WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych"

Transkrypt

1 WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41

2 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE DWÓCH POPULACJI Pytanie: czy populacje pod pewnymi względami są takie same, czy rozkłady zmiennych losowych mają pewne cechy takie same? Hipotezy paramertryczne: badamy równość pewnych parametrów rozkładów: wartości oczekiwanej, wariancji, prawdopodobieństwa pewnego zbioru Hipotezy nieparametryczne: sprawdzamy czy rozkłady są jednakowe Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 2 / 41

3 PORÓWNANIE DWÓCH POPULACJI - PRZYKŁADY czy plon przeciętny przy dwóch sposobach nawożenia jest jednakowy czy przeciętna cena pewnego towaru w sklepach Warszawy jest wyższa niż w sklepach Krakowa czy czas wykonania pewnego detalu przy dwóch sposobach produkcji jest jednakowy czy poparcie dla Pana A wzrosło w ciągu miesiąca czy margaryna Rama i Flora są kupowane tak samo często czy dwie metody pomiarowe są jednakowo dokładne Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 3 / 41

4 Model I - porównanie wartości oczekiwanych Założenia X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 1, σ 2 1 ); X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 2, σ 2 2 ); µ 1, µ 2 nieznane, σ 1, σ 2 znane, wszystkie zmienne niezależne. Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 Poziom istotności α X 1 = 1 n1 n 1 i=1 X 1,i N(µ 1, σ2 1 n 1 ) i X 2 = 1 n2 n 2 i=1 X 2,i N(µ 2, σ2 2 Statystyka testowa: U n1,n 2 = X 1 X 2 σ σ2 2 n 1 n 2 Przy hipotezie H 0 prawdziwej U n1,n 2 N(0, 1) Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : µ 1 µ 2 K 1 = { U n1,n 2 > u 1 α } 2 H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { U n1,n 2 > u 1 α } H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { U n1,n 2 < u 1 α } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 4 / 41 n 2 )

5 Model II- porównanie wartości oczekiwanych Założenia X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 1, σ 2 1 ); X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 2, σ 2 2 ); µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 nieznane, ale σ 1 = σ 2, wszystkie zmienne niezależne. Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 X 1 = 1 n1 n 1 i=1 X 1,i N(µ 1, σ2 1 n 1 ), X 2 = 1 n2 n 2 i=1 X 2,i N(µ 2, σ2 2 ( ( )) X 1 X 2 N µ 1 µ 2, σ n1 n2 S1 2 = 1 n1 n 1 1 i=1 (X 1,i X 1 ) 2 - estymator wariancji w oparciu o próbę X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 S2 2 = 1 n2 n 2 1 i=1 (X 2,i X 2 ) 2 - estymator wariancji w oparciu o próbę X 2,1, X 2,2,..., X 2,n1 S 2 = (n 1 1)S1 2+(n 2 1)S2 2 n 1 +n estymator wariancji w oparciu o dwie próby Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 5 / 41 n 2 )

6 Model II- prównanie wartości oczekiwanych cd. Statystyka testowa: T n1,n 2 = X 1 X 2 S 1 n n 2 Przy hipotezie H 0 prawdziwej T ma rozkład t-studenta z n 1 + n 2 2 stopniami swobody Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : µ 1 µ 2 K 1 = { T n1,n 2 > t(α, n 1 + n 2 2) } H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { T n1,n 2 > t(2α, n 1 + n 2 2) } H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { T n1,n 2 < t(2α, n 1 + n 2 2) } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 6 / 41

7 Model III - porównanie wartości oczekiwanych, test asymptotyczny Założenia: X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - i.i.d. z rozkładu o EX = µ 1 i VarX = σ 2 1 ; X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - i.i.d. z rozkładu o EX = µ 2 VarX = σ 2 2 ; µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 nieznane, wszystkie zmienne niezależne, n 1, n 2 duże. Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 poziom istotności α Statystyka testowa: U = X 1 X 2 Ŝ2 1 + Ŝ2 2 n 1 n2 Przy hipotezie H 0 prawdziwej U N(0, 1) przy n 1, n 2 + Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : µ 1 µ 2 K 1 = { U > u 1 α } 2 H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { U > u 1 α } H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { U < u 1 α } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 7 / 41

8 Model III - porównanie wartości oczekiwanych, PRZYKŁAD Egzamin ze statystyki zdawało 247 studentów. Czy studenci chodzący na wykłady uzyskali średnio lepsze wyniki. 162 osoby ( 3 razy były na wykładzie) średnia z ocen X 1 = 3, 20 S1 2 = 0, osób (< 3 razy były na wykładzie) średnia z ocen X 2 = 2, 56 S2 2 = 0, 48 H 0 : µ 1 = µ 2 Poziom istotności 0,05 3,2 2,56 U emp = = 5, 998 > 1, 64, p value < 0, ,92/162+0,48/85 Hipotezę o równości średnich odrzucamy na korzyść hipotezy o większej średniej dla studentów chodzących na wykład. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 8 / 41

9 Model II - Hipoteza o równości wariancji Założenia X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 1, σ 2 1 ); X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 2, σ 2 2 ); µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 nieznane, wszystkie obserwowane zmienne niezależne. Hipoteza zerowa: H 0 : σ 1 = σ 2 S1 2 = 1 n1 n 1 1 i=1 (X 1,i X 1 ) 2, S2 2 = 1 n2 n 2 1 i=1 (X 2,i X 2 ) 2 - estymatory wariancji σ1 2 i σ2 2 Statystyka testowa: F = S2 1 S 2 2 Przy H 0 prawdziwej F F n1 1,n 2 1 Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : σ1 2 σ2 2 K 1 = { F < F ( 1 α 2 ; n 1 1, n 2 1 ) F > F ( α 2 ; n 1 1, n 2 1 )} H 2 : σ1 2 > σ2 2 K 2 = {F > F (α; n 1 1, n 2 1)} H 3 : σ1 2 < σ2 2 K 3 = {F < F (1 α; n 1 1, n 2 1)} Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 9 / 41

10 Model IV - hipoteza o równości wskaźników struktury Założenia Wykonujemy n 1 niezależnych doświadczeń typu sukces - porażka, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p 1, i n 2 niezależnych doświadczeń typu sukces - porażka, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p 2 p 1, p 2 (0, 1) nieznane, n 1, n 2 duże X i oznacza liczbę sukcesów w n i próbach, i = 1, 2 Wtedy X 1 bin(n 1, p 1 ), X 2 bin(n 2, p 2 ) Hipoteza zerowa H 0 : p 1 = p 2 ˆp 1 = X 1 n 1 i ˆp 2 = X 2 n 2 - estymatory parametrów p 1 i p 2 p = X 1+X 2 n 1 +n 2 - estymator prawdopodobieństwa sukcesu przy założeniu, że H 0 prawdziwa Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

11 Model IV - hipoteza o równości wskaźników struktury cd. Statystyka testowa U n 1,n 2 = ˆp 1 ˆp 2 ( ) p (1 p ) n1 n2 Przy prawdziwości H 0 U n 1,n 2 N(0, 1) przy n 1, n 2 + Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : p 1 p 2 K 1 = { Un 1,n 2 > u 1 α } 2 H 2 : p 1 > p 2 K 2 = { Un 1,n 2 > u 1 α } H 3 : p 1 < p 2 K 3 = { Un 1,n 2 < u 1 α } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

12 Model IV - hipoteza o równości wskaźników struktury, PRZYKŁAD Egzamin ze statystyki zdawało 247 studentów. Czy studenci chodzący na wykłady mieli większe szanse na uzyskanie oceny pozytywnej 162 osoby ( 3 razy były na wykładzie) częstość zdania egzaminu ˆp 1 = 0, osób (< 3 razy były na wykładzie) częstość zdania egzaminu ˆp 2 = 0, 447 H 0 : p 1 = p 2 vs H 0 : p 1 > p 2 Poziom istotności 0,05 U n 1,n 2,emp = 3, 84 > 1, 64 p value = 0, Hipotezę o równości odrzucamy na korzyść hipotezy o większym prawdopodobieeństwie zdania dla studentów chodzących na wykład. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

13 Test analizy wariancji Rozważamy k prób losowych X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 X 2,1, X 2,2,..., X 2,n X k,1, X k,2,..., X k,nk PRZYKŁAD: X i,j cena pewnego produktu w i-tym mieście, i rozważamy k miast. ZAŁOŻENIA: X i,j, i = 1, 2,..., k, j = 1, 2,..., n i są niezależne X i,j N(m i, σ 2 ), m 1, m 2,..., m k, σ są nieznane Hipoteza zerowa: H 0 : m 1 = m 2 = = m k alternatywa H 1 : H 0 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

14 Test analizy wariancji, cd. Oznaczenia: n = n 1 + n n k X i = 1 ni n i j=1 X i,j X = 1 p ni n i=1 j=1 X i,j = 1 p n i=1 n i X i Test oparty na ilorazie wiarogodności odrzuca H 0 gdy ki=1 n i ( X i X ) 2 /(k 1) F = ki=1 ni j=1 (X > F (α, k 1, n k) i,j X i ) 2 /(n k) gdzie F (α, k 1, n k) wartość krytyczna w rozkładzie F k 1,n k rzędu α. 1 ki=1 k 1 n i ( X i X ) 2 - estymator wariancji międzygrupowej ki=1 ni j=1 (X i,j X i ) 2 - estymator wariancji wewnątrz grup 1 n k k n i (X i,j X ) 2 = i=1 j=1 k n i ( X i X ) 2 + i=1 k n i (X i,j X i ) 2 i=1 j=1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

15 Tabela testu analizy wariancji Źródło Sumy Stopnie wartość zmienności kwadratów swobody statystyki F między próbkami wewnątrz próbek Razem ki=1 n i ( X i X ) 2 k 1 ki=1 ni j=1 (X i,j X i ) 2 n k F emp ki=1 ni j=1 (X i,j X ) 2 n 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

16 Test analizy wariancji, PRZYKŁAD Porównano zyski ze sprzedaży pewnego towaru w czterech miastach. Wylosowano po 10 sklepów i otrzymano wyniki: miasto A B C D średni zysk ki=1 ni j=1 X 2 i,j = Testem analizy wariancji zweryfikuj hipotezę o równości przeciętnego zysku w tych miastach H 0 : m 1 = m 2 = m 3 = m 4 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

17 PRZYKŁAD cd i=1 j=1 X = 90, 5 (X i,j X i ) 2 = 4 10( X i X ) 2 = 210 i= i=1 j=1 X 2 i,j 4 i=1 10 X 2 i = 315 Źródło Sumy Stopnie wartość zmienności kwadratów swobody statystyki F między próbkami wewnątrz próbek Razem Wniosek: odrzucamy hipotezę H 0 F (0, 05, 3, 36) = 2, 87 8 > 2, 87 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

18 Asymptotyczne własności testu opartego na ilorazie wiarogodności Model: X 1, X 2,..., X n,... i.i.d. P θ, θ Θ, Θ zbiór d wymiarowy Θ 0 = {θ : h(θ) = 0}, Θ 0 zbiór d p wymiarowy Hipoteza: H 0 : h(θ) = 0 vs H 1 : h(θ) 0 Statystyka testowa: Λ(X 1, X 2,..., X n ) = sup θ Θ L(θ) sup θ Θ0 L(θ) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

19 Asymptotyczne własności testu opartego na ilorazie wiarogodności Twierdzenie. Jeżeli H 0 jest prawdziwa to rozkład statystyki 2 ln Λ dąży (przy n + ) do rozkładu chi-kwadrat z p stopniami swobody Obszar krytyczny testu asymptotycznego przy poziomie istotności α { } K = (x 1, x 2,..., x n ) : 2 ln Λ(x 1, x 2,..., x n ) > χ 2 (α, p) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

20 Przykład Model Poissona: X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu Poissona Poiss(θ), θ > 0 Weryfikujemy H 0 : θ = θ 0 vs. H 1 : θ θ 0 Funkcja wiarogodności L(θ) = e nθ ENW (θ) = X d = 1, dim(θ 0 ) = 0 = p = 1 θn X X 1!...X n! ( Λ = e n(θ 0 X ) X θ 0 ) n X Hipotezę H 0 odrzucamy gdy ) 2 ln Λ = 2nθ 0 X ) + 2n X (ln X ln θ 0 > χ 2 (α, 1) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

21 TESTOWANIE HIPOTEZ O ZGODNOŚCI Badamy, czy zmienna pochodzi z konkretnego rozkładu lub rodziny rozkładów (testy zgodności) Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F H 0 : F = F 0, F 0 ustalona Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

22 Test Kołmogorowa Założenie: F 0 - ciągła, ściśle rosnąca dystrybuanta Statystyka testowa: D n = sup F n (t) F 0 (t), t R gdzie F n (t) = F n (X 1, X 2,..., X n, t) jest dystrybuantą empiryczną. D n = max{d + n, D n } gdzie D + n i=1...n = max i n z i Dn = max i=1...n z i i 1 n z i = F 0 (x i:n ) TEST: Jeżeli D n > c(α, n), to hipotezę H 0 odrzucamy. Wybór c(α, n), wartości stablicowane Rozkład statystyki D n przy prawdziwości hipotezy H 0 nie zależy od postaci F 0. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

23 Wartości c(α, n) przy dużym n α c(α, n) 1.07/ n 1.22/ n 1.36/ n 1.63/ n Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

24 PRZYKŁAD Na podstawie próbki losowej 10-elementowej weryfikujemy hipotezę, że obserwowana zmienna ma rozkład o dystrybuancie F x = x 2 gdy x (0,1) xi i/n F(xi) i/n-f(xi) F(xi)-(i-1)/n 0,038 0,1 0,001 0,099 0,001 0,146 0,2 0,021 0,179 0,079 0,165 0,3 0,027 0,273 0,173 0,289 0,4 0,084 0,316 0,216 0,325 0,5 0,106 0,394 0,294 0,655 0,6 0,430 0,170 0,070 0,719 0,7 0,517 0,183 0,083 0,736 0,8 0,541 0,259 0,159 0,924 0,9 0,853 0,047 0,053 0, ,970 0,030 0,070 D n =Max=0,394 Wartość krytyczna przy poziomie istotności 0,1 = 0,369 HIPOTEZĘ ODRZUCAMY Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

25 Test Kołmogorowa - Lillieforsa Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F H 0 : F jest dystrybuantą rozkładu normalnego Statystyka testowa D n = max{d n +, Dn } gdzie D n + = max i i=1...n n z i Dn = max i=1...n z i i 1 n X = 1 n n i=1 X i S 2 = 1 n 1 Obszar krytyczny testu: K = {D n > D n (α)} z i = Φ n (X i X ) 2 i=1 D n (α) stablicowane, dla dużych n zachodzi D n (α) = α D(α) D(α) n n ( Xi:n X ) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41 S

26 Test Kołmogorowa - Smirnowa Model: X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o dystrybuancie F, Y 1, Y 2,..., Y m i.i.d. z rozkładu o dystrybuancie G. Hipoteza: H 0 : F = G vs. H 1 : F G Statystyka testowa: D n,m = sup F n (t) G m (t), t R gdzie F n, G m dystrybuanty empiryczne Test: H 0 odrzucamy gdy D n,m > c(α, n, m), wartości krytyczne c(α, n, m) stablicowane, nie zależą od postaci dystrybuant F i G Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

27 Test zgodności chi-kwadrat Test zgodności chi-kwadrat służy do weryfikacji hipotezy o postaci rozkładu obserwowanej zmiennej losowej X, jest testem asymptotycznym, pozwala weryfikować hipotezy o rozkładzie dyskretnym oraz o rozkładzie ciągłym. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

28 Test zgodności chi-kwadrat, rozkład dyskretny Model: Powtarzamy n- krotnie doświadczenie losowe, które ma k możliwych wyników w 1, w 2,..., w k. gdzie p i = 1. X w 1 w 2... w k P(X = w i ) p 1 p 2... p k Hipoteza zerowa: H 0 : p 1 = p1 0, p 2 = p2 0,..., p k = pk 0 gdzie p1 0, p0 2,..., p0 k są znane. X 1, X 2,..., X n - obserwacje cechy X. N i = n j=1 1(X j = w i ), i = 1, 2,..., k - zliczamy ile razy w próbce X 1, X 2,..., X n pojawiła się wartość w i. Wyniki doświadczeń prezentuje tabela: X w 1 w 2... w k liczba doświadczeń N 1 N 2... N k Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

29 Test zgodności chi-kwadrat, rozkład dyskretny, cd. Wektor (N 1, N 2,..., N k ) Mult(n, p 1, p 2,..., p k ). Oczekiwana liczba pojawienia się wyniku w i w próbie n-elementowej przy prawdziwej hipotezie H 0 EN i = np 0 i Postać statystyki testu chi-kwadrat: χ 2 = (wielkość obserwowana - wielkość oczekiwana) 2 wielkość oczekiwana Test: odrzucamy H 0 gdy χ 2 = k i=1 (N i np 0 i )2 np 0 i > χ 2 (α, k 1) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

30 PRZYKŁAD Chcemy sprawdzić czy kostka do gry jest symetryczna. Rzucamy kostką 300 razy. Wyniki podaje tabela H 0 : pi 0 = 1 6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 np 0 i = wynik w i liczba rzutów N i wartość oczekiwana Wartość statystyki testowej: χ 2 emp = 6 i=1 (N i np 0 i )2 np 0 i χ 2 0,95,5 = 11, 07 χ 2 emp < χ 2 (0, 05, 5) = 5, 16 Wniosek: Agata Boratyńska nie ma podstawstatystyka do odrzucenia matematyczna, wykład hipotezy 11 i 12 H,zatem można sądzić, 30 / 41

31 Test zgodności chi-kwadrat, rozkład ciągły Model: X 1, X 2,..., X n próba losowa z rozkładu ciągłego o nieznanej dystrybuancie Hipoteza zerowa: H 0 : X 1, X 2,..., X n i.i.d. F gdzie F jest znaną dystrybuantą rozkładu ciągłego. Statystyka testowa Wybieramy liczby = a 0 < a 1 < a 2 < < a k = i definiujemy N i = n 1(a i 1 < X j a i ), i = 1, 2,..., k j=1 Prawdopodobieństwo P(a i 1 < X j a i ) = F (a i ) F (a i 1 ) = p 0 i jest znane. Następnie stosujemy test chi-kwadrat dla przypadku rozkładu dyskretnego. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

32 Test zgodności chi-kwadrat, UWAGI Test zgodności chi-kwadrat jest testem asymptotycznym, liczność próby losowej n musi być duża, dla każdej klasy np 0 i > 5. Podział na klasy (a i 1, a i ) dokonuje się tak, aby p 0 i 1 k. Testu możemy używać do weryfikacji hipotezy, że rozkład obserwowanej zmiennej należy do pewnej rodziny rozkładów indeksowanych skończenie wymiarowym parametrem. Parametry estymujemy korzystając z danych. Jeśli używamy danych do estymacji nieznanych parametrów rozkładu występującego w hipotezie zerowej, to dla każdego estymowanego parametru odejmujemy jeden stopień swobody, zatem test odrzuca hipotezę zerową, gdy χ 2 = k i=1 (N i np 0 i )2 np 0 i > χ 2 (α, k d 1) gdzie d jest liczbą estymowanych parametrów. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

33 PRZYKŁAD Tabela przedstawia liczby roszczeń zgłoszonych w ciągu roku dla 500 niezależnych polis z pewnej grupy ryzyka w TU: liczba roszczeń > 2 liczba polis X - obserwowana zmienna losowa - liczba roszczeń dla jednej polisy H 0 : X Poiss(λ), λ > 0 jest nieznane. ˆλ = ENW (λ) = X = 0.2 p 0 1 = P(X = 0) e 0.2 = 0, p 0 1 = 410 p 0 2 = P(X = 1) 0.2e 0.2 = 0, p 0 2 = 80 p 0 3 = P(X > 1) 1 0.2e 0.2 e 0.2 = 0, p 0 3 = 10 Wartość statystyki testowej χ 2 = 3 (N i npi 0)2 i=1 = 21, 73 npi 0 Wartość krytyczna χ 2 (0, 05, 3 1 1) = 3, 84. Hipotezę H 0 odrzucamy Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

34 PRZYKŁAD, dane Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

35 Przykład cd, wartości estymatorów ROZKŁAD WYKŁADNICZY EMM 0, ENW 0, ROZKŁAD PARETO EMM theta 2,48984 lambda 4458,24 ENW theta 1,90145 lambda 2691,39 ROZKŁAD WEIBULLA EMK tau 0, c 0, ENW tau 0, c 0, ROZKŁAD GAMMA EMM alpha 0, beta 0, ENW alpha 0, beta 0, ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY ENW 7, , Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

36 Przykład cd, wykresy gęstości 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 histogram wykladniczy Pareto Weibulla Gamma Lognormal 0, Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

37 Przykład cd, hipoteza o zgodności z rozkