XI. RÓWNOWAGA I SPRĘŻYSTOŚĆ

XI. RÓWNOWAGA I SPRĘŻYSTOŚĆ 11.1. Równowaga Ciało sztywne pozostające w spoczynku jest w ównowadze statycznej. Jak wiemy, uch postępowy ciała opisuje duga zasada dynamiki Newtona, któą za pomocą pędu ciała można zapisać w postaci ównania dp Fwyp = dt. Jeśli ciało jest w ównowadze z uwagi na uch postępowy, to pęd powyższego ównania jest ówna zeu, czyli P jest stały i pawa stona F wyp = 0. (11.1) W pzypadku uchu obotowego duga zasada dynamiki ma postać dl M wyp = dt, gdzie L oznacza moment pędu. W pzypadku ównowagi moment ten jest stały, co powadzi do ównania M wyp = 0. (11.) Równania (11.1) i (11.) okeślają dwa waunki ównowagi:! suma wektoowa wszystkich sił zewnętznych działających na ciało musi być ówna zeu,! suma wektoowa wszystkich działających na ciało zewnętznych momentów sił, miezonych względem dowolnego punktu odniesienia, musi być ówna zeu. Waunki te są spełnione, gdy ciało znajduje się w ównowadze statycznej ( P= 0 i L= 0) oaz w pzypadku ogólniejszym, gdy wektoy pędu i momentu pędu są stałe, choć niekoniecznie ówne zeu. Siła ciężkości działa z osobna na wszystkie elementy ciała ozciągłego. Sumayczne działanie tych sił jest ównoważne pzyłożeniu całkowitej siły ciężkości ciała F g w śodku ciężkości tego ciała. Jeśli dla wszystkich elementów ciała pzyspieszenie gawitacyjne g jest jednakowe, to śodek ciężkości ciała i jego śodek masy znajdują się w tym samym punkcie. 11.. Spężystość Pod wpływem działających sił ciało może zmienić swoje ozmiay na tzy sposoby może ozciągnąć się (ścisnąć), zostać ścięte lub zmienić swoją objętość. Wspólną cechą tych pzypadków jest to, że względne odkształcenie ciała zależy od watości siły odkształcającej ciało, jaka

11.. Spężystość 81 pzypada na jednostkę jego pola powiezchni. Wielkość tę nazywamy napężeniem. Na ys. 11.1 pzedstawiono napężenie ozciągające (ys. 11.1 a)), napężenie ścinające (ys. 11.1 b)) i napężenie objętościowe, zwane też hydostatycznym (ys. 11.1 c)). W każdym z tych pzypadków napężenie i odkształcenie są do siebie popocjonalne, a współczynnik popocjonalności nazywa się modułem spężystości. Mamy zatem napężenie = (moduł spężystości) @ (odkształcenie). (11.3) Rys. 11. Rodzaje napężeń Po pzekoczeniu pzez napężenie pewnej watości, zwanej ganic spężystości mateiału, póbka ulega odkształceniu twałemu. Pzy dalszym zwiększaniu napężenia można dopowadzić do pęknięcia póbki, co zachodzi dla napężenia zwanego napężeniem niszczącym. Gdy ciało jest ozciągane lub ściskane, napężenie definiuje się pzez iloaz F / S, gdzie F oznacza watość siły pzyłożonej do ciała w miejscu, w któym ma pole S pzekoju postopadłego do kieunku działania siły. Za miaę odkształcenia pzyjmuje się wielkość bezwymiaową )L / L, czyli względną zmianę długości póbki. Moduł spężystości związany z odkształceniem pzy ozciąganiu lub ściskaniu nazywa się modułem Younga i oznacza symbolem E. Równanie (11.3) ma w tym pzypadku postać Moduł Younga ma zwykle dla danego mateiału taką samą watość pzy ozciąganiu i ściskaniu, ale napężenie niszczące może być zupełnie óżne dla tych dwóch odzajów napężeń. Na pzykład beton jest badzo odpony na ściskanie, a badzo kuchy pzy ozciąganiu. W pzypadku odkształcenia popzecznego (ścinania) napężenie miezy się także za pomocą siły na jednostkę powiezchni, ale siła działa teaz nie postopadle do tej powiezchni, lecz ównolegle do niej. Odkształcenie wyaża bezwymiaowy paamet )x / L (zob. ys. 11.1 b)). Odpowiedni moduł spężystości nazywa się modułem ścinania i oznacza liteą G. Równanie (11.3) ma wówczas postać F S F S = E L. L = G x. L

8 XI. Równowaga i spężystość W napężeniu objętościowym miaą odkształcenia jest stosunek )V / V, gdzie V oznacza piewotną objętość póbki, a )V watość bezwzględną zmiany objętości. Moduł spężystości oznacza się liteą K i nazywa modułem spężystości objętościowej lub modułem ściśliwości mateiału. Równania (11.3) ma w tym pzypadku postać p= K V. V Ciała stałe są na ogół mniej ściśliwe niż ciecze, w któych atomy i cząsteczki są znacznie luźniej związane ze swymi sąsiadami. Zadania 1. Pzyspieszenie ziemskie g zmienia się nieznacznie w obębie budowli, tak że śodek ciężkości budowli jest zwykle w tym samym miejscu, co śodek masy. Na ys. 11. pzedstawiono wymyślony układ sześciu cząstek, każda o masie m, w któym pzyspieszenie ziemskie jest óżne dla óżnych cząstek i wynosi: cząstka 1 8,0; 7,8; 3 7,6; 4 7,4; 5 7,6 i cząstka 6 7,8 (w m / s ). Odległość sąsiednich cząstek wzdłuż boku konstukcji wynosi m. Podać a) współzędne x i y śodka masy, b) współzędne x i y śodka ciężkości układu tych sześciu cząstek. Rys. 11.. Zadanie 1. Jak pokazano na ys. 11.3, jednoodna kula o masie m = 0,85 kg i pomieniu = 4, cm jest zawieszona na linie o znikomo małej masie, pzymocowanej do haka odległego w pionie od śodka kuli o L = 8 cm. Zakładając, że między kulą i ścianą nie występuje tacie, wyznaczyć a) napężenie liny, b) siłę działającą na kulę ze stony ściany. 3. Metowy pęt mieniczy jest poziomy i znajduje się w ównowadze, gdy jest podpaty na ostzu znajdującym się pzy kesce oznaczającej 50 cm. Gdy w punkcie oznaczającym 1 cm położono na pęcie dwie monety o masie 5 g każda, do zachowania ównowagi pęta tzeba było pzesunąć ostze do keski oznaczającej 45,5 cm. Ile wynosi masa tego pęta?

11.. Spężystość 83 Rys. 11. 3. Zadanie 4. Poziomy pęt aluminiowy o śednicy 4,8 cm wystaje ze ściany na długość 5,3 cm. Na końcu tego pęta zawieszono pzedmiot o masie 100 kg. Moduł ścinania wynosi dla aluminium 3,0 @ 10 10 N / m. Pomijając masę pęta, wyznaczyć a) napężenie ścinające działające na pęt, b) odkształcenie pionowe końca pęta.

XII. GRAWITACJA 1.1. Pawo powszechnego ciążenia Pawo powszechnego ciążenia zostało sfomułowane w 1665 oku pzez Izaaka Newtona. Dokonał on niezwykłego odkycia wykazując, że siła utzymująca Księżyc na obicie wokół Ziemi to ta sama siła, któa powoduje, że jabłko spada z dzewa na ziemię. W ogólności pawo to mówi, że każda cząstka we Wszechświecie pzyciąga każdą inną cząstkę siłą gawitacji, któej watość wynosi F G mm 1 =, (1.1) gdzie m 1 i m oznaczają masy cząstek, odległość między nimi, a G oznacza stałą gawitacji, któej watość wynosi 11 N m 11 m G = 6, 67 10 = 6, 67 10. kg kg s Siła gawitacyjna, któa działa na cząstkę ze stony cząstki 1 ma taką samą watość, jak siła działająca na cząstkę 1 ze stony cząstki, lecz jest skieowana pzeciwnie. Te dwie siły stanowią paę akcja-eakcja. Pawo powszechnego ciążenia Newtona obowiązuje dla cząstek, ale może być także stosowane w odniesieniu do ciał zeczywistych, o ile ich ozmiay są małe w poównaniu z odległością między nimi. Newton wykazał, że ciało w kształcie jednoodnej powłoki kulistej pzyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątz tej powłoki tak, jak gdyby cała masa powłoki była skupiona w jej śodku. Siła gawitacji podlega zasadzie supepozycji, zgodnie z któą w pzypadku, gdy oddziałuje ze sobą n cząstek, to wypadkowa F 1, wyp sił działających na cząstkę 1 jest sumą sił działających na tę cząstkę ze stony pozostałych cząstek, tj. F W pzypadku ciała ozciągłego można podzielić to ciało na nieskończenie małe elementy masy dm, z któych każdy działa na cząstkę siłą df. Sumę w ównaniu (1.) można wówczas za- pisać jako całkę F1 = df. 3 n = Fi (1.) 1, wyp 1. i =

1.. Gawitacja w pobliżu powiezchni Ziemi 85 1.. Gawitacja w pobliżu powiezchni Ziemi Załóżmy, że Ziemia jest jednoodną kulą o masie M. Z ównania (1.1) wynika, że watość siły gawitacyjnej, z jaką Ziemia działa na cząstkę o masie m, któa znajduje się poza Ziemią w odległości od jej śodka, wynosi Jeśli tę cząstkę puścimy swobodnie, to pod wpływem siły gawitacyjnej będzie ona spadać na Ziemię wzdłuż postej skieowanej do śodka Ziemi z pzyspieszeniem a g. Pzyspieszenie to nazywa się pzyspieszeniem gawitacyjnym lub pzyspieszeniem ziemskim. Związek watości F i a g wynika z dugiej zasady dynamiki, tj. Z ostatnich dwóch ównań wynika, że F = G Mm. a F = ma g. g = GM, z czego wynika, że pzyspieszenie ziemskie maleje waz ze wzostem odległości od śodka Ziemi (popzednio pzyspieszenie ziemskie oznaczaliśmy pzez g i pzyjmowaliśmy dla niego stałą watość 9,8 m / s ). Ziemia nie jest jednak ciałem idealnym. W wielu pzypadkach paktycznych należy uwzględnić, że:! masa Ziemi nie jest ozłożona ównomienie, wobec czego w óżnych miejscach na powiezchni Ziemi watość g pzyjmuje nieco inne watości (na tej samej wysokości),! Ziemia nie jest kulista i w pzybliżeniu ma kształt elipsoidy obotowej (pomień Ziemi na ówniku jest o 1 km większy od jej pomienia na biegunie), co powoduje, że pzyspieszenie swobodnego spadku g ciała ośnie w miaę pzemieszczania tego ciała (na poziomie moza) z ównika na biegun,! Ziemia obaca się, co powoduje, że ciało umieszczone na powiezchni Ziemi gdziekolwiek poza biegunami wykonuje uch po okęgu z pzyspieszeniem dośodkowym skieowanym do śodka tego okęgu (źódłem tego pzyspieszenia jest siła dośodkowa skieowana także ku śodkowi okęgu). Ruch obotowy Ziemi powoduje, że duga zasada dynamiki dla ciała na powiezchni Ziemi ma postać F ma = m( ω R), N g gdzie F N oznacza watość siły nomalnej (ównej mg), T pędkość kątową Ziemi, a R oznacza pomień okęgu, po któym pousza się ciało. Mamy zatem mg = ma m( R), g co oznacza, że (zmiezony cięża) = (watość siły gawitacyjnej)! (masa azy pzyspieszenie dośodkowe). ω

86 XII. Gawitacja Z ównania tego wynika, że cięża wskazany pzez wagę jest mniejszy od watości działającej na ciało siły gawitacyjnej. Z ównania tego wynika też, że g = ag ω R, co oznacza, że (pzyspieszenie spadku ciała) = (pzyspieszenie gawitacyjne)! (pzyspieszenie dośodkowe), czyli, że miezone pzyspieszenie jest mniejsze od pzyspieszenia gawitacyjnego. 1.3. Gawitacja wewnątz Ziemi Twiedzenie Newtona o powłoce obowiązuje ównież w pzypadku, gdy cząstka znajduje się wewnątz tej powłoki. Można je wypowiedzieć następująco: wypadkowa siła gawitacyjna, z jaką ciało w kształcie powłoki kulistej działa na cząstkę znajdującą się wewnątz tej powłoki, jest ówna zeu. Nie oznacza to, że siły gawitacyjne działające na cząstkę ze stony óżnych elementów powłoki znikają, ale że suma wektoowa sił działających na cząstkę ze stony wszystkich elementów powłoki jest ówna zeu. Siła gawitacyjna F, jak działa na cząstkę umieszczoną wewnątz jednoodnej kuli w odle- głości od jej śodka, pochodzi wyłącznie od masy M wewn tej części kuli, któa jest zawata w kuli wewnętznej o pomieniu : gdzie D oznacza gęstość kuli, R jej pomień, a M oznacza jej masę. Masę tej kuli wewnętznej można uznać za skupioną w jej śodku i wykozystać pawo powszechnego ciążenia, co daje gdzie m oznacza masę cząstki. 4 3 M Mwewn = π ρ = 3 R, 3 F = GmM, 3 R 1.4. Gawitacyjna enegia potencjalna W celu wyznaczenia gawitacyjnej enegii potencjalnej w odległości R od śodka Ziemi, wyznaczmy najpiew pacę W, wykonaną pzez siłę gawitacyjną, pzy pzemieszczaniu ciała z odległości R do nieskończoności. Siła gawitacyjna F () jest siłą zmienną (jej watość zależy od odległości ), a zatem mamy W = F () d. (1.3) R Całka ta zawiea iloczyn skalany siły F () i wektoa óżniczkowego pzemieszczenia d, któy jest ówny F () d= Fd () cos ϕ,

1.4. Gawitacyjna enegia potencjalna 87 gdzie n oznacza kąt między wektoami F () i d. Do wzou tego podstawiamyϕ = 180 i kozystamy z pawa powszechnej gawitacji, co daje gdzie M oznacza masę Ziemi, a m mas cząstki. Po podstawieniu tej zależności do wzou (1.3) otzymujemy W ównaniu tym W oznacza pacę potzebną do pzeniesienia cząstki z punktu znajdującego się w odległości R od śodka Ziemi do nieskończoności. Pacę tę można też zapisać jako óżnicę enegii potencjalnej: E p, i ponieważ enegia potencjalna w nieskończoności jest ówna zeu, więc ostatecznie mamy GMm Ep = W =, (1.4) pzy czym zamieniliśmy tu R na. Gdy badany układ składa się z więcej niż dwóch cząstek, to ozważamy każdą paę cząstek z osobna, obliczając enegię potencjalną tej pay z ównania (1.4), po czym dodajemy do siebie otzymane wyniki. Dla układu tzech cząstek odpowiedni wzó miałby postać Minimalną pędkość, jaka jest potzebna do opuszczenia pzez ciało obszau pzyciągania pzez inne ciało, nazywamy pędkością ucieczki. Rozważmy cząstkę (np. pocisk) o masie m opuszczającą powiezchnię planety z pędkością v. Ma ona enegię kinetyczną i enegię potencjalną GMm F () d= d, GMm GMm W = GMm 1 d = = 0 = R R GMm R gdzie M oznacza masę planety, a R jej pomień. Pocisk ma zatzymać się w nieskończoności, a zatem ma tam mieć enegię kinetyczną ówną zeu. Jego enegia potencjalna będzie wówczas także ówna zeu, co oznacza, że całkowita enegia pocisku w nieskończoności jest ówna zeu. Z zasady zachowania enegii wynika, że całkowita enegia musi być ówna zeu także na powiezchni planety. Mamy zatem R E, E = W p E G mm mm mm p = 1 + 1 3 + 3. 1 p 13 Ek = 1 mv GMm E p = R, 1 Ek + Ep = mv + GMm R 3 = 0,.

88 XII. Gawitacja skąd GM v =. R Pędkość ucieczki v nie zależy od kieunku, w jakim pocisk opuszcza planetę. W paktyce, z uwagi na uch obotowy planety wokół jej osi, kieunek wystzału pocisku jest nieco odchylony od pionu. Na pzykład stat akiety z wyzutni na pzylądku Canaveal odbywa się w kieunku nieco odchylonym na wschód od pionu. Dla Ziemi pędkość ucieczki wynosi 11, km / s, dla Księżyca,38 km / s, a dla Słońca 618 km / s. 1.5. Pawa Keplea Pawa empiyczne opisujące uch planet podał Johannes Keple (1571 1630) po badaniach, któe zajęły mu całe życie. Keple posłużył się m. in. danymi obsewacyjnymi Tycho Bahe (1546 1601). Izaak Newton (164 177) wykazał później, że pawa Keplea wynikają z jego pawa powszechnego ciążenia. Pawa Keplea są następujące:! (piewsze pawo) wszystkie planety pouszają się po obitach w kształcie elipsy, w któej ognisku znajduje się Słońce,! (dugie pawo) linia łącząca planetę ze Słońcem zakeśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powiezchni w płaszczyźnie obity, czyli ds dt = const, gdzie S oznacza pole powiezchni zakeślonej pzez tę linię,! (tzecie pawo) kwadat okesu uchu każdej planety na obicie wokół Słońca jest popocjonalny do sześcianu półosi wielkiej tej obity. Aby wypowadzić wzó okeślający tzecie pawo Keplea, ozważmy (dla postoty) obitę kołową o pomieniu. Z dugiej zasady dynamiki (F = ma) mamy GMm = mω, pzy czym po lewej stonie występuje watość siły z pawa powszechnej gawitacji, a po pawej stonie masa jest pomnożona pzez pzyspieszenie dośodkowe. Jeśli uch odbywa się po obicie kołowej, to T = B / T, gdzie T oznacza okes uchu po obicie. Stąd T 4 GM 3 = π, (1.5) pzy czym wielkość w nawiasie jest stałą, któej watość zależy tylko od masy M ciała, wokół któego kąży planeta. Równanie (1.5) obowiązuje także dla obit eliptycznych, pzy czym zamiast pomienia należy w nim podstawić półoś wielką elipsy a. Dla obit planet Układu Słonecznego stosunek T / a 3 pzedstawiono w tabeli 11.

1.6. Satelity obity i enegia 89 Tabela 11. Tzecie pawo Keplea dla planet Układu Słonecznego Planeta Półoś wielka a [10 10 m] Okes T [a] T / a 3 [10!34 a / m 3 ] Mekuy 5,79 0,41,99 Wenus 10,8 0,615 3,00 Ziemia 15,0 1,00,96 Mas,8 1,88,98 Jowisz 77,8 11,9 3,01 Satun 143 9,5,98 Uan 87 84,0,98 Neptun 450 165,99 1.6. Satelity obity i enegia Gdy satelita obiega Ziemię po obicie eliptycznej, okesowo zmienia się zaówno jego pędkość, od któej zależy jego enegia kinetyczna E k, jak i jego odległość od śodka Ziemi, od któej zależy jego enegia potencjalna E p. Enegia mechaniczna satelity E pozostaje jednak stała (pzy założeniu, że masa satelity jest mała w poównaniu z masą Ziemi). Enegia potencjalna układu jest dana ównaniem gdzie M i m oznaczają masy Ziemi i satelity, a pomień obity kołowej (zakładamy, że enegia potencjalna E p = 0 dla nieskończenie odległych ciał). Z dugiej zasady dynamiki dla obity kołowej mamy GMm = m v, gdzie wyażenie v / pzedstawia pzyspieszenie dośodkowe satelity. Wyznaczając z tego ównania v i podstawiając do wzou na enegię kinetyczną E k otzymujemy Poównując wzoy (1.6) i (1.7) widzimy, że Całkowita enegia mechaniczna satelity na obicie jest zatem ówna E p GMm = (1.6) GMm Ek = 1 mv =. (1.7) E k E p =. GMm GMn GMm E = Ek + Ep = =,

