Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Transkrypt

1 Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E R + bȩdzie σ-addytywna miara. Niech ponadto S bȩdzie rodzina funkcji prostych w przestrzeni (E, E, λ). Powiemy, że funkcja f : E R jest całkowalna ( f L (E, E, λ) lub krócej f L ), jeśli istnieje cia g ( f n ) S taki, że: I. lim f n (e) = f (e) dla każdego e E II. lim n,m Wówczas określamy E f n f m dλ = 0 ( ɛ n0 n,m>n0 E f dλ = lim E E f n f m dλ < ɛ ) Dla a, b R wprowadzamy nastȩpuja ce oznaczenia: a b = min {a, b} a b = max {a, b} Od tej pory dla wygody pisza c całkȩ f dλ bȩdziemy mieć na myśli całkȩ po całej przestrzeni E f dλ. Dowód poprawności definicji. Zauważmy, że cia g jest faktycznie zbieżny, mamy bowiem f m dλ = ( f n f m ) dλ f n f m dλ z własności 3 całki z funkcji prostej. Zatem jest cia giem Cauchy ego. Pokażemy, że f dλ nie zależy od wyboru cia gu definiuja cego ( f n ). Niech zatem cia gi (g n ) i (h n ) spełniaja warunki I i II z definicji całki. Niech f n = g n h n. Oczywiście lim f n 0. Ponadto ( f n ) spełnia warunek Cauchy ego, gdyż ( f n f m ) dλ = (g n h n g m + h m ) dλ g n g m dλ + h n h m dλ a g n i h n spełniaja warunek Cauchy ego. Wystarczy pokazać, że lim fn dλ = 0, co bȩdzie oznaczało, że lim gn dλ = lim hn dλ. Zdefinujmy K m = sup e E f m (e)

2 Niech φ n A m = { e : f m > 0 } = f n f m K m I Am dla ustalonego m N. Oczywiście φ n K m I Am S. Ponadto lim φ n = f m. Zatem z własności 4 całki z funkcji prostej mamy f m dλ = lim φ n dλ lim sup f n f m dλ < ɛ dla dostatecznie dużych m. Powiemy, że własność W, moga ca przysługiwać zbiorom, zachodzi λ-prawie wszȩdzie, jeżeli zbiór punktów, w których własność W nie zachodzi, jest zbiorem λ-miary 0. Uwaga. Warunek I w definicji całki można osłabić do warunku I : lim f n (e) = f (e) λ-prawie wszȩdzie. w tym sensie, że poszerzenie klasy funkcji moga cych definiować całkȩ z funkcji f nie zmienia klasy L, ani wartości całek. Dowód. Niech B = { e : lim f n (e) = f (e) }. Oczywiście z założenia λ(b ) = 0, zatem B, B E. Pokażemy cia g funkcji prostych, który definiuje f dλ i który zbiega do f już dla wszystkich e E. Wówczas dowód bȩdzie zakończony. Określmy cia g funkcji pomocniczych φ n : R R n gdy x (, n) k φ n (x) = gdy x [ k n, k+) (k n [ n2, n 2 ] N) n gdy x [n, ) Zauważmy, że φ n (x) x < n dla x ( n, n) Zatem lim φ n (x) = x. To zaś pocia ga lim (φ n f )(e) = f (e) i każda z funkcji φ n f ma skończona ilość wartości. Określamy fn = f n I B + φ n ( f ) I B Pokażemy, że f n jest szukanym cia giem definiuja cym f dλ. Po pierwsze jest to cia g funkcji prostych. W tym celu wystarczy wiedzieć, że każda z funkcji φ n ( f ) I B jest prosta i skorzystać ze stwierdzenia 20.5 ). Niech α,..., α k bȩda wszystkimi wartościami funkcji φ n ( f ) i niech A i = {e : φ n ( f )(e) = α i }. Wówczas: φ n ( f ) I B = ( k ) α i I Ai IB = i= k α i I Ai B i= zaś zbiory A i B, jako podzbiory zbioru miary 0, maja miarȩ 0. 2

