Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f : X R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem ϕ(x) = f(x) f(x 0) x x 0, x X \ {x 0 } nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 lub, że jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego w punkcie x 0. Przez pochodmną funkcji f w punkcie x 0 rozumiemy liczbę rzeczywistą, oznaczaną f (x 0 ), równą granicy ilorazu różnicowego w punkcie x 0, to znaczy f (x 0 ) = lim x x0 ϕ(x). Uwaga 7.1.1. Niech f : X R oraz x 0 X. (a) Jeśli X jest zbiorem jednoelementowym X = {x 0 }, to iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 nie istnieje. (b) Jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x 0 X, to x 0 jest punktem skupienia zbioru X. W szczególności, jeśli X jest zbiorem skończonym, to pochodna funkcji nie istnieje w żadnym punkcie zbioru X. Uwaga 7.1.2. Pochodna funkcji w punkcie może nie istnieć. Na przykład funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x nie ma pochodnej w punkcie x 0 = 0. Uwaga 7.1.3. Jeśli X = [a, b], to pochodną funkcji f : X R w punkcie a jest granica prawostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie a (o ile istnieje). Podobnie pochodną funkcji f w punkcie b jest granica lewostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie b. 151

152 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Lemat 7.1.4. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech x 0 X będzie punktem skupienia zbioru X. Niech α R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) istnieje pochodna funkcji f w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) = α, (b) istnieje funkcja u : X R ciągła w punkcie x 0 taka, że u(x 0 ) = α oraz (7.1) f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )u(x) dla x X. Dowód. Ad. (a) (b) Przyjmując f(x) f(x 0 ) x x u(x) = 0 dla x X, x x 0, α dla x = x 0 z (a) mamy u(x 0 ) = α = f (x 0 ) i w konsekwencji dostajemy ciągłość funkcji u w punkcie x 0. Ponadto u spełnia (7.1), czyli mamy (b). Ad. (b) (a). Z (7.1) mamy f(x) f(x 0 ) x x 0 = u(x) dla x X \ {x 0 }, więc z ciągłości funkcji u w punkcie x 0 (wobec założenia, że x 0 jest punktem skupienia zbioru X) mamy, f(x) f(x 0 ) α = lim, x x0 x x 0 więc f (x 0 ) = α. Bezpośrednio z powyższego lematu mamy Wniosek 7.1.5. (warunek konieczny różniczkowalności funkcji w punkcie). Jeśli funkcja f : X R jest różniczkowalna w punkcie x 0 X, to f jest ciągła w punkcie x 0. Dowód. Z założenia i lematu 7.1.4 mamy, że istnieje funkcja u : X R ciągła w punkcie x 0 oraz zachodzi (7.1). Zatem prawa strona (7.1) jest ciągła w punkcie x 0, więc mamy tezę. Twierdzenie 7.1.6. (o działaniach na pochodnej funkcji w punkcie). Niech f, g : X R będą funkcjami różniczkowalnymi w punkcie x 0 X. Wówczas f + g, f g, fg oraz f (przy założeniu, że g(x) 0 dla x X) są różniczkowalne w punkcie g x 0, przy czym: (a) (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ), ( ) (b) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ), f (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g (g(x 0. )) 2 Dowód. Wobec założenia o różniczkowalności f i g w punkcie x 0, w myśl lematu 7.1.4 istnieją funkcje u, v : X R ciągłe w punkcie x 0, że (7.2) f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )u(x) dla x X i u(x 0 ) = f (x 0 ).

7.1. POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE 153 (7.3) g(x) = g(x 0 ) + (x x 0 )v(x) dla x X i v(x 0 ) = g (x 0 ). Ad. (a) Z (7.2) i (7.3) dla x X mamy (f + g)(x) = (f + g)(x 0 ) + (x x 0 )(u + v)(x), ponadto funkcja u + v jest ciągła w punkcie x 0, oraz (u + v)(x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) Zatem z lematu 7.1.4 dostajemy pierwszą część (a) ( 1 ). Drugą część (a) dowodzimy analogicznie. Ad. (b) Z (7.2) i (7.3) dla x X mamy (fg)(x) = (fg)(x 0 ) + (x x 0 )(u(x)g(x 0 ) + f(x 0 )v(x) + (x x 0 )u(x)v(x)), ponadto funkcja (u(x)g(x 0 ) + f(x 0 )v(x) + (x x 0 )u(x)v(x)) jest ciągła w punkcie x 0 i w punkcie x 0 przyjmuje wartość f (x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g (x 0 ). Stąd i z lematu 7.1.4 dostajemy pierwszą część (b). Przy założeniu g(x) 0 dla x X, podobnie jak powyżej mamy f g (x) = f g (x 0) + f(x)g(x 0) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 ) Wobec wniosku 7.1.5 funkcja g jest ciągła w punkcie x 0, zatem = f g (x 0) + (x x 0 ) u(x)g(x 0) f(x 0 )v(x). g(x)g(x 0 ) u(x)g(x 0 ) f(x 0 )v(x) g(x)g(x 0 ) jest funkcją ciągłą w punkcie x 0 i wartość tej funkcji w punkcie x 0 wynosi f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0. To, wraz z lematem 7.1.4 )) 2 daje drugą część (b) i kończy dowód. Twierdzenie 7.1.7. (o pochodnej w punkcie funkcji złożonej). Niech f = g h : X R, gdzie h : X R, g : Y R, X, Y R oraz h(x) Y. Jeśli funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x 0 X, funkcja g jest zaś różniczkowalna w punkcie y 0 = h(x 0 ), to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) = g (y 0 )h (x 0 ). Dowód. Wobec lematu 7.1.4 istnieją funkcje u : X R, v : Y R ciągłe odpowiednio w punktach x 0, y 0 takie, że h(x) = h(x 0 ) + (x x 0 )u(x) dla x X i u(x 0 ) = h (x 0 ), 1 Część tę można udowodnić bezpośrednio z definicji. Mianowicie, z założenia o różniczkowalności funkcji f i g w punkcie x 0 mamy f(x) + g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 + lim x x 0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) + g (x 0 ), więc (f +g) (x 0 ) = f (x 0 )+g (x 0 ). Również pozostałe części tezy można wykazać bezpośrednio z definicji.

154 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ g(y) = g(y 0 ) + (y y 0 )v(y) dla y Y i v(y 0 ) = g (y 0 ). Zatem dla x X mamy (7.4) f(x) = g(h(x)) = g(h(y 0 )) + (h(x) h(x 0 ))v(h(x)) = f(x 0 ) + (x x 0 )u(x)v(h(x)). Z warunku koniecznego różniczkowalności mamy, że h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. Zatem funkcja x u(x)v(h(x)) jest ciągła w punkcie x 0. Ponadto u(x 0 )v(h(x 0 )) = h (x 0 )g (y 0 ). To, wraz z (7.4) i lematem 7.1.4 daje tezę. Twierdzenie 7.1.8. (o pochodnej w punkcie funkcji odwrotnej). Niech X, Y R będą zbiorami niepustymi oraz niech f : X Y będzie bijekcją. Jeśli f ma w punkcie x 0 X pochodną różną od zera oraz funkcja f 1 : Y X jest ciągła w punkcie y 0 = f(x 0 ), to funkcja odwrotna f 1 ma pochodną w punkcie y 0 oraz (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Dowód. Zauważmy najpierw, że y 0 Y jest punktem skupienia zbioru Y. Istotnie, ponieważ funkcja f ma pochodną w punkcie x 0, to x 0 jest punktem skupienia zbioru X oraz f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0 (patrz warunek konieczny różniczkowalności funkcji w punkcie wniosek 7.1.5). W konsekwencji istnieje ciąg (x n ) X \ {x 0 } taki, że lim x n = x 0 oraz lim f(x n ) = y 0. Oznaczając y n = f(x n ) dla n N, z różnowartościowości funkcji f mamy (y n ) Y \{y 0 } oraz lim y n = y 0. Zatem y 0 jest punktem skupienia n n n zbioru Y. Z lemaru 7.1.4 istnieje funkcja u : X R ciągła w punkcie x 0, że u(x 0 ) = f (x 0 ) oraz (7.5) f(x) f(x 0 ) = (x x 0 )u(x) dla x X. Zauważmy, że u(x) 0 dla x X. Istotnie, z różnowartościowości funkcji f i (7.5) widzimy, że u(x) 0 dla x X \ {x 0 }. Ponadto z założenia mamy u(x 0 ) = f (x 0 ) 0. W konsekwencji u(x) 0 dla x X. Stąd i z (7.5) dostajemy, 1 (y y 0 ) u(f 1 (y)) = f 1 (y) f 1 (y 0 ), przy czym z założenia, że funkcja f 1 jest ciągła w punkcie y 0 widzimy, że y 1 u(f 1 (y)) jest funkcją ciągłą w punkcie y 0 oraz To, wraz z lematem 7.1.4 daje tezę. 1 u(f 1 (y 0 )) = 1 u(x 0 ) = 1 f (x 0 ). Uwaga 7.1.9. W twierdzeniu 7.1.8, założenia f (x 0 ) 0 nie można opuścić. Na przykład funkcja f(x) = x 3, x R jest bijekcją zbioru R na R i odwrotną do niej jest f 1 (y) = 3 y, y R. Zatem f i f 1 są ciągłe, czyli f jest homeomorfizmem. Ponadto f(0) = 0. Wprost z definicji pochodnej funkcji w punkcie sprawdzamy, że f (0) = 0 oraz, że f 1 nie ma pochodnej w punkcie 0.

