W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się"

Transkrypt

1 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania najczęściej oznaczamy małymi literami p, q, r... Czy logika jest trudna? W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się sami Każdemu zdaniu p przypisujemy jedną z wartości logicznych w(p) w(p) = 1 gdy zdanie p jest prawdziwe w(p) = 0 gdy zdanie p jest fałszywe Mając dane pewne zdania możemy budować z nich zdania złożone wykorzystując tzw. funktory zdaniotwórcze (spójniki logiczne). negacja koniunkcja alternatywa implikacja równoważność W informatyce stosuje się również następujące funktory dwuargumentowe: alternatywa rozłączna (wykluczająca) (różnica symetryczna) p q albo p albo q XOR jednoczesne zaprzeczenie (spójnik Pierce a) p q ani p ani q NOR dyzjunkcja (kreska Sheffera) p q nie p lub nie q NAND 1

2 Przy pomocy spójnika Pierce a i kreski Sheffera można zdefiniować pozostałe funktory p q ( p q) p q ( p q) p q ( p q) (p q) W informatyce symbol znany jest pod nazwą XOR spójnik Pierce a kreska Sheffera NOR NAND Tabela wartości logicznych p q p p q p q p q p q p q p q p q Formuła zdaniotwórcza (lub schemat rachunku zdań lub wyrażenie logiczne)- wyrażenie utworzone ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych i ewentualnie nawiasów. Tautologia (lub prawo rachunku zdań)- schemat rachunku zdań, który przyjmuje wartość logiczną 1 niezależnie od wartości logicznych występujących w nim zmiennych zdaniowych. Prawa rachunku zdań (p p) prawo wyłączonego środka (p p) prawo wyłączonej sprzeczności (p ( p)) prawo podwójnego zaprzeczenia (p q) (q p) prawo przemienności alternatywy (p q) (q p) prawo przemienności koniunkcji [(p q) r] [p (q r) prawo łączności alternatywy [(p q) r] [p (q r)] prawo łączności koniunkcji (p q) ( p q) prawo De Morgana 2

3 (p q) ( p q) prawo De Morgana [p (q r)] [(p q) (p r)] prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji [p (q r)] [(p q) (p r)] prawo roz. względem (p q) ( q p) prawo kontrapozycji (p q) (p q) zaprzeczenie implikacji (p q) ( p q) zamiana implikacji na alternatywę (p q) [(p q) (q p)] prawo eliminacji równoważności p (q p) prawo symplifikacji p (p q) prawo Dunsa Scotusa ( p p) p prawo Claviusa [(p q) (q r)] (p r) prawo sylogizmu warunkowego (p q) [(q r)] (p r)] prawo sylogizmu warunkowego (q r) [(p q)] (p r)] prawo sylogizmu warunkowego 2 Algebra zbiorów Zbiór oraz relację należenie ( ) uważamy za pojęcia pierwotne. Oznacza to tyle, że nie będziemy zajmowali się tym, czym jest zbiór ani relacja należenie, lecz zajmować się będziemy ich własnościami. Zbiór pusty - zbiór do którego nie należy żaden element oznaczamy. Negację symbolu należenia oznaczamy x A (x A). Koniunkcję zdań mającą postać x 1 A x 2 A x 2 A... x n A zapisujemy w skróconej formie x 1, x 2,...x n A. Aby sprecyzować co oznacza, że dwa zbiory są równe przyjmijmy AKSJOMAT EKSTENSJONALNOŚCI Dwa zbiory A, B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego elementu x zachodzi x A x B. Można powiedzieć inaczej, że dwa zbiory są równe jeśli mają te same elementy. Wnioskiem z aksjomatu ekstensjonalności jest poniższe zdanie: Istnieje tyko jeden zbiór pusty. 3

