Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Transkrypt

1 Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej Znaleźć wartości i wektory w lasne niekoniecznie rzeczywiste macierzy A, jeśli A =, A =, A =, A = Wartościa macierzy A nazywamy liczbe λ rzeczywista lub nie, dla której istnieje wektor v taki, że Av = λv, wektor v nazywamy wektorem w lasnym macierzy A Z wyk ladu wiadomo, że wartościami w lasnymi sa pierwiastki równania charakterystycznego: = λ 6 λ = λ8 λ + 6 = λ 5λ + 6 Rozwia zawszy to równanie kwadratowe stwierdzamy, że λ = 5 i = 5 i 9, λ = 5 + i 9 Jeśli v = x y jest wektorem w lasnym odpowiadaja cym 5 i 9, to x = y 5 i 9 x y, zatem spe lniona jest równość x + 6y = 5 i 9x, czyli równość y = i 9 x równość x + 8y = 5 i 9y jest równoważna poprzedniej, do ten uk lad równań ma niezerowe zanie, gdyż 5 i 9 jest wartościa! Jednym z odpowiadaja cych wartości w lasnej λ = 5 i 9 wektorów jest v = i 9 Macierz jest rzeczywista, wie c sprze gaja c wartość i wektor w lasny otrzymujemy druga pare λ = 5 + i 9, v = +i 9 Wartości w lasnych wie cej nie ma, a pozosta le wektory w lasne odpowiadaja ce λ otrzymujemy mnoża c wektor v przez dowolna liczbe zespolona Analogicznie w przypadku λ W przypadku macierzy możemy posta pić tak, jak w przypadku macierzy, ale nie warto Mamy bowiem v = λ v = λ v = =λ λ v = λ v = λ v, zatem λ jest wartościa, a jednym z wektorów w lasnych jej odpowia- daja cych jest v Druga wartościa jest λ Odpowiada jej wektor v Wie cej wartości w lasnych macierz nie ma, bo równanie kwadratowe może mieć co najwyżej dwa pierwiastki Jedynym pierwiastkiem równania = λ 6 λ = λ9 λ + 6 = λ 6λ + = λ jest liczba Wspó lrze dne wektorów w lasnych spe lniaja uk lad równań: x + 6y = λx = x, 6x + 9y = λy = y, czyli równanie x = y Jedyna wartościa jest wie c liczba Odpowiada jej wektor w lasny lub jakikolwiek wektor otrzymany przez pomnożenie wektora

2 przez liczbe Jeśli Av = λv i macierz A ma macierz odwrotna, to v = A Av = A λv = λa v, zatem λ v = A v, a to oznacza, że jeśli v jest wektorem w lasnym macierzy A odpowiadaja cym wartości λ, to jest też wektorem w lasnym macierzy A odpowiadaja cym wartości w lasnej λ Macierz ma wie c jedna wartość,, odpowiadaja jej wektory w lasne postaci x x, x λ = λ Uwaga: wartościami w lasnymi macierzy A n dla n = ±, ±, ±, sa liczby postaci λ n, gdzie λ oznacza wartość macierzy A, czego dowód nie różni od podanego w szczególnych przypadkach w zaniu tego zadania Niech A = Sprawdzić, że wektor w lasnej on odpowiada? w =,, jest wektorem w lasnym macierzy A Jakiej wartości Znaleźć pozosta le wartości i wektory w lasne macierzy A Wykazać, że dla każdego wektora x zachodzi równość A x = x Niech v be dzie wektorem prostopad lym do wektora w Wykazać, że również wektor A v jest prostopad ly do wektora w Znaleźć kosinus ka ta mie dzy wektorami v i A v Sprawdzić, że wektory w, x x w w i w x sa prostopad le oraz że dla każdego wektora x zachodzi równość A x = 6[ x w w + x x w w + w x W końcówce można ewentualnie skorzystać z tego, że A x + x = A x + A x oraz [ x + x w w + x + x [ x + x w w + w x + x = { } { } x w w + x x w w + w x + x w w + x x w w + w x Mamy = =, wie c wektor jest + wektorem w lasnym odpowiadaja cym wartości w lasnej Dla znalezienia pozosta lych wartości w lasnych rozk ladamy na czynniki wielomian charakterystyczny wiedza c już, że jednym z jego pierwiastków jest liczba *Przypominamy, że mnożenie macierzy przez liczbe polega na pomnożeniu każdego jej wyrazu przez te liczbe ; pomnożenie jednego wiersza przez np powoduje pomnożenie wyznacznika przez, jednoczesne pomnożenie dwóch wierszy powoduje pomnożenie wyznacznika przez 9 itd: λ 7 λ λ = λ + λ λ + = λ + λ λ + Wynika sta d, że pozosta lymi wartościami w lasnymi sa liczby + i oraz i Znajdujemy odpowiadaja ce im wektory w lasne zuja c odpowiednie uk lady równań; * 8

3 x + y z = + i x x + y + z = + i y x y + z = + i z oraz x + y z = i x x + y + z = i y x y + z = i z Rozwia żemy pierwszy uk lad Mnożymy drugie równanie przez i dodajemy do trzeciego: y+z = +i y+ +i z tzn i z = i y, wie c y = +i z Mnożymy pierwsze równanie przez i dodajemy do drugiego: x + y = + i x + + i y Z tej równości wynika, że x = + i y Przyjmuja c z = otrzymujemy wektor w lasny +i +i, który odpowiada wartości λ = + i Ponieważ macierz jest rzeczywista, wie c druga pare otrzymujemy tak, jak w poprzednim zadaniu czyli sprze gaja c: wektor i i Niech v = xy z odpowiada wartości w lasnej λ = i Mamy v = x + y + z oraz A v = x+y z x+y+z, zatem A v = x y+z = 9[ x + y z + x + y + z + x y + z = 9[ 4x + 4y + z + 8xy xz 4yz + +x + 4y + 4z 4xy 4xz + 8yz + 4x + y + 4z 4xy + 8xz 4yz = x + y + z = v xy W dalszym cia gu v = Prostopad lość v do w oznacza, że = v w = x + y + z Z kolei z A v w = x+y z + x+y +z + x y + z = x+y +z =, wie c naste pne stwierdzenia zosta lo uzasadnione Mamy w x x w w = w x x w w w = w x x w = Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że wektory w i x sa prostopad le do w x, a sta d wynika prostopad lość wektorów w x i x x w w wektor prostopad ly do wszystkich sk ladników sumy jest prostopad ly do sumy Mamy A w = w oraz 6[ w w w + w w w w + w w = 6 w w w = w w, a to oznacza, że równość, która mieli Państwo uzasadnić nie jest prawdziwa Można ja bez trudu poprawić: A x = 6[ x w w + x x w w + w x = 6[ x w w + x + w x Ta poprawiona równość ma miejsce dla x = w, to już sprawdziliśmy Wystarczy teraz udowodnić ja dla jeszcze dwóch wektorów wzajemnie prostopad lych i prostopad lych do w, bo każdy wektor w przestrzeni można zapisać w postaci sumy trzech wzajemnie prostopad lych wektorów o danych kierunkach Przypadkowo wybrane wektory to v = i v = Sa one prostopad le do w, również wzajemnie prostopad le Mamy A v = = oraz A v = = Mamy dalej w v = i w v = Z tych równości 6 wynika już teza Zauważmy jeszcze, że jeśli wektor x jest prostopad ly do w, to A x x = x x, a ponieważ A x = x, wie c kosinus ka ta mie dzy wektorami x i A x równy jest Zakończyliśmy omawianie zadania Po zakończeniu wypada stwierdzić, że punkt A x jest obrazem punktu x w obrocie o ka t π

4 czyli o 6 wokó l prostej przechodza cej przez punkty,, i,, Niech w = + i Znaleźć w, Argw, w 4 oraz w 6 Rozwia zać w C równanie z + z + z 5 = Mamy w = w w = + i i = i = Wobec tego + i = + i = = cos π 4 + i sin π 4 Sta d w4 = 4 [ cos 4π 4 + i sin 4π 4 = 4 Analogicznie w6 = = 6 [ cos 6π 4 i sin 6π 4 = 8 i = 8i Oczywiście można też skorzystać z tego, że w 6 = w 4 w = 4 i = 4 i = 8i Zajmiemy sie równaniem = z + z + z 5 = z z + z + 5 = z [ z + + 4, zatem pierwiastkami sa liczby, + i, i 4 Rozwia zać równanie x t + xt = e t + e t + 5 cos t Znaleźć wszystkie zania tego równania spe lniaja ce warunek x = Rozwia zanie ogólne równania jednorodnego x t + xt = to ce t Znajdziemy kolejno zania szczególne równań x t + xt = e t, x t + xt = e t x t+xt = 5e it Ponieważ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego λ+ =, wie c istnieje liczba C taka, że funkcja Ce t spe lnia równanie Ce t + Ce t = e t, czyli Ce t = e t Sta d C = Liczba jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wie c znajdziemy zanie równania x t + xt = e t oraz w postaci Cte t Podstawiaja c do równania otrzymujemy po redukcji Ce t = e t, zatem C =, co oznacza, że funkcja te t szczególnym tego równania jest zaniem Ponieważ liczba i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wie c uda sie znaleźć liczbe C, dla której funkcja Ce it jest zaniem równania x t + xt = 5e it Po podstawieniu otrzymujemy C + ie it = 5e it, zatem C = 5 +i = i Oznacza to, że funkcja ie it jest zaniem szczególnym równania x + x = 5e it, zatem Re ie it = =Re icos t+i sin t = cos t+sin t jest zaniem szczególnym równania x +x = =5 cos t Rozwia zaniem ogólnym jest wie c funkcja ce t + e t + te t + cos t + sin t Ponieważ = x = c + +, wie c c = 5 Rozwia zać równanie x t + x t + 5xt = e t[ cost 8t sint + 5t + + 8e t Równaniem charakterystycznym jest = λ + λ + 5 = λ + + 4, zatem pierwiastkami charakterystycznymi sa liczby + i oraz i Znajdziemy kolejno rozwia zania szczególne równań x t + x t + 5xt = 8e t, x t + x t + 5xt = 5t + i x t + x t + 5xt = =e t[ cost 8t sint Rozwia zaniem pierwszego z nich be dzie funkcja postaci Ce t Po podstawieniu otrzymujemy 8Ce t = 8e t, wie c C =, zatem funkcja e t jest zaniem szczególnym tego równania Rozwia zaniem drugiego równania jest funkcja postaci at + b, gdzie a, b sa liczbami Podsta-

5 wiaja c otrzymujemy a + 5at + 5b = 5t + Sta d a = i b = Funkcja t jest zaniem szczególnym tego równania Zamiast równania x t + x t + 5xt = e t[ cost 8t sint rozważymy równanie x t + x t + 5xt = 8te +it Ponieważ liczba + i jest pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego, wie c zanie znajdziemy w postaci at +bte +it Mamy x t + x t + 5xt = [D i[d + ix = D + + id + ix dla każdej funkcji dwukrotnie różniczkowalnej x Mamy [D + + id + i [ at + bte +it = = [D + + i [ at + be +it = [ 4iat + b + a e +it Musi wie c być spe lniona równość [ 4iat + b + a e +it = 8te +it, co oznacza, że a = i, b = Funkcja it + t e +it = e t it + t cost + i sint = = e t[{ t cost + t sint } + i { t sint t cost } jest zaniem równania x t + x t + 5xt = 8te +it = 8te t cost + i8te t sint Jej cze ść rzeczywista jest zaniem równania a urojona równania x t + x t + 5xt = 8te t cost x t + x t + 5xt = 8te t sint Z przeprowadzonych obliczeń możemy też wywnioskować, że [D + + id + i [ bte +it = 4ibe +it = 4be t[ sint + i cost Wobec tego zaniem szczególnym naszego równania jest funkcja e t[ t cost t sint + t e t sint = e t t cost Oczywiście można by lo to zauważyć wcześniej, bez cze ści obliczeń, można też by lo przewidywać zanie w postaci rzeczywistej i sprawdzać kolejno co otrzymamy wstawiaja c po lewej stronie równania kolejno e t t cost, e t t sint, co zakończy loby sie po pierwszej serii rachunków Wiemy, jeśli wierza Państwo w prawdziwość twierdzeń podawanych na wyk ladzie, jak wygla daja zania, zatem znalaz lszy je powo lujemy sie na twierdzenie o jednoznaczności zań i kończymy dzia lalność Na koniec wypada stwierdzić, że zaniem ogólnym równania jest funkcja xt = e t + t + e t cost + c e t cost + c e t sint 9