7.2. POCHODNA FUNKCJI 155 Lemat 7.1.10. Niech P R będzie przedziałem oraz f : P R będzie funkcją ciągłą i różnowartościową. Wówczas f(p ) jest przedziałem oraz funkcja g : P x f(x) f(p ) jest homeomorfizmem. Dowód. Ponieważ f jest funkcją ciągłą, więc w myśl lematu 6.5.1, f(p ) jest przedziałem lub zbiorem jednoelementowym. Stąd, wobec różnowartościowości f dostajemy, że f(p ) jest przedziałem. Z twierdzenia 6.5.6 mamy, że f jest funkcją ściśle monotoniczną. Rozważmy przypadek, gdy f jest funkcją ściśle rosnącą. Wówczas łatwo sprawdzamy, że g 1 : f(p ) P jest funkcją ściśle rosnącą. Pokażemy, że g 1 jest funkcją ciągłą. Przypuśćmy przeciwnie, że w pewnym punkcie y 0 f(p ) funkcja g 1 nie jest ciągła. Wobec monotoniczności funkcji g 1 mamy, że w punkcie y 0 funkcja g 1 ma nieciągłość pierwszego rodzaju (patrz wniosek 6.6.2). Zatem lim y y 0 g 1 (y) < g 1 (y 0 ) lub g 1 (y 0 ) < lim y y + 0 g 1 (y). Jeśli lim y y 0 g 1 (y) < g 1 (y 0 ), to oznaczając α = lim y y 0 g 1 (y), β = g 1 (y 0 ), z monotoniczności g 1 dostajemy, że (α, β) P oraz g 1 (f(p )) (α, β) =. To jest niemożliwe, gdyż g 1 (f(p )) = P. Analogicznie dochodzimy do sprzeczności, gdy g(y 0 ) < lim y y + 0 g(y). Otrzymana sprzeczność daje, że g 1 jest funkcją ciągłą i w konsekwencji g jest homeomorfizmem. Przypadek, gdy f jest funkcją ściśle malejącą rozważa się analogicznie jak powyższy. Wniosek 7.1.11. Niech P, Q R będą przedziałami oraz f : P Q będzie bijekcją ciągłą. Jeśli f ma pochodną w punkcie x 0 P i f (x 0 ) 0, to funkcja odwrotna f 1 : Q P ma pochodną w punkcie y 0 = f(x 0 ) oraz (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Dowód. W myśl lematu 7.1.10 mamy, że f jest homeomorfizmem. Zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej 7.1.8 dostajemy tezę. 7.2 Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji. Niech X R będzie zbiorem niepustym oraz f : X R. Niech E X, E. Jeśli w każdym punkcie zbioru E istnieje pochodna funkcji f, to mówimy, że f jest funkcją różniczkowalną w zbiorze E. Wtedy funkcję przyporządkowującą każdemu x E wartość pochodnej funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną funkcji w zbiorze E. Oznaczmy przez D f zbiór wszystkich punktów zbioru X, w których funkcja f ma pochodną. Jeśli D f, to pochodną funkcji f w zbiorze D f nazywamy pochodną funkcji f i oznaczamy f.

156 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Jeśli f jest różniczkowalna w zbiorze X, to mówimy, że f jest funkcją różniczkowalną. Zachodzą analogiczne twierdzenia dla pochodnej jak dla pochodnej funkcji w punkcie. Bezpośrednio z wniosku 7.1.5 dostajemy Wniosek 7.2.1. (warunek konieczny różniczkowalności). Jeśli funkcja f : X R jest różniczkowalna, to funkcja f jest ciągła. Bezpośrednio z twierdzenia 7.1.6 dostajemy Twierdzenie 7.2.2. (o działaniach na pochodnej funkcji). Niech f, g : X R będą funkcjami różniczkowalnymi. Wówczas f +g, f g, fg oraz f (przy założeniu, że g(x) 0 g dla x X) są różniczkowalne, przy czym: (a) (f + g) = f + g, (f g) = f g, ( ) (b) (fg) = f g + fg, f g = f g fg. g 2 Bezpośrednio z twierdzenia 7.1.7 dostajemy Twierdzenie 7.2.3. (o pochodnej funkcji złożonej). Niech f = g h : X R, gdzie h : X R, g : Y R, X, Y R oraz h(x) Y. Jeśli funkcje h i g są różniczkowalne, to funkcja f jest różniczkowalna oraz f = (g h) h. Bezpośrednio z twierdzenia 7.1.8 dostajemy Twierdzenie 7.2.4. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech X, Y R będą zbiorami niepustymi oraz niech f : X Y będzie homeomorfizmem. Jeśli f ma w każdym punkcie zbioru X pochodną różną od zera, to funkcja odwrotna f 1 : Y X jest różniczkowalna oraz (f 1 ) 1 = f (f 1 ). Z wniosku 7.1.11 dostajemy Wniosek 7.2.5. Niech P, Q R będą przedziałami oraz f : P Q będzie bijekcją ciągłą. Jeśli f ma w każdym punkcie przedziału P pochodną różną od zera, to funkcja odwrotna f 1 : Q P jest różniczkowalna oraz (f 1 ) = 1 f (f 1 ). Uwaga 7.2.6. Zachodzą analogiczne własności do twierdzeń 7.2.1 7.2.5 dla funkcji f : X R różniczkowalnej w zbiorze E X. Uwaga 7.2.7. W dalszym ciągu rozważając pochodną funkcji będziemy ograniczać się do przypadku, gdy funkcja jest określona w przedziale lub w zbiorze będącym sumą pewnej rodziny przedziałów.

7.2. POCHODNA FUNKCJI 157 Uwaga 7.2.8. W dalszym ciągu pochodną funkcji określonej wzorem będziemy zapisywać jako dany wzór funkcji objęty nawiasem i opatrzony znakiem prim. Pochodną zaś w punkcie x 0 z dodatkowym indeksem u dołu x = x 0. Na przykład ( ) 1 oznacza pochodną funkcji 1 x, zaś ( 1 x ) x=3 oznacza pochodną funkcji 1 x Wykażemy teraz różniczkowalność pewnych funkcji. w punkcie 3. x Twierdzenie 7.2.9. (a) Każda funkcja stała w przedziale ma pochodną tożsamościowo równą zero. (b) Dla dowolnego n N zachodzi (x n ) = nx n 1 w R. (c) Dla dowolnego n Z, n < 0 zachodzi (x n ) = nx n 1 w R \ {0}. Dowód. Ad. (a) Niech P będzie przedziałem oraz f : P R będzie funkcją stałą. Wtedy dla dowolnych x, x 0 P mamy f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) 0. Zatem z lematu 7.1.4 dostajemy f (x 0 ) = 0. Ad. (b) Ponieważ dla dowolnego x 0 R mamy x = x 0 + (x x 0 ) 1, więc (x) x=x 0 = 1 i w konsekwencji (x 1 ) jest funkcją stałą równą 1. Zakładając, że (x n ) = nx n 1 w R, z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy (x n+1 ) = (x n x) = (x n ) x + x n (x) = nx n 1 x + x n = (n + 1)x n w R. Reasumując z zasady indukcji dostajemy (b) dla wszystkich n N. Ad. (c) Dla n Z, n < 0 mamy n N, więc z (b) i twierdzenia o pochodnej ilorazu 7.1.6(b), dostajemy ( ) 1 (x n ) = = nx n 1 = nx n 1. x n x 2n Z twierdzenia 7.2.9 i twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu (twierdzenie 7.2.2) dostajemy Wniosek 7.2.10. Wielomiany i funkcje wymierne są różniczkowalne. Twierdzenie 7.2.11. Niech a R. Wówczas (a) (ln x) = 1 x w (0, + ), (b) (log a x) = 1 x ln a w (0, + ), gdy a > 0, a 1. (c) (e x ) = e x w R, (d) (a x ) = a x ln a w R, gdy a > 0, (e) (x a ) = ax a 1 w (0, + ).

158 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Dowód. Ad. (a) Z własności logarytmu dla dowolnych x, x 0 (0, + ), x x 0 mamy (7.6) ln x ln x 0 = ln x ( x 0 = ln x x 0 x x 0 1 + x x 0 x 0 ) 1 x x 0 = 1 ( ln x 0 1 + x x 0 x 0 ) x 0 x x 0. Ponieważ x x 0 x x x 0 0 dla x x 0 oraz lim 0 x x0 x 0 = 0, więc z własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.10(a) ( 2 )) i z ciągłości funkcji ln mamy ( lim ln x x 0 1 + x x 0 x 0 ) x 0 x x 0 = ln e = 1. Stąd i z (7.6) dostajemy, że pochodną funkcji ln w punkcie x 0 jest 1 x 0. To daje (a). Ad. (b) Ponieważ dla a > 0, a 1 oraz x > 0 mamy log a x = ln x, więc z (a) i ln a twierdzenia o pochodnej ilorazu dostajemy (b). Ad. (c) Ponieważ funkcja ln jest funkcją odwrotną do funkcji R x e x (0, + ) ( 3 ), więc z (a) i twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej dla dowolnego x 0 R dostajemy (e x ) 1 x=x 0 = = 1 (ln) (e x 0 ) 1 = e x 0. e x 0 To daje (c). Ad. (d) Częćć (d) wynika natychmiast z (c), równości a x = e x ln a dla a > 0 i twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji. Ad. (e) Część (e) wynika z (a), (c), równości x a = e a ln x dla x > 0 i twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji. Twierdzenie 7.2.12. Funkcje trygonometryczne są różniczkowalne oraz (a) (sin x) = cos x oraz (cos x) = sin x, (b) ( tg x) = 1 cos 2 x oraz ( ctg x) = 1 sin 2 x. Dowód. Ad. (a) Z własności funkcji trygonometrycznych (wniosek 5.10.4(d)) dla dowolnych x, x 0 R, x x 0 mamy sin x sin x 0 x x 0 = x x0 2 sin cos x+x 0 2 2 x x 0 = sin x x0 2 x x 0 2 cos x + x 0, 2 Zatem przechodząc do granicy x x 0 (z własności 6.1.10(b)) dostajemy (sin x) x=x 0 = cos x 0. Ponieważ cos x = sin( π x) dla x R, więc z powyższego i twierdzenia o pochodnej 2 złożenia dostajemy (cos x) = sin x. To daje (a). Część (b) dostajemy natychmiast z (a) i twierdzenia o pochodnej ilorazu. Z twierdzenia 7.2.12 i twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej dostajemy 2 patrz również twierdzenie o równoważności definicji granicy funkcji w punkcie w sensie Heinego i Cauchy ego 6.1.2 i twierdzenie o granicy ciągu potęg wniosek 4.3.4(a) 3 zatem funkcja ta jest homeomorfizmem.

7.3. FUNKCJE RÓŻNICZKOWALNE W PRZEDZIALE 159 Wniosek 7.2.13. (a) Funkcje arcsin i arccos są różniczkowalne w przedziale ( 1, 1) oraz (arcsin x) = 1, (arccos 1 x 2 x) = 1, w ( 1, 1). 1 x 2 (b) Funkcje arctg i arcctg są różniczkowalne oraz ( arctg x) = 1 1 + x 2, ( arcctg x) = 1 1 + x 2 w R. Dowód. Ad. (a) Funkcja f : [ π, π ] [ 1, 1] określona wzorem f(x) = sin x dla x 2 2 [ π, π] jest homeomorfizmem i funkcją odwrotną do niej jest arcsin. Ponieważ f( π) = 2 2 2 1 i f( π) = 1, więc f homeomorfizmem przedziału ( π, π ) na ( 1, 1). Pochodną funkcji 2 2 2 f w ( π, π ) jest funkcją cos, przyjmująca w tym przedziale wartości dodatnie, a więc 2 2 f (x) = 1 sin 2 x dla x ( π, π ). Zatem, zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji 2 2 odwrotnej 7.1.8, arcsin jest funkcją różniczkowalną w ( 1, 1) oraz (arcsin x) = 1 1 sin 2 (arcsin x) = 1. 1 x 2 To daje pierwszą część (a). Drugą część (a) dowodzimy analogicznie jak powyższą. Ad. (b) Ponieważ w przedziale ( π, π) mamy ( tg 2 2 x) = 1 = tg 2 x+1, więc podobnie cos 2 x jak w cęści (a) dostajemy ( arctg x) = 1. Drugą część (b) dowodzimy analogicznie jak 1+x 2 powyższą. ZADANIA Zadanie 7.2.1. (a) Funkcje arcsin i arccos nie mają pochodnych w punktach 1, 1. (b) Jeśli a R, a > 1, to to funkcja potęgowa x a ma pochodną w punkcie 0 równą zero. (c) Jeśli a R, 0 < a < 1, to to funkcja potęgowa x a nie ma pochodnej w punkcie 0. 7.3 Funkcje różniczkowalne w przedziale Lemat 7.3.1. Niech P będzie przedziałem oraz f : P R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x 0 P. (a) Jeśli f (x 0 ) > 0, to istnieje δ > 0 takie, że f(x) < f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 ) P oraz f(x) > f(x 0 ) dla x (x 0, x 0 + δ) P. (b) Jeśli f (x 0 ) < 0, to istnieje δ > 0 takie, że f(x) > f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 ) P oraz f(x) < f(x 0 ) dla x (x 0, x 0 + δ) P. Dowód. Ad. (a) W myśl lematu 7.1.4 istnieje funkcja u : P R ciągła w punkcie x 0 taka, że u(x 0 ) = f (x 0 ) oraz (7.7) f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )u(x) dla x P.

160 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Ponieważ u(x 0 ) = f (x 0 ) > 0, więc wobec ciągłości funkcji u w punkcie x 0, istnieje δ 0 > 0, że dla każdego x P takiego, że x x 0 < δ 0 mamy u(x) u(x 0 ) < u(x 0 ), a więc u(x) > 0. Wówczas dla x (x 0 δ 0, x 0 ) P mamy (x x 0 )u(x) < 0, a więc z (7.7) dostajemy f(x) < f(x 0 ). Podobnie, dla x (x 0, x 0 + δ 0 ) P dostajemy f(x 0 ) < f(x). Analogicznie jak powyżej dowodzimy (b). Z lematu 7.3.1 dostajemy natychmiast Twierdzenie 7.3.2. (Fermata). Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x 0 (a, b). (a) Jeśli f(x) f(x 0 ) dla x (a, b), to f (x 0 ) = 0. (b) Jeśli f(x) f(x 0 ) dla x (a, b), to f (x 0 ) = 0. Dowód. Przy założeniach (a) i (b), wobec lematu 7.3.1 nie może być f (x 0 ) > 0 ani f (x 0 ) < 0. Zatem f (x 0 ) = 0. Twierdzenie 7.3.3. (Darboux). Niech P będzie przedziałem oraz f : P R będzie funkcją różniczkową. Niech x 1, x 2 P, x 1 < x 2 oraz niech c R. (a) Jeśli f (x 1 ) < c < f (x 2 ), to istnieje x 0 (x 1, x 2 ), że f (x 0 ) = c. (b) Jeśli f (x 1 ) > c > f (x 2 ), to istnieje x 0 (x 1, x 2 ), że f (x 0 ) = c. Dowód. Udowodnimy (a). Rozważmy najpierw przypadek, gdy c = 0. Wówczas f (x 1 ) < 0 < f (x 2 ). Zatem z lematu 7.3.1, istnieje δ > 0 takie, że (7.8) f(x 1 ) > f(x) dla x (x 1, x 1 + δ) P oraz f(x) < f(x 2 ) dla x (x 2 δ, x 2 ) P. Z warunku koniecznego różniczkowalności mamy, że f jest funkcją ciągłą, więc istnieje x 0 [x 1, x 2 ], że f(x 0 ) = min f([x 1, x 2 ]). Wobec (7.8) dostajemy, że x 0 (x 1, x 2 ). Zatem z twierdzenia Fermata 7.3.2 mamy f (x 0 ) = 0. Załóżmy teraz, że f (x 1 ) < c < f (x 2 ). Wówczas biorąc funkcję g(x) = f(x) cx, x P, dostajemy że g (x) = f (x) c dla x P, więc g (x 1 ) < 0 < g (x 2 ). Zatem z pierwszej części dowodu, istnieje x 0 (x 1, x 2 ), że g (x 0 ) = 0. Stąd mamy 0 = g (x 0 ) = f (x 0 ) c, co daje (a). Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). Z własności Darboux dla pochodnej dostajemy Wniosek 7.3.4. Niech P będzie przedziałem oraz f : P R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas f nie ma w P punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. W szczególności, jeśli x 0 P i pochodna f ma granicę skończoną w punkcie x 0, to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że w pewnym punkcie a P pochodna f ma nieciągłość pierwszego rodzaju. Wówczas lim f (x) f (a) lub lim f (x) f (a). x a x a + Jeśli lim f (x) < f (a), to biorąc r R takie, że lim f (x) < r < f (a), znajdziemy δ P takie, że δ < a oraz f (x) r dla x [δ, a). Biorąc c (r, f x a x a (a))

7.3. FUNKCJE RÓŻNICZKOWALNE W PRZEDZIALE 161 dostajemy f (δ) < c < f (a) oraz f (x) < c dla x [δ, a). To przeczy twierdzeniu Darboux 7.3.3. Analogicznie dochodzimy do sprzeczności, gdy lim f (x) > f (a) oraz, gdy x a lim f (x) f (a). x a + Uwaga 7.3.5. Pochodna funkcji różniczkowalnej w przedziale może mieć punkty nieciągłości drugiego rodzaju. Twierdzenie 7.3.6. (Rolle a). Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f(a) = f(b), to istnieje x 0 (a, b) takie, że f (x 0 ) = 0. Dowód. Ponieważ funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym, więc z twierdzenia 6.7.8 istnieją x 1, x 2 [a, b] takie, że f(x 1 ) = min f([a, b]) oraz f(x 2 ) = max f([a, b]). Wówczas dla każdego x [a, b] mamy f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). Jeśli f(x 1 ) = f(x 2 ), to f jest funkcją stałą, więc f (x) = 0 dla wszystkich x (a, b), co daje tezę w tym przypadku. Jeśli f(x 1 ) < f(x 2 ), to f(x 1 ) < f(a) lub f(a) < f(x 2 ). Ponieważ f(a) = f(b), więc x 1 (a, b) lub x 2 (a, b). Stąd i z twierdzenia Fermata 7.3.2 mamy f (x 1 ) = 0, gdy x 1 (a, b) lub f (x 2 ) = 0, gdy x 2 (a, b). To kończy dowód. Twierdzenie 7.3.7. (Lagrange a o wartości średniej). Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b). Wówczas istnieje x 0 (a, b), że f(b) f(a) = f (x 0 )(b a). Dowód. Weźmy funkcję g : [a, b] R określoną wzorem g(x) = (f(b) f(a))x (b a)f(x), x [a, b]. Z założeń o funkcji f mamy, że g jest funkcją ciągłą w [a, b] i różniczkowalną w (a, b). Ponadto g(a) = af(b) af(a) bf(a) + af(a) = bf(b) bf(a) bf(b) + af(b) = g(b). Zatem, z twierdzenia Rolle a 7.3.6, istnieje x 0 (a, b) takie, że g (x 0 ) = 0. Ponieważ g (x) = f(b) f(a) (b a)f (x) dla x (a, b), więc f(b) f(a) (b a)f (x 0 ) = 0. To daje tezę. Twierdzenie 7.3.8. (Cauchy ego o wartości średniej). Niech f, g będą funkcjami ciągłymi w przedziale [a, b] i różniczkowalnymi w przedziale (a, b). Wówczas istnieje x 0 (a, b), że (f(b) f(a))g (x 0 ) = (g(b) g(a))f (x 0 ).

162 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Dowód. Weźmy funkcję h : [a, b] R określoną wzorem h(x) = (f(b) f(a))g(x) (g(b) g(a))f(x), x [a, b]. Z założeń o funkcjach f i g mamy, że h jest funkcją ciągłą w [a, b] i różniczkowalną w (a, b). Ponadto h(a) = h(b). Zatem z twierdzenia Rolle a 7.3.6 istnieje x 0 (a, b) takie, że h (x 0 ) = 0. Ponieważ h (x) = (f(b) f(a))g (x) (g(b) g(a))f (x) dla x (a, b), więc (f(b) f(a))g (x 0 ) (g(b) g(a))f (x 0 ) = 0. To daje tezę. Uwaga 7.3.9. Jeśli x 0 R należy do przedziału otwartego (a, b), to łatwo sprawdzamy, że istnieje liczba θ (0, 1), że x 0 = a + θ(b a). W świetle tego twierdzenie Rolle a można sformułować następująco: Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b). Jeśli f(a) = f(b), to istnieje θ (0, 1) takie, że f (a + θ(b a)) = 0. Analogicznie można sformułować twierdzenie Lagrange a i Cauchy ego. Wniosek 7.3.10. Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P R będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli f (x) = 0 dla x P, to f jest funkcją stałą. Dowód. Niech a P. Wówczas z twierdzenia Lagrange a 7.3.7, dla dowolnego x P takiego, że x < a istnieje x 0 (x, a), że f(x) f(a) = f (x 0 )(x a) = 0, więc f(x) = f(a). Analogicznie pokazujemy, że f(x) = f(a) dla x P takich, że x > a. Wniosek 7.3.11. Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g : P R będą funkcjami różniczkowalnymi. Jeśli f (x) = g (x) dla x P, to f g jest funkcją stałą. Dowód. Z założenia mamy, że f g ma pochodną tożsamościowo równą zeru. Zatem z wniosku 7.3.10 mamy tezę. 7.4 Reguła de l Hospitala Lemat 7.4.1. Niech f, g : (a, b) R, gdzie a < b +, będą funkcjami różniczkowalnymi i niech g (x) 0, dla wszystkich x (a, b). Niech f (x) (7.9) lim x a g (x) = p, gdzie p R. Wówczas g jest funkcją różnowartościową oraz zachodzą następujące:

7.4. REGUŁA DE L HOSPITALA 163 (a) Dla każdego A R, A > p istnieje δ 1 (a, b), że (7.10) f(x) f(y) g(x) g(y) < A dla dowolnych x, y, a < x < y < δ 1. (b) Dla każdego B R, B < p istnieje δ 2 (a, b), że (7.11) f(x) f(y) g(x) g(y) > B dla dowolnych x, y, a < x < y < δ 2. Dowód. Zauważmy najpierw, że g jest funkcją różnowartościową. Istotnie, w przeciwnym razie istnieją x 1, x 2 (a, b) takie, że x 1 < x 2 oraz g(x 1 ) = g(x 2 ). Wtedy z twierdzenia Rolle a 7.3.6 istnieje x 0 (x 1, x 2 ) w którym g (x 0 ) = 0. To przeczy założeniu, że g (x) 0 dla x (a, b). Ad. (a) Z (7.9) mamy, że istnieje δ 1 (a, b), że f (t) < A dla t (a, δ g (t) 1). Zatem, z twierdzenia Cauchy ego o wartości średniej 7.3.8 dla każdego a < x < y < δ 1 istnieje t (x, y), że f(x) f(y) g(x) g(y) = f (t) g (t) < A. To daje (7.10). Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). Twierdzenie 7.4.2. (reguła de l Hospitala). Niech f, g : (a, b) R, gdzie a < b +, będą funkcjami różniczkowalnymi i niech g (x) 0 dla wszystkich x (a, b). Niech f (x) (7.12) lim x a g (x) = p, gdzie p R. (a) Jeśli (b) Jeśli f(x) lim f(x) = 0 i lim g(x) = 0, to lim = p. x a x a x a g(x) f(x) x a lim g(x) = + lub x a lim g(x) =, to x a lim = p. g(x) Dowód. W myśl lematu 7.4.1, g jest funkcją różnowartościową. W szczególności funkcja g może przyjmować wartość zero, co najwyżej w jednym punkcie. Zatem istnieje c (a, b) takie, że g(x) 0 dla x (a, c). Ad. (a) Załóżmy najpierw, że p R. Weźmy dowolne ε > 0 i oznaczmy A = p + ε, B = p ε. Wtedy B < p < A, więc z lematu 7.4.1, istnieją δ 1, δ 2 (a, c) takie, że zachodzą (7.10) i (7.11). Wobec założenia lim f(x) = 0 i lim g(x) = 0, przechodząc w x a x a (7.10) i (7.11) do granicy przy x a, dostajemy p ε f(y) g(y) p + ε dla a < y < min{δ 1, δ 2 }. Stąd i z dowolności ε > 0 wynika, że lim y a f(y) g(y) = p.

164 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Załóżmy teraz, że p =. Biorąc dowolny A R mamy A > p, więc istnieje δ 1 (a, c), że zachodzi (7.10). Przechodząc w (7.10) do granicy przy x a, dostajemy f(y) g(y) A dla a < y < δ 1. f(y) Stąd i z dowolności A R dostajemy lim = = p. y a g(y) Zakładając, że p = +, analogicznie jak w powyższym przypadku (przy zastosowaniu f(y) (7.11) zamiast (7.10)) dostajemy lim = p. y a g(y) Ad. (b) Rozważmy najpierw przypadek, gdy p R. Weźmy dowolne ε > 0 i oznaczmy A = p + ε, B = p ε. Wtedy B < p < A, więc istnieją δ 2 2 1, δ 2 (a, c) takie, że zachodzą (7.10) i (7.11). Przyjmując, że a < y < min{δ 1, δ 2 } jest ustalone, wobec założenia g(x) g(y) lim g(x) = + lub lim g(x) = dostajemy, że lim = 1. Zatem znajdziemy x a x a x a g(x) δ 3 (a, min{δ 1, δ 2 }), takie, że g(x) g(y) g(x) > 0 dla a < x < δ 3. Mnożąc teraz (7.10) i (7.11) przez g(x) g(y) g(x) dostajemy więc f(x) f(y) g(x) (7.13) p ε 2 < A g(x) g(y), g(x) + f(y) Bg(y) g(x) f(x) f(y) g(x) g(x) g(y) > B g(x) < f(x) g(x) < p + ε f(y) Ag(y) + 2 g(x) dla a < x < δ 3, dla a < x < δ 3. f(y) Ag(y) Ponieważ lim x a g(x) (7.14) f(y) Ag(y) g(x) Stąd i z (7.13) dostajemy f(y) Bg(y) = 0 oraz lim x a g(x) < ε 2 oraz = 0, więc znajdziemy takie δ 4 (a, δ 3 ), że f(y) Bg(y) g(x) < ε 2 p ε < f(x) g(x) < p + ε dla a < x < δ 4. dla a < x < δ 4. To daje, że lim = p. g(x) Rozważmy teraz przypadek, gdy p =. Wówczas biorąc dowolne C R oraz A = C 1 mamy A > p i analogicznie jak (7.13) dostajemy, że istnieje δ 3 (a, c), że x a f(x) f(x) g(x) < A + f(y) Ag(y) g(x) Podobnie jak w (7.14), istnieje δ 4 (a, δ 3 ), że f(y) Ag(y) g(x) dla a < x < δ 3. f(x) g(x) < A + 1 = C dla a < x < δ 4. < 1 dla a < x < δ 4. Zatem

7.5. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW I WZÓR TAYLORA 165 To daje lim =. g(x) Przypadek p = + rozważamy analogicznie jak poprzedni. x a f(x) Uwaga 7.4.3. Analogicznie jak twierdzenia 7.4.2 dostajemy regułę de l Hospitala dla granicy w prawym końcu przedziału z analogicznym sformułowaniem. Z twierdzenia 7.4.2 i związku granicy z granicami jednostronnymi mamy: (reguła de l Hospitala). Niech f, g : (a, b) R będą funkcjami różniczkowalnymi w (a, b) \ {x 0 }, gdzie x 0 (a, b) oraz niech g (x) 0 dla wszystkich x (a, b) \ {x 0 }. Niech (7.15) lim x x0 (a) Jeśli (b) Jeśli f (x) g (x) = p, gdzie p R. x x0 lim f(x) = 0 i x x0 lim g(x) = 0, to x x0 lim f(x) g(x) = p. x x0 lim g(x) = +, lub lim g(x) =, to lim x x0 x x0 f(x) g(x) = p. 7.5 Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora Definicja pochodnej rzędu n. Niech X R i f : X R oraz niech E X, E. Jeśli pochodna f : D f R funkcji f ma pochodną w punkcie x 0 D f, to mówimy, że f ma pochodną rzędu drugiego w punkcie x 0 lub drugą pochodną w punkcie x 0. Pochodną tą oznaczamy f (x 0 ). Jeśli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w każdym punkcie zbiorze E, to mówimy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze E. Wtedy funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi x E wartość f (x) nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f w zbiorze E lub drugą pochodną funkcji f w E. Oznaczmy przez D f X zbiór wszystkich punktów zbioru X w których funkcja f ma pochodną rzędu drugiego. Jeśli D f, to drugą pochodną funkcji f w zbiorze D f nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji lub drugą pochodną funkcji f i oznaczamy f. Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w zbiorze X, to mówimy, że f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Zakładając, że określiliśmy pochodną rzędu n w punkcie i w zbiorze, analogicznie jak powyżej określamy pochodną rzędu n + 1 w punkcie, pochodną rzędu n + 1 w zbiorze, i (n + 1)-szą pochodną funkcji ( 4 ). Pochodną rzędu n oznaczamy f (n) : D f (n) R, pochodną rzędu n w punkcie x 0 zaś f (n) (x 0 ). 4 Jeśli funkcja f ma pochodną n-tego rzędu f (n) : D f (n) R i pochodna ta jest różniczkowalna w punkcie x 0 D f (n), to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną (n+1)-szego rzędu lub (n+1)-szą pochodną w punkcie x 0. Pochodną tą oznaczamy f (n+1) (x 0 ). Jeśli f ma pochodną (n + 1)-szego rzędu w każdym punkcie zbioru E, to mówimy, że f jest (n + 1)- krotnie różniczkowalna w zbiorze E. Wtedy funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi x E wartość f (n+1) (x) nazywamy pochodną (n + 1)-szego rzędu funkcji f w zbiorze E lub (n + 1)-szą pochodną funkcji f w E. Oznaczmy przez D f (n+1) X zbiór wszystkich punktów zbioru X w których funkcja f ma pochodną (n + 1)-szego rzędu. Jeśli D f (n+1), to pochodną (n + 1)-szego rzędu funkcji f w zbiorze D f (n+1) nazywamy pochodną (n + 1)-szego rzędu funkcji lub (n + 1)-szą pochodną funkcji f i oznaczamy f (n+1). Jeśli f jest funkcją (n + 1)-krotnie różniczkowalną w zbiorze X, to mówimy, że f jest funkcją (n + 1)- krotnie różniczkowalną.

166 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Definicja funkcji klasy C n. Niech f : X R, X R. Mówimy, że funkcja f jest klasy C 0, gdy funkcja f jest ciągła. Mówimy, że funkcja f jest klasy C n, gdzie n N, gdy funkcja f n-krotnie różniczkowalna i n-ta pochodna funkcji f jest ciągła. Mówimy, że funkcja f jest klasy C, gdy dla każdego n N funkcja f jest klasy C n. Uwaga 7.5.1. Istnieją funkcje n-krotnie różniczkowalne, które nie są klasy C n. Na przykład funkcja f : R R określona wzorami f(x) = x 2n sin 1 dla x 0 oraz f(0) = 0, x gdzie n N, jest n-krotnie różniczkowalna lecz nie jest funkcją klasy C n. Można również sprawdzić, że f ma pochodną dowolnego rzędu w R \ {0}. Podobnie funkcja g : R R określona wzorem g(x) = x n x dla x R jest klasy C n lecz nie ma (n + 1)-szej pochodnej w punkcie 0. Uwaga 7.5.2. Indukcyjnie, łatwo pokazujemy, że dla każdej liczby naturalnej n mamy (a) (e x ) (n) = e x w R, (b) (sin x) (2n) = ( 1) n sin x oraz (sin x) (2n 1) = ( 1) n+1 cos x w R, (c) (cos x) (2n) = ( 1) n cos x oraz (cos x) (2n 1) = ( 1) n sin x w R, (d) ((1 + x) α ) (n) = α(α 1) (α n + 1)(1 + x) α n w ( 1, + ), gdzie α R. W dalszym ciągu tego punktu zajmiemy się problemem przybliżania funkcji n-krotnie różniczkowalnej przy pomocy wielomianu. Zacznijmy od lematu. Lemat 7.5.3. Niech P będzie przedziałem, x 0 P oraz niech f : P R będzie funkcją (n 1)-krotnie różniczkowalną (w P ) posiadającą n-tą pochodną w punkcie x 0. Wówczas oznaczając (7.16) W n (x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x P, gdzie w powyższym wzorze f (0) (x 0 )(x x 0 ) 0 oznacza f(x 0 ), mamy (7.17) lim x x0 f(x) W n (x) (x x 0 ) n = 0. Dowód. Zastosujemy zasadę indukcji. Oznaczmy przez N zbiór wszystkich liczb n N takich, że dla każdej funkcji f : P R, (n 1)-krotnie różniczkowalnej posiadającej n-tą pochodną w punkcie x 0, zachodzi (7.17). (i) Pokażemy, że 1 N. Niech f : P R będzie funkcją posiadającą pochodną w punkcie x 0. Wówczas W 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). W myśl lematu 7.1.4 istnieje funkcja u : P R ciągła w punkcie x 0 taka, że u(x 0 ) = f (x 0 ) oraz f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )u(x) dla x P.

7.5. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW I WZÓR TAYLORA 167 W szczególności Stąd dostajemy f(x) W 1 (x) = (x x 0 )(u(x) f (x 0 )) dla x P. lim x x 0 f(x) W 1 (x) x x 0 = lim x x0 (u(x) f (x 0 )) = 0. Reasumując 1 N. (ii) Załóżmy, że n N. Pokażemy, że n + 1 N. Weźmy dowolną funkcję f : P R, n-krotnie różniczkowalną posiadającą (n + 1)-szą pochodną w punkcie x 0. Niech W n+1 będzie funkcją określoną wzorem (7.16) dla funkcji f. Wówczas W n+1(x) = n+1 k=1 f (k) (x 0 ) (k 1)! (x x 0) (k 1) = n (f ) (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x P, jest funkcją postaci (7.16) dla f : P R. Z wyboru funkcji f mamy, że funkcja f : P R jest (n 1)-krotnie różniczkowalna oraz ma n-tą pochodną w punkcie x 0, zatem z założenia, że n N mamy, że (7.18) lim x x0 (f(x) W n+1 (x)) (n + 1)(x x 0 ) n = 0. Ponadto pochodna funkcji P x (x x 0 ) n+1 nie ma miejsc zerowych w P \ {x 0 } oraz lim (f(x) W n+1 (x)) = 0 i lim (x x 0 ) n+1 = 0. W konsekwencji, z (7.18) i reguły de x x 0 x x0 l Hospitala 7.4.2 (patrz też uwaga 7.4.3) dostajemy lim x x 0 f(x) W n+1 (x) (x x 0 ) n+1 = 0. To daje, że n + 1 N. Reasumując z zasady indukcji mamy N = N. To kończy dowód. Twierdzenie 7.5.4. (wzór Taylora I). Niech P będzie przedziałem, x 0 P oraz niech f : P R będzie funkcją (n 1)-krotnie różniczkowalną (w P ) posiadającą n-tą pochodną w punkcie x 0. Wówczas istnieje funkcja v : P R ciągła w punkcie x 0 taka, że v(x 0 ) = 0 oraz (7.19) f(x) = n Dowód. Oznaczmy f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + (x x 0 ) n v(x) dla x P. oraz v(x) = W (x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k dla x P f(x) W (x) (x x 0 ) n dla x P \ {x 0 } i v(x 0 ) = 0.

168 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Z lematu 7.5.3 wynika ciągłość funkcji v w punkcie x 0. Ponadto mamy (7.19). Definicja wzoru Taylora. Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P R będzie funkcją (n 1)-krotnie różniczkowalną (w P ) posiadającą n-tą pochodną w punkcie x 0 P. Wzór (7.19) nazywamy wzorem Taylora funkcji f w punkcie x 0 ( 5 ). Funkcję (x x 0 ) n v(x), we wzorze Taylora (7.19) (równą f(x) nazywamy resztą Peano. n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k ) Uwaga 7.5.5. Niech P będzie przedziałem, x 0 P oraz niech f : P R będzie funkcją (n 1)-krotnie różniczkowalną (w P ) posiadającą n-tą pochodną w punkcie x 0. Przedstawienie (7.19) funkcji f jest jednoznaczne, w tym sensie, że jeśli F : R R jest wielomianem stopnia co najwyżej n oraz ṽ : P R jest funkcją ciągłą w x 0 taką, że ṽ(x 0 ) = 0 i zachodzi (7.20) f(x) = F (x) + (x x 0 ) n ṽ(x) w P, to F (x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k oraz zgodnie z oznaczeniami (7.19), ṽ = v. Istotnie, oznaczmy W (x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x R. Wówczas z (7.20) i (7.19) dostajemy ( ) F (x) W (x) F (x) f(x) f(x) W (x) lim = lim + = 0. x x 0 (x x 0 ) n x x0 (x x 0 ) n (x x 0 ) n Ponieważ stopień wielomianu F W nie przekracza n, więc łatwo sprawdzamy, że F = W. Stąd natychmiast dostajemy tezę. Ze wzoru Taylora 7.5.4 dostajemy natychmiast Wniosek 7.5.6. Niech P będzie przedziałem, x 0 P oraz niech f : P R będzie funkcją (n 1)-krotnie różniczkowalną (w P ) posiadającą n-tą pochodną w punkcie x 0. Wówczas istnieje funkcja u : P R ciągła w punkcie x 0 taka, że (7.21) f(x) = n 1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + (x x 0 ) n u(x) dla x P i u(x 0 ) = f (n) (x 0 ). n! Uwaga 7.5.7. Jak stwierdziliśmy w uwadze 7.5.2, funkcja wykładnicza e x i funkcje trygonometryczne sin i cos są klasy C. Ze wzoru Taylora 7.5.4 i twierdzenia 5.9.5 mamy e x = x n dla x R, więc wzorem Taylora funkcji e x w punkcie 0 jest n! n=0 e x = n x k + xn v(x) dla x R, 5 Definicja wzoru Maclaurina. Wzór Taylora w punkcie x 0 = 0 nazywamy wzorem Maclaurina.

7.5. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW I WZÓR TAYLORA 169 gdzie v(x) = Taylora k=n+1 x k n, x R. Podobnie, z definicji funkcji sin i cos dostajemy wzory sin x = n ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 + x 2n+1 k=n+1 ( 1) k (2k + 1)! x2(k n) dla x R, cos x = n ( 1) k (2k)! x2k + x 2n k=n+1 ( 1) k (2k)! x2(k n) dla x R. Uwaga 7.5.8. Niech P będzie przedziałem, f, g : P R oraz x 0 P i n N. Jeśli lim x x 0 f(x) g(x) (x x 0 ) n = 0, to istnieje funkcja u : P R ciągła w punkcie x 0, że Fakt ten zapisujemy w skrócie u(x 0 ) = 0 i f(x) = g(x) + (x x 0 ) n u(x) dla x P. f(x) = g(x) + o((x x 0 ) n ) dla x P. W świetle tego wzór Taylora 7.19 można zapisać w postaci: f(x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ) dla x P. Można pokazać, że funkcja f : R R określona wzorami f(x) = e 1 x dla x > 0 oraz f(x) = 0 dla x 0 jest klasy C oraz f (n) f(x) (0) = 0. Zatem dla każdego n mamy lim = 0 x 0 x n i w konsekwencji f(x) = o(x n ). Wzór Taylora prowadzi do pojęcia stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Definicja stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Niech P będzie przedziałem oraz f : P R. Mówimy, że funkcja W : R R postaci W (x) = ax + b, x R, gdzie a, b R są ustalonymi liczbami, jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ), gdzie x 0 P, y 0 = f(x 0 ), gdy W (x 0 ) = y 0 oraz lim x x 0 f(x) W (x) x x 0 = 0. Wniosek 7.5.9. Niech P będzie przedziałem, f : P R oraz niech x 0 P, y 0 = f(x 0 ). (a) Jeśli istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ), to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0. (b) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to istnieje dokładnie jedna styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) i jest ona postaci (7.22) W (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x R.

170 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Dowód. Ad. (a) Niech W (x) = ax + b, x R, gdzie a, b R są ustalonymi liczbami, będzie styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ). Wówczas W (x 0 ) = f(x 0 ), więc f (x 0 ) = a, gdyż f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim x x0 f(x) W (x) W (x) W (x 0 ) + lim x x x x0 = a. 0 x x 0 Ad. (b) Ponieważ f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x 0, więc z lematu 7.5.3 dostajemy f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 To daje, że (7.22) jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ). W myśl uwagi 7.5.5 mamy, że styczna jest określona jednoznacznie. Definicja. Niech α, β R będą różnymi liczbami oraz x R. Mówimy, że x leży między α i β, gdy α < x < β lub β < x < α, zależnie od tego, czy α < β lub β < α. Udowodnimy wersję wzoru Taylora z resztą w postaci Lagrange a. Twierdzenie 7.5.10. (wzór Taylora II). Niech f : [a, b] R będzie funkcją klasy C n 1 posiadającą n-tą pochodną w przedziale (a, b) oraz niech x 0 [a, b]. Wówczas dla każdego x [a, b] takiego, że x x 0 istnieje punkt c leżący między x 0 i x taki, że (7.23) f(x) = n 1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n) (c) (x x 0 ) n. n! Dowód. Ustalmy x [a, b], x x 0. Weźmy funkcję g : [a, b] R określoną wzorem (7.24) g(t) = f(x) f(t) n 1 k=1 f (k) (t) (x t) k, t [a, b], Z założenia o funkcji f mamy, że g jest funkcją ciągłą w [a, b] i różniczkowalną w (a, b), ponadto dla t (a, b) mamy (7.25) g (t) = n 1 = n k=1 f (k+1) (t) (x t) k + n 1 k=1 f (k) (t) (x (k 1)! t)k 1 + n 1 k=1 f (k) (t) (x t)k 1 (k 1)! f (k) (t) (k 1)! (x t)k 1 = f (n) (t) (n 1)! (x t)n 1. Biorąc funkcję h : [a, b] R określoną wzorem h(t) = (x t) n, t [a, b], z twierdzenia Cauchy ego o wartości średniej 7.3.8, istnieje punkt c (a, b), leżący między x i x 0, że (g(x) g(x 0 ))h (c) = g (c)(h(x) h(x 0 )). Ponieważ, co łatwo sprawdzić, g(x) = 0, h(x) = 0, h(x 0 ) = (x x 0 ) n oraz h (c) = n(x c) n 1 0, więc z powyższego i (7.25) dostajemy g(x 0 ) = g (c) h (c) (x x 0) n = f (n) (c) (n 1)! (x c)n 1 n(x c) n 1 (x x 0 ) n = f (n) (c) (x x 0 ) n. n!

7.5. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW I WZÓR TAYLORA 171 Z określenia funkcji g mamy g(x 0 ) = f(x) n 1 dostajemy (7.23). To kończy dowód. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, więc z powyższego Analogicznie jak twierdzenia 7.5.10 dowodzimy następującej wersji wzoru Taylora z resztą w postaci Cauchy ego. Twierdzenie 7.5.11. (wzór Taylora III). Niech f : [a, b] R będzie funkcją klasy C n 1 posiadającą n-tą pochodną w przedziale (a, b) oraz niech x 0 [a, b]. Wówczas dla każdego x [a, b] takiego, że x x 0 istnieje punkt c leżący między x 0 i x taki, że (7.26) f(x) = n 1 f (k) (x 0 ) gdzie 0 < θ < 1 jest postaci θ = c x 0 x x 0. (x x 0 ) k + f (n) (c)(1 θ) n 1 (x x 0 ) n, (n 1)! Dowód. Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 7.5.10, ustalając x [a, b], x x 0 i biorąc funkcję g postaci (7.24) dostajemy (7.25). W konsekwencji, z twierdzenia Lagrange a o wartości średniej 7.3.7, istnieje punkt c leżący między x i x 0, że g(x) = g(x 0 ) + (x x 0 )g (c). Ponieważ g(x) = 0, więc z (7.25) dostajemy g(x 0 ) = (x x 0 ) f (n) (c) (n 1)! (x c)n 1. Przyjmując θ = c x 0 x x 0, widzimy, że 0 < θ < 1 oraz, że x c = (1 θ)(x x 0 ), więc z powyższego dostajemy tezę. Bezpośrednio ze wzoru Taylora 7.5.10 mamy Wniosek 7.5.12. Niech P R będzie przedziałem oraz f : P R funkcją n-krotnie różniczkowalną, n N. Jeśli f (n) (x) = 0 dla x P, to f jest obcięciem do P wielomianu stopnia co najwyżej n 1. Definicja szeregu Taylora funkcji. Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P R będzie funkcją klasy C. Niech x 0 P. Szereg potęgowy (7.27) f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k nazywamy szeregiem potęgowym lub szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x 0. Uwaga 7.5.13. Z definicji szeregu Taylora i wzoru Taylora 7.5.4 dostajemy, że sumy częściowe szeregu Taylora (7.27) spełniają warunek: lim x x 0 f(x) n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k (x x 0 ) n = 0, dla n N. Na podstawie uwagi 7.5.5 dostajemy więc, że szereg Taylora funkcji jest jedynym szeregiem potęgowym w punkcie x 0 spełniającym powyższy warunek.

172 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ Uwaga 7.5.14. Funkcje sin i cos są sumami swoich szeregów Taylora o środku x 0 = 0. ZADANIA Zadanie 7.5.1. (wzór Leibniza). Niech P będzie przedziałem oraz f, g : P R funkcjami n-krotnie różniczkowalnymi w punkcie x 0 P. Wówczas ( ) n n (fg) (n) (x 0 ) = f (k) (x 0 )g (n k) (x 0 ). k 7.6 Przebieg zmienności funkcji W punkcie tym pokażemy, że wiele własności funkcji można odczytać na podstawie znajomości jej pochodnych. 7.6.1 Pochodna i monotoniczność funkcji Z twierdzenia Lagrange a o wartości średniej 7.3.7 wynikają następujące kryteria monotoniczności funkcji. Wniosek 7.6.1. (kryterium monotoniczności funkcji). Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas (a) Funkcja f jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 dla wszystkich x P. (b) Funkcja f jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 dla wszystkich x P. Dowód. Ad. (a) Załóżmy najpierw, że f jest funkcją rosnącą. Weźmy dowolny x 0 P i rozważmy iloraz różnicowy ϕ(x) = f(x) f(x 0) x x 0, x P \ {x 0 }. Ponieważ f jest funkcją rosnącą, więc ϕ(x) 0 dla x P \ {x 0 }. Stąd i z założenia o różniczkowalności f dostajemy f (x 0 ) = lim x x0 ϕ(x) 0. To daje implikację prostą w (a). Załóżmy teraz, że f (x) 0 dla x P. Wówczas, na mocy twierdzenia Lagrange a 7.3.7, dla dowolnych x 1, x 2 P takich, że x 1 < x 2 istnieje x 0 (x 1, x 2 ), że f(x 1 ) f(x 2 ) = f (x 0 )(x 1 x 2 ). W konsekwencji f(x 1 ) f(x 2 ) 0 dla x 1, x 2 P, x 1 < x 2, czyli f jest funkcją rosnącą. To daje implikację odwrotną w (a). Analogicznie jak powyżej dowodzimy (b). Wniosek 7.6.2. (kryterium ścisłej monotoniczności funkcji). Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P R będzie funkcją różniczkowalną. (a) Jeśli f (x) > 0 dla x P, to f jest funkcją ściśle rosnącą. (b) Jeśli f (x) < 0 dla x P, to f jest funkcją ściśle malejącą.

7.6. PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI 173 Dowód. Na mocy twierdzenia Lagrange a 7.3.7 dla dowolnych x 1, x 2 P takich, że x 1 < x 2 istnieje x 0 (x 1, x 2 ), że f(x 1 ) f(x 2 ) = f (x 0 )(x 1 x 2 ). Zatem, jeśli f (x) > 0 dla x P, to mamy f(x 1 ) < f(x 2 ). To daje (a). Analogicznie dowodzimy (b). Uwaga 7.6.3. W powyższych dwóch wnioskach 7.6.1 i 7.6.2, założenia, że funkcja jest określona w przedziale nie można opuścić. Na przykład funkcja f(x) = 1, x R\{0} ma x w każdym punkcie zbioru R \ {0} pochodną dodatnią lecz nie jest rosnąca. Funkcja ta jest rosnąca w przedziałach (, 0) i (0, + ). Takie funkcje nazywa się również przedziałami rosnące. Uwaga 7.6.4. We wniosku 7.6.2 implikacje odwrotne w (a) i (b) nie są prawdziwe. Na przykład funkcja f(x) = x 3, x R, jest ściśle rosnąca lecz f (0) = 0. Udowodnimy teraz uogólnienie kryterium ścisłej monotoniczności funkcji (wniosek 7.6.2). Twierdzenie 7.6.5. (kryterium ścisłej monotoniczności funkcji). Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas: (a) f jest funkcją ściśle rosnącą wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 dla x (a, b) oraz zbiór E = {x (a, b) : f (x) > 0} jest gęsty w (a, b). (b) f jest funkcją ściśle malejącą wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 dla x (a, b) oraz zbiór F = {x (a, b) : f (x) < 0} jest gęsty w (a, b). Dowód. Ad. (a) Załóżmy, że f jest funkcją ściśle rosnącą. Wówczas z wniosku 7.6.1 mamy f (x) 0 dla x (a, b). Przypuśćmy przeciwnie, że zbiór E nie jest gęsty w (a, b). Wtedy istnieją x 1, x 2 (a, b), x 1 < x 2, że (x 1, x 2 ) E =, zatem f (x) = 0 dla x (x 1, x 2 ). Stąd i z wniosku 7.3.10 dostajemy, że f jest funkcją stałą w (x 1, x 2 ). To przeczy ścisłej monotoniczności funkcji f. Załóżmy, że f (x) 0 dla x (a, b) oraz, że zbiór E jest gęsty w (a, b). Wobec wniosku 7.6.1 mamy, że f jest funkcją rosnącą. Przypuśćmy przeciwnie, że f nie jest funkcją ściśle rosnącą. Wtedy istnieją x 1, x 2 P takie, że x 1 < x 2 oraz f(x 1 ) = f(x 2 ). Wówczas dla x [x 1, x 2 ] mamy f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) = f(x 1 ), więc f jest funkcją stałą w (x 1, x 2 ). W konsekwencji f (x) = 0 dla x (x 1, x 2 ), a więc (x 1, x 2 ) E =. To przeczy gęstości zbioru E w (a, b), gdyż (x 1, x 2 ) (a, b). Otrzymana sprzeczność kończy dowód części (a). Część (b) dowodzimy analogicznie jak powyższą. ZADANIA Zadanie 7.6.1.* Jeśli P jest przedziałem i funkcja f : P R spełnia warunek Lipsitza, to f ma pochodna w pewnym gęstym podzbiorze zbioru P.

174 ROZDZIAŁ 7. RÓŻNICZKOWALNOŚĆ 7.6.2 Ekstrema funkcji Definicja ekstremum lokalnego funkcji. Niech X R, f : X R oraz niech x 0 X. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie U R punktu x 0 takie, że U X oraz dla każdego x U zachodzi f(x) f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, gdy istnieje otoczenie U R punktu x 0 takie, że U X oraz dla każdego x U zachodzi f(x) f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne właściwe, gdy istnieje otoczenie U R punktu x 0 takie, że U X oraz dla każdego x U \ {x 0 } zachodzi f(x) < f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne właściwe, gdy istnieje otoczenie U R punktu x 0 takie, że U X oraz dla każdego x U \ {x 0 } zachodzi f(x) > f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne, gdy f ma w punkcie x 0 maksimum lub minimum lokalne. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, gdy f ma w punkcie x 0 maksimum lub minimum lokalne właściwe. Uwaga 7.6.6. Bezpośrednio z definicji widzimy, że o ekstremum funkcji można mówić tylko w punktach wewnętrznych dziedziny funkcji. W szczególności, jeśli P jest przedziałem i f : P R, to funkcja f nie ma ekstremów na końcach przedziału P. Warto jeszcze zwrócić uwagę na różnicę między najmniejszą i największą wartością funkcji i ekstremum lokalnym. Mianowicie każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą lecz nie musi mieć ekstremów lokalnych. Na przykład funkcja f : [0, 1] R określona wzorem f(x) = x dla x [0, 1] ma najmniejszą wartość równą 0 przyjmowaną w końcu przedziału 0 lecz funkcja ta nie ma ekstremów lokalnych. Uwaga 7.6.7. Ekstremum lokalne funkcji jest własnością lokalną funkcji. Mianowicie, niech f : X R oraz niech x 0 Int X. Wówczas funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U R punktu x 0, funkcja f X U : X U R ma w punkcie x 0 maksimum lokalne. Zachodzi również analogiczna własność dla minimum lokalnego. Z twierdzenia Fermata 7.3.2 dostajemy natychmiast następującą wersję tego twierdzenia. Twierdzenie 7.6.8. (warunek konieczny istnienia ekstremum). Niech X R oraz f : X R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x 0 Int X. Jeśli funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Dowód. Załóżmy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne. Wówczas istnieje przedział (a, b) X taki, że x 0 (a, b) oraz f(x) f(x 0 ) dla x (a, b). Ponieważ f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x 0, więc z twierdzenia Fermata 7.3.2 dostajemy f (x 0 ) = 0. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f ma w punkcie x 0 minimum lokalne.

7.6. PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI 175 Uwaga 7.6.9. Warunek zerowania się pochodnej w punkcie x 0 nie wystarcza aby stwierdzić, czy funkcja ma w punkcie x 0 ekstremum. Na przykład funkcja f(x) = x 3 dla x R spełnia warunek f (0) = 0 lecz nie ma ekstremum w punkcie 0. Twierdzenie 7.6.10. (warunek wystarczający istnienia ekstremum I). Niech f : X R będzie funkcją ciągłą i różniczkowalną w X \ {x 0 }, gdzie x 0 X. (a) Jeśli istnieje δ > 0 taka, że (x 0 δ, x 0 + δ) X oraz f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne. (b) Jeśli istnieje δ > 0 taka, że (x 0 δ, x 0 + δ) X oraz f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne. Dowód. Ad. (a) Weźmy dowolny x (x 0 δ, x 0 ). Wówczas z twierdzenia Lagrange a o wartości średniej 7.3.7 istnieje x (x, x 0 ) taki, że f(x) f(x 0 ) = f ( x)(x x 0 ). Z założenia mamy f ( x) 0, więc f(x) f(x 0 ) 0. To daje, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 ). Analogicznie pokazyjemy, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0, x 0 + δ). To daje, że f ma minimum lokalne w punkcie x 0. Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). Z twierdzenia 7.6.10 dostajemy natychmiast Wniosek 7.6.11. Niech f : X R będzie funkcją różniczkowalną oraz x 0 X. (a) Jeśli istnieje δ > 0 taka, że (x 0 δ, x 0 + δ) X oraz f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne. (b) Jeśli istnieje δ > 0 taka, że (x 0 δ, x 0 + δ) X oraz f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne. Uwaga 7.6.12. Często w warunku wystarczającym istnienie ekstremum 7.6.11 dodaje się założenie f (x 0 ) = 0. Opuściliśmy to założenie, gdyż wynika ono z różniczkowalności funkcji f w punkcie x 0, warunku koniecznego istnienia ekstremum i pozostałych założeń. Powtarzając dowód twierdzenia 7.6.10 dostajemy natychmiast Wniosek 7.6.13. Niech f : X R będzie funkcją ciągłą i różniczkowalną w X \ {x 0 }, gdzie x 0 X. (a) Jeśli istnieje δ > 0 taka, że (x 0 δ, x 0 + δ) X oraz f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne właściwe. (b) Jeśli istnieje δ > 0 taka, że (x 0 δ, x 0 +δ) X oraz f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) i f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne właściwe. Ze wzoru Taylora dostajemy jeszcze jeden warunek wystarczający istnienia ekstremum.