2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias

Transkrypt

1 Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a ) a + c = a ( + a ) + c = a ( [ + a ) c przed ( ] a + a ) *, gdzie = c na wspólna ========== kreske ====== nawias zwane jest wyróżnikiem wielomianu kwadratowego. Przyk ladowo = ( + ), tu a =, = 4, c = 3. Nie zastosowaliśmy żadnych wzorów widocznych wyżej. Po prostu od razu widzimy, że ( + ) = , wie c wyrażenie to różni sie od wielomianu o. Analogicznie +7+ = ( ) = ( ) = ( ) Z otrzymanego wzoru wynika od razu, że najmniejsza wartościa wyrażenia +7+ = ( + 4) jest licza 4 8 otrzymana dla = 7 4, owiem ( + 4) 7 0, przy czym ta nierówność staje sie równościa jedynie, gdy = 7, o kwadraty 4 licz rzeczywistych różnych od 0 sa dodatnie, a 0 = 0. Jasne jest również, że jeśli = u i ˆ = 7 4 u, to = u 4 8 = ( u) 4 8 = ˆ + 7ˆ +. Innymi s lowy: niezależnie od tego, czy odsuniemy sie of liczy 7 o u w prawo, czy 4 też w lewo, wartość wyrażenia e dzie taka sama. Oznacza to, że prosta = 7 4 jest osia symetrii funkcji Jasne jest, że w laśnie przeprowadzone rozumowanie daje sie zastosować w sytuacji ogólnej. Funkcja a + + z = a[ ( ] + a ) przyjmuje te sama wartość dla = a + u i dla ˆ = a u, co oznacza, że prosta o równaniu = a osia symetrii wykresu tej funkcji kwadratowej. Oczywiście najmniejsza wartościa wyrażenia ( + a ) która otrzymujemy przyjmuja c = a. jest jest licza, Sta d wynika od razu, że jeśli a > 0, to najmniejsza wartościa wyrażenia [ ( ] a + + c = a + a ) jest licza a =. Ponieważ mnożenie przez liczy ujemne zmienia kierunek nierówności, wie c w przypadku a < 0 licza ( ] jest najwie ksza wartościa wyrażenia a + + c = a[ + a ). ( ] Jasne jest również, że wyrażenie a + + c = a[ + a ) jest dodatnie zawsze jeśli a > 0 i < 0, zawsze ujemne, jeśli a < 0 i < 0. W przypadku * Zapisaliśmy wielomian kwadratowy w postaci kanonicznej.

2 = 0 wyrażenie ma ten sam znak we wszystkich punktach z wyja tkiem = a, o w tym jednym punkcie jego wartościa jest licza 0. Jeśli > 0, to w punktach = + a, = a, symetrycznych wzgle dem =, wartościa funkcji jest 0. Jeśli dodatkowo za lożymy, że a > 0, a to e dziemy mogli stwierdzić, że jeśli [ + ( ] a < a, to a + + c = a + a ) < 0, jeśli [ + ( ] a > a, to a + + c = a + a ) > 0. tak: Jest nieomal oczywiste, że w przypadku a < 0 odpowiedni wniosek wygla da jeśli [ + ( a < a, to a + + c = a + jeśli [ + ( a > a, to a + + c = a + a ) a ) ] > 0, ] < 0. Za lóżmy, że a 0 oraz że a + + c = 0. Wtedy dla dowolnej liczy zachodzi równość a + + c = a + + c ( a + + c ) = a( )( + ) + ( ) = = ( ) [ a( + ) + ] = a( ) [ + + a]. Przyjmijmy = a. Wtedy a + + c = a( )( ). Okazuje sie wie c, że znaja c jeden pierwiastek wielomianu kwadratowego możemy natychmiast znaleźć drugi. Otrzymaliśmy też znany wzór + = a, zwany na ogó l wzorem Viète a. Drugi otrzymujemy zaste puja c we wzorze a + + c = a( )( ) zmienna przez licze 0 : c = a( )( ) = a, czyli = c a. Otrzymaliśmy wzory Viète a nie korzystaja c z wzorów na pierwiastki równania kwadratowego a + + c = 0, choć oczywiście mogliśmy ich użyć. Jednak wyprowadzenie, które pokazaliśmy, dzia la również w przypadku równań wyższego stopnia, a wzory na pierwiastki równania trzeciego oraz czwartego stopnia sa na tyle skomplikowane, że praktycznie nie używane. Wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni w ogóle nie ma, udowodniono na prze lomie XVIII i XIX wieku, że nie istnieja wzory na pierwiastki równania stopnia 5 i wyższych. Można ez trudu udowodnić, że liczy, sa pierwiastkami równania kwadratowego a + + c = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy + = a wyżej udowodniliśmy jedynie wynikanie w jedna strone. i = c a Troche zadań do domu i na ćwiczenia Niektórzy studenci moga różnych rzeczy ze szko ly nie pamie tać z różnych przyczyn. Wiele poniższych zadań nie jest przeznaczonych na ćwiczenia. Umieszczone zosta ly po to, y studenci, którzy maja raki wiedzieli z czym musza soie umieć