4 Istotnie, załóżmy, że 1, 2 są zbiorami pustymi. Biorąc dowolny x zdania x 1 oraz x 2 są fałszywsze, zaś z tabeli wartości dla spójników logicznych wiemy, że zdanie x 1 x 2 jest prawdziwe. Zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności 1 = 2. Definicja 1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Funkcją zdaniową określoną na zbiorze X (dla elementów zbioru X) nazywamy dowolne wyrażenie, które dla każdego elementu x X staje się zdaniem w sensie logicznym. Zapisujemy φ(x), x X. (X to zakres zmienności funkcji φ) Przykład 1. X- zbiór liter z alfabetu polskiego, φ(x): x jest spółgłoską. X = R, φ(x): x > 0. Definicja 2. Niech φ(x) będzie funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest niepusty zbiór X. Jeżeli dla pewnego a X wyrażenie φ(a) jest zdaniem prawdziwym, to mówimy, że a spełnia funkcję zdaniową φ(x). Definicja 3. Wykresem funkcji φ(x) nazywamy zbiór wszystkich elementów zbioru X, które spełniają tę funkcję zdaniową tzn. {x X : φ(x)} = {x X : w(φ(x)) = 1}. Twierdzenie 1 (Russel). Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Dowód. Załóżmy, że V jest zbiorem wszystkich zbiorów. Rozważmy zbiór A = {X V : X X}. Oczywiście A V, bo do zbioru V należą wszystkie zbiory. Ale wtedy A A (A V A A) A A. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Definicja 4. Niech A i B będą zbiorami. Sumą zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, że x C (x A x B), dla dowolnego x. Zbiór ten oznaczamy symbolem A B. Iloczynem zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, że x C (x A x B), dla dowolnego x. Zbiór ten oznaczamy symbolem A B. Różnicą zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, że x C (x A x B), dla dowolnego x. Zbiór ten oznaczamy symbolem A \ B. Z aksjomatu ekstensjonalności wynika, że powyższe operacje są poprawnie zdefiniowane tzn. że np. dla zbiorów A i B ich suma A B (A B, A \ B) jest wyznaczona jednoznacznie. 4

5 WŁASNOŚCI OPERACJI,, \ Twierdzenie 2. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi: A A = A, A A = A -idempotentność A B = B A, A B = B A - przemienność A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C - łączność A (B C) = (A B) (A C) -rozdzielność sumy względem iloczynu A (B C) = (A B) (A C) - rozdzielność iloczynu względem sumy A = A, A = A B = B A Dowód. Ustalmy zbiory A i B i rozważmy dowolny element x x A B (x A x B) (x B x A) (x B A). Pierwsza część dowodu polega na przekształceniu pewnego wyrażenia na język rachunku zdań. Następnie korzystamy z odpowiedniej tautologii i ostatecznie wykorzystujemy odwrotne tłumaczenie zdania na wyrażenie rachunku zbiorów. Definicja 5. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (A B) jeżeli dla każdego x prawdziwa jest implikacja x A x B. Zauważmy, że jeżeli A B i B A, to A = B (wynika to z aksjomatu ekstensjonalności). WŁASNOŚCI RELACJI INKLUZJI Twierdzenie 3. Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzi: A A (A B B C) A C A A B 5

6 A B A (A B C D) (A C) (B D) (A B C D) (A C) (B D) Twierdzenie 4. Dla dowolnych A, B zachodzi: A B A B = A A B = B A \ B =. Definicja 6. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi jeśli A B =. Definicja 7. Załóżmy, że rozważamy zbiory zawarte w pewnym niepustym zbiorze X (który od tej pory będziemy nazywać przestrzenią). Jeśli A jest podzbiorem zbioru X (tzn. A X), to różnicę X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A do przestrzeni X i oznaczamy A. Własność 1. Ustalmy przestrzeń X oraz zbiory A, B X. (A ) = A A \ B = A B (A B) = A B (A B) = A B X =, = X A B B A Definicja 8. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór A B = (A \ B) (B \ A). Twierdzenie 5. Różnica symetryczna zbiorów jest przemienna, łączna i ponadto dla dowolnego zbioru A zachodzi A = A oraz A A =. Definicja 9. Parą uporządkowaną elementów a i b nazywamy zbiór (a, b) = {{a}, {a, b}}. Twierdzenie 6. Dla dowolnych elementów a, b, c, d mamy (a, b) = (c, d) (a = c b = d). Definicja 10. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór A B = {(x, y) : x A y B}. 6

