n lim b n = 0 n lim a n = lim b n = ± n n n N n N a n < M, lim n b n = 0 a n < M, lim n b n = ± lim a n = lim b n = 0 n n n lim 1 a n = + 1 a n n 1 = a n = 0 lim (a n b n ) = ± n lim (a n b n ) = n lim (a n b n ) = [0 ] =? n lim (a n b n ) = + n lim (a n b n ) = [ ] =? n a lim n bn = [ ] =? n lim (a n b n ) = 0 n lim n lim n a n bn = 0 a n bn = [ ] 0 =? 0 Znak zapytania oznacza, że bez bardziej szczegó lowych informacji o cia gach {a n } i {b n } nic nie można powiedzieć o danych granicach. Symbole z nawiasów kwadratowych: 0,,, 0 0 nazywamy symbolami nieoznaczonymi. 2.3. Twierdzenia o cia gach monotonicznych i ograniczonych. W paragrafie tym podamy pewne twierdzenia, które u latwia nam liczenie granic niektórych cia gów liczbowych. 23

Twierdzenie 2.3.1. Jeżeli cia g jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny. Dowód. Niech cia g {a n } be dzie cia giem niemaleja cym i ograniczonym. Na podstawie aksjomatu cia g lości Dedekinda, zbiór jego wyrazów posiada kres górny a = sup{a n : n N}. Wykażemy, że lim n a n = a. Niech wie c ε be dzie dowolna liczba dodatnia. Z definicji 1.4.4. kresu górnego wynika, że a n a a n0 > a ε. n n 1 n 0 Niech δ = max(n 0, n 1 ). Wtedy z monotoniczności cia gu {a n } mamy Wobec tego co oznacza, że (a n a < a + ε a ε < a n0 a n ). n>δ a ε < a n < a + ε, n>δ a n a < ε. ε>0 δ n>δ W przypadku, gdy cia g {a n } jest nierosna cy dowód przebiega w sposób analogiczny. Twierdzenie 2.3.2. Jeżeli cia g jest monotoniczny i nieograniczony, to jest rozbieżny. Twierdzenie 2.3.3. (o trzech cia gach) Jeżeli cia gi {a n } i {c n } sa zbieżne do tej samej granicy oraz a n b n c n, (2.3.1) n>n 0 n 0 to cia g {b n } jest zbieżny do tej samej granicy, co cia gi {a n } i {c n }. Dowód. Niech ε be dzie dowolna liczba dodatnia i niech Wtedy istnieje liczba δ taka, że lim a n = lim c n = g. n n a n O(g, ε) c n O(g, ε). n>δ 24

Ponieważ cia g {b n } spe lnia nierówność (2.3.1), to n N b n O(g, ε). Twierdzenie 2.3.4. (o dwóch cia gach) Jeżeli cia g {a n } jest rozbieżny do plus nieskończoności i cia g {b n } spe lnia warunek a n b n, n 0 n>n 0 to lim b n = +. n Twierdzenie 2.3.5. (o dwóch cia gach) Jeżeli cia g {a n } jest rozbieżny do minus nieskończoności i cia g {b n } spe lnia warunek a n b n, n 0 n>n 0 to lim b n =. n Zadanie 2.3.1. Cia g {a n } o wyrazach dodatnich jest maleja cy. Co można powiedzieć o zbieżności tego cia gu? Zadanie 2.3.2. Wykazać, że cia g 2n n! jest zbieżny. Zadanie 2.3.3. Wykazać, że jeżeli cia g {a n } jest cia giem ograniczonym, a cia g {b n } jest zbieżny do zera, to cia g {a n b n } ma granice równa 0. Zadanie 2.3.4. Oblicz granice cia gów o naste cych wyrazach ogólnych a n = n 2 n + 3 n + 5 n, b n = n (2 + sin n) n + (2 cos n) n + 3 n, (3 ) n ( 2 ) n, c n = n + dn = n + n 5 7 n5 + n + n + n + 1n n5 + n Zadanie 2.3.5. Oblicz podane granice 2n2 + n ( 1 + 3 + 5 +... + 2n 1 a) lim, i) lim n n n n + 1 ( ( b) lim 9n2 + 1 3n), j) lim 4n2 + 3n + 1 2n), n n ( c) lim n ) 1 4n 2 n, k) lim n n 2 + 4 + 6 +... + 2n, 1 + 1 2 d) lim + 1 4 + 1 8 +.. + ( ) 1 n 2 n n 1 + 1 3 + 1 9 + 1 27 +... + ( ) 1 n. l) lim n 2 n + n +, n ( 1 e) lim n 2n cos n3 3n ) ( 2n, l) lim 6n + 1 n 1 3n sin n! n n 2 + 1 + n + n + 2n + 1. n5 + n ). ) n, 25

2.4. Poje cie podcia gu. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Definicja 2.4.1. Niech dany be dzie cia g liczbowy {a n } = {a 1, a 2, a 3,...} oraz rosna cy cia g liczb naturalnych {n k } = {n 1, n 2, n 3,...}. Cia g {a n } = {a n1, a n2, a n3,...} nazywamy podcia giem cia gu {a n }. Przyk lad 2.4.1. Podcia gami cia gu {a n } sa mie dzy innymi naste ce cia gi {a 2n } = {a 2, a 4, a 6,...}; {a n+6 } = {a 7, a 8, a 9,...}; {a 2n 1 } = {a 1, a 3, a 5,...}; {a 3 n} = {a 3, a 9, a 27,...}. Podamy teraz bez dowodu kilka twierdzeń dotycza cych w lasności podcia gów. Twierdzenie 2.4.1. Jeżeli cia g {a n } jest zbieżny do granicy a, to każdy jego podcia g jest zbieżny do granicy a. Twierdzenie 2.4.2. Jeżeli cia g {a n } jest rozbieżny, to każdy jego podcia g jest też rozbieżny. Z twierdzeń 2.4.1 i 2.4.2 wynika, że odrzucenie dowolnie wielu wyrazów cia gu nie zmienia jego granicy. Również do la cznie do cia gu jednego wyrazu nie zmienia granicy tego cia gu. Jednak do la czenie do danego cia gu nieskończenie wielu wyrazów może spowodować zmiane jego granicy. Ważnym twierdzeniem, które możemy wykorzystać przy liczeniu granic pewnych cia gów jest naste ce twierdzenie Twierdzenie 2.4.3. Każdy cia g ograniczony zawiera podcia g zbieżny. Z tego twierdzenia wynika naste cy wniosek 26

Wniosek 2.4.1. Jeśli wszystkie podcia gi zbieżne danego cia gu ograniczonego maja te sama granice, to dany cia g jest zbieżny do tej granicy. Zauważmy, że wniosek ten można wykorzystać do pokazania, że cia g nie ma granicy. Wystarczy bowiem wybrać z tego cia gu dwa podcia gi zbieżne do dwóch różnych granic. 2.5. Liczba e. Rozważany cia g liczbowy o wyrazie ogólnym a n = n, to wyrazy tego cia gu daja nam symbol nieoznaczony 1. Zauważmy, że korzystaja c z dwumianu Newtona mamy a n = 1 + ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n 2 +... + ( 1 + 1 n) n. Zauważmy, że gdy ( ) n 1 n n n n(n 1) 1 n(n 1)... [n (n 1)] = 1 + 1 + +... + 2! n2 n! = 1 + 1 + 1 ( 1 1 ) +... + 1 ( 1 1 )( 1 2 ) (... 2! n n! n n Sta d otrzymujemy a n+1 = 1+1+ 1 2! ( 1 1 ) +...+ n + 1 1 (n + 1)! Wobec tego mamy a n < a n+1. Oznacza to,. ze cia g rosna cym. Ponadto zauważmy, że a n 2 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n!. 1 n n 1 n 1 n ( 1 1 )( 1 2 ) (... n + 1 n + 1 {( ) n } 1 + 1 n ). 1 n n + 1 ). jest cia giem Korzystaja c z faktu, że otrzymujemy k! 2 k 1 k N a n 2 + 1 2 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 = 2 + 1 2 [ = 2 + 1 ( 1) ] n 1 < 3. 2 27 1 ( ) 1 n 1 2 1 1 2

