Dziedziny Euklidesowe

Transkrypt

1 Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla dowolnych a, b R \ {0}, v(ab) v(a), 2. dla dowolnych a R oraz b R \ {0} istnieja elementy q, r R, takie że a = bq + r oraz r = 0 lub v(r) < v(b). Zanim omówimy przyk lady dziedzin euklidesowych odnotujmy pewne proste w lasności waluacji Stwierdzenie. Niech v : R \ {0} N {0} be dzie waluacja. Wówczas, a) dla każdego a R \ {0}, v(a) v(1). b) dla dowolnych a, b R \ {0}, v(ab) = v(b) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem odwracalnym. c) dla dowolnego a R \{0}, v(a) = v(1) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem odwracalnym. Dowód. punkt a) jest oczywistym wnioskiem z definicji, zaś punkt c) wynika z punktu b). Zauważmy, że jeżeli a jest elementem odwracalnym i c elementem odwrotnym, to v(b) = v(cab) v(ab), zaś nierówność v(ab) v(b) wynika z definicji. Przypuśćmy, że v(ab) = v(b). Wówczas istnieje c R dla którego b = abc + r i v(r) < v(ab) lub r = 0. Jeżeli r 0, to r = b(ac 1) i z w lasności waluacji v(r) v(b). Ponieważ v(ab) = v(b), to dostajemy sprzeczność czyli r = 0 i 0 = b(ac 1). Sta d ac = 1 i a jest elementem odwracalnym. Przyk ladami dziedzin euklidesowych sa pierścień liczb ca lkowitych Z, gdzie waluacja jest wartość bezwzgle dna oraz pierścień wielomianów K[X] nad cia lem K, gdzie waluacja jest stopień wielomianu. Niech d Z be dzie liczba ca lkowita, d 1, która nie jest podzielna przez kwadrat liczby naturalnej różnej od 1 - taka liczbe nazywamy bezkwadratowa. Oznaczmy przez Z[ d] podpierścień cia la liczb zespolonych generowany przez d - jego elementami sa liczby postaci a + b d, a, b Z. Niech v : Z[ d] N v(a + b d) = a 2 b 2 d. Wprowadzmy oznaczenia: α = a + b d, ᾱ = a b d. Wówczas v(α) = αᾱ. Latwy rachunek przekonuje nas o tym, że v(αβ) = v(α)v(β) oraz, że α jest elementem odwracalnym wtedy i tylko wtedy, gdy v(α) = 1 i wówczas ᾱ jest elementem odwrotnym.

2 Stwierdzenie. Funkcja v(a + b d) = a 2 b 2 d jest waluacja euklidesowa na Z[ d] dla d { 2, 1, 2, 3} Dowód. Jest oczywiste, że v(a+b d) 1, gdyż v(a+b d) = 0 oznacza loby, że d = ( a b )2, wbrew za lożeniu, że d jest liczba bezkwadratowa. Sta d i z multyplilkatywności funkcji v wynika, że warunek pierwszy jest spe lniony dla dowolnego d. Pokażemy, że dla wymienionych wartości d w pierścieniu Z[ d] można dzielić z reszta. Dowód dostarcza także algorytm wykonywania takiego dzielenia. Niech α, β Z[ d], β 0. Wówczas α β = α β β β = x + y d Q[ d]. Niech r, s Z be da liczbami ca lkowitymi takimi, że x r 1 2 i y s 1 2. Niech γ = r + s d, zaś δ = ((x r) + (y s) d)β. Zauważmy, że α = βγ + δ przy czym α, β, γ Z[ d]. Zatem także δ Z[ d]. Wystarczy teraz pokazać, ze v(δ) < v(β) lub δ = 0. Przypuśćmy, że δ 0. Mamy v(δ) = v(β) (x r) 2 (y s) 2 d v(β)( d ). Dla d = { 2, 1, 2}, d < 1 i v(δ) < v(β). Jeżeli d = 3, to (x r)2 (y s) = 1. Równość może wysta pić tylko wtedy, gdy x r = y s = 1 2, jednak wówczas v( ) = 1 2 < 1, co dowodzi, że dla d = 3 waluacja także jest euklidesowa. ZADANIA Z 1.4. Niech K[[X]] oznacza pierścień szeregów formalnych nad cia lem K. Niech dla f 0, o(f) = min{n: a n 0}. Udowodnić, że: (a) o(fg) = o(f) + o(g) (b) f g wtedy i tylko wtedy gdy o(f) o(g) (c) f jest odwracalny wtedy i tylko wtedy gdy o(f) = 0 (d) jeżeli f 0, to f jest stowarzyszony z X o(f). (e) Czy o( ) jest waluacja Euklidesowa na K[[X]]? Z 1.5. Niech p be dzie liczba pierwsza i zdefiniujmy Z p = {(a 1, a 2,...) : a k (Z/p k Z), a k+1 a k (mod p k ), k 1} a) Pokazać, że Z p z operacjami dodawania i mnożenia po wspó lrze dnych jest pierścieniem z 1, zawieraja cym Z jako podpierścień. (jest to uzupe lnienie Z w metryce p-adycznej). b) Pokazać, że Z p jest pierścieniem Euklidesowym.