7 Z pomocą iloczynu kartezjańskiego definiowane są skończenie wymiarowe przestrzenie Euklidesowe np. R 2 = R R. Definicja 11. Zbiorem potęgowym zbioru A nazywamy zbiór P(A) (lub oznaczany 2 A ) złożony ze wszystkich podzbiorów zbioru A. Oczywiście P(A) oraz A P(A), {, A} P(A). 3 Kwantyfikatory Symbol jest symbolem funktora zdaniotwórczego zwanego kwantyfikatorem ogólnym (dużym), zaś symbol symbolem funktora zdaniotwórczego zwanego kwantyfikatorem szczegółowym (małym lub egzystencjalnym). Niech ϕ(x) będzie funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest zbiór X 1. Jeśli {x X : ϕ(x)} = X, to mówimy, że każdy element x X spełnia funkcję ϕ(x) i zapisujemy ϕ(x). 2. Jeśli {x X : ϕ(x)}, to mówimy, że funkcja zdaniowa ϕ(x) jest spełniona dla pewnego x X (czyli istnieje x X taki, że zachodzi ϕ(x)) i zapisujemy ϕ(x). Twierdzenie 7. Niech ϕ(x), ψ(x) będą funkcjami zdaniowymi określonymi dla elementów przestrzeni X. Wówczas 1. {x X : ϕ(x)} = {x X : ϕ(x)} 2. {x X : ϕ(x) ψ(x)} = {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)} 3. {x X : ϕ(x) ψ(x)} = {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)} Przykład 2. Niech ϕ(x) := (x > 0) dla x R. Oczywiście istnieje liczba rzeczywista dla, której zachodzi ϕ(x) np.1. Oznacza to, że prawdziwe jest zdanie ϕ(x), x R ale nie wszystkie liczby rzeczywiste spełniają tę funkcję zdaniową np. w(ϕ( 2)) = 0 tak więc zdanie ϕ(x) jest x R fałszywe. Zaś zdanie Przykład x R x 2 > 0 2. x R x < 0 3. x 2 > y x R y R 4. y < x 2 x R y R ϕ(x) jest prawdziwe. x N 7

8 W rachunku zdań i kwantyfikatorów ważną rolę odgrywają nawiasy. Ich brak może zmienić sens formuły np. wyrażenie (ϕ(x) ψ(x)), gdzie ϕ(x), ψ(x) są ustalonymi funkcjami zdaniowymi o wspólnym zakresie zmienności X jest zdaniem, zaś określa pewną funkcję zdaniową zmiennej x. ϕ(x) ψ(x) Nawias określa zasięg kwantyfikatora. W pierwszym przypadku zasięg kwantyfikatora stanowi wyrażenie ϕ(x) ψ(x), zaś w drugim wyrażenie ϕ(x). Definicja 12. Dla ustalonych funkcji zdaniowych ϕ(x), φ(x) o wspólnym zakresie zmienności X definiujemy kwantyfikatory o ograniczonym zakresie w następujący sposób: ψ(x) [ϕ(x) ψ(x)], ϕ(x) x R ψ(x) [ϕ(x) ψ(x)]. ϕ(x) x R Uwaga 1. Niech ϕ(x, y), gdzie (x, y) X Y będzie funkcją zdaniową. Wówczas wyrażenia są zdaniami. ϕ(x, y), y X ϕ(x, y), y X ϕ(x, y), y X ϕ(x, y) y X Natomiast formuły są funkcjami zdaniowymi zmiennej y. ϕ(x, y), ϕ(x, y), W tym przypadku zmienną x nazywamy zmienną związaną zaś zmienną y nazywamy zmienną wolną. Kwantyfikatory wiążą jedynie zmienne znajdujące się w ich zasięgu. Kwantyfikatory służą do krótszego i bardziej precyzyjnego zapisu sformułowań występujących w definicjach lub twierdzeniach np. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (a n ) n N jeśli w każdym otoczeniu liczby g są prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu (a n ) n N. lim a n = g a n g < ε. n ε>0 n 0 N n>n 0 Definicja 13. Prawo rachunku kwantyfikatorów to wyrażenie logiczne zawierające funkcje zdaniowe, których wszystkie zmienne są związane kwantyfikatorami i przyjmujące wartość logiczną 1 niezależnie od wyboru tych funkcji. 8

9 Niech ϕ(x), ψ(x) będą funkcjami zdaniowymi o zakresie zmienności X. Prawa rachunku kwantyfikatorów ϕ(x) ϕ(x) Prawa De Morgana ( ) ϕ(x) ϕ(x) ( ) ϕ(x) ϕ(x) Prawa rozdzielności 1. (ϕ(x) ψ(x)) [ ϕ(x) 2. (ϕ(x) ψ(x)) [ ϕ(x) 3. (ϕ(x) ψ(x)) [ ϕ(x) ψ(x)] ψ(x)] ψ(x)] 4. [ ϕ(x) ψ(x)] (ϕ(x) ψ(x)) 5. (ϕ(x) ψ(x)) [ ϕ(x) ψ(x)] 6. (ϕ(x) ψ(x)) [ ϕ(x) ψ(x)] Niech ϕ(x) będzie funkcją zdaniową o zakresie zmienności X oraz ψ zmienną zdaniową lub funkcją zdaniową nie zawierającą zmiennej x. Prawa włączania i wyłączania dla kwantyfikatorów (ϕ(x) ψ) [ ϕ(x) ψ] (ϕ(x) ψ) [ ϕ(x) ψ] (ϕ(x) ψ) [ ϕ(x) ψ] (ϕ(x) ψ) [ ϕ(x) ψ] (ϕ(x) ψ) [ ϕ(x) ψ] (ϕ(x) ψ) [ ϕ(x) ψ] (ψ ϕ(x)) [ψ ϕ(x)] (ψ ϕ(x)) [ψ ϕ(x)] 9

10 4 Działania uogólnione Definicja 14. Zbiór, kótrego elementami są zbiory nazywamy rodziną zbiorów. Definicja 15. Niech T będzie niepustym zbirem indeksów, zaś X dowolnym zbiorem. Każdemu elementowi t T przyporządkowujemy pewien podzbiór zbioru X i oznaczamy go przez A t. Otrzymaną w ten sposób rodzinę {A t : t T } nazywamy indeksowaną rodziną zbiorów i oznaczamy (A t ) t T. Przykład 4. A t = ( 1 t, 1 t 1 ), t N \ {1} A t = {t, t 2, t 3,...}, t N A t = ( t, t + 1), t N Definicja 16. Niech (A t ) t T będzie indeksowaną rodziną podziorów ustalonego zbioru X. Uogólnioną sumą rodziny (A t ) t T nazywamy zbiór: t T A t = {x X : t T x A t } Definicja 17. Uogólnionym iloczynem rodziny (A t ) t T nazywamy zbiór: t T Prawa De Morgana dla działań uogólnionych: ( A t = {x X : t T x A t } t T A t ) = t T ( ) A t = t T t T A t A t 5 Relacje Definicja 18. Relacją dwuczłonową między elementami niepustych zbiorów X i Y nazywamy każdy niepusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y. W szczególności relacja ρ = lub ρ = X Y. Relacje są najprostszym i zarazem podstawowym pojęciem modelowania pojęcia zależności pomiędzy różnymi elementami. Za pomocą relacji definiuje się np. pojęcie funkcji oraz grafu za pomocą relacji definiuje się współczesne bazy danych. 10

11 Przykład 5. Niech X oznacza zbiór ludzi zamieszkujących Europę, Y zbiór miast europejskich. 1. ρ 1 X Y x X, y Y 2. ρ 2 Y Y y 1, y 2 Y xρ 1 y x jest mieszkańcem y 3. ρ 3 X X x 1, x 2 Y y 1 ρ 2 y 2 y 1 jest odległe od y 2 o mniej niż 200km x 1 ρ 3 x 2 x 1 ix 2 mieszkają w tym samym państwie Jeżeli X i Y są zbiorami niepustymi (ew. skończonymi), to dowolną relację ρ X Y można opisać za pomocą tabeli relacji lub grafu skierowanego zwanego grafem relacji. Przykład 6. Niech X = Y \{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Relacja ρ X X zdefiniowana jako xρy x y opisana jest w następującej tabeli: W przypadku, gdy ρ jest podzbiorem X X, to mówimy, że ρ jest relacją określoną w zbiorze X Definicja 19. Mówimy, że relacja ρ określona w niepustym zbiorze X jest zwrotna xρx przeciwzwrotna symetryczna przeciwsymetryczna antysymetryczna przechodnia spójna (xρx) (xρy yρx) x,y X (xρy (yρx)) x,y X ((xρy yρx) x = y) x,y X ((xρy yρz) xρz) x,y,z X ((xρy yρx x = y) x,y X Definicja 20. Relację ρ X X nazywamy relacją częściowego porządku w zbiorze X, jeżeli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Jeśli dodatkowo ta relacja jest spójna, to mówimy, że jest ona relacją liniowego porządku (np. w R). 11

12 Niech X będzie dowolnym zbiorem, w którym określona jest relacja porządkująca. Relację taką oznaczać będziemy. Zbiór X wraz z tą relacją (czyli parę uporządkowaną (X, )) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym (lub odpowiednio zbiorem liniowo uporządkowanym jeśli jest relacją liniowego porządku. Definicja 21. Relację ρ X X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Definicja 22. Niech ρ X X będzie relacją równoważności w zbiorze X. Dla ustalonego elementu a X zbiór {x X : xρa} nazywamy klasą abstrakcji relacji ρ dla elementu a i oznaczamy [a]. Mówimy, że a jest reprezentantem klasy abstrakcji [a]. Twierdzenie 8. Niech ρ X X będzie relacją równoważności w zbiorze X. Wówczas 1. x [x] 2. (y [x] [x] = [y]) x,y X 3. ([x] [y] [x] [y] = ) x,y X 4. [x] = X Każda relacja równoważności w zbiorze X dzieli zbiór X na rozłączne, niepuste podzbiory zwane klasami abstrakcji tej relacji. 6 Funkcje Definicja 23. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f będącą podzbiorem niepustego zbioru X Y spełniają warunki: xfy y Y ((xfy 1 xfy 2 ) y 1 = y 2 ). y 1,y 2 Y Z definicji tej wynika, że dla dowolnego x ze zbioru X istnieje dokładnie jeden element y w zbiorze Y taki, że xfy. Element x nazywamy argumentem funkcji, zaś y wartością funkcji w punkcie x i zapisujemy y = f(x). Zapis f : X Y rozumiemy jako: funkcja f jest określona na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y. Zbiór X nazywamy dziedziną f, zaś Y przeciwdziedziną (lub zbiorem wartości) funkcji f. Szczególnym przypadkiem funkcji jest ciąg. 12

13 Definicja 24. Ciągiem nazywamy dowolną funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych N. Jeśli wartości tej funkcji (czyli wyrazy ciągu) są liczbami rzeczywistymi, to dany ciąg nazywamy ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych. Definicja 25. Obcięciem funkcji f : X Y do zbioru A X nazywamy funkcję f A (x) := f(x) dla x A. Definicja 26. Niech f : X Y, A X. Obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f(a) = {y Y : W szczególności zbiór f(x) nazywamy zbiorem wartości funkcji f. y = f(x)} = {f(x) : x A}. x A Definicja 27. Niech f : X Y, B Y. Przeciwobrazem zbioru B wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f 1 (B) = {x X : f(x) B}. Przykład 7. f : R R, f(x) = x 2, f(r) = [0, + ), f([ 1 2, 1)) = [0, 1), f 1 ([0, 1)) = ( 1, 1). Definicja 28. Funkcję f : X Y nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją) jeśli różnym argumentem odpowiadają różne wartości tzn. lub (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )) x 1,x 2 X (f(x 1) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ) x 1,x 2 X Definicja 29. Mówimy, że funkcja f : X Y odwzorowuje zbiór X na Y (lub, że jest suriekcją), jeżeli każdy element zbioru Y jest wartością funkcji f tzn. y Y Zapisujemy f : X na Y. Oznacza to, że f(x) = Y. f(x) = y. Definicja 30. Funkcję f : X Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) jeśli jest ona różnowartościowa i odwzorowuje X na Y. Mówimy, wtedy, że funkcja f przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór X na Y. Twierdzenie 9. Dla dowolnej funkcji f : X Y oraz dowolnych zbiorów A, B X mamy: 1. A f 1 (f(a)) 2. A B f(a) f(b) 13

14 3. f(a B) = f(a) f(b) 4. f(a B) f(a) f(b) 5. f(a \ B) f(a) \ f(b) Uwaga 2. Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa, to inkluzje w??,?? i?? można zastąpić równościami. Twierdzenie 10. Dla dowolnej funkcji f : X Y oraz dowolnych zbiorów C, D Y mamy: 1. f(f 1 (C)) C oraz f(f 1 (C)) = C f(x) 2. C D f 1 (C) f 1 (D) 3. f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) 4. f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) 5. f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D) Definicja 31. Niech f : X Y oraz g : Y Z. Złożeniem (lub superpozycją) funkcji f i g nazywamy funkcję g f taką że g f : X Z oraz (g f)(x) = g(f(x)) dla x X. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś g zewnętrzną. Uwaga 3. Składanie funkcji jest działaniem łącznym tzn. dla dowolnych funkcji f : X Y, g : Z oraz h : Z U zachodzi h (g f) = (h g) f, ale nie jest działaniem przemiennym tzn. g f f g. Twierdzenie 11. Jeśli f : X Y oraz g : Z, to dla dowolnych zbiorów A X mamy (g f)(a) = g(f(a)). Twierdzenie 12. Złożenie funkcji równowartościowych jest funkcją różnowartościową. Złożenie funkcji na jest funkcją na. W szczególności złożenie funkcji wzajemnie jednoznacznych jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. 14

15 Definicja 32. Niech ρ będzie dowolną relacją w iloczynie X Y. Relację ρ 1 Y X taką, że nazwyamy relacją odwrotną. y Y (y, x) ρ 1 (x, y) ρ Relacja odwrotna istnieje dla dowolnej relacji, w szczególności dla relacji, która jest funkcją. Relacja odwrotna do funkcji nie musi być funkcją. Przykład 8. Relacja ρ jest funkcją zaś ρ 1 nie jest funkcją. xρy y = x2 x,y R Definicja 33. Niech f : X na Y będzie dowolną funkcją. Jeżeli relacja odwrotna do f jest funkcją, to nazywamy ją funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy ją f 1 Zatem f 1 : Y X oraz y Y x = f 1 (y) y = f(x). Twierdzenie 13. Funkcja f ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy f jest wzajemnie jednoznaczna. Uwaga 4. Jeżeli f : X na Y, g : Y na Z, to istnieje funkcja odwrotna do funkcji g f oraz (g f) 1 (z) = f 1 (g 1 (z)) dla z Z. 7 Równoliczność zbiorów, moc zbiorów Definicja 34. Zbiory A i B nazywamy zbiorami równolicznymi lub zbiorami o równej mocy jeżeli istnieje funkcja f przekształcająca wzajemnie jednoznacznie zbiór A na B. Piszemy wtedy A B lub Ā = B. Ponadto przyjmuje się, że = 0. Czyli. Twierdzenie 14. Dla dowolnych zbiorów A, B, C mamy: A A A B B A (A B B C) A C. 15

16 Definicja 35. Zbiór A nazywamy skończonym, gdy A = lub A {1, 2,..., n}. n N Jeżeli zbiór A jest skończony, to Ā jest liczbą elementów tego zbioru. Przykład 9. Zbiór N jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb całkowitych N {10, 11, 12,...} Zbiór liczb naturalnych parzystych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych (0, 1) (10, 20) (0, 1) R (a, b) (c, d), gdzie a < b, c < d, a, b, c, d R. Uwaga 5. Można pokazać, że nie istnieje liczba naturalna n taka, że N {1, 2, 3,..., n}. Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy przez ℵ 0 (czytaj alef zero) Jeżeli zbiór A jest skończony, to piszemy Ā < ℵ 0 Jeśli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem N, to piszemy Ā = ℵ 0 Definicja 36. Mówimy, że zbiór A jest (co najwyżej) przeliczalny jeśli A jest zbiorem skończonym lub równolicznym ze zbiorem N (czyli Ā ℵ 0 ). Twierdzenie 15. Zbiór niepusty jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem wyrazów pewnego ciągu. Uwaga 6. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Twierdzenie 16. Własności zbiorów przeliczalnych Każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym. Dla dowolnych zbiorów przeliczalnych A, B zbiory A B, A B, A \ B, A B są przeliczalne. Suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Definicja 37. Zbiór, który nie jest przeliczalny nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym i zapisujemy Ā > ℵ 0. Własność 2. Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym. Twierdzenie 17 (Cantor). Przedział [0, 1] nie jest przeliczalny. 16

17 Uwaga 7. Zbiory R, R \ Q są nieprzeliczalne. Moc zbioru R oznaczamy przez c (czytaj kontinuum) Istnieją zbiory nieskończone, których moc jest różna od ℵ 0 i od c. Dokładniejsze badanie tego problemu doprowadziło do zdefiniowania tzw. liczb kardynalnych. Jednym z najbardziej znanych problemów związanych z tą tematyką jest tak zwana hipoteza continuum, która głosi, że moc zbioru wszystkich podzbiorów zboru liczb naturalnych jest continuum. Niech 2 A oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru A Twierdzenie 18. Dla dowolnego zbioru A mamy Ā 2 A. 17

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości 1 Elementy teorii mnogości Część I Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości 2 1. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań

Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska, WPPT Wrocław 2018 G1: Rachunek Zdań Które z następujących zdania są tautologiami: 1. (p (q r)) ((p q) (p r) 2. ((p

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B: Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich

Bardziej szczegółowo

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4 DB Wstęp do matematyki semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Trzy razy o indukcji

Trzy razy o indukcji Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Algebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Algebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Technologie i systemy oparte na logice rozmytej

Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie

Bardziej szczegółowo

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo