0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2. Niech X N(0, 1) oraz Y = X 2. Pokazać, że Y χ 2 (1). Wskazówka: Gęstość jest pochodą dystrybuaty, a więc f(y) = F (y) y = P (Y y) y... 0.1.3. Niech X 1,..., X 5 oraz Y 1,..., Y 6 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(6, 5 2 ) oraz N(7, 6 2 ). Obliczyć P ( Ȳ X < 0 ). 0.1.4. Z rozkładu ormalego N(µ, 12 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P (9, 84 < S 2 6 < 19, 92). 0.1.5. Zmiee losowe X, Y, Z są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (4). Obliczyć prawdopodobieństwo P (X 2 + (Y 1) 2 + Z < 14, 45). 0.1.6. Z populacji o rozkładzie ormalym N(0, σ 2 ) wylosowao 26-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stosuek średiej z próby do odchyleia stadardowego z próby ie przekroczy 0, 26? 0.1.7. Zmiee X, Y, Z, W są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (6), W χ 2 (10). Obliczyć prawdopodobieństwa: a) P (X 2 + (Y 1) 2 + W < 21), b) P ( X + Y < 1 + 0, 725 2 W + Z ), c) P ( Y < 1 + 1, 133 X 2 + Z ). 0.1.8. Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu ormalego N( 2, 3 2 ). Obliczyć P ({ X 0, 36} {S 2 15, 507}). 0.1.9. Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 20 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(2, 1 2 ) oraz N(1, 2 2 ). Niech Z i = X i Y i dla i = 1,...,. Obliczyć P ( { Z > 1, 825} {S 2 > 0, 432} ), gdzie S 2 = 1 20 20 i=1 (Z i Z) 2.

2 0.1.10. Z populacji o rozkładzie ormalym N(µ, σ 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć wartość σ 2, jeżeli wiadomo, że P ( S 11 > 54, 12 ) = 0, 05, gdzie S 11 2 = 1 11 10 i=1(x i X) 2. 0.1.11. Z populacji o rozkładzie ormalym N(40, 2 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć P (S 2 20 < 5) P (Ŝ2 20 < 5). 0.1.12. Ruletka to gra hazardowa o prostych regułach, które powodują, że wygrywa się żeto z prawdopodobieństwem 18 a przegrywa z prawdopodobieństwem 20. Gracz zay jako Pechowiec gra 361 razy. Niech X 38 k będzie wyikiem k-tej gry, atomiast S = 361 k=1 X k. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Pechowiec ie straci po rozegraiu 361 gier (obliczyć P (S > 0)). 0.1.13. Niech X 1,..., X 400 będzie prostą próbą losową z rozkładu o mediaie m, czyli P (X i < m) = 1 2. Oblicz P (X 220:400 m). 0.1.14. 10% kierowców ie przekracza dozwoloej prędkości. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeia, że w wylosowaej próbie prostej 900 zatrzymaych przez policję kierowców otrzymamy frakcję ie przekraczających dozwoloej prędkości spełiającą ierówość 0, 10 < ˆp < 0, 12? 0.1.15. 20% kadydatów do sejmu czyta prasę codzieą. Spośród wszystkich kadydatów losujemy 20-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w próbie zajdzie się co ajwyżej 5% kadydatów czytających codzieą prasę. 0.1.16. Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 32 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(8, σ 2 ) oraz N(10, σ 2 ). Obliczyć prawdopodobieństwo P (S 1 < 3, 91S 2 ). 0.1.17. Z rozkładu ormalego N(2, σ 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P ( X 2 < 0, 6 ) S 0.1.18. Niech X N(µ, σ 2 ). Korzystając ze zaych własości rozkładu χ 2 podać wartość czwartego mometu cetralego m 4 = E(X µ) 4 oraz wariacji D 2 (S 2 ) i D 2 ( S 2 ). 0.1.19. Niech X, Y, Z będą iezależymi zmieymi losowymi o stadardowym rozkładzie ormalym N(0, 1). Zaleźć taką wartość parametru a, dla której P ( X X a ) = 0, 8. 2 +Y 2 +Z 2 0.1.20. Niech X Γ(a, b). Pokazać, że EX = a b, oraz D2 X = a b 2. 38

0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 3 0.1.21. Niech X Γ(a, b 1 ), Y Γ(a, b 2 ), oraz X, Y iezależe. Niech Z := X+Y. Pokazać, że Z Γ(a, b 1 + b 2 ). 0.1.22. Niech X 1,..., X,... będą iid z rozkładu wykładiczego z parametrem λ. Iterpretujemy je jako czasy oczekiwaia a koleje sukcesy. Zaleźć rozkład zmieej losowej Y, ozaczającej ilość sukcesów do chwili t. 0.1.23. Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, + 1). Wyzacz EX k: oraz D 2 X k:. 0.1.24. Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, 2). Wyzacz E(X 8:9 X 3:9 ). 0.1.25. Wyzacz EX k:, jeśli X 1,..., X są zmieymi losowymi iid z rozkładu a) U( θ, θ), b) U(θ, 2θ), c) U(θ, θ + 1), c) U(1, 1 + θ). 0.1.26. Rozwiązać problem postawioy w przykładzie?? według podaego tam plau. 0.1.27. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x. Podać fukcję gęstości oraz wartość oczekiwaą zmieej losowej T = X : Odpowiedzi 0.1.1 gdzie ES 2 = 1 σ2 oraz D 2 ( 1 Xi 2 ) = 1 i=1 (a 4 a 2 2), σ 2 = D 2 X, a 2 = EX 2, a 4 = EX 4. 0.1.2 F (y) = P (Y y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = 2Φ( y) 1,

4 gdzie Φ( ) jest dystrybuatą rozkładu N(0, 1). Wobec tego 0.1.3 0, 3821. 0.1.4 0, 02. 0.1.5 0, 975. 0.1.6 0, 9. f(y) = F (y) = 2Φ( 1 y) 2 y = 1 e y 2. 2πy 0.1.7 a) 0, 95 b) 0, 995 c) 0, 99. 0.1.8 0.1.9 0.1.10 1599, 92 0.1.11 0.1.12 0, 1587 0.1.13 0.1.14 0.1.15 0.1.16 0.1.17 0, 9. 0.1.18 m 4 = 3σ 4, D 2 (S 2 ) = 2( 1) σ 4, 2 D 2 ( S 2 ) = 2σ4 1 0.1.19 0, 64 0.1.20 0.1.21 0.1.22 Korzystając z tego, że X 1 + + X Γ(λ, ), zauważmy, że Oraz P (Y ) = P (X 1 + + X t) = F Γ(λ,) (t). P (Y = 1) = P (Y 1) P (Y ) = F Γ(λ, 1) (t) F Γ(λ,) (t). Całkując przez części otrzymujemy F Γ(λ,) (t) = t 0 1 Γ() λ x 1 e λx dx = λ 1 ( 1)! t 1 e λt + t = (λt) 1 ( 1)! e λt + F Γ(λ, 1) (t). 0 1 Γ( 1) λ 1 x 2 e λx dx

0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 5 Podstawiając do poprzediego rówaia otrzymujemy P (Y = 1) = (λt) 1 ( 1)! e λt, a więc Y jest z rozkładu Poissoa z parametrem λt. 0.1.23 EX k: = k, D 2 X k: = k( k+1) +2. 0.1.24 1. 0.1.25 a) 2k 1 θ, b) θ + k k θ, c) θ +, d) 1 + k θ. +1 +1 +1 +1 0.1.26 0.1.27 f : (x) = px p 1 dla x (0, 1), EX : = p p+1

6 0.2 WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW Zadaia 0.2.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstosci f(x) = x x2 e 2p p dla x > 0. jest ieobciążoym estymato- a) Sprawdzić, czy statystyka T = 1 i=1 X 2 2 i rem parametru p. b) Sprawdzić, czy statystyka T jest zgodym estymatorem parametru p. c) Sprawdzić, czy statystyka T jest efektywym estymatorem parametru p. Wskazówka: EX 2 = 2p, EX 4 = 8p 2. 0.2.2. Populacja ma rozkład zero-jedykowy z iezaym parametrem p (frakcja elemetów wyróżioych w populacji). Pokazać, że wskaźik struktury ˆp = k z próby prostej, gdzie k jest liczbą elemetów wyróżioych w próbie, jest ieobciążoym, zgodym i efektywym estymatorem parametru p. 0.2.3. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Poissoa o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = λx x! e λ dla x = 0, 1, 2,..., gdzie λ > 0. Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = c i=1 ix i jest ieobciążoym estymatorem parametru λ? Czy jest to estymator zgody? Podać efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Wskazówka: EX = λ, D 2 X = λ, i=1 i 2 = 1 ( + 1)(2 + 1). 6 0.2.4. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu a) geometryczego o fukcji prawdopodobieństwa p θ (x) = θ(1 θ) x, x = 0, 1,... b) Weibulla o fukcji gęstości f θ (x) = 3θx 2 e θx3 1 (0, ) (x), c) ormalego N(µ, σ 2 ), θ = (µ, σ) d) Pareto o fukcji gęstości f θ (x) = θx θ 1 1 (1, ) (x),

0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 7 e) jedostajego a przedziale (θ 1 2, θ + 1 2 ) o fukcji gęstości 1 (θ 1 2,θ+ 1 2 ) (x). Zaleźć statystykę dostateczą dla parametru θ. 0.2.5. Do klubu studeckiego wchodzą studeci dwóch różych uczeli wyższych. Udział studetów wchodzących do klubu pochodzących z pierwszej uczeli jest p, gdzie 0 < p < 1), z drugiej 1 p. Rozkład wytrzymałości ich głów jest dla pierwszej uczeli N(µ 1, σ 2 1), a dla drugiej N(µ 2, σ 2 2), gdzie (µ 1, µ 2, σ 2 1, σ 2 2) są zae, przy czym µ 1 µ 2. Na podstawie -elemetowej próby prostej pobraej z klubu skostruowao estymator udziału p studetów pochodzących z pierwszej uczeli postaci ˆp = X µ 2 µ 1 µ 2. Czy jest to estymator ieobciążoy. Czy jest zgody? 0.2.6. Sprawdzić, czy średia z próby jest ajefektywiejszym estymatorem parametru θ, gdzie θ > 0 w rozkładzie o fukcji prawdopodobieństwa p(x) = x = 0, 1,... Wskazówka: EX = θ, EX 2 = θ(1 + 2θ). θx, (1+θ) x+1 0.2.7. Zapropoować estymator ieobciążoy parametru µ a podstawie -elemetowej próby prostej z populacji o rozkładzie N(µ, σ 2 ) o zaym σ. Wykorzystując ierówość Rao-Cramera sprawdzić, czy jest to estymator efektywy. Czy jest to estymator zgody? 0.2.8. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu ormalego N(µ, σ 2 ). Pokazać, że estymator S 2 jest ieobciążoym i zgodym estymatorem parametru σ 2. Obliczyć efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? 0.2.9. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o skończoej wariacji σ 2. Wykazać, że o ile tylko X ie jest skocetrowae z prawdopodobieństwem 1 w EX, to estymator S = S 2 jest estymatorem obciążoym parametru σ. 0.2.10. Niech X 1,..., X oraz Y 1,... Y będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(µ, 1 2 ), N(µ, 2 2 ). Dobrać tak parametry a i b, aby estymator ˆµ = ax 1 + by 2 był ieobciążoym estymatorem parametru µ o miimalej wariacji. 0.2.11. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tych samych średich EX i = µ, ale iekoieczie tych samych wariacjach. Niech D 2 X i = σ 2 i i załóżmy, że σ 2 i są zae. Rozważmy estymator parametru µ postaci ˆµ = i=1 w i X i.

8 a) Dobrać w i tak, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym. b) Dobrać tak w i, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji. 0.2.12. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ 1, θ 2 ). a) Obliczyć EX 1:2 oraz EX 2:2. b) Podać realizację zmieych X 1:6 oraz X 4:6, jeżeli 6-elemetowa próba prosta dała wyik (4, 7, 9, 5, 4, 8). 0.2.13. Niech X 1, X 2, X 3 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (0, θ). a) Podać obciążeie estymatora ˆθ 1 = X 2:3 parametru θ 2 oraz estymatora ˆθ 2 = X 3:3 parametru θ. b) Udowodić, że estymatory ˆθ 1 = 2X 2:3 oraz ˆθ 2 = 4 3 X 3:3 są ieobciążoymi estymatorami parametru θ. c) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest efektywiejszy? d) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest oparty a statystyce dostateczej dla θ? e) Wybierając estymator efektywiejszy, oszacować parametr θ a podstawie astępującej realizacji próby x = (0, 3; 0, 8; 0, 1). 0.2.14. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ, θ + 1). a) Podać fukcję gęstości zmieej losowej X 1:. b) Pokazać, że X 1: jest asymptotyczie ieobciążoym estymatorem parametru θ. c) Dla jakiej wartości parametru c estymator T = X 1: +c jest ieobciążoym estymatorem parametru θ. 0.2.15. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x.

0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 9 a) Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = cx 1: jest ieobciążoym estymatorem parametru p? b) Czy jest to estymator zgody? c) Policzyć efektywość tego estymatora. Odpowiedzi 0.2.1 a) ET = p, czyli jest to estymator ieobciążoy b) lim D 2 T = p 2 lim = 0, czyli a podstawie twierdzeia?? jest to estymator zgody c) Prawa stroa ierówości Rao-Cramera wyosi D 2ˆθ = p2 i jest rówa wariacji tego estymatora, czyli T jest estymatorem efektywym. 0.2.2 E ˆp = E 1 i=1 X i = p, lim D 2ˆp p(1 p) = lim = 0 oraz E ( ) lp(x;p) 2 p = E(X p) 2 p 2 (1 p) 2 = 1 p(1 p), skąd prawa stroa w ierówości Rao-Cramera wyosi 1 p D2ˆθ = i jest rówa wariacji ˆp. 0.2.3 c = 2, lim 2(2 + 1) (+1) D2 T = lim = 0, czyli jest to estymator 3( + 1) zgody przy wyzaczoej wartości c, e(t ) = asymptotyczie efektywy. 3(+1) 2(2+1), ie jest to estymator 0.2.4 a) T = ( i=1 X i, i=1 X 3 i ) b) T = i=1 X 3 i c) T = ( X, i=1 X 2 i ) d) i=1 X i e) T = (X 1:, X : ) 0.2.5 E ˆp = p oraz lim D 2ˆp p 2 σ1 2 + (1 p) 2 σ2 2 = lim, czyli jest to estymator (µ 1 µ 2 ) 2 zgody. 0.2.6 0.2.7 Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji jest X. lim D 2 X = σ 2 lim = 0, czyli jest to estymator zgody. ( ) ( 1) S2 0.2.8 Korzystając ze zaych własości rozkładu chi-kwadrat mamy E = σ 2 1, skąd E S 2 = σ 2. Aalogiczie lim D 2 S 2 = lim, czyli jest to estymator 1 zgody; e( S 2 ) = 1, jest asymptotyczie efektywy. 0.2.9 Gdyby E S = σ, to mielibyśmy D 2 S = E S 2 (E S) 2 = σ 2 σ 2 = 0, czyli doszliśmy do sprzecości. 2σ 4 0.2.10 a = 4 1 2 +4 1, b = 2 2 +4 1 0.2.11 a) w i takie, że i=1 w i = 1 b) w i = 1 σ 2 1(1/σ 2 i + +1/σ2 )

10 0.3 METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Zadaia 0.3.1. Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Poissoa z parametrem λ o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = e ENW dla tego parametru. Podać statystykę dostateczą. λ λx x!. Zaleźć EMM oraz 0.3.2. Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu dwumiaowego o parametrach m oraz θ. Czyli fukcja prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać p(x; m, θ) = Wyzaczyć ENW dla parametru θ. ( ) m θ x (1 θ) m x, x dla x = 0, 1,..., m 0.3.3. Z populacji, w której cecha X ma rozkład prawdopodobieństwa o fukcji gęstości (a + 1)x a dla x (0, 1), f(x; a) = 0 dla x / (0, 1), gdzie a ( 1, ), wylosowao -elemetową próbę prostą. Zaleźć estymator EMM oraz ENW dla parametru a. 0.3.4. Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu o fukcji prawdopodobieństwa p(x; θ) = θ(1 θ) x 1, dla x = 1, 2,... oraz 0 < θ < 1. Zaleźć ENW i EMM dla θ. 0.3.5. Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu logarytmiczoormalego o fukcji gęstości f(x; m, σ 2 ) = W rozkładzie logarytmiczo-ormalym 1 (l x m)2 e 2σ 2 dla x > 0. 2πσx EX = e m+ 1 2 σ2, D 2 X = e 2m+σ2 ( e σ2 1 ). Zaleźć estymatory MM i MNW dla parametrów m i σ 2. Zaleźć ENW dla σ 2. Podać statystykę dostateczą dla σ. 0.3.6. Populacja geerala ma rozkład Pareto o fukcji gęstości postaci f(x; α) = αe α x (α+1), dla x e, oraz α > 0. Zaleźć ENW parametru α. Podać wartość oszacowaia, jeśli = 5, a próba dała wyik G = x 1 x = 20, 08554.

0.3. METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW 11 0.3.7. Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu jedostajego U(0, θ). Wyzaczyć ENW dla parametru θ. 0.3.8. Podać estymator ajwiększej wiarogodości rozstępu b a w rozkładzie jedostajym U(a, b) o fukcji gęstości 1 gdy a x b, b a f(x; a, b) = 0 wpp. 0.3.9. Niech X 1,..., X 10 będzie prostą próbą losową z rozkładu wykładiczego z parametrem λ o fukcji gęstości f(x; λ) = λe λx, dla x > 0, oraz iezależą od iej, prostą próbę losową Y 1,..., Y 10 z rozkładu wykładiczego z parametrem 2λ. Na podstawie X 1,..., X 10, Y 1,..., Y 10 wyzaczyć ENW parametru λ. 0.3.10. Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Laplace a Lapl(µ, λ), o fukcji gęstości f µ,λ (x) = λ 2 e λ x µ. Wyzacz ENW dla parametrów µ i λ. 0.3.11. Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z przesuiętego rozkładu wykładiczego, czyli rozkładu o fukcji gęstości f(x; λ, θ) = λe λ(x+θ), Wyzacz ENW dla parametrów λ i θ. x θ. 0.3.12. Niezwykle ważą rzeczą jest, aby wiedzieć, ile jest ryb w jeziorze. Aby je w przybliżeiu policzyć, stosuje się astępującą procedurę: wyławia się m ryb, ozacza je, a astępie wpuszcza z powrotem do wody i czeka odpowiedio długo, aby wymieszały się z pozostałymi. Następie łowi się ryb. Niech Z będzie zmieą losową będącą ilością ozakowaych ryb wśród złapaych. Zbuduj odpowiedi model statystyczy i wyzacz estymator ajwiększej wiarogodości parametru R, czyli liczby wszystkich ryb w jeziorze. Odpowiedzi 0.3.1 ˆλNW = X, ˆλNW = X, statystyka dostatecza to T = i=1 X i lub T = X. 0.3.2 ˆθNW 1 mi=1 X m i. 0.3.3 â MM = 2 X 1 1 X ; â NW = 1. i=1 l X i 0.3.4 ˆθNW = 1 X ; EX = 1 więc ˆθMM = 1 X. ( θ) X 0.3.5 ˆm MM = l ; ˆσ MM 2 = l ( S 2 + 1 ) ; X 2 S 2 + X 2 ˆm NW = 1 i=1 l X i = l G; ˆσ NW 2 = 1 ( i=1 l Xi 1 ) j=1 2 l X j = 1 i=1 (l X i l G) 2, gdzie G = X 1 X 2 X, jest średią geometryczą.

12 Więc ENW ( σ 2 1 ( ) = i=1 l Xi 1 ) j=1 2; l x j Statystyka dostatecza dla σ, to T = i=1 l X i. 0.3.6 ˆα NW = = 1. i=1 l x i l G 1 Więc dla = 5 i G = 20, 08554, mamy ˆα NW = 5. 0.3.7 ˆθNW = X :. 0.3.8 ENW (b a) = X : X 1:. 0.3.9 20 ˆλNW = 10 X+20Ȳ. 0.3.10 ˆµ NW = med, czyli mediaa próbkowa; ˆλ NW =. i=1 x i med 0.3.11 ˆθNW = X 1: ; ˆλNW = X 1: + i=1 x i. 0.3.12 ˆRNW = [ m k ] + 1.