3 poradzić. Należy próować rozwia zywać zadania w domu, a jeśli sie nie uda pytać na konsultacjach Olicz: a) 4% liczy 58, ) 3 % liczy 30 4, c) 5% liczy 45, d) 04,5% liczy 5 000, e) 0,5% liczy 0, f) a % liczy Bez wykonywania oliczeń wyjaśnić, która z dwu licz jest wie ksza a) czy ) czy c) czy d) 3 7 : ( 5 ) czy 3 7 : ( 5 ) Wykonać oliczenia używaja c jedynie g lowy w lasnej, kartki i o lówka (dwa ostatnie elementy nie sa konieczne, kalkulatory oraz komputery sa chwilowo zakazane) a) , : 7 5 : 0,048 9,8 + 0,65 : 0,75 (,,965) : (, 0,045) ) : 4 0,0035 : 0, (,4 0,5 c) 5 ( 0,0(6) +, ) ) :,(6) 0,75 0,03 : Znaleźć: : a) licze, której 5% wynosi 4, ) licze, której 0,% wynosi 5, c) licze, której 8% wynosi 5, d) licze, której p % wynosi a Jakim procentem liczy a jest licza, gdy: a) a = 4, = ; ) a = 5, = 50 ; c) a = 0,5, = 0, Zmieszano kg stopu o zawartości 5% miedzi i 3 kg stopu o zawartości 40% miedzi. Ile procent miedzi zawiera otrzymany stop? Zmieszano a kg stopu o zawartości p % miedzi i kg stopu o zawartości q % miedzi. Ile procent miedzi zawiera stop? Cene towaru oniżono o p %. Towar ten kosztuje oecnie a z l. Ile kosztowa l ten towar przed oniżka? Cene towaru oniżono najpierw o 0%, a naste pnie nowa cene podwyższono o 0%. Czy końcowa cena jest równa pocza tkowej? 3. 0 Mleko zawiera (wagowo) % śmietany, ze śmietany uzyskuje sie mas lo, którego waga równa jest 3% użytej śmietany. Ile kilogramów mleka trzea zużyć y otrzymać 483 kilogramy mas la? 3. Ile kilogramów wody należy dodać do 5 kilogramów 90 procentowego spirytusu, y otrzymać spirytus 60 procentowy? 3. W sadzie znajduje sie 860 drzew owocowych. Na każde 0 ja loni przypadaja 3 grusze i dwie śliwy. Licza wiśni to 33 3 % liczy ja loni, grusz i śliw razem wzie tych. Ile drzew każdego rodzaju rośnie w tym sadzie? 3

4 3. 3 Oliczyć wartość wyrażenia: +a+a +a a 3. 4 Oliczyć wartość wyrażenia: 3. 5 Uprościć: , jeśli a = 3 ; = 3. (+y) ( y) 4y, jeśli =,7; y = 0,7. a) (a 3 c) 6 ( a c d) 4, ) (y ) ( 3 y 4 z 5 ) 3 : ( 3 yz) 3, c) ( 3a m+n m n c) : (,5a m n ), d) (8 p y n z n ) : ( 4 p y z n 4 ) Uprościć: a),5 [0,6 (3,5 + ) ( + 3)] + [0, ( 3,5) + ], ),4y +,y,6y [0,6y (,4,4y)] (,4y 6y)}, c),6,8y [, (y 0,6) +,4y] (,6 0,)}, d) 3[5y (7 4y)] 8y[3 (7y 5) + (6 y)], e) [4,8 0,6y(,6,4y)],y [3,6,6(0,8,4y) +,4y ], f) 3 [4 (3 3 4 y 3 )] [3 3 ( y)] 4 5 y Wymnożyć i zredukować wszystko, co sie da: a) (3 + ) + 5( ) 3( )( + ), ) 4(m + 3n) + 3(4m n) (m + n)(m n), c) (c + 5d)(c 5d) 6(d 5c) + 3(5c + d), d) [(3 + y) ( + 3y) ] y Uprościć i oliczyć wartość otrzymanego wyrażenia: a) 3(m ) + (m + )(m m + 4) (m + ) 3 dla m = 3, ) (a ) 3 (a + )(a ) + 3(a )(a + a + ) dla a =, 3. 9 Wymnożyć i zredukować wyrazy podone: a) (a 3) 3 (a )(a + 4)(a + ), ) (a 3) 3 (a + 3)(a 3) + (3 a), c) ( )( ) ( ) Dla jakich licz (par licz) prawdziwe sa równości a) + 5 = + 5, ) y = y, c) y = 0, d) + =, e) 3 = 4, f) + + = Uprościć wyrażenia a) + +, gdy < < ), + + +, gdy <,3 c) + +, gdy <. 3. Z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że =. Korzystaja c z tego wzoru uprościć a) +, ) ( 5) +, a c) gdy 0, d)

5 3. 3 Zapisać podane wyrażenia ez symolu wartości ezwzgle dnej a) m ;) m n, gdy m < n ;c) m n, gdy m > n ;d) m, gdy m < a) Jakie wartości przyjmuje wyrażenie? ) Wykazać, że a = maa, a}. c) Wykazać, że ma a, } = (a + + a ). d) Wykazać, że mina, } = (a + a ). Definicja: maa, } oznacza wie ksza z licz a,, jeśli a =, to maa, } = a. Analogicznie mina, } oznacza mniejsza z licz a, Do jakiego przedzia lu liczowego należy, jeśli a) 3 = 3, ) + =, c) 6 = 6, d) ( 4) = 4? 3. 6 Wy la czyć czynnik przed pierwiastek i zredukować a) , ) 0, ,8 7 0, 3, c) , gdy > 0, d) (0, ) ( ) Pomnożyć a) ( 3 + )( 3 ), ) (3 5 6)( 6 5), c) (a )(a + ) Dane sa liczy i y. Znaleźć y, + y, y i y wyniki w postaci a + c, jeśli i przedstawić otrzymane a) = 3 + 3, y = 3 3 ; ) =, y = + ; c) = 5 7, y = 7 ; d) = 3 3, y = Oliczyć a z równań a) (a + 3)(3 3) = ; ) (3 a )( ) = ; c) ( 5)(a + 5) = + 5 ; d) (3 5)(3 + 5) = 4 + a Wykazać, nie używaja c kalkulatora ani komputera, że 3,4 < + 3 < 3, Napisać równanie kwadratowe, którego pierwiastkami sa i, i, i 3, i 3, i +, 5 7 i 5 + 7, i 3, π i, i Rozwia zać równanie kwadratowe sprowadzaja c je trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej = 0, = 0, = = 0, = 0, = 0, = 0, + 3 = 0, = Napisać wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji 5

6 y = wzgle dem: a) osi, ) osi y, c) prostej =, d) prostej y = Napisać wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji y = 4 wzgle dem: a) osi, ) osi y, c) punktu (0, 0), d) prostej y = Jakie należy wykonać przesunie cie wykresu funkcji y =, ay otrzymać wykresy funkcji: a) y = 4, ) y = ( 3), c) y = ( + 3) 6, d) y = ( + ) 6, e) y = + 6, f) y = + 6 8? Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 4, ) y = 5 + 6, c) y = +, d) y =, e) y = 3 + +, f) y = Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 4 + 3, ) y = , c) y = +, d) y = +, e) y = +, f) y = +, g) y = 4 4, h) y =, i) y = + +, j) y = Znaleźć odleg lość punktu (, ) od prostej 3y + 5 = Znaleźć odleg lość prostej y + 7 = 0 od prostej 4 y + 0 = Znaleźć kosinus ka ta ostrego utworzonego przez proste 3y + = 0 i + 3y 5 = Dla jakich m IR równanie ( m) = m+ ma dwa różne rozwia zania rzeczywiste? 3. 4 Dla jakiej liczy rzeczywistej a 0} suma kwadratów pierwiastków równania a ( + a) + = 0 jest wie ksza niż? Niech A e dzie ziorem z lożonym ze wszystkich punktów, których odleg lość od punktu (, 4) jest równa ich odleg lości od prostej y = 4. Wykazać, że A jest wykresem funkcji kwadratowej (paraola ). Znaleźć wierzcho lek i oś symetrii tej paraoli Dane sa równania 4p p = 0 i (k + ) + (k + 8) + = 0. a) Dla jakich p, k te równania maja pierwiastki rzeczywiste? ) Dla jakich p, k suma pierwiastków każdego z tych równań równa jest iloczynowi pierwiastków drugiego równania? 6

7 3. 45 Niech W () = 3 + (m 6) + (m 7). a) Dla jakich m IR pierwiastki wielomianu W tworza cia g arytmetyczny? ) Niech m e dzie najmniejsza z licz spe lniaja cych warunek z punktu a. Rozwia zać równanie; W () = = 3 + przyjmuja c, że to najwie ksza licza ca lkowita Niech W () = m + m m +. a) Dla jakich m IR wielomian W ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest wie ksza od iloczynu? ) Niech m IR e dzie ta wartościa parametru m, dla której spe lniony jest warunek a. Naszkicować wykres funkcji g() = W (), przyjmuja c, że to najwie ksza licza ca lkowita Dane jest równanie ( + m) log ( + 4) + ( m) log ( + 4) + m = 0. Dla jakich licz m IR pierwiastki tego równania sa ujemne? Rozwia zać 4 sin π = Rozwia zać równanie 3 + = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie 3 = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie + 3 = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie + = Rozwia zać równanie = Rozwia zać równanie + + = Rozwia zać równanie + = Rozwia zać równanie + =

8 3. 67 Rozwia zać uk lad uk lad równań Rozwia zać uk lad uk lad równań 3 +y y + 3 +y = 8 8 ; 3 y y 3 y = y = 80; y + y 3 y = 5. y + y = 34 5 ; Rozwia zać uk lad uk lad równań ( ) + y(y + ) y = Rozwia zać uk lady równań 3 a) y = 648; 8 3 y ) = 0y; = 43. = 5y. c) y = y ; 3 = y d) y+ = 7;. y 5 = 3. log ( + y) log e) 3 ( y) = ; logy ( y) = ; y f) =. log y ( + y) = 0. log +log y = ; g) log(+y) + y = 8. log( + y ) = log 3; h) log( + y) log( y) = 3 log. y = 40; i) log y = 4. k) 3 + y = 33; 3 log + log y = + log. 3 l) y = 77; 3 y = 7. log + log 4 y + log 4 z = ; n) log 3 y + log 9 z + log 9 = ; log 4 z + log 6 + log 6 y =. logy log j) y = 8 3 ; y = l) + 7 +y = 457; y = 890. log( y) log log(+y) = ; m) log log 3 log y log 7 =. log4 log o) y = 0; 5y + 4 = 0. 8