rozwarcia 2α porusza sie wzd luż swojej osi (w strone

Transkrypt

1 Zadanie Pocisk w kszta lcie stożka o polu podstawy S i kacie ozwacia 2α pousza sie z pedkości a v wzd luż swojej osi w stone wiezcho lka) w badzo ozzedzonym jednoatomowym gazie. Tempeatua gazu jest na tyle niska, a pedkość v na tyle duża, że można pzyjać, że atomy gazu sa nieuchome. Gestość gazu jest ówna ρ. Zak ladajac, że atomy gazu zdezaja sie z powiezchnia pocisku doskonale speżyście i nie zdezaja sie ze soba, obliczyć si l e opou, jaka dzia la na pocisk. Powiezchnia pocisku jest idealnie g ladka. Podaj watość liczbowa dla ρ = 0 kg/m, v = 7 km/s, α = 5, S = 0, 0 m 2. Rozwiazanie zadania. Zagadnienie bedziemy ozpatywali w uk ladzie, w któym stożek jest nieuchomy. a) Ponieważ zdezenie jest doskonale speżyste, a powiezchnia stożka nieuchoma, atom gazu po zdezeniu bedzie mia l pedkość v skieowana pod katem 2α w stosunku do poczatkowej pedkości. Zatem zmiana ównoleg lej do osi stożka sk ladowej pedu atomu o masie m jest ówna p = mv cos 2α ). ) W czasie t ze stożkiem zdeza si e N atomów gazu, pzy czym Zatem ca lkowita si la opou dzia lajaca na stożek jest ówna F opou = N p t Jej watość liczbowa dla podanych danych wynosi N = ρ vs t. 2) m = cos 2α) ρv 2 S = 2 sin 2 α ρv 2 S. ) F opou 90 N. )

2

3 Zadanie 2 Waska wiazka fulleenów czasteczek wegla C 60 w kszta lcie pi lki futbolowej pada postopadle na siatke dyfakcyjna o sta lej sieci d = 00 nm siatka dyfakcyjna jest p lytka z azotku kzemu z wycietymi ównoleg lymi waskimi szczelinami). Za siatka znajduja sie detektoy zliczajace czasteczki docieajace do poszczególnych punktów p laszczyzny ekanu ) znajdujacej sie w dużej odleg lości od siatki i ównoleg lej do niej. Wskazania detektoów s luża do wyznaczenia powsta lego obazu intefeencyjnego. a) Pzyjmujac, że ozk lad pedkości czasteczek v) w wiazce jest ozk ladem jednoodnym w zakesie v v 0 v, v 0 + v, wyznacz kat ugiecia wiazki α n odpowiadajacy po lożeniu śodka pażka intefeencyjnego n-tego zedu oaz kat α n odpowiadajacy szeokości tego pażka pażek jest obszaem, do któego dolatuja czasteczki). Podaj watości liczbowe dla n =, v 0 = 7 m/s, v = 0, 7v 0. Rozważ tylko te pażki, dla któych sin α n α n. b) Jaki jest dopuszczalny ozzut v pedkości czasteczek w wiazce pzy ustalonym v 0 ), aby pażek n-tego zedu by l dobze ozóżnialny, tzn. aby po obu jego stonach by ly miejsca, do któych nie docieaja czasteczki? Zak ladamy, że każda z czasteczek ma dok ladnie okeślony ped. Masa atomu wegla jest ówna 2, kg, sta la Plancka h = 6, 6 0 Js. Rozwiazanie zadania 2 Pażki intefeencyjne pojawiaja sie, gdy óżnica faz fal de Boglie a) wychodzacych z sasiednich szczelin siatki jest ówna wielokotności 2π, czyli gdy kat ugiecia wiazki α spe lnia waunek d sin α = nλ, ) gdzie n jest liczba ca lkowita, a λ d lugościa fali de Boglie a czasteczki o masie m i pedkości v λ = h mv, 2) h jest sta l a Plancka). Dla wiazki czasteczek o jednakowych pedkościach i idealnej siatki dyfakcyjnej, o dużej liczbie szczelin) każdy pażek jest nieskończenie cienki. Jednak w naszym pzypadku, ze wzgledu na óżne pedkości czasteczek wiazce, pażek n-tego zedu bedziemy obsewować dla katów ugiecia α od α = α n + do α = αn, gdzie d sin α n + h = n m v 0 + v) dα+ n d sin αn h = n m v 0 v) dα n Zatem kat odpowiadajacy po lożeniu śodka pażka n-tego zedu jest dany wzoem α n = 2 n h md v 0 v + v 0 + v a kat odpowiadajacy szeokości tego pażka wzoem α n = n h md v 0 v v 0 + v Dla podanych watości liczbowych otzymamy w adianach) ) = n h v 0 md v0 2 v) 2, ) ) = n h 2 v md v0 2 v) 2. ) α, 8 0 5, 5) α, )

4 b) Na ekanie, miedzy n-tym a n + pażkiem bed a miejsca, do któych nie dolatuja czasteczki, jeśli αn < α n+ + 7) czyli n h md v 0 v < n + ) h md v 0 + v co daje v < v 0 2n +. 8) Jeśli powyższa nieówność bedzie spe lniona, to ównież miedzy n a n-tym pażkiem bedzie obsza, do któego nie dolatuja czasteczki. Zatem wzó 8) jest szukanym waunkiem na dopuszczalny ozzut pedkości.

5 Zadanie Rozważmy gumowy balonik, któy po nadmuchaniu powietzem ma kszta lt kuli. a) Gdy pomień balonika wynosi l = 0, m, to wewnatz panowa lo ciśnienie p =, 0 5 Pa. Jakie ciśnienie panuje wewnatz balonika, po nadmuchaniu go tak, by mia l pomień 2 = /2)? W obu pzypadkach tempeatua powietza wewnatz balonika jest ówna tempeatuze otoczenia i wynosi T 0 = 00 K. Ciśnienie powietza otaczajacego balonik jest ówne p 0 =, Pa. b) Balonik o pomieniu 2 czyli po nadmuchaniu zgodnie z pkt. a)) zanuzono powoli w wodzie na taka g l ebokość, by jego pomień zmala l do =. Ile wynosi ta g l ebokość? Jakie sa tempeatua i ciśnienie wewnatz balonika po zanuzeniu? Zak ladamy, że pow loka balonika nie pzepuszcza ciep la. Poczatkowa tempeatua wewnatz balonika by la ówna T 0. Balonik pzed zanuzeniem znajdowa l sie tuż nad powiezchnia wody. c) Jaka pace wykonano w takcie zanuzania zgodnie z pkt. b)? Enegia speżysta gumy, z któej jest wykonany balonik, jest ówna E s = /2)αS 2, gdzie α jest pewna sta l a, a S powiezchnia balonika. Balonik jest na tyle ma ly, że ównież po zanuzeniu w wodzie ma kszta lt kuli. Pzyjmij, że powietze zachowuje sie jak gaz doskona ly o molowym cieple w laściwym pzy sta lej objetości c V = 5/2)R, gdzie R jest uniwesalna sta l a gazowa. Guma z któej jest wykonany balonik ma zaniedbywalna mase oaz zaniedbywalna pojemność cieplna. Zaniedbaj ównież gestość powietza w poównaniu z gestości a wody d w = 000 kg/m. Pzyspieszenie ziemskie g = 9, 8 m/s 2. Rozwiazanie zadania. a) W stanie ównowagi, pzy infinitezymalnej zmianie pomienia o d, suma pac wykonanych pzez si ly ciśnienia zewnetznego i wewnatznego jest ówna zmianie enegii speżystej balonika p p 0 ) V = E s, czyli p p 0 )π 2 d = 2 α π)2 d, co daje Dla pomieni i 2 dostajemy p p 0 = 8πα. ) stad Ostatecznie p p 0 = 8πα, p 0 = 8πα 2, p 0 p p 0 = 2. = 2 p p 0 ) + p 0 =, Pa. 2) b) Ponieważ w tym pocesie nie ma pzep lywu ciep la, a zanuzanie odbywa sie powoli, z ównania adiabaty pv γ = const mamy ) γ ) γ π 2 = p π,

6 gdzie p jest ciśnieniem w baloniku po zanuzeniu go w wodzie tak by mia l pomień ), a γ = c V + R)/c V = 7/5. Stad ) γ 2 p = 6, 0 5 Pa ) zatem ciśnienie wody na zewnatz balonika jest ówne p w = p 8πα = p p p 0 ) 6, Pa. ) W wodzie, na g l ebokości h, ciśnienie jest ówne p 0 + d w gh, zatem h = p w p 0 d w g 5 m. 5) Tempeatue wewnatz balonika po zanuzeniu wyznaczymy kozystajac z ównania stanu gazu doskona lego pv = NRT : T = p V NR = p V = p ) ) γ 2 T 0 = T 0 88 K. 6) V 2 /T 0 2 c) I sposób Paca wykonana w tym pocesie jest ówna zmianie enegii uk ladu ównej sumie zmian enegii wewnetznej gazu E g, enegii speżystości gumy balonika E S i enegii objetościowej otoczenia E o E g = Nc V T T 0 ), 7) E S = 8π 2 α ) 2 8) Enegia obj etościowa jest ówna pacy potzebnej do ozepchni ecia wody lub innego ośodka), tak by w nim zmieści lo si e dane cia lo i wynosi E o = pv. Latwo spawdzić, że dla cia la o sta lej obj etości zmiana enegii obj etościowej pzy zanuzeniu cia la jest ówna pacy wykonanej w tym pocesie.) W naszym pzypadku E o = πp πp w, 9) zatem W = Nc V T T 0 ) + 8π 2 α ) 2 + π ) p p w. 0) Ilość gazu liczba moli) gazu jest ówna N = V 2 /RT 0 ), sta la α = p p 0 )/8π ). Pozosta le paamety już wyznaczyliśmy, zatem W = π c V 2 T T 0 ) + π p p 0 R T 0 = π c 2 ) γ V R 2 π + ) γ π 2 πp 02 = π c V + R R 2 = π c V + R R 2 ) + πp w πp 0 2 ) p p 0 π p p ) γ π p p 0 ) 2 p 0 + p ) 2 ) γ p 0 2 π p p 0 ) 2

7 Ostatecznie wynik można zapisać w postaci W = π c V + R p 0 + p ) 2 ) γ p π R Podstawiajac watości liczbowe otzymujemy, że szukana paca jest ówna c) II sposób Si la wypou dzia lajaca na zanuzony balonik jest ówna p p 0 ) 2. 2) W, 6 0 J. ) F w = π d w g, gdzie jest pomieniem balonika znajdujacego sie na g lebokości z. Zgodnie z wzoami ) i ) zwiazek miedzy pomieniem balonika a g l ebokości a jest dany wzoem 2 ) γ p 0 + d w gz = p p 0 ) stad paca jest ówna h W = F w dz = 0 2 π γ) 2) γ p γ+ p 0 ) d = ) = π γ) 2) γ 2 p γ 2 p 0 ) d = π γ 2 ) γ γ γ p p 0 ) 2 = π c V + R 2 ) γ c V + R R γ R 2 p p 0 ) + p p 0 ) 2 { = 2 ) } γ π c V + R R 2 p p 0 ) + p p 0 ) 2 co jest zgodne z 2).