Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości podjętch w celu doświadczalego wzaczeia wartości wielkości fizczej daego obiektu. Proces pomiarow powiie obejmować astępujące czości: - teoretcze i praktcze przgotowaie pomiaru, - techiczą realizację pomiaru, - opracowaie i iterpretację wików. Wkoaie pomiaru wmaga użcia arzędzi pomiarowch, które mogą tworzć układ pomiarow lub sstem pomiarow. Często przez pomiar rozumie się tlko jego techiczą realizację. Obecie pojęcie pomiaru rozszerza się a doświadczeie mające a celu wzaczeie przebiegu czasowego i rozkładu przestrzeego pewch wielkości, a także reprezetacji przebiegów czasowch wielkości i związków fukcjoalch międz imi. Jako pomiar traktuje się rówież operacje kotroli mieszczeia się wartości wielkości w określom przedziale. Do wkowaia pomiarów stosuje się róże metod w zależości od żądaej dokładości, waruków, w którch pomiar jest wkowa, przezaczeia wików pomiaru, charakteru wielkości mierzoej. Spośród wielu różch klasfikacji metod pomiarowch ajważiejsz jest ich podział ze względu a sposób uzskiwaia wiku pomiaru. Według tego podziału metod możem zaliczć do jedej z dwóch kategorii: metod bezpośredich i metod pośredich. Metoda jest bezpośredia jeśli wik pomiaru przedstawia wartość wielkości mierzoej. Przkład metod bezpośredich to pomiar długości liijką, mas a wadze z podziałką lub apięcia woltomierzem. Metoda jest pośredia jeżeli wielkość mierzoa jest wzaczaa jako fukcja ich wielkości mierzoch bezpośredio, p.: pomiar gęstości ciała a podstawie pomiarów jego mas i objętości, pomiar rezstacji a podstawie pomiarów apięcia i atężeia prądu. Nieraz te same wielkości moża zmierzć rówież bezpośredio, p. gęstość moża zmierzć areometrem a opór 1

omomierzem. Rozróżieie metod bezpośredich i pośredich jest szczególie waże ze względu a stosowae sposob szacowaia dokładości wików pomiarów.. Dokładość pomiaru Jak wkazuje praktka, żade pomiar, iezależie od staraości jego wkoaia ie daje całkowicie dokładego wiku. Z pomiarem ierozerwalie związaa jest iepewość uzskaego wiku azwaa błędem pomiaru. Błęd pomiaru ie ozaczają pomłek, ie sposób ich uikąć zachowując większą staraość, moża je jedie próbować zmiejszć. Aaliza dowolego pomiaru pozwala zrozumieć ieuchroość wstępowaia iepewości w wkowaiu pomiarów. Przkładowo moża do pomiaru długości stołu użć taśm miericzej z działkami rozmieszczomi co 0,5 cm i w wiku pomiaru stwierdzić, że stół ma długość 116,7 cm z zastrzeżeiem, że rzeczwista długość zajduje się pomiędz 116,6 cm a 116,8 cm poieważ krawędź stołu zalazła się pomiędz ozaczeiami a taśmie i koiecze bło przbliżoe określeie jej położeia. Stosują lepszą taśmę z działkami co 1 mm moża zmiejszć tę iepewość, ale ie da się jej całkowicie welimiować awet wted gd krawędź stołu pokrje się z odpowiedią działką a taśmie (116,7 cm), poieważ ie jesteśm w staie powiedzieć a podstawie tego pomiaru cz długość stołu wosi dokładie 116,700 cm cz może 116,701 cm. Stosując awet do pomiaru długości stołu iterferometr laserow pozwalając a osiągięcie ajwiększej możliwej techiczie dokładości i tak dokładość pomiaru zostaie ograiczoa do odległości porówwalch z długością fali świetlej. Ozacza to, że długości stołu ie moża zmierzć z absolutą dokładością, podobie jak ma to miejsce w przpadku wszstkich pomiarów. Na ograiczeie dokładości pomiaru wpłw mają: iedoskoałość metod i arzędzi pomiarowch, waruki wkowaia pomiaru oraz ieumiejętości obserwatora. Stosując lepsze metod, istrumet pomiarowe i zwiększając akład prac moża zmiejszć istiejące iepewości ale ie moża ich całkowicie usuąć. Błąd o zach graicach jest ieodłączą częścią wiku pomiaru. Wik pomiaru, którego błęd ie są zae jest wikiem ic ie mówiącm. Wik pomiaru powiie wskazwać przedział, wewątrz którego zajduje się wartość wielkości mierzoej. Im dokład-

iejsz jest pomiar tm miejsz jest te przedział. Oczwiście wkoując pomiar powio się dążć do osiągięcia jedie takiej dokładości jaka jest iezbęda z puktu widzeia celu, do którego wik pomiaru jest potrzeb. Bardzo często mam do czieia z stuacją gd obiekt i arzędzie pomiarowe są dobrze zae a wmagaia co do dokładości ie są ostre wówczas opracowaie wików i ocea dokładości ie są potrzebe, poieważ mierząc i bez tego wie jaka jest dokładość uzskach wików. Właściwm sposobem prezetacji wików pomiarów jest podaie ajlepszego przbliżeia wiku oraz zakresu, w którm mierzoa wielkość leż, czli w postaci: m gdzie : m ajlepsze przbliżeie wartości mierzoej, g - błąd pomiaru wielkości. Poieważ g jest szacukową iepewością pomiaru ie powio się jej podawać z dokładością większą iż do dwóch cfr zaczącch. Zwkle podaje się tlko jeda cfrę zaczącą, a tlko prz pomiarach bardzo dokładch lub gd wik będzie wkorzstwa do dalszch obliczeń dwie cfr. Przbliżeie wiku podaje się z dokładością do tej cfr zaczącej, która wstępuje w zaokrągloej wartości graic błędu g. Graice błędu z reguł zaokrąglam w górę, chba że mam powod ab podać graice błędu dokładiej iż z jedą cfrą zacząca. Należ rówież pamiętać, że ie zaokrągla się liczb, które są stosowae do obliczeń lecz włączie wiki końcowe. ± g 3. Rodzaje błędów Surowe wiki pomiaru, otrzmae w wiku obserwacji wskazań przrządów, ie mogą bć traktowae jako ostatecz opis właściwości badaego obiektu. Do oszacowaia jakości pomiaru użwa się pojęcia idealego jakim jest wartość wielkości prawdziwa (rzeczwista), która ie może bć dokładie zaa. Prz praktczm wzaczaiu błędu pomiaru zastępuje się iezaą wartość prawdziwą jej zam przbliżeiem azwam wartością poprawą. 3

Błędem pomiaru (iepewością pomiarową, uchbem pomiaru) azwa się rozbieżość międz wikiem pomiaru, a wartością prawdziwą lub poprawą. Błąd jest miarą jakości pomiaru - im miejsz jest błąd, tm wik pomiaru jest dokładiejsz. Podstawową miarą jest błąd bezwzględ określo zależością (1): gdzie: - wik pomiaru, ν - wartość prawdziwa. - ν (1) Poieważ ie ma możliwości pozaia wartości rzeczwistej, w praktce wartości ν zastępuje się możliwie ajdokładiejszm przbliżeiem czli wartością poprawą. Za wartość poprawą wielkości mierzoej przjmuje się wartość liczbową w takim stopiu przbliżoą do wartości rzeczwistej, że z puktu widzeia celu, do którego wartość jest potrzeba, różica międz imi może bć pomiięta. Różicę określoą zależością (): p - - ν () p azwa się błędem bezwzględm poprawm. Błąd bezwzględ popraw wzięt ze zakiem przeciwm azwa się poprawką: p p p - Dodając poprawkę do wiku pomiaru otrzmujem wartość poprawą. Prz porówwaiu dokładości pomiaru różch wielkości bardziej użtecz od błędu bezwzględego jest błąd względ określo zależością (3): - ν δ (3) ν ν p Ze względu a zmieość błędu w kolejch, surowch wikach powtarzaego doświadczeia pomiarowego błęd zalicza się do trzech różch kategorii: sstematczch, przpadkowch, admierch (grubch). 4

Błęd sstematcze to błęd, które prz wielu pomiarach tej samej wartości daej wielkości, wkowach w tch samch warukach, pozostają stałe co do zaku i modułu, lub zmieiają się według określoego prawa wraz ze zmiaą waruków odiesieia. Źródła błędów sstematczch mogą bć zae lub iezae. Cechą błędów sstematczch jest możliwość ich częściowej lub całkowitej elimiacji za pomocą poprawek, które moża obliczć teoretczie lub wzaczć doświadczalie. Doświadczalie moża stwierdzić istieie błędów sstematczch zmieiając metodę pomiaru lub przrząd a ieraz rówież powtarzając wkoaie pomiarów przez róże osob. Błęd sstematcze są więc błędami, które moża przewidzieć a podstawie zajomości daego procesu pomiarowego. Błęd sstematcze mogą rówież mieć iezae źródło, ale jeśli zmieiają się wg określoego prawa moża je welimiować poprzez kalibrację układu pomiarowego. Błęd sstematcze pochodzące z wielu różch źródeł sumuje się algebraiczie. Błędami przpadkowmi azwa się błęd zmieiające się w sposób ieprzewidzia, zarówo co do zaku jak i modułu prz wkowaiu pomiarów tej samej wielkości w warukach pozorie iezmiech. W chwili pomiaru wartość błędów przpadkowch ie jest zaa mierzącemu. Moża jedie wzaczć ich parametr statstcze a podstawie wielu wików pomiarów. Poieważ błąd przpadkow traktuje się jako zbiór wielkości będącch zmieą losową, więc pod pojęciem wartości błędu rozumie się jego wartość graiczą.. Wartości błędów przpadkowch sumuje się geometrczie. Błęd przpadkowe i sstematcze w doświadczeiu pomiarowm wstępują łączie i akładają się. Błąd wpadkow pomiaru jest sumą wartości bezwzględch błędów sstematczch i wartości graiczch błędów przpadkowch. Każd przpadek gd wik pomiaru tej samej wielkości zaczie różi się od pozostałch wików, wmaga dokładego sprawdzeia. Wiki takie pozostawia się do wjaśieia przcz, jako obarczoe błędem admierm. Główe przcz ich powstawaia to ieprawidłowe wkoaie pomiaru, pomłka w odczcie wiku lub iezae wcześiej rzadkie zjawiska. Ustaleie, że przczą błędu admierego bło błęde wkoaie pomiaru upoważia do odrzuceia wiku obarczoego takim błędem. 5

4. Powstawaie błędów δ δ δ m i o ν obiekt pomiaru u przrząd pomiarow w obserwator Rs.1. Tor przetwarzaia iformacji prz pomiarze bezpośredim, ν wielkość mierzoa, u wielkość mierzoa przez przrząd pomiarow, w wskazaie przrządu, wartość wzaczoa przez obserwatora. Jak ilustruje to rs.1, w trakcie doświadczeia pomiarowego powstają pierwotie ie istiejące oddziałwaia a obiekt, czli zmieiają się waruki wzaczające miarę wielkości mierzoej. Najważiejszą przczą powstaia błędu metod δ m (ze względu a zmiaę waruków ie mierzm tej miar wielkości, którą zamierzaliśm zmierzć) jest oddziałwaie przrządu a obiekt powodujące zmiaę rówowagi eergetczej obiektu. Błąd metod może bć rówież spowodowa iedoskoałością sprzężeia iformacjego międz obiektem a arzędziem. Istieie błędu metod ie jest spowodowae iewłaściwm postępowaiem i iewłaściwie dobrami arzędziami, ale wika z przcz obiektwch, iezależch od mierzącego. Błąd metod ma szczególe zaczeie prz pomiarach pośredich. Błąd metod prawdziw jest ieza ekspermetatorowi prz opracowwaiu wików określa się błąd metod graicz a podstawie dach o obiekcie, arzędziach i warukach pomiaru. Błąd metod może mieć charakter błędu sstematczego i przpadkowego. Często moża wzaczć poprawkę zmiejszającą błąd metod sstematcz. Przkład błędu sstematczego metod: Jedm ze techiczch sposobów pomiaru rezstacji jest metoda poprawego pomiaru prądu. Polega oa a zastosowaiu amperomierza połączoego szeregowo z rezstacją badaą R X do wzaczeia wartości atężeia prądu i woltomierza 6

włączoego rówolegle z amperomierzem i rezstacją R X do wzaczeia spadku apięcia (rs.). U A A I X V U U X R X Rs.. Schemat układu do pośrediego pomiaru rezstacji metodą poprawego pomiaru prądu Wartość poprawa rezstacji R X : U X R X, I X różi się od wartości obliczoej R a podstawie wskazań woltomierza U i amperomierza I: U R, (A) I poieważ spadek apięcia wskazwa przez woltomierz jest sumą spadków apięcia a amperomierzu i oporze R X : U U A + U X. Wobec tego: U U X + U A R I I X poieważ prąd płąc przez amperomierz jest rów prądowi płącemu przez mierzoą rezstację R X : I I X Ozacza to, że rezstacja obliczoa według uproszczoego wzoru (A) jest zawżoa w stosuku do wartości prawdziwej: R > R X. Poprawka popełiaego błędu sstematczego wosi: U X U X + U A U A R R X R R A I X I X I X Sstematcz błąd względ tej metod: 7

R A δ R R, R X R X pozwala oceić, że omawia sposób wzaczaia rezstacji wg przbliżoej zależości (A) może bć stosowa do pomiarów miej dokładch jeśli rezstacja mierzoa jest dużo większa od rezstacji amperomierza. Błąd istrumetal δ i wwoła jest iedokładością zastosowach arzędzi pomiarowch. Błąd istrumetal prawdziw jest ieza mierzącemu dlatego prz opracowwaiu wików pomiaru określa się graicz błąd istrumetal a podstawie dach o błędach stosowach arzędzi pomiarowch. Na skutek uproszczeń modelu przjętch podczas kostrukcji przrządu i iedoskoałości jego wkoaia powstają błęd sstematcze podstawowe arzędzi pomiarowch. Są to składowe sstematcze błędu podstawowego, a ich wartość zawiera się w graicach iedokładości podaej dla przrządu.. Wskutek ie zachowaia waruków zamioowch dla daego przrządu pojawiają się jego błęd dodatkowe. Suma błędów podstawowch i dodatkowch może przekraczać graice dopuszczale dla daego przrządu. Błęd sstematcze powi bć usuwae w takim stopiu, ab ich reszt ( lub oe same) bł pomijale w stosuku do błędów przpadkowch gd pomiar są dokłade. Nie usuwa się błędów sstematczch pomiarów przeciętej dokładości szacuje się jedie ich graice i uwzględia w oceie iedokładości wiku. Źródłem błędu odcztu δ o są obserwacje wskazaia przrządu pomiarowego. Błąd odcztu wskazań cfrowch jest zwkle rów zeru. Na błąd odcztu wskazań aalogowch składają się błąd ieczułości spowodowa ograiczom postrzegaiem zmsłów ludzkich oraz błąd iterpolacj i błąd paralaktcz. Podczas wielokrotch pomiarów tej samej wartości, w praktczie tch samch warukach, wkowach arzędziami i metodami bardzo dokładmi, uwdatia się rozproszeie wików objawiające się w wikach jako błęd przpadkowe. Do zjawisk fizczch powodującch rozproszeie wików pomiarowch ależą międz imi szum termicz w przrządach elektroiczch, histereza wskazań spowodowaa tarciem, histerezą spręż, histerezą magetczą, iestałość wielkości mierzoej i błęd odcztu wskazań. Poieważ błąd przpadkow jest zdarzeiem losowm - ie zaa jest jego wartość w kolejch wikach 8

pomiaru. Powtarzając pomiar w tch samch warukach możem wkorzstując metod statstki matematczej określić ajlepsze przbliżeie poszukiwaego wiku i oszacować graice iepewości tego przbliżeia. 5. Model matematcz błędów przpadkowch Zakładam, że wiki pomiaru obciążoe są tlko błędami przpadkowmi, a zbiór wików ma astępujące potwierdzoe doświadczalie własości: rozproszeie ( rozrzut) wików spowodowa jest tlko błędami przpadkowmi, środkiem rozproszeia jest rzeczwista wartość wielkości mierzoej, błęd małe wstępują częściej iż duże, błęd dodatie i ujeme o takiej samej wartości bezwzględej wstępują jedakowo często. Z założeń tch wika, że dla ieskończoego zbioru wików zachodzi rówość (4): lim i k k i 1 0 (4) a zbiór wików może bć modelowa rozkładem liczb losowch. Częstość wstępowaia wików osiąga ajwższą wartość w otoczeiu wartości rzeczwistej. Jeżeli liczba wików k, to częstość () wstępowaia określoch wików staje się fukcją ciągłą i spełia zależość (5): + - () d 1 (5) Rzęde fukcji () azwa się gęstością rozkładu prawdopodobieństwa wstąpieia wiku o wartości. Jeżeli spełioe są wmieiowe wcześiej właściwości to zachodzi rówość (6): 1 () e π σ -(-σ ) (6) 9

Fukcję tę azwa się rozkładem ormalm ( rs. ), a wielkości σ i ν są tzw. parametrami tego rozkładu. () ν -σ ν -σ ν ν +σ ν+σ azwaą odchleiem średim kwadratowm lub stadardowm, a w metrologii błędem średiokwadratowm lub stadardowm (kwadrat azwa się wariacją). Im miejsze jest σ, tm miejsze jest rozproszeie, czli tm miejsze są błęd przpadkowe. Obliczeie prawdopodobieństwa, że wik pomiaru wstąpi w przedziale ( 1, ) jest rówozacze z wza Rs. 3. Ilustracja fukcji rozkładu ormalego Rozkład ormal jest ajlepszm modelem rozkładu zbioru wików pomiaru w większości doświadczeń fizczch. Oś smetrii rozkładu gęstości pokrwa się z rzeczwistą wartością poszukiwaego wiku, któr w matematce azwa jest wartością oczekiwaą (7): + - () d ν E() (7) Zgodie z przjętm założeiem różica - ν jest błędem przpadkowm bezwzględm. Za miarę rozproszeia wików przjmuje się wielkość σ zdefiiowaą wzorem (8): + - ( ν) () d σ D () (8) 10

czeiem odpowiediej powierzchi pod krzwą rozkładu. Wartości prawdopodobieństwa dla pewch przedziałów charakterstczch woszą (9): P( ν - σ < < ν+ σ ) 0, 68 P( ν - σ < < ν+ σ ) 0, 95 P( ν - 3σ < < ν+3σ ) 0, 9973 (9) Prawdopodobieństwo 0,9973 dla przedziału (ν-3σ; ν+3σ) ozacza, że tlko 0,7% wszstkich wików obarczoch błędami przpadkowmi wstąpi poza tm przedziałem. Tak więc wstąpieie błędu przpadkowego o module większm iż 3σ jest praktczie iemożliwe. Przedział taki, zawierając praktczie wszstkie możliwe wartości błędu przpadkowego azwa się graiczą iepewością wiku pomiaru. Średia artmetcza serii pomiarów (10): i1 jest rówież zmiea losową, gdż powtarzając kilkakrotie taką serię otrzmuje się za każdm razem ią średią. Moża więc mówić o wartości oczekiwaej średiej i odchleiu średim kwadratowm średiej. Jeśli zastosujem zależość (7) do wzaczeia wartości oczekiwaej dla średiej artmetczej to otrzmam astępując wik (11): ν i1 E i 1 E i1 i 1 ν ν Ozacza to, że średia artmetcza z serii wików ma taką samą wartość oczekiwaą. Wartość oczekiwaa zbioru wików, w którm ie wstępują błęd sstematcze, pokrwa się z wartością rzeczwistą wielkości mierzoej. Obliczeie z kolei według wzoru (8) odchleia stadardowego dla średiej artmetczej z wików daje astępując rezultat (1): (10) (11) 11

σ D i1 i 1 D i1 i 1 D () σ σ σ (1) Ozacza to, że błąd stadardow średiej z wików jest raz miejsz od błędu wików dla którch obliczoo średią. Teoretczie moża więc osiągąć dowolą dokładość ze względu a błęd przpadkowe, poieważ wraz ze wzrostem liczb pomiarów maleje odchleie stadardowe średiej. Jedak możliwości ta ma praktczie miejsze zaczeie z uwagi a trudości utrzmaia przez dłuższ czas stałch waruków pomiaru, iską efektwość tej metod poprawiaia dokładości a przede wszstkim ze względu a to, że całkowita dokładość pomiaru ie ulegie istotej poprawie z uwagi a to, że błęd sstematcze ie zmiejszą wartości prz dużej liczbie pomiarów. 6. Praktcza ocea błędów przpadkowch W praktce doświadczeie pomiarowe możem powtórzć raz i otrzmać 1,..., wików obarczoch błędami przpadkowmi. Naszm zadaiem jest oszacować iezae ν i σ. Przjmiem, że oszacowaiem wartości rzeczwistej będzie średia artmetcza określoa zależością (13): i i1 ν (13) Dla liczb pomiarów > 30 oszacowaiem odchleia stadardowego jest rówość (14): s i1 ( i - - 1 ) (14) Uwzględiając zależość (1), błąd stadardow średiej artmetczej jest astępując (15): 1

s i1 ( i - ) ( - 1) (15) Odchleie stadardowe średiej artmetczej s charakterzuje dokładość daej serii pomiarowej i pozwala określić prawdopodobieństwo z jakim wartość rzeczwista wielkości mierzoej jest zawarta w przedziale ( t s, + t s ). Przedział te osi azwę przedziału ufości. Prawdopodobieństwo γ (16) odpowiadające temu przedziałowi osi azwę poziomu ufości: P( t s ν < + t s γ a prawdopodobieństwo α 1 - γ poziomu istotości. < ) W przpadku miej liczch pomiarów <30 pewiejszm sposobem oszacowaia iepewości graiczej jest oparcie się a modelu rozkładu t-studeta. Jest o dokład dla zmieej uormowaej t i opisaej rówaiem (17) (16) t - ν s, (17) w której wstępują zmiee losowe zae jako przbliżeia. Z tablic t-studeta odcztujem wartości współczika t qk określoego dla liczb stopi swobod k -1 i obraego prawdopodobieństwa q, taką, że spełioa jest rówość (18): gdzie: k - liczba stopi swobod, - liczba wików, - iepewość graicza. Wik pomiaru zapiszem w postaci (19): ± tqk s ± (18) p ν ± tqk s ± (19) 13

Błęd przpadkowe wartości średiej większe od ± mogą wstąpić a przjętm poziomie istotości q. W techice stosujem ajczęściej 95% poziom ufości. Przjmując poziom 99% możem pomlić się raz a 100 raz. Ab mieć pewość moglibśm rozszerzć przedział ufości do 99,9% (raz a 1000). Jest to jedak tlko zamiaa jedej iepewości a ią, poieważ zskujem większa pewość, że mierzoa wartość zajduje się w szerszm zakresie iepewości. 7. Opracowaie wików prz pomiarach bezpośredich Ostatecz wik pomiaru bezpośrediego przedstawiam w astępującej postaci: gdzie : m wartości przbliżoa, ± (0) m g - błąd graicz pomiaru. Jeżeli wiki kolejch pomiarów powtarzae w tch samch warukach są jedakowe, to wik pomiaru traktuje się jako realizację zmieej zdetermiowaej obarczoej błędem sstematczm. Jako wartość przbliżoą przjmuje się skorgowa wik pomiaru: gdzie : p p I + p M m + g p 0 (1) poprawka zmiejszająca sstematcz błąd istrumetal i metod. Gd ie uwzględia się poprawki, za błąd pomiaru g I M m przjmuje się po prostu surow wik pomiaru o. Graicz c + c jest sumą graiczch błędów sstematczch istrumetu i metod. Poprawkę i graicz błąd istrumetal wzacza się w a podstawie dach o stosowach przrządach i iformacji o wielkościach wpłwającch, a poprawkę i graicz błąd metod w oparciu o aalizę układu: obiekt przrząd pomiarow. Jeżeli atomiast wiki kolejch pomiarów ( i 1,, K, ) powtarzae w tch samch warukach różią się międz sobą, to traktuje się je jako realizacje zmieej losowej obciążoe błędem sstematczm i przpadkowm. Na błąd sstematcz składa się i 14

sstematcz błąd istrumetal i metod, a a błąd przpadkow przede wszstkim przpadkow błąd metod i rzadziej przpadkow błąd istrumetal. Za wartość przbliżoą przjmuje się skorgowaą średią artmetczą serii pomiarów m + p, gdzie: i1 średia artmetcza surowch wików pomiaru. Graicz błąd pomiaru i () c e jest sumą g + graiczego błędu sstematczego c i graiczego błędu przpadkowego e. Poprawkę p p I + p M c c I + c oraz graicz błąd sstematcz M wzacza się tak, jak dla modelu zdetermiowaego. Graicz błąd przpadkow wzacza się metodami statstczmi aalizując serię wików pomiarów. Zwkle szacuje się go a podstawie rozkładu t-studeta przjmując poziom ufości 1 - q 0,95. Wówczas: gdzie: s błąd średiokwadratow serii pomiarów: e tqk s (3) s i1 ( i - - 1 ) (4) Prz dużej liczbie pomiarów ( > 30) współcziki rozkładu t-studeta moża zastąpić współczikami rozkładu ormalego. Jeżeli ie ma podstaw do przjęcia założeia o ormalm rozkładzie błędów przpadkowch, to wkouje się więcej pomiarów i jako graicz błąd przpadkow przjmuje się e s 3. Prz pomiarze wielkości zaego obiektu za pomocą przrządu o zaej dokładości ie powtarzam pomiaru lecz otrzmaemu wikowi przpisujem graice dokładości wikające z graic błędu dopuszczalego przrządu. W takim przpadku powtórzeia ie powodują zwiększeia dokładości - błęd sstematcze przrządu ie zmieiają są prz powtarzaiu odcztu i błęd przpadkowe ie mogą się ujawić - wiki są praktczie idetcze. 15

Błęd admiere wstępują zwkle sporadczie prz powtarzaiu pomiarów i moża je wkrć a podstawie serii pomiarów powtórzoch w tch samch warukach. Jeżeli prawidłowo wkoae pomiar obarczoe są stałm błędem sstematczm, to w serii pomiarów tlko wiki obarczoe błędem admierm odbiegają od wartości stałej takie wiki ależ odrzucić. Jeżeli prawidłowo wkoae pomiar obarczoe są błędem przpadkowm, to dla serii wików oblicza się średią artmetczą, odchleia pozore i błąd średiokwadratow s. O odchleiach pozorch przekraczającch 3s moża sądzić, że są to błęd admiere. Należ przeaalizować waruki pomiarów podejrzach o obarczeie błędem admierm i odrzucić wiki, jeżeli przpuszczeia zostaą uzae za uzasadioe. Odchleia pozore przekraczające 4s traktuje się jako błęd admiere. Po odrzuceiu wików obarczoch błędem admierm ależ jeszcze raz obliczć średią artmetczą i błąd średiokwadratow zredukowaej serii. 8. Opracowaie wików prz pomiarach pośredich wielkości Wartość wielkości mierzoej pośredio oblicza się jako fukcję (5) wartości ich w,, w 1 K zmierzoch bezpośredio: m f ( w1, K, wm ) (5) Ostatecz wik pomiaru przedstawia się w postaci: ± (6) m g gdzie : m wartości przbliżoa, g - błąd graicz pomiaru. Jeżeli wiki kolejch pomiarów tch samch wielkości mierzoch bezpośredio powtarzae w tch samch warukach są jedakowe, to przjmuje się zdetermiowa model każdego pomiaru bezpośrediego. Wartość przbliżoą f, K, ) oblicza się dla m ( 1p mp 16

skorgowach wików pomiarów wielkości mierzoch bezpośredio: + p, jp js j gdzie: js - surow wik pomiaru, p j - poprawka dla wielkości w j. Sposób obliczaia błędu graiczego zależ od przjętej zasad szacowaia błędu graiczego fukcji. Zasada ajiekorzstiejszego przpadku zakłada, że błęd wj wielkości w j przjmują wartości skraje ± gwj maksmalizując błąd fukcji : g δ δw m gwj j1 j (7) Zasada sumowaia kwadratów błędów zakłada, że błęd wj wielkości w j przjmują losowo dowole wartości z przedziałów ± gwj i błąd fukcji jest zmieą losową, dlatego: m g gwj j 1 w δ (8) δ j Jeżeli wiki kolejch pomiarów tch samch wartości wielkości bezpośredio mierzoch powtarzae w tch samch warukach różią się międz sobą, to do opracowaia wiku przjmuje się model probabilistcz. Dla każdej wielkości mierzoej bezpośredio wkouje się serię pomiarów j (1), j (),..., j ( j ). Wartość przbliżoą f, K, ) oblicza się m ( 1p mp dla: j 1 jp j + p j - skorgowach średich artmetczch j j ( i) serii j i1 pomiarów wielkości mierzoch bezpośredio, przez dodaie poprawki p j dla wielkości w j. Błąd graicz g c + e jest sumą graiczego błędu sstematczego c i graiczego błędu przpadkowego e. Graicz błąd sstematcz wzacza się jako: c m j 1 δ δ w j c gwj lub c m cgwj j 1 w δ δ j (9) gdzie: cgwj - sstematcz błąd graicz wielkości w j. 17

Jeżeli błęd przpadkowe pomiarów bezpośredich są iezależe i maja rozkład ormale to graicz błąd przpadkow wzacza się z zależości: e m egwj j 1 w δ δ j (30) gdzie: egwj -przpadkow błąd graicz wielkości w j wzaczo a podstawie rozkładu t- Studeta: egwj tqk swj j (31) s wj - błąd średiokwadratow serii pomiarów wielkości w j.: s wj j i1 ( j ( i) - j - 1 j ) (3) Błęd sstematcze o iezam zaku, lecz o zach graicach iterpretuje się jako graicz błąd przpadkow wchodząc z założeia, że są oe kokrete dla daej wielkości, ale dla różch wielkości układają się losowo i iezależie, i dlatego ich składaie może bć prowadzoe jak dla błędów przpadkowch. 9. Doświadczale wzaczaie zależości fukcjej Jeśli a podstawie wików pomiarów wielu wartości dwóch wielkości fizczch i chcem zaleźć matematczą formułę opisującą związek międz tmi wielkościami, ajczęściej próbujem aproksmować te związek jedą ze zach fukcji matematczch. Przede wszstkim ależ sprawdzić jaki jest charakter związku międz wielkościami i ab dobrać ajlepszą fukcję przbliżającą. Najczęściej stosowae do aproksmacji fukcje to: wielomia, fukcje logartmicze, potęgowe i wkładicze. W przpadku aproksmacji wielomiaowej p puktów pomiarowch: { i, i }, ( i 1,,..., p), moża aproksmować wielomiaem stopia { 1,, p 1} K o postaci: 18

1 ( ) a + a 1 + + a1 a0 K + (33) Miimalizując kwadrat różic międz wartościami wielomiau () w puktach i, a wartościami uzskami z pomiaru i : p ( ( i ) i ) i 1 mi (34) wzacza się współcziki wielomiau a, a1,, a 0 K. Decdując się a przbliżeie wielomiaowe ależ pamiętać, że: - jest wiele fukcji, które w ogóle ie adają się do aproksmacji jedm wielomiaem w całm iteresującm as przedziale, - w iektórch przpadkach fukcje przekształcoe p.: (log ), log (), (1/), log (log ) lepiej adają się do aproksmacji wielomiaowej iż sama fukcja (), - dla wielu fukcji odpowiedie jest przbliżeie prz pomoc różch prostch fukcji p. krzwą łamaą lub fukcją sklejaą, - jeśli stopień wielomiau jest wsoki to wielomia może silie reagować a zaburzeia dach wejściowch szczególie w skrajch częściach przedziału, (jeśli wartości fukcji są dae w m+1 puktach rówoodległch to ie ależ stosować stopia wższego iż m 1/ ). Rs.4. Ilustracja aproksmacji zależości () z zazaczomi iepewościami pomiarowmi 19

Prz doświadczalm wzaczaiu zależości fukcjej () ależ pamiętać, że wszstkie pukt { i, i } uzskae został w wiku pomiarów i dlatego towarzszą im określoe iepewości. Dlatego wskazae jest ab a wkresie zależości (), prz każdm z puktów { i, i } zazaczć graice błędów jego pomiaru w postaci pioowch i poziomch kresek lub po prostu jako prostokąt, wewątrz którego leż prawdopodoba wartość prawdziwa (rs.4). Dopiero wted moża oceić cz zastosowaa do aproksmacji fukcja ma prawidłow przebieg, poieważ liia aproksmacji ie musi dokładie przebiegać przez pukt { i, i } (liia przerwaa a rs.4), wstarcz żeb przeciała zazaczoe pola iepewości pomiarowch puktów doświadczalch (liia ciągła a rs.4). 10. Sporządzaie wkresów Cztelm i prostm sposobem a prezetację wików pomiarów pewej wielkości fizczej zmieiającej się w wiku zmia iej wielkości (p. charakterstki statczej przetworika pomiarowego) jest sporządzeie wkresu (). W tm celu wiki pomiarów wielkości i ajlepiej umieścić w tabeli. Na początek ależ przjrzeć się wartościom i w tabeli, i oceić cz pokrwają oe w sposób w miarę rówomier zakres zmieości i możem zastosować skalę liiową, cz może zmieiają się w sposób geometrcz (tz. prawie stał jest stosuek ich kolejch wartości) i lepiej zastosować skalę logartmiczą. Zalecae jest stosowaie skali logartmiczej jeżeli zakres zmieości jest większ iż jeda dekada. Należ pamiętać, że skalę logartmiczą moża zastosować tlko wted gd wszstkie wartości i są dodatie. 0

Skala liiowa W przpadku skali liiowej ależ zaleźć ajmiejsze i ajwiększe wartości dla ab moża bło ustalić zakres zmieości osi odciętch wkresu. Jeżeli zachodzi potrzeba to dolą graicę d zakresu ależ obiżć do zaokrągloej w dół wartości miimalej mi a górą graicę g podieść do zaokrągloej w górę wartości maksmalej ma. Następie wzaczm skalę wkresu dla zmieej : gdzie: s ( g l d ) mm jed. fiz.wlk. l - przjęta długość osi odciętch wkresu wrażoa w mm. Oczwiście długość osi odciętch l powia zapewić cztelość wkresu, tz. ie powia bć miejsza iż 50-100 mm. Po arsowaiu osi odciętch ależ oczwiście ją opisać smbolem lub azwą wielkości wraz z ozaczeiem jedostki fizczej, w której bła oa mierzoa. Następie zazaczm a osi przjęte wcześiej graice d i g wraz z ich wartościami. Dodatkowo a osi zazaczam i opisujem od kilku do kilkuastu wartości pośredich. Powi to bć wartości zaokrągloe, zawierające co ajwżej dwie cfr zaczące więcej iż d i g i zarazem rozmieszczoe rówomierie a osi. Przkład 1. mi 0,3m/s - to dola graica zakresu: d 0,m/s, ma 0,47m/s - to góra graica zakresu: g 0,5m/s. Wartości pośredie zazaczoe a osi mogą bć wówczas rówe: 0,5m/s, 0,3m/s, 0,35m/s, 0,4m/s, 0,45m/s. Przkład. mi 140Hz - to dola graica zakresu: d 1000Hz, ma 6300Hz - to góra graica zakresu: g 7000Hz. Wartości pośredie zazaczoe a osi mogą bć wówczas rówe: 000Hz, 3000Hz, 4000Hz, 5000Hz, 6000Hz. 1

Same pukt pomiarowe i z tabeli aosim a wkres obliczając ich położeie w względem początku osi z zależości: w p + s ( i d ) [ mm] gdzie: p - położeie wartości d a osi odciętch wrażoe w mm. Skala logartmicza W przpadku skali logartmiczej ależ rówież zaleźć ajmiejsze i ajwiększe wartości dla ab moża bło ustalić zakres zmieości osi odciętch wkresu. W tm przpadku dola graica zakresu d powia bć ajwiększą całkowitą potęgą liczb 10 ie większą od wartości miimalej mi a góra graica zakresu g powia bć ajmiejszą całkowitą potęgą liczb 10 ie miejszą od wartości maksmalej ma. Następie wzaczm skalę wkresu dla zmieej : s (log 10 g l log 10 d ) mm dekada gdzie: l - przjęta długość osi odciętch wkresu wrażoa w mm. Oczwiście długość osi odciętch l powia zapewić cztelość wkresu, tz. ie powia bć miejsza iż 50-100 mm. Po arsowaiu osi odciętch ależ oczwiście ją opisać smbolem lub azwą wielkości wraz z ozaczeiem jedostki fizczej, w której bła oa mierzoa. Następie zazaczm a osi przjęte wcześiej graice d i g wraz z ich wartościami. Dodatkowo a osi zazaczam i opisujem od kilku do kilkuastu wartości pośredich. W przpadku skali logartmiczej są to przede wszstkim wartości całkowitch potęg liczb 10 mieszczące się międz d i g. Jeśli tch główch zaczików jest iewiele (miej iż 3) wskazae jest arsowaie a osi dodatkowch zaczików, które odpowiadają wartościom i 5 raz większm od tch główch.