{( ) n } Oznacza to, że cia g 1 + 1 n jest cia giem ograniczonym od góry. Zatem na mocy twierdzenia 2.3.1 wnioskujemy, że cia g o wyrazie ogólnym ( ) n a n = 1 + 1 n ma granice. Granica tego cia gu jest liczba niewymierna, która oznaczamy przez e. Można wykazać, że e = 2, 718281828459045.... Zadanie 2.5.1. Oblicz granice cia gów o wyrazach ogólnych ( a) lim 1 2 n, d) lim n n) n ( n 2 + 5 b) lim n c) lim n n 2 ( n 3 + 1 2n 3 ) n 2, e) lim n ) n 3, f) lim n ( n + 6 ) n, n ( 2 + n ) n, 3 + n ( n 2 + 7 ) n. n + 1 28

3. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ. W rozdziale tym omówimy podstawowe w lasności funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, które nie by ly wymienione w rozdziale 3. W szkole średniej analizowane by ly takie funkcje elementarne jak funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, funkcje wymierne, pote gowe, wyk ladnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Oczywiście oprócz wymienionych funkcji istnieja inne funkcje elementarne takie jak funkcje cyklometryczne i hiperboliczne, które krótko omówimy w tym rozdziale oraz funkcje nie elementarne. Do najcze ściej spotykanych funkcji nie elementarnych zaliczyć możemy mie dzy innymi 1. funkcje cze ść ca lkowita Ent : R Z dana wzorem..., 2, dla 2 x < 1, 1, dla 1 x < 0, Ent(x) = 0, dla 0 x < 1, 1, dla 1 x < 2, 2, dla 2 x < 3,... ; 2. funkcje signum sgn : R { 1, 0, 1} dana wzorem 1, dla x < 0, sgn(x) = 0, dla x = 0, 1, dla x > 0; 3. funkcje Dirichleta D : R {0, 1} dana wzorem { 0, dla x Q, D(x) = 1, dla x Q. W dalszej cze ści wyk ladu be dziemy cze sto pos lugiwać sie takimi poje ciami jak superpozycja funkcji i funkcja odwrotna, dlatego też w naste pnych paragrafach zdefiniujemy te poje cia. 3.1. Superpozycja funkcji. Niech dane be da dwie funkcje f : X Y oraz g : Z T. Niech ponadto Y Z. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporza dkujemy dok ladnie jeden element z T taki, że z = g(f(x)), to zdefiniujemy w ten sposób funkcje h : X T 29

określona równościa h(x) = g(f(x)) i zwana superpozycja funkcji f i g lub funkcja z lożona. Superpozycje funkcji oznaczamy symbolem g f. Funkcje f nazywamy funkcja wewne trzna, a funkcje g funkcja zewne trzna. Przyk lad 3.1.1. Niech f(x) = tgx i g(x) = x 2. Wówczas f : R \ { π 2 + kπ; k Z} R, g : R R + {0}. Zatem w tym przypadku X = R \ { π 2 + kπ; k Z}, Y = R, Z = R i T = R + {0}. Istnieje zatem g f : R \ { π 2 + kπ, k Z} R + {0}, przy czym g f(x) = g(f(x)) = tg 2 x. Ponadto jeśli zawe zimy przeciwdziedzine funkcji g tak aby T X, to be dziemy mogli określić superpozycje f g(x) = f(g(x)) = tg(x 2 ). Oczywiście f g g f. 3.2. Funkcja odwrotna. Niech dana be dzie funkcja f : X Y i niech A X. Definicja 3.2.1. Funkcje f nazywamy różnowartościowa na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). x 1,x 2 A Przyk lad 3.2.1. Funkcja f(x) = x 3 jest różnowartościowa w ca lej swojej dziedzinie naturalnej. Funkcja f(x) = x 2 nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie naturalnej, bo na przyk lad f( 2) = 4 i f(2) = 4. Jednakże funkcja f(x) = x 2, x (, 0 > jest różnowartościowa. Podobnie funkcja f(x) = x 2, x (0, ) jest różnowartościowa. Definicja 3.2.2. Niech f : X Y be dzie funkcja różnowartościowa. Funkcje f 1 : Y X taka, że f(f 1 (x)) = f 1 (f(x)) = x nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Zauważmy, że tylko funkcje różnowartościowe posiadaja funkcje odwrotne. Funkja odwrotna do danej funkcji ma wykres symetryczny wzgle dem prostej y = x. Przyk lad 3.2.2. Niech dana be dzie funkcja f(x) = x 2 + 2x 1. Funkcja ta nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie naturalnej, a zatem nie istnieje funkcja odwrotna do niej. 30

Jeśli zawe zimy dziedzine tej funkcji tak, aby by la ona różnowartościowa, to be dziemy mogli znaleźć funkcje do niej odwrotna. Zauważmy, że f(x) = (x + 1) 2 2, a zatem możemy dziedzine zawe zić do jednego ze zbiorów (, 1 > lub < 1, ). Rozważmy, wie c funkcje f(x) = x 2 + 2x 1, x < 1, ). Funkcja ta jest różnowartościowa w swojej dziedzinie. Wobec tego istnieje funkcja do niej odwrotna, która możemy znaleźć rozwia zuja c wzgle dem x równanie y = x 2 +2x 1. Korzystajc z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego mamy y = (x + 1) 2 2, a zatem x = y + 2 1. Szukana funkcja jest wie c funkcja f 1 (x) = x + 2 1, której dziedzina jest przeciwdziedzina funkcji f, tj < 2, ). Zadanie 3.3.1. Zawe zić dziedzine podanych funkcji tak, aby by ly one różnowartościowe, a naste pnie znaleźć funkcje odwrotne dla tych funkcji. a) f(x) = x 2 4x + 5, c) f(x) = 2 5 x + 1, b) f(x) = log (x 4) + 6, d) f(x) = 3 2x+3, 3.3. Funkcje cyklometryczne i hiperboliczne. Wiadomo, że funkcje trygonometryczne nie sa różnowartościowe w swoich dziedzinach naturalnych. Jednakże funkcja sinus na przyk lad na zbiorze π 2, π 2 jest różnowartościowa, a zatem na tym zbiorze istnieje funkcja do niej odwrotna. Podobnie inne funkcje trygonometryczne sa różnowartościowe na pewnych przedzia lach. Wobec tego istnieja funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Funkcje te nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub ko lowymi, a ich definicje sa naste ce. Definicja 3.3.1. Funkcje odwrotna do funkcji f(x) = sin x, x π 2, π 2, nazywamy funkcja arcus sinus i piszemy f 1 (x) = arcsin x, f 1 :< 1, 1 > π 2, π 2. Funkcje odwrotna do funkcji f(x) = cos x, x 0, π, nazywamy funkcja arcus cosinus i piszemy f 1 (x) = arccos x, f 1 :< 1, 1 > 0, π. ( ) Funkcje odwrotna do funkcji f(x) = tgx, x π 2, π 2, nazywamy funkcja arcus ( ) tangens i piszemy f 1 (x) = arctgx, f 1 : R π 2, π 2. Funkcje odwrotna do funkcji f(x) = ctgx, x (0, π), nazywamy funkcja arcus cotangens i piszemy f 1 (x) = arcctgx, f 1 : R (0, π). 31

Podamy teraz definicje funkcji hiperbolicznych. Definicja 3.3.2. Funkcje sinus hiperboliczny określamy wzorem sinh x = ex e x, x R. 2 Funkcje cosinus hiperboliczny określamy wzorem cosh x = ex + e x, x R. 2 Funkcje tangens hiperboliczny określamy wzorem tghx = sinh x cosh x = ex e x e x, x R. + e x Funkcje cotangens hiperboliczny określamy wzorem ctghx = cosh x sinh x = ex + e x e x, x R \ {0}. e x 32

3.4. Granica i cia g lość funkcji jednej zmiennej. W paragrafie tym podamy równoważne definicje Heinego i Cauch ego granicy funkcji w laściwej i niew laściwej w punkcie w laściwym oraz niew laściwym. Be - dziemy mówić, że granica jest w laściwa, gdy be dzie ona liczba skończona, a niew laściwa, gdy be dzie równa nieskończoności. Niech funkcja rzeczywista f zmiennej rzeczywistej x be dzie określona w pewnym sa siedztwie S(x 0, δ) punktu x 0. Zak ladamy, że funkcja f w punkcie x 0 może być lub nie być określona. Przypomnimy definicje Heinego zwana inaczej definicja cia gowa, granicy w laściwej funkcji f w punkcie w laściwym x 0. Definicja 3.4.1. Mówimy, że funkcja f ma granice w laściwa g w punkcie w laściwym x 0, jeśli dla każdego cia gu {x n } o wyrazach należa cych do sa siedztwa S(x 0, δ) i zbieżnego do punktu x 0 cia g {f(x n )} jest zbieżny do liczby g. lim f(x) = g {x n } [ ({xn } S(x 0, δ) lim x ) ] n = x 0 lim f(x n) = g n n (3.4.1) Równoważna definicje granicy funkcji poda l inny matematyk Cauchy. Definicje ta czasami nazywa sie definicja epsilonowa. Definicja 3.4.2. Mówimy, że funkcja f ma granice w laściwa g w punkcie w laściwym x 0, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie sa siedztwo S(x 0, δ), że dla każdego x S(x 0, δ) spe lniona jest nierówność f(x) g < ε. lim f(x) = g ε>0 δ>0x D f ( ) 0 < x x 0 < δ f(x) g < ε (3.4.2) Wykażemy teraz, że istotnie obie definicje sa równoważne. Za lóżmy na pocza tku, że zachodzi warunek (3.4.2) istnienia granicy funkcji. Niech cia g {x n } spe lnia warunki (3.4.1). Ponieważ lim x n = x 0, wie n c dla dowolnej liczby δ > 0 istnieje taka liczba k, że 0 < x n x 0 < δ. Zatem z (3.4.2) otrzymujemy n>k f(x n ) g < ε. 33

Oznacza to, że granica funkcji f w punkcie x 0 jest liczba g. Zatem pokazaliśmy, że z definicji Cauchy ego wynika definicja Heinego. Aby wykazać implikacje odwrotna udowodnimy, że negacja warunku (3.4.2) z definicji Cauchy ego implikuje negacje warunku (3.4.1) z definicji Heinego. Negacja warunku (3.4.2) ma postać ε>0δ>0x D f ( ) 0 < x x 0 < δ f(x) g ε. Przyjmuja c zatem δ = 1 n możemy określić cia g {x n} argumentów spe lniaja cych nierówności 0 < x n x 0 < 1 n oraz f(x n) g ε. Cia g {x n } jest wie c cia giem zbieżnym do x 0, ale cia g odpowiadaja cych mu wartości funkcji {f(x n )} nie spe lnia warunku (3.4.1). Zatem skoro z negacji warunku (3.4.2) wynika negacja (3.4.1), to znaczy, że z definicji Heinego wynika definicja Cauchy ego. sin x Przyk lad 3.4.1. Udowodnimy, że jeżeli x jest maira lukowa ka ta, to lim x 0 x = 1. Ponieważ x 0, wie c wystarczy rozważyć funkcje f(x) = sin x x w sa siedztwie o promieniu π 2 punktu 0. Zauważmy ponadto, że funkcja f jest parzysta, gdyż f( x) = sin( x) x = sin x x = sin x x = f(x). Ograniczymy zatem nasze rozważania do prawostronnego sa siedztwa punktu 0. 34

Na rysunku widać, że pole trójka ta OAP jest mniejsze od pola wycinka ko lowego OAP, a to znów jest mniejsze od pola trójka ta OAT, czyli Wobec tego dla 0 < x < π 2 mamy 1 2 r2 sin x < 1 2 r2 < 1 2 r2 tgx. 0 < sin x < x < tgx. Sta d po podzieleniu wszystkich stron tych nierówności przez sin x otrzymujemy a przechodza c do odwrotności mamy 1 < sin x x < 1 cos x, cos x < sin x x < 1. Mnoża c przez 1, a naste pnie dodaja c do wszystkich stron 1 dostajemy 0 < 1 sin x x < 1 cos x. Ponieważ 1 cos x = 2 sin 2 x 2 < 2 sin x 2 < 2x 2 = x, wie c ostatecznie mamy Aby wykazać, że lim sin x x 0 x x 0 < 1 sin x x < x. = 1 zastosujemy definicje Cauchy ego granicy funkcji. Niech wie c ε be dzie dowolna liczba dodatnia. należy udowodnić, że istnieje taka liczba δ iż 0 < x < δ sin x x 1 < ε, co na mocy wcześniejszych rozważań, zachodzi wtedy, gdy x < ε. Zatem liczba δ, której istnienie należa lo wykazać, jest δ = ε. Z wyliczeń zawartych w tym przyk ladzie otrzymujemy bardzo przydatne nierówności 0 < sin x < x < tgx, 0<x< π 2 35

x R sin x x. Podamy teraz definicje cia gowe i epsilonowe granic niew laściwych w punktach w laściwych. Definicja 3.4.3. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice niew laściwa +, jeśli każdemu cia gowi {x n } S(x 0, δ) zbieżnemu do punktu x 0 odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do +. lim f(x) = + {x n } [ ({xn } S(x 0, δ) lim x ) ] n = x 0 lim f(x n) = + n n Definicja 3.4.4. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice niew laściwa, jeśli każdemu cia gowi {x n } S(x 0, δ) zbieżnemu do punktu x 0 odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do. lim f(x) = {x n } [ ({xn } S(x 0, δ) lim x ) ] n = x 0 lim f(x n) = n n Definicja 3.4.5. (Cauchy ego). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice niew laściwa +, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie sa siedztwo S(x 0, δ), że dla każdego x S(x 0, δ) spe lniona jest nierówność f(x) > ε. lim f(x) = + ( ) 0 < x x 0 < δ f(x) > ε ε>0 δ>0x D f Definicja 3.4.6. (Cauchy ego). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice niew laściwa, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie sa siedztwo S(x 0, δ), że dla każdego x S(x 0, δ) spe lniona jest nierówność f(x) < ε. lim f(x) = ( ) 0 < x x 0 < δ f(x) < ε ε>0 δ>0x D f Naste pne definicje określaja poje cie granicy funkcji w nieskończoności. Definicja 3.4.7. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym + granice w laściwa g, jeśli każdemu cia gowi {x n } rozbieżnemu do + odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) zbieżny do g. lim f(x) = g x + {x n } [ ] lim x n = + lim f(x n) = g n n 36

Definicja 3.4.8. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym granice w laściwa g, jeśli każdemu cia gowi {x n } rozbieżnemu do odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) zbieżny do g. lim f(x) = g x {x n } [ ] lim x n = lim f(x n) = g n n Definicja 3.4.9. (Cauchy ego). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym + granice w laściwa g, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x > δ spe lniona jest nierówność f(x) g < ε. lim f(x) = g x + ε>0 δ>0x D f ( ) x > δ f(x) g < ε Definicja 3.4.10. (Cauchy ego). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym granice w laściwa g, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x < δ spe lniona jest nierówność f(x) g < ε. lim f(x) = g x ε>0 δ>0x D f ( ) x < δ f(x) g < ε ( x Przyk lad 3.4.2. Wykażemy, że lim 1 + 1 x + x) = e. Z uwagi na to, że x + możemy za lożyć iż x > 1. Niech n = Entx, wówczas n x < n + 1. Sta d mamy 1 n + 1 < 1 x < 1 n i w konsekwencji ( 1 + 1 ) n ( < 1 + 1 ( n + 1 x )x < 1 + n) 1 n+1. Zauważmy, że ( lim a n = lim 1 + 1 ) n ( = e i lim n n n + 1 b n = lim 1 + 1 n+1 = e. n n n) Wobec tego dla dowolnej lizcby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że n>δ a n e < ε b n e < ε. 37

Zatem dla każdego x takiego, że x Entx = n > δ mamy ( 1 + 1 x )x e < ε. Tym samym wykazaliśmy istnienie liczby δ, która wyste puje w definicji Cauchy ego granicy w punkcie niew laściwym. Zdefinujemy teraz granice niew laściwe funkcji w nieskończonościach. Definicja 3.4.11. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym + granice niew laściwa +, jeśli każdemu cia gowi {x n } rozbieżnemu do + odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do +. [ ] lim f(x) = + lim x n = + lim f(x n) = + x + n n {x n } Definicja 3.4.12. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym granice niew laściwa +, jeśli każdemu cia gowi {x n } rozbieżnemu do odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do +. [ ] lim f(x) = + lim x n = lim f(x n) = + x n n {x n } Definicja 3.4.13. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym + granice niew laściwa, jeśli każdemu cia gowi {x n } rozbieżnemu do + odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do. [ ] lim f(x) = lim x n = + lim f(x n) = x + n n {x n } Definicja 3.4.14. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym granice niew laściwa, jeśli każdemu cia gowi {x n } rozbieżnemu do odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do. [ ] lim f(x) = lim x n = lim f(x n) = x n n {x n } 38

Definicja 3.4.15. (Cauchy ego). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym + granice niew laściwa +, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x > δ spe lniona jest nierówność f(x) > ε. lim f(x) = + ( ) x > δ f(x) > ε x + ε>0 δ>0x D f Definicja 3.4.16. (Cauchy ego). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym granice niew laściwa +, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x < δ spe lniona jest nierówność f(x) > ε. lim f(x) = + ( ) x < δ f(x) > ε x ε>0 δ>0x D f Definicja 3.4.17. (Cauchy ego). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym + granice niew laściwa, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x > δ spe lniona jest nierówność f(x) < ε. lim f(x) = ( ) x > δ f(x) < ε x + ε>0 δ>0x D f Definicja 3.4.18. (Cauchy ego). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie niew laściwym granice niew laściwa, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x < δ spe lniona jest nierówność f(x) < ε. lim f(x) = ( ) x < δ f(x) < ε x ε>0 δ>0x D f Niech teraz funkcja f be dzie określona przynajmniej na lewostronnym sa siedztwie punktu x 0, tj. na zbiorze S (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 ). Zdefinujemy granice lewostronne funkcji f. Definicja 3.4.19. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice lewostronna w laściwa g, jeśli każdemu cia gowi {x n } S (x 0 ) zbieżnemu do x 0 odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) zbieżny do g. lim f(x) = g x x 0 {x n } [ ({xn } S (x 0 ) lim n x n = x 0 ) lim n f(x n) = g Definicja 3.4.20. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice lewostronna niew laściwa +, jeśli każdemu cia gowi {x n } S (x 0 ) zbieżnemu do x 0 odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do +. lim f(x) = + [ ({xn } S (x 0 ) lim x ) ] n = x 0 lim f(x n) = + x x n n 0 {x n } 39 ]

Definicja 3.4.21. (Heinego) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice lewostronna niew laściwa, jeśli każdemu cia gowi {x n } S (x 0 ) zbieżnemu do x 0 odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) rozbieżny do. lim f(x) = [ ({xn } S (x 0 ) lim x ) ] n = x 0 lim f(x n) = x x n n 0 {x n } Definicja 3.4.22. (Cauchy ego). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice lewostronna w laściwa g, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x S (x 0 ) spe lniona jest nierówność f(x) g < ε. lim x x 0 f(x) = g ε>0 δ>0x D f ( ) 0 < x 0 x < δ f(x) g < ε Definicja 3.4.23. (Cauchy ego). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice lewostronna niew laściwa +, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x S (x 0 ) spe lniona jest nierówność f(x) > ε. lim x x 0 f(x) = + ε>0 δ>0x D f ( ) 0 < x 0 x < δ f(x) > ε Definicja 3.4.24. (Cauchy ego). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice lewostronna niew laściwa, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, że dla każdego argumentu x S (x 0 ) spe lniona jest nierówność f(x) < ε. lim x x 0 f(x) = ε>0 δ>0x D f ( ) 0 < x 0 x < δ f(x) < ε Jeśli funkcja f jest określona przynajmniej na prawostronnym sa siedztwie punktu x 0, tj. na zbiorze S + (x 0 ) = (x 0, x 0 + δ), to granice prawostronne funkcji f definiujemy w naste cy sposób. Definicja 3.4.25. (Heinego) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie w laściwym x 0 granice prawostronna w laściwa g, jeśli każdemu cia gowi {x n } S + (x 0 ) zbieżnemu do x 0 odpowiada cia g wartości funkcji f(x n ) zbieżny do g. lim f(x) = g [ ({xn } S + (x 0 ) lim x ) ] n = x 0 lim f(x n) = g x x + n n 0 {x n } 40