3 3 2. Dziedziny rozk ladu W pierścieniu liczb ca lkowitych Z podstawowym twierdzeniem jest zasadnicze twierdzenie arytmetyki mówia ce, że każda liczbe ca lkowita można przedstawić w postaci iloczynu liczb ca lkowitych pierwszych i że przedstawienie to jest jednoznaczne z dok ladnościa do kolejności czynników i ich znaku. Ważnym i naturalnym problemem jest pytanie dla jakich pierścieni możemy udowodnić podobne twierdzenie. Zaczniemy od wprowadzenia s lownika potrzebnych poje ć. W rozdziale tym zak ladamy, że rozpatrywane pierścienie sa dziedzinami ca lkowitości. Niech R bedzie dziedzina ca lkowitości.mówimy, że: a) Element a R \ {0} dzieli element b (co oznaczamy symbolem a b) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element c, taki że b = ca. b) Elementy a, b R \ {0} sa stowarzyszone (co oznaczamy symbolem a b tylko wtedy gdy istnieje odwracalny element u R dla którego a = bu. c) Element a R\{0} nieodwracalny jest nierozk ladalny wtedy i tylko wtedy, gdy z równości a = bc wynika, że b lub c jest elementem odwracalnym. d) Element a R\{0} nieodwracalny jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, że a bc wynika, że a b lub a c Stwierdzenie. Element pierwszy jest nierozk ladalny. Dowód. Niech a R \ {0} bedzie elementem pierwszym i przypuśćmy, że a = bc. Wówczas a b lub a c. Jeżeli a b, to b = ad i a = adc. Ponieważ R jest dziedzina ca lkowitosci i a 0, to cd = 1 i c elementem odwracalnym. Jeżeli a c to analogicznie wnioskujemy, ze bjest elementem odwracalnym Przyk lady. 1. W pierścieniu liczb ca lkowitych Z zbiór elementów pierwszych jest równy zbiorowi elementów nierozk ladalnych i sk lada sie z liczb pierwszych. 2. Liczba 2, która jest elementem pierwszym w pierścieni Z, nie jest elementem pierwszym w pierścieniu Z[ d], dla dowolnej liczby bezkwadratowej d. Mamy bowiem 2 d(d 1) = (d + )(d d), ale 2 (d + d) i 2 (d d). 3. Liczba 2 jest elementem nierozk ladalnym w pierścieniu Z[ d], dla d 3. Przypuśćmy przeciwnie, że 2 = αβ, gdzie α, β nieodwracalne. Wówczas v(2) = 4 = v(α)v(β). Z nieodwracalności v(α) 1 i v(β) 1, a wie c v(α) = v(β) = 2. Jeżeli α = x + y d, to x 2 y 2 d = 2, ale dla d 3, to nie jest mozliwe. Bowiem x 2 y 2 d x 2 + 3y 2 > 2 dla y 0, ale y 0, bo w przeciwnym razie 2 by laby kwadratem liczby naturalnej Stwierdzenie. W dziedzinie Euklidesowej każdy element nierozk ladalny jest pierwszy. Zanim udowodnimy to twierdzenie wzorem pierścienia liczb ca lkowitych wprowadzimy definicje Definicja. Niech R be dzie dziedzina ca lkowitości i niech = A R. Powiemy, że element d R jest najwie kszym wspólnym dzielnikiem (oznaczamy go symbolem NWD(A)) jeżeli a) dla każdego x A, d x, b) jeżeli e x dla każdego x A, to e d. Jeżeli NWD(A) = 1, to mówimy że zbiór A jest wzgle dnie pierwszy.

4 4 Zauważmy, ze z definicji wynika natychmiast, że jeżeli N W D(A) istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie z dok ladnościa do stowarzyszenia. W dziedzinach euklidesowych dysponujemy algorytmem, zwanym algorytmem Euklidesa, który pozwala na znalezienie N W D dowolnych dwóch elementów i tym samym dowodzi, ze istnieje N W D dowolnej skończonej liczby elementów. Możemy teraz przysta pić do dowodu stwierdzenia 2.3 Dowód. Niech a be dzie elementem nierozk ladalnym i niech a bc. Zastosujmy algorytm Euklidesa do dzielenia b i a znajduja c ich najwie kszy wspólny dzielnik d. Mamy a = de b = df dla pewnych e, f. Z nierozk ladalności a, element e lub d jest odwracalny. Jeżeli element e jest odwracalny, to d = ae 1 i b = ae 1 f i a b. Jeżeli d jest odwracalny, to d = ax + by dla pewnych x, y i mnoża c obie strony równości przez cd 1 otrzymujemy c = acd 1 x + bcd 1 y = acd 1 x + azd 1 y i a c Wniosek. Dziedzina Z[ d] nie jest dziedzina euklidesowa dla d 3. Sformu lujmy teraz g lówna definicje tego rozdzia lu Definicja. Dziedzina ca lkowitości R nazywa sie dziedzina rozk ladu (DJR) wtedy i tylko wtedy, gdy a) każdy element a R \ {0} może być przedstawiony w postaci iloczynu a = up 1... p k, gdzie u jest elementem odwracalnym, zaś p 1,..., p k sa elementami nierozk ladalnymi. b) rozk lad ten jest jednoznaczny z dok ladnościa do stowarzyszenia, to znaczy ze jeżeli a = up 1... p k = vq 1... q l sa rozk ladami, u, v sa elementami odwracalnymi, zaś p 1, dots, p k, q 1,..., q l nierozk ladalnymi, to k = l i po ewentualnym przenumerowaniu p i jest stowarzyszone z q i, 1 i k. Gru c nierozk ladalne elementy stowarzyszone możemy dowolny niezerowy element zapisać jednoznacznie ( z dok ladnościa do kolejności i stowarzyszenia) w postaci: a = up k pk s s, gdzie p i nie jest stowarzyszone z p j, dla i j. Zauważmy, ze w DJR jest tak, jak w pierścieniu liczb ca lkowitych, to znaczy Stwierdzenie. Jeżeli R jest dziedzina rozk ladu, to każdy element nierozk ladalny jest pierwszy. Dowód. Niech a be dzie elementem nierozk ladalnym i niech a bc. Zatem ad = bc, dla pewnego elementu d. Elementy b, c, d przedstawiamy w postaci iloczynu czynników nierozk ladalnych. Z jednoznaczności rozk ladu wynika, że po prawej stronie musi znaleźć sie czynnik stowarzyszony z a. Jest jasne, że informacja iż dany pierścień jest dziedzina rozk ladu bardzo pomaga badać jego w lasności. Odnotujmy, że zachodzi twierdzenie: 2.8. Twierdzenie. Dziedzina Euklidesowa jest dziedzina rozk ladu. Dowód. Niech R be dzie dziedzina euklidesowa z waluacja v. Pokażemy przez indukcje wzgle dem wartości waluacji, że każdy element można przedstawić w postaci iloczynu elementów nierozk ladalnych.

5 Jeżeli v(x) = 1, to x jest elementem odwracalnym. Za lóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla elementów o waluacji k. Niech v(x) = k + 1. Jeżeli x jest elementem nierozk ladalnym, to x = x jest rozk ladem. Jeżeli x nie jest nierozk ladalny, to x = yz, przy czym z i y nie sa odwracalne. Z w lasności waluacji wynika, że v(z) < v(x) i v(y) < v(x). Z za lożenia indukcyjnego, y i z moga być przedstawione w postaci iloczynu elementów nierozk ladalnych, a wie c x także. Należy teraz pokazać jednoznaczność rozk ladu. Wynika ona z faktu, że w dziedzinie euklidesowej, każdy element nierozk ladalny jest pierwszy. Niech bowiem x = up 1... p k = vq 1... q l. Nierozk ladalny, a wie c pierwszy, element p 1 q 1... q l, wie c p 1 q i dla pewnego 1 i l. Z nierozk ladalności elementu q i wynika, że p 1 i q i sa stowarzyszone. Możemy wie c obie strony podzielić przez p 1 i otrzymujemy dwa rozk lady o mniejszej liczbie czynników. Teza wynika przez indukcje ze wzgle du na liczbe czynników w rozk ladzie. W szkole podstawowej znajdowa lo sie najwie kszy wspólny dzielnik podzbioru A zbioru licz ca lkowitych w ten sposób, że należa lo roz lożyć wszystkie liczby ze zbioru A na czynniki pierwsze i najwie kszy wspólny dzielnik by l iloczynem tych, które wyste w każdej liczbie ze zbioru A. Dok ladnie to samo rozumowanie prowadzi do dowodu naste cego faktu Stwierdzenie. W każdej dziedzinie rozk ladu istnieje NWD(A), dla dowolnego niepustego podzbioru A R. Klasa pierścieni rozk ladu jest znacznie szersza niż klasa pierścieni Euklidesowych. Naste ce ważne twierdzenie jest tego ilustracja : Twierdzenie. Jeżeli R jest dziedzina rozk ladu, to pierścień wielomianów R[X] jest także dziedzina rozk ladu. 5 ZADANIA Z Pokazać, że w Z[ 5] nie istnieje NW D(4, ). Z Podać przyk lad elementu nierozk ladalnego w Z[ 5], który nie jest pierwszy. Z Znaleźć NW D(3456, 18564). Z W pierścieniu Z[ 2] znaleźć: (a) NW D(a + b 2, a b 2) (b) NW D( , 8 2 2). Z W pierścieniu Z[i] znaleźć NW D(2 + 11i, 1 + 3i) Z Niech K[[X]] oznacza pierścień szeregów formalnych nad cia lem K. pokazać, że jedynym elementem nierozk ladalnym jest X Z W Z 5 [X] 3X 3 + 4X = (X + 2) 2 (3X + 2) = (X + 2)(X + 4)(3X + 1). Dlaczego nie jest to sprzeczne z tym, że Z 5 [X] jest dziedzina rozk ladu? Pierścień Z[i]. Z Znaleźć wszystkie elementy odwracalne w Z[i]. Z Udowodnić, że dla liczby pierwszej p > 2 naste ce warunki sa równoważne: a) p jest elementem rozk ladalnym pierścienia Z[i]

6 6 b) p 1(mod 4) c) p = m 2 + n 2 dla pewnych m, n N Z Pokazać, że w rozk ladzie na czynniki pierwsze w Z liczby naturalnej be da cej suma kwadratów l = m 2 + n 2 każdy czynnik postaci 4k-1 wyste puje w pote dze parzystej. Znaleźć wszystkie liczby ca lkowite, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb ca lkowitych. Z Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1 oraz postaci 4k + 3. Pierścień Z[ 2]. Z Znaleźć wszystkie elementy odwracalne w Z[ 2]. Z Udowodnić, że z dok ladnościa do stowarzyszenia elementami pierwszymi w Z[ 2] sa : (a) 2 (b) liczby pierwsze ca lkowite postaci 8n ± 3 (c) dzielniki a + b 2, b 0 liczb pierwszych ca lkowitych postaci 8n ± 1. Z Udowodnić, że jeżeli K jest cia lem, to podpierścień K[X 2, X 5 ] pierścienia K[X] nie jest dziedzina rozk ladu. (jednoznaczność rozk ladu nie dziedziczy sie na podpierścienie).