3 Po drugie łatwo widzieć, że f n f dla wszystkich e E. Mamy przecież f n B f n, a dla e B mamy f n f. Z drugiej strony f n B φ n ( f ) f. Dalej mamy fn dλ = f dλ ponieważ fn dλ = ( fn I B + φ n ( f ) I B ) dλ = ( fn ( I B ) + φ n ( f ) I B ) dλ = = + (φn ( f ) f n ) IB dλ zaś (φ n ( f ) f n ) I B dλ ( max e E φ n ( f ) f n ) λ(b ) = 0 Analogicznie pokazujemy, że f n f m dλ = f n f m dλ, co prowadzi do wniosku, że cia g f n jest cia giem Cauchy ego. Wniosek. Jeśli f, g L sa sobie równe prawie wszȩdzie, to f dλ = gdλ. Faktycznie cia g ( f n ) definiuja cy f dλ w myśl I definiuje również gdλ. Podamy teraz najważniejsze własności całki wzglȩdem λ-miary. Twierdzenie 20.2 (o własnościach całki). Niech L bȩdzie klasa funkcji całkowalnych w przestrzeni (E, E, λ). Wówczas zachodza nastȩpuja ce własności: 0. Jeśli f jest funkcja prosta, to f L i f dλ jest równa całce z funkcji prostej, zdefiniowanej w pierwszej czȩści wykładu.. Jeśli f, g L i a, b R, to α f + βg L i ( α f + β g ) dλ = α f dλ + β gdλ 2a. Jeśli f L i f 0, to f dλ 0. 2b. Jeśli f, g L i f g, to f dλ f dλ. 3. Jeśli f L to f L i f dλ f dλ. 4. Niech f L i niech g bȩdzie przeksztaceniem mierzalnym, przy czym g f. Wówczas h L. 5. (Twierdzenia Lebesgue a o monotonicznym całkowaniu). Niech ( f n L, n =, 2... bȩdzie cia giem funkcji całkowalnych ( f 0 f... f n... ) i niech lim f n = f. Wówczas f L wtedy i tylko wtedy, gdy cia g ( ) jest ograniczony. 3

4 6. (Lemat Fatou.) Niech ( f n ) L, n = 0,,... bȩdzie cia giem funkcji całkowalnych i niech f n f 0. Wówczas lim inf lim inf 7. (Twierdzenie Lebesgue a o ograniczonym całkowaniu.) Niech ( f n L, n =, 2...) bȩdzie cia giem funkcji całkowalnych i niech f, h L. Niech f n h i lim f n = f. Wówczas = f dλ. Dowód. lim Własność 0. Cia g stały f n f definiuje f dλ. Własność. Niech f n, g n bȩda cia gami definiuja cymi kolejno f dλ i gdλ. Wówczas cia g α f n + βg n definiuje (α f + βg) dλ. Rzeczywiście warunek I jest spełniony w sposób oczywisty, a kombinacja liniowa cia gów Cauchy ego jest cia giem Cauchy ego. Ponadto jest to cia g funkcji prostych (stwierdzenie 20.5 )). Własność 2a. Niech ( f n ) bȩdzie cia giem funkcji prostych definiuja cym f dλ. Pokażemy, że cia g ( f n 0) również definiuje f dλ. Zauważmy, że f n 0 = f n + f n 2 zatem jest to cia g funkcji prostych zbieżny do f (oczywiście f n f ). Aby pokazać, że jest to cia g spełniaja cy warunek Cauchy ego, wystarczy pokazać, że ciag f n spełnia ten warunek. Ale fn f m fn f m i sa to cia gi funkcji prostych, zatem ze stwierdzenia ) otrzymujemy fn f m dλ f n f m dλ a wiȩc cia g f n spełnia warunek II. Pozostaje zauważyć, że skoro ( f n 0) 0, to ponownie ze stwierdzenia ) jest ( f n 0)dλ 0 i nierówność zachowuje siȩ w granicy. Własność 2b. Wynika z własności 2a przez rozpatrzenie funkcji h n = f n g n. Własność 3. Z dowodu własności 2a wynika, że cia g f n jest definiuja cy dla f dλ. Ponadto ze stwierdzenia ) otrzymujemy f n dλ. Nierówność zachowuje siȩ przy przejściu do granicy. Własność 4. Definiujemy funkcjȩ h : E R { g gdy f 0 f h = 0 gdy f = 0 Funkcja h jest mierzalna. Przekonujemy siȩ o tym rozpatruja c funkcjȩ φ : R R { gdy x 0 φ = x 0 gdy x = 0 4

5 i zauważaja c, że h = g φ( f ). Funkcja φ jest borelowska, wiȩc możemy skorzystać ze stwierdzenia Niech f n bȩdzie cia giem definiuja cym f dλ. Niech ponadto h n = φ n (h), gdzie φ n jest cia giem funkcji zdefiniowanych w dowodzie poprawności warunku I definicji całki. Oczywiście h n h. Pokażemy, że h n f n jest definiuja cy dla h f dλ = gdλ. Mamy h n f n h f, zatem wystarczy pokazać, że spełniony jest warunek Cauchy ego. Cia g h n jest cia giem Cauchy ego. Aby siȩ o tym przekonać zauważamy, że h n h <, n gdyż φ n (h) h < dla h < n, a przecież h <. Zatem n h n h m h n h + h h m < n + m Cia g f n definiuje f dλ. Wprowadzamy oznaczenie C = f dλ. Pamiȩtaja c, że cia g f n spełnia warunek Cauchy ego i h n widzimy, że dla dowolnego ɛ da siȩ wybrać n 0 N tak duże, że dla n, m > n 0 spełnione sa nierówności: h n h m < ɛ, 2(C+) fn dλ < C +, f n f m < ɛ. Wówczas 2 f n h n f m h m dλ f n h n f n h m dλ + f n h m f m h m dλ f n h n h m dλ + f n f m dλ ɛ 2(C + ) f n dλ + ɛ 2 ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ W zbiorze funkcji całkowalnych możemy wprowadzić quasi-metrykȩ zadana wzorem ρ( f, g) = f g dλ. Faktycznie natychmiast sprawdzamy, że ρ( f, g) ρ( f, h)+ρ(h, g) i ρ( f, g) = ρ(g, f ) dla f, g, h L. Mamy też ρ( f, f ) = 0, i chociaż z tego, że ρ( f, g) = 0 nie wynika, że f = g, jednak wynika jasno, że f = g λ-prawie wszȩdzie. Jeśli wprowadzimy na zbiorze wszystkich funkcji całkowalnych relacjȩ równoważności taka, że f g wtedy i tylko wtedy, gdy f = g λ-prawie wszȩdzie, to rozpatrywana quasi-metryka staje siȩ metryka na zbiorze klas abstrakcji tej relacji. Łatwo udowodnimy nastȩpuja cy Lemat 2.3. Funkcje proste sa gȩste w L z rozpatrywana quasi-metryka, to znaczy: dla każdego ɛ > 0 i dla każdej funkcji f L istnieje funkcja prosta φ : E R taka, że ρ( f, φ) = f φ dλ ɛ Dowód lematu 2.3. Niech ( f n ) bȩdzie cia giem definiuja cym f dλ. Niech n 0 N bȩdzie tak duże, że dla n n 0 zachodzi f n0 f n dλ < ɛ. Wzoruja c siȩ na dowodzie własności 3 Czytelnik bez trudu pokaże, że cia g f n0 f n definuje f n0 f dλ. Zatem f n0 f dλ = lim f n0 f n dλ ɛ 5

6 Lemat 2.4 (nierówność Markowa). Jeśli f L i f 0, to λ ( { e E : f (e) ɛ } ) f dλ ɛ Dowód lematu 2.4. Zauważmy, że ɛ I { e E: f (e) ɛ } f. Zatem ɛ I {e E: f (e) ɛ } dλ = ɛ λ ( {e E : f (e) ɛ} ) f dλ. Przystȩpujemy do dowodu twierdzenia Lebesgue a. Własność 5. ( ) Skoro rozpatrywany cia g funkcji ( f n ) jest rosna cy, to cia g całek jest także rosna cy (własność 2b), zatem lim = f dλ R co dowodzi jego ograniczoności. ( ) Z lematu 2.3 dla każdej funkcji f n istnieje funkcja prosta φ n taka, że f n φ n dλ < n 4 Pokażemy, że cia g φ n jest definiuja cy dla f dλ. Cia g jest zbieżny, gdyż jest to rosna cy cia g ograniczony. Zatem spełnia on liczbowy warunek Cauchy ego. Niech n 0 N bȩdzie tak duże, że dla n, m > n 0 jest ( f n f m ) dλ = f m dλ < ɛ. Pamiȩtaja c o tym, że ( f n ) jest rosna cym cia giem funkcji otrzymamy f n f m dλ = ( f n m f n m ) dλ < ɛ dla dostatecznie dużych n, m N, co pokazuje, że cia g ( f n ) spełnia również całkowy warunek Cauchy ego. Pokażemy, że cia g (φ n ) spełnia całkowy warunek Cauchy ego. Weźmy ɛ > 0. Niech n 0 bȩdzie tak duże, że dla n, m > n 0 zachodzi < ɛ oraz n fn f m dλ < ɛ. Z nierówności trójka ta 3 φ n φ m dλ φ n f n dλ + f n f m dλ + f m φ m dλ n + ɛ < ɛ m 4 dla n, m > n 0. Pozostaje wykazać, że φ n f λ-prawie wszȩdzie. Określmy zbiory A = {e E : f n φ n > n } 2 k= n k 6

7 A k = {e E : f n φ n > n } 2 Nietrudno zauważyć, że A A k dla wszystkich k N. Mamy λ(a) λ(a k ) = λ ( {e E : f n φ n > n } ) = 2 fn φ n dλ n 2 n 2 n 4 = λ ( {e E : f n φ n > n 2 } ) n 2 k 0. bo szereg odwrotności kwadratów jest zbieżny, wiȩc jego reszty zbiegaja do 0. Skorzystaliśmy tu z nierówności Markowa. Udowodniliśmy niniejszym, że λ(a) = 0. Pokażemy, że φ n f dla e A, co zakończy dowód. Niech zatem e A. Wówczas (z definicji zbioru A) mamy, że φ n (e) f n (e) > n 2 tylko dla skończenie wielu n N. Zatem istnieje n 0 N takie, że φ n (e) f n (e) n 2 dla wszystkich n > n 0. Istnieje n takie że dla n > n jest φ n (e) f n ɛ 2 i ponadto f (e) φ n(e) < ɛ 2, jako, że f n f. Zatem dla n > n mamy f (e) φ n (e) f (e) f n (e) + f n (e) φ n (e) ɛ 2 + ɛ 2 a wiȩc φ n (e) f n (e) dla e A, czyli poza zbiorem miary 0. Pokazaliśmy, że cia g φ n definiuje f dλ. Łatwo wówczas zauważyć, że f dλ = lim φ n dλ = lim (φ n f n ) dλ + lim bo (φ n f n )dλ φ n f n dλ < n 4 n 0. = lim, Uwaga. Udowodniliśmy twierdzenie Lebesgue a zakładaja c, że granica f (e) = lim f n (e) jest dla każdego e E skończona ( f : E R). Możemy jednak nie zakładać skończoności granicy f. Udowodnimy nastȩpuja cy fakt, pozwalaja cy osłabić założenia twierdzenia Lebesgue a Fakt 2.5. Niech ( f n ) bȩdzie rosna cym cia giem funkcji całkowalnych ( f 0 f... f n..., ( f n ) L ). Niech A = { e E : lim f n (e) = }. Jeśli cia g jest ograniczony, to λ(a) = 0, czyli lim f n < λ-prawie wszȩdzie. Dowód. Niech f = lim f n, f : E R. Mamy f f 0 0. Zauważmy, że f f 0 M I A dla dowolnego M R. Rozpatrzmy cia g ( f n f 0 ) M I A. Jest to oczywiście cia g rosna cy i lim ( f n f 0 ) M I A = ( f f 0 ) M I A = M I A Ponieważ funkcja MI A jest w każdym punkcie skończona, wiȩc korzystaja c z udowodnionej już wersji twierdzenia Lebesgue a otrzymujemy M λ(a) = M I A dλ = lim (( f n f 0 ) M I A ) dλ lim ( f n f 0 ) dλ M 0 7

8 dla pewnego M 0 R ograniczaja cego cia g całek. Z dowolności M wnosimy, że λ(a) = 0. Jeżeli jednak graniczna funkcja f ma wartości nieskończone, to f jest w myśl przyjȩtej przez nas definicji niecałkowalna, jako funkcja nierzeczywista. Możemy jednak poszerzyć klasȩ funkcji całkowalnych o funkcje przyjmuja ce wartości nieskończone na zbiorze miary 0. Wówczas powiemy, że f jest całkowalna, jeśli istnieje całkowalna funkcja rzeczywista g, taka, że f = g λ-prawie wszȩdzie. Jeśli wiȩc zmienimy wartości funkcji f n wystȩpuja cych w twierdzeniu Lebesgue a tak, że f n = 0 dla e A, to z podstawowej wersji lematu otrzymamy całkowalność wyjściowej funkcji f, jak również równość lim fn dλ = f dλ. Własność 6. Definiujemy cia g (g n ) kłada c g n (e) = inf k n f k(e) Łatwo widać, że g n g n+ i f 0 g n f n. Ponieważ g n f 0 f n, wiȩc z własności 4 dostajemy, że każda z funkcji g n jest całkowalna. Ponadto cia g (g n ) spełnia założenia twierdzenia Lebesgue a (własność 5 i uwaga do własności 5). Niech g = lim g n, g : E R. Zatem g jest funkcja całkowalna. Zauważmy, że g = lim g n = lim inf g n Ponadto g n dλ jako, że g n f n. Zatem również lim g n dλ = lim inf g n dλ lim Ostatecznie otrzymujemy lim inf = g dλ = lim g n dλ lim inf co kończy dowód lematu Fatou. Przysta pimy obecnie do dowodu twierdzenia Lebesgue a o ograniczonym całkowaniu. Własność 7. Ze stwierdzenia 20.0 wynika, że funkcja graniczna f jest mierzalna. Oczywiście mamy f h, jako że jest to granica funkcji o tej własności. Zatem z własności 4 otrzymujemy, że f jest również całkowalna. Pozostaje pokazać równość graniczna. Mamy f n h, zatem spełnione sa założenia lematu Fatou. Otrzymujemy sta d f dλ = lim inf lim inf Podobnie f n h, zatem ( f ) dλ = lim inf ( f n) dλ lim inf ( f n ) dλ = lim sup 8

9 Ostatecznie wiȩc lim sup f dλ lim inf zatem lim sup = lim inf = lim = f dλ co należało pokazać. 9