Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Transkrypt

1 ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z), dla dowolnych x, y, z X, nazywamy przestrzenia metryczna i oznaczamy symbolem (X, ρ). Funkcje ρ nazywamy metryka w X, elementy zbioru X punktami, a wartość ρ(x, y) odleg lościa mie dzy punktami x, y w przestrzeni metrycznej (X, ρ). Warunek M3 zwie sie nierównościa trójka ta. Jeśli rozważamy przestrzeń metryczna z ustalona jedna metryka ρ, to zamiast pisać (X, ρ), be dziemy po prostu pisać X. Średnica niepustego podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest liczba diam A = sup{ρ(x, y) : x, y X}, jeśli rozważany kres górny istnieje; mówimy wtedy, że zbiór A jest ograniczony. W przeciwnym wypadku piszemy diam A =. Przyk lad 1.1. Przestrzeń dyskretna. W dowolnym zbiorze niepustym X można określić metryke ρ 01 przyjmuja ca wartość 0 na każdej parze punktów równych oraz 1 na pozosta lych parach punktów. Przestrzeń metryczna (X, ρ 01 ) nazywamy przestrzenia dyskretna. Przyk lad 1.2. Przestrzeń unormowana. Przestrzeń unormowana jest to przestrzeń liniowa X (dla prostoty nad R), w której określona jest norma wektorów, tj. funkcja : X [0, ) maja ca naste puja ce w lasności: (1) x = 0 x = 0 (2) αx = α x (3) x + y x + y dla dowolnych wektorów x, y X i skalara α R. Przestrzeń taka oznaczamy symbolem (X, ). Przy pomocy normy określamy latwo metryke ρ w X wzorem ρ(x,y) = x y. 1

2 2 1. POJȨCIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ Przyk ladami najcze ściej spotykanych w matematyce przestrzeni unormowanych sa przestrzenie euklidesowe, przestrzeń Hilberta l 2 lub różnego rodzaju przestrzenie funkcyjne. Niektóre z nich omówione sa poniżej. Przyk lad 1.3. Przestrzeń euklidesowa. Jest to n-wymiarowa przestrzeń unormowana R n z norma euklidesowa dana wzorem x e = n (x i ) 2, gdzie x = (x 1,..., x n ) R n. Wobec tego metryka euklidesowa w R n dana jest wzorem ρ e (x,y) = x y e = n (x i y i ) 2. Zauważmy, że odleg lość euklidesowa dwóch punktów oznacza geometrycznie d lugość odcinka prostoliniowego mie dzy nimi. Przyk lad 1.4. W przestrzeni liniowej R n rozważa sie cze sto dwie inne normy: (1) x s = n x i, (2) x m = max{ x 1,..., x n }, gdzie x = (x 1,...,x n ) R n, prowadza ce odpowiednio do metryk (1) ρ s (x,y) = x y s, (2) ρ m (x,y) = x y m. Obie metryki sa równoważne metryce euklidesowej, o czym be dzie mowa w dalszej cze sci. Ich interpretacja geometryczna jest jasna. Przyk lad 1.5. metryka centrum. W R n określamy odleg lość punktów wzorem { ρ e (x,y) gdy 0,x,y s a wspó lliniowe, ρ c (x,y) = x e + y e w przeciwnym razie. Można podawać wiele interpretacji fizycznych, w których punkty materialne moga sie poruszać wy la cznie po promieniach wychodza cych z centrum 0 i wtedy metryka ρ c w sposób naturalny mierzy odleg lość punktów. Przemawia do wyobraźni przyk lad miasta (lub kopalni), w którym wszystkie ulice (chodniki) schodza sie promieniście do rynku (centralnego szybu). Metryke ρ c nazywa sie czasem metryka centrum lub metryka jeża z kolcami, be da cymi promieniami wychodza cymi z 0.

3 1. POJȨCIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ 3 Przyk lad 1.6. metryka rzeka. Na p laszczyźnie określamy odleg lość punktów x = (x 1, x 2 ),y = (y 1, y 2 ): { ρ e (x,y) gdy x 1 = y 1, ρ r (x,y) = x 2 + x 1 y 1 + y 2 w przeciwnym razie. Taka odleg lość staje sie naturalna w dżungli amazońskiej, gdzie jedynymi doste pnymi szlakami sa proste ścieżki wydeptane przez zwierze ta do rzeki (prosta x 2 = 0) i sama rzeka. Dwie ostatnie metryki okaża sie nierównoważne metryce euklidesowej. Przyk lad 1.7. Na sferze S 2 = {x R 3 : x e = 1 } określamy odleg lość geodezyjna ρ(x,y) jako d lugość nied luższego luku ko la wielkiego od x do y. Przyk lad 1.8. Przestrzeń Hilberta l 2 = { (x 1, x 2,...) R : (x i ) 2 < }. Jest to przestrzeń unormowana z norma x = (x i ) 2, gdzie x = (x 1, x 2,...) l 2. Można ja uważać za nieskończenie wymiarowy odpowiednik przestrzeni euklidesowych. Przyk lad 1.9. Kostka Hilberta Q. Jest to podzbiór przestrzeni l 2 postaci Q = { (x 1, x 2,...) : x i 1 i }, z metryka określona takim samym wzorem, jak w l 2. Przyk lad Przestrzeń B(X, Y ). Jeśli X jest dowolnym zbiorem niepustym, a (Y, ρ) przestrzenia metryczna, to w zbiorze B(X, Y ) wszystkich funkcji f : X Y ograniczonych, to znaczy takich, że diamf(x) <, wprowadzamy metryke ρ sup (f, g) = sup{ρ(f(x), g(x)) : x X} (metryka ta zwana jest metryka zbieżności jednostajnej). W przypadku, gdy Y jest przestrzenia unormowana, z norma, również B(X, Y ) staje sie w naturalny sposób przestrzenia unormowana, można bowiem dodawać funkcje i mnożyc je przez skalary rzeczywiste, a norme

4 4 1. POJȨCIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ funkcji f określa wzór f sup = sup{ f(x) : x X}. Odleg lość funkcji w tej metryce szacuje różnice mie dzy ich wartościami. Przyk lad Przestrzeń C 1. Określamy C 1 = { f : [0, 1] R : f jest cia g la }. Jest to przestrzeń unormowana z norma f 1 = 1 f(x) dx. Odleg lość dwóch 0 funkcji w metryce otrzymanej z tej normy jest polem obszaru pomie dzy ich wykresami. Przyk lad Przestrzeń zmiennych losowych W rachunku prawdobodobieństwa rozważa sie zbiór X zmiennych losowych określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, w której dane jest prawdopodobieństwo P. W X mamy naturalna relacje równoważności: f g P({ x X : f(x) g(x) }) = 0. Relacja ta utożsamia zmienne losowe równe prawie wsze dzie, tzn. równe z prawdopodobieństwem 1. W zbiorze X klas abstrakcji relacji wprowadzamy metryke wzorem: ρ([f], [g]) = sup ɛ>0 P({ x X : f(x) g(x) ɛ }). Odleg lość ta szacuje prawdopodobieństwo zdarzeń, że zmienne losowe f, g różnia sie o pewna wielkość dodatnia.

5 ĆWICZENIA 5 Ćwiczenia (1) Sprawdzić, że normy i metryki opisane przyk ladach w rozdziale 1, rzeczywiście spe lniaja warunki definicji normy i M1 M3 definicji metryki. (2) Sprawdzić, czy nastȩpuj ace funkcje s a metrykami w podanych zbiorach: (a) ρ (p, q) = min(1, ρ(p, q)), gdzie p, q (X, ρ). (b) ˆρ(p, q) = ρ(p,q), gdzie p, q (X, ρ). 1+ρ(p,q) (c) ρ(m, n) = 1 1, m, n N. m n