90 XII. Gawitacja czyli całkowita enegia kinetyczna satelity jest ówna jego enegii kinetycznej wziętej ze znakiem pzeciwnym (E =!E k ). W pzypadku obity eliptycznej mamy E GMm =. a Z ównania tego wynika, że całkowita enegia satelity na obicie zależy wyłącznie od półosi wielkiej tej obity (a nie zależy od jej mimośodu). Zadania 1. Pewne ciało o masie M dzieli się na dwie części o masach m i M! m, któe następnie oddalają się od siebie. Dla jakiej watości stosunku m / M watość siły gawitacyjnej działającej między tymi częściami jest największa?. W jakiej odległości od siebie muszą znajdować się dwie cząstki o masach 5, kg oaz,4 kg, aby ich siła pzyciągania gawitacyjnego miała watość,3 @ 10!1 N? 3. Chcemy umieścić sondę kosmiczną na postej łączącej Ziemię i Słońce, aby obsewować ozbłyski słoneczne. W jakiej odległości od śodka Ziemi musi znajdować się ta sonda, aby siły pzyciągania gawitacyjnego działające na nią ze stony Ziemi i Słońca ównoważyły się? 4. a) Ile będzie ważyło na powiezchni Księżyca ciało, któe na powiezchni Ziemi waży 100 N? b) W jakiej odległości od śodka Ziemi, miezonej w jednostkach pomienia Ziemi, należałoby umieścić to ciało, aby jego cięża był ówny ciężaowi na Księżycu? 5. Na jakiej wysokości nad powiezchnią Ziemi pzyspieszenie gawitacyjne jest ówne 4,9 m / s? 6. Śednica Masa wynosi w pzybliżeniu 6,9 @ 10 3 km, a śednica Ziemi 1,3 @ 10 4 km. Masa Masa stanowi 0,11 masy Ziemi. a) Ile wynosi stosunek śednich gęstości Masa i Ziemi? b) Ile wynosi pzyspieszenie gawitacyjne na Masie? c) Ile wynosi pędkość ucieczki na Masie? 7. Obliczyć enegię potzebną do ucieczki ciała: a) z Księżyca, b) z Jowisza, wyażając ją w jednostkach enegii potzebnej do ucieczki z Ziemi. 8. a) Ile wynosi pędkość liniowa satelity Ziemi na obicie kołowej odległej od powiezchni Ziemi o 160 km? b) Ile wynosi okes obiegu Ziemi pzez tego satelitę? 9. Satelita Masa Phobos obiega planetę po obicie niemal kołowej. Znając pomień tej obity, ówny 9,4 @ 10 6 m oaz okes obiegu, wynoszący 7 h 39 min, wyznaczyć masę Masa. 10. Słońce, któego masa wynosi @ 10 30 kg, obiega śodek Dogi Mlecznej, odległy od nas o, @ 10 0 m, pzy czym okes tego uchu wynosi,5 @ 10 8 lat. Pzyjmując, że wszystkie gwiazdy w Galaktyce mają masy ówne masie Słońca, że są ozłożone ównomienie w kuli

1.6. Satelity obity i enegia 91 o śodku w centum Galaktyki oaz że Słońce znajduje się na skaju tej kuli, oszacować liczbę gwiazd w naszej Galaktyce. 11. Pewna kometa, zaobsewowana pzez astonomów chińskich w kwietniu 574 oku, została ponownie zauważona na niebie w maju 1994 oku. Pzyjmując czas, któy upłynął między tymi obsewacjami za okes obiegu tej komety wokół Słońca i zakładając, że mimośód obity jest ówny 0,993, obliczyć: a) półoś wielką obity tej komety, b) największą odległość komety od Słońca. 1. Satelita pouszający się wokół Ziemi po obicie eliptycznej znajduje się na wysokości 360 km nad powiezchnią Ziemi, gdy jest najdalej od Ziemi, a na wysokości 180 km, gdy jest najbliżej Ziemi. Obliczyć: a) półoś wielką, b) mimośód jego obity. 13. a) Na jakiej wysokości nad powiezchnią Ziemi enegia potzebna do wyniesienia satelity na tę wysokość jest ówna enegii kinetycznej potzebnej satelicie do uchu po obicie na tej wysokości? b) Co jest większe na wysokości większej niż ta z punktu a): enegia potzebna do wyniesienia na nią satelity czy enegia kinetyczna w uchu po obicie? 14. Satelita kąży wokół planety o nieznanej masie po obicie o pomieniu @ 10 7 m. Watość siły gawitacyjnej, jaką działa planeta na satelitę, wynosi F = 80 N. a) Ile wynosi enegia kinetyczna satelity na obicie? b) Jaka byłaby watość siły F, gdyby pomień tej obity zwiększył się do watości 3 @ 10 7 m?

XIII. PŁYNY 13.1. Płyny, gęstość i ciśnienie Płyny (ciecze i gazy) to substancje zdolne do pzepływu. Do ich opisu stosuje się wielkości, któe mogą mieć óżną watość w óżnych punktach ciała (z uwagi na ozciągłość substancji). Zamiast posługiwać się masą i siłą, w pzypadku płynów używamy pojęcia gęstości i ciśnienia. Gęstość D dowolnego ciała jest zdefiniowana jako masa jednostkowej objętości ciała, czyli ρ = m V. Ściślej: gęstość płynu w danym punkcie jest ówna ganicy tego iloazu, gdy objętość )V dąży do zea. W paktyce zakładamy zwykle, że badana póbka cieczy jest gładka (tzn. o stałej gęstości), a nie złożona z ziaen atomowych. Założenie to umożliwia nam wyażenie gęstości pzez masę m i objętość V póbki: ρ = m V. (13.1) Gęstość jest wielkością skalaną, a jej jednostką w układzie SI jest kilogam na met sześcienny. Płyn pzyjmuje kształt naczynia, ponieważ nie może pzeciwstawić się napężeniu ścinającemu (sile stycznej do jego powiezchni). Może jednak działać siłą postopadłą do swej powiezchni. Siłę tę wyażamy za pomocą ciśnienia: gdzie )F oznacza siłę działającą na element powiezchni )S. Jeśli siła działa ównomienie na całą płaską powiezchnię, to można ciśnienie wyazić wzoem p p F = S, F =. (13.) S Jednostką ciśnienia w układzie SI jest niuton na met kwadatowy. Jednostkę tę nazywa się paskalem (oznaczenie: Pa). Paskal jest związany z innymi, wciąż często spotykanymi jednostkami zależnością 1 atm = 1,01 @ 10 5 Pa = 760 T. Atmosfea (atm) jest to pzybliżona watość ciśnienia atmosfeycznego na poziomie moza. To (T), nazwany tak na część Evangelisty Toicellego, któy wynalazł baomet tęciowy w 1647 oku, jest okeślany ównież jako milimet słupa tęci (mm Hg).

13.3. Pawo Pascala 93 13.. Płyny w spoczynku Gdy płyn jest w spoczynku, ciśnienie w każdym jego punkcie zależy od położenia tego punktu w pionie y. Gdy oś y jest skieowana w góę, mamy p = p + ρ g( y y ), (13.3) 1 1 gdzie p i oznacza ciśnienie na poziomie y i. Aby wypowadzić ten wzó wyobaźmy sobie walec wody, któego podstawy mają powiezchnię S. Na góną powiezchnię walca działa siła F 1 ze stony znajdującej się nad nią wody. Na dolną powiezchnię działa siła F ze stony znajdują- cej się pod nią wody. Na wodę działa też siła ciężkości mg, gdzie m oznacza masę wody za- watej w objętości walca. Siły te ównoważą się, czyli F = F1 + mg. Z ównania (13.) mamy F = p S i F = p S, 1 1 a z ównania (13.1) wynika, że m = DV. Stąd ps= ps+ ρ Sgy ( y) 1 1 i po podzieleniu pzez S dostajemy ównanie (13.3). Jeśli pzez h oznaczymy głębokość w póbce płynu, miezoną w dół od poziomu odniesienia, na któym panuje ciśnienie p 0, to podstawiając w ównaniu (13.3) y = 0, p = p, y = h, p = p, 1 1 0 otzymamy p= p0 + ρ gh. Ze wzou tego wynika, że ciśnienie w pewnym punkcie w płynie znajdującym się w ównowadze statycznej zależy od głębokości tego punktu pod powiezchnią płynu, a nie zależy od poziomych ozmiaów płynu ani zbionika, w któym płyn jest zawaty. Do pomiau ciśnienia atmosfeycznego stosuje się baomet tęciowy, a do pomiau nadciśnienia gazu zamkniętego w naczyniu manomet otwaty. 13.3. Pawo Pascala Pawo Pascala, sfomułowane w 165 oku, mówi, że w zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest pzenoszona bez zmiany watości do każdego miejsca w płynie i do ścian zbionika. W celu uzasadnienia pawa Pascala wyobaźmy sobie, że nieściśliwym płynem jest ciecz zawata w cylindze. Cylinde jest od góy zamknięty tłokiem, na któym umieszczono pewien cięża. Na tłok, a zatem i na ciecz, działa ciśnienie atmosfeyczne oaz ciśnienie związane z siłą, jaką działa na tłok ten cięża. Jeżeli oznaczymy sumę tych wszystkich ciśnień pzez p zewn, to ciśnienie p w dowolnym punkcie cieczy wynosi

94 XIII. Płyny p= pzewn + ρ gh. Jeśli zwiększymy cięża na tłoku, to ciśnienie p zewn wzośnie o )p zewn. Wielkości D, g i h są stałe w powyższym ównaniu, a zatem zmiana ciśnienia w dowolnym punkcie cieczy wynosi p=. p zewn Ten pzyost ciśnienia nie zależy od h, a więc musi być taki sam w każdym punkcie cieczy. 13.4. Pawo Achimedesa i ównanie ciągłości Pawo Achimedesa mówi, że na ciało całkowicie lub częściowo zanuzone w płynie działa ze stony płynu siła wypou F w. Jest ona skieowana pionowo do góy, a jej watość jest ówna ciężaowi m p g płynu wypatego pzez to ciało, czyli F w = m g. (13.4) p Gdy ciało pływa w płynie, to watość działającej na nie siły wypou F w jest ówna watości działającej na nie siły ciężkości F g. Z uwagi na ównanie (13.4) zdanie to można też wypowiedzieć następująco: gdy ciało pływa w płynie, to watość działającej na nie siły ciężkości F g jest ówna ciężaowi płynu wypatego pzez to ciało m p g. Ciało stałe umieszczone w płynie ma cięża pozony, któy jest związany z działającą na to ciało siłą wypou. Mamy cięża pozony = cięża zeczywisty! watość siły wypou. Ruch płynów zeczywistych jest badzo złożony i ciągle jeszcze nie umiemy go w pełni opisać. Za płyn doskonały uważa się płyn nieściśliwy, któy nie ma lepkości, a jego pzepływ jest ustalony i bezwiowy. Pzy pzepływie płynu doskonałego pzez dowolną uę jest spełnione ównanie ciągłości postaci R V = Sv =const, gdzie R V oznacza stumień objętościowy (szybkość pzepływy objętości), S pole pzekoju popzecznego uy w pewnym jej punkcie, a v pędkość pzepływu płynu w tym punkcie uy. Jednostką tej wielkości w układzie SI jest met sześcienny na sekundę. Gdy gęstość płynu D jest stała, to po pomnożeniu stonami powyższego ównania pzez gęstość możemy wyznaczyć szybkość pzepływu masy (tzw. stumień masy) R m, czyli masę płynu pzepływającego pzez uę w jednostkowym czasie. Otzymamy R = ρr = ρsv = const. m V 13.5. Równanie Benoulliego Wyazem zasady zachowania enegii mechanicznej pzy pzepływie płynu doskonałego jest ównanie Benoulliego, któe jest spełnione w każdym punkcie stugi płynu. Równanie to ma postać

13.5. Równanie Benoulliego 95 1 p+ ρv + ρgy = const, (13.5) gdzie y oznacza poziom (współzędną pionową). Wyażenie Dv / nazywa się gęstością enegii kinetycznej płynu (jest to enegia kinetyczna jednostki objętości płynu). Jeżeli pzez y 1, v 1 i p 1 oznaczymy poziom, pędkość i ciśnienie płynu wchodzącego do uy z jednej stony, a pzez y, v i p odpowiednie wielkości odnoszące się do płynu wychodzącego z uy z dugiej stony, to ównanie (13.5) można zapisać w postaci 1 1 p1 + ρv1 + ρgy1 = p + ρv + ρ gy. (13.6) Najważniejszy wniosek, jaki wynika z ównania Benoulliego, otzymamy, gdy założymy, że wielkość y jest stała (możemy dla wygody pzyjąć y = 0), czyli że płyn nie zmienia w takcie pzepływu swego położenia. Wówczas mamy 1 1 p1 + ρv1 = p + ρ v. Oznacza to, że jeśli pzy pzepływie wzdłuż poziomej linii pądu pędkość elementu płynu wzasta, to ciśnienie płynu maleje i na odwót. W celu wypowadzenia ównania Benoulliego zapiszmy zasadę zachowania enegii w postaci związku pacy ze zmianą enegii kinetycznej, tzn. W = E k, (13.7) z któego wynika, że zmiana enegii kinetycznej układu jest ówna całkowitej pacy wykonanej nad układem.. Zmiana enegii kinetycznej jest wynikiem zmiany pędkości płynu między końcami uy, czyli 1 1 1 Ek = mv mv1 = ρ V( v v1 ), pzy czym )m (= D)V) oznacza masę płynu, któy wpływa do uy na końcu wejściowym i wypływa z niej na końcu wyjściowym w pzedziale czasu )t. Paca wykonana nad układem ma dwa źódła. Po piewsze, siła ciężkości ( mg ) wykonuje pacę W g nad płynem o masie )m, wznosząc go z poziomu wejściowego na wyjściowy. Paca ta jest ówna Wg = mg( y y1) = ρg V( y y1). Jest ona ujemna ze względu na pzeciwne kieunki pzemieszczenia płynu (skieowanego w góę) i siły ciężkości (skieowanej w dół). Po dugie, paca jest też wykonywana nad układem (na wejściowym końcu uy), gdy płyn jest wtłaczany do uy, oaz pzez układ (na wyjściowym końcu uy), gdy płyn jest wypychany z uy. Ogólnie można powiedzieć, że paca wykonana pzez siłę o watości F, działającą na póbkę płynu o polu popzecznego pzekoju S, pzy pzemieszczeniu płynu na odległość )x jest ówna F x = ( ps)( x) = p( S x) = p V.

96 XIII. Płyny Paca wykonan nad układem jest zatem ówna p 1 )V, a paca wykonana pzez układ wynosi!p )V. Ich suma W p jest ówna Wp = p V + p1 V = ( p p1) V. Związek pacy ze zmianą enegii kinetycznej, czyli ównanie (13.7), można zatem zapisać następująco: W = Wg + Wp = Ek. Wstawiając do tego wzou wyażenia otzymane wcześniej, otzymujemy 1 ρg V( y y1) V( p p1) = ρ V( v v1 ), skąd po postych pzekształceniach dostajemy ównanie (13.6). Zadania 1. Obliczyć zmianę ciśnienia płynu w stzykawce, gdy pielęgniaka działa siłą o watości 4 N na kołowy tłok stzykawki o pomieniu 1,1 cm.. Okno w biuze ma wymiay 3,4 m,1 m. Po pzejściu buzy ciśnienie powietza za oknem spada do watości 0,96 atm, choć wewnątz budynku nadal panuje ciśnienie 1 atm. Ile wynosi całkowita siła działająca wówczas na okno? 3. Głębia Challenge w Rowie Maiańskim na dnie Oceanu Spokojnego to największa głębia oceaniczna na świecie (10,9 km p.p.m.). W 1960 oku Donald Walsh i Jacques Piccad zdołali dotzeć do dna tej głębi w batyskafie Tiest. Obliczyć w pzybliżeniu ciśnienie hydostatyczne (w atmosfeach), jakie musiał wytzymać ten batyskaf, zakładając, że woda moska ma stałą gęstość ówną 104 kg / m 3. 4. Obliczyć nadciśnienie, jakie musi wytwozyć pompa, aby wyssać błoto o gęstości 1800 kg / m 3 z dna dołu o głębokości 1,5 m. 5. Członkowie załogi okętu podwodnego, któy uległ uszkodzeniu na głębokości 100 m pod powiezchnią wody, staają się z niego wydostać. Ile wynosi watość siły, któą tzeba działać na pokywę luku awayjnego o wymiaach 1, m 0,6 m, aby ją otwozyć na tej głębokości? Pzyjąć, że gęstość wody w oceanie wynosi 104 kg / m 3, a ciśnienie powietza wewnątz okętu wynosi 1 atm. 6. Gdy dewniany klocek pływa w słodkiej wodzie, pod wodą znajduje się dwie tzecie jego objętości. Klocek ten może ównie pływać w oleju, lecz wtedy w zanuzeniu pozostaje 90% jego objętości. Wyznaczyć gęstość: a) dewna, b) oleju. 7. Kotwica wykonana z żelaza o gęstości 7870 kg / m 3 wydaje się w wodzie lżejsza o 00 N niż w powietzu. a) Ile wynosi objętość tej kotwicy? b) Ile wynosi jej cięża w powietzu?

13.5. Równanie Benoulliego 97 8. Toje dzieci, każde o ciężaze ównym 356 N, buduje tatwę, wiążąc ze sobą dewniane pnie o śednicy 0,3 m i długości 1,8 m. Ile takich pni tzeba ze sobą połączyć, aby tatwa utzymała całą tójkę dzieci na słodkiej wodzie? Pzyjąć, że gęstość dewna wynosi 800 kg / m 3. 9. Wąż ogodowy o śednicy wewnętznej ównej 1,9 cm jest połączony z nieuchomym zaszaczem do tawnika zawieającym zbionik o 4 otwoach, o śednicy 0,13 każdy. Woda wpływa do zaszacza z pędkością 0,91 m / s. Ile wynosi pędkość, z jaką woda wypływa pzez otwoy zaszacza? 10. Ile wynosi paca, jaką wykonujemy, aby pzepchnąć 1,4 m 3 wody pzez uę o śednicy wewnętznej 13 mm, jeśli wytwazamy na końcach uy óżnicę ciśnień ówną 1 atm? 11. Cylindyczny zbionik o dużej powiezchni dna jest napełniony wodą, tak że głębokość wody wynosi D = 0,3 m. Woda wypływa ze zbionika pzez otwó w dnie o polu powiezchni ównym S = 6,5 cm. a) Obliczyć stumień objętościowy wody wypływającej pzez ten otwó (wyazić go w metach sześciennych na sekundę). b) W jakiej odległości od dna zbionika pole pzekoju popzecznego stugi wody jest ówne połowie pola powiezchni otwou? 1. Woda płynie początkowo z pędkością ówną 5 m / s w uze, któej pzekój ma pole ówne 4 cm. Następnie poziom, na któym znajduje się ua, obniża się stopniowo o 10 m, pzy czym pole pzekoju popzecznego zwiększa się do watości 8 cm. a) Ile wynosi pędkość wody na szeszym końcu uy? b) Ile wynosi ciśnienie wody na szeszym końcu uy, jeśli na jej węższym końcu jest ono ówne 1,5 @ 10 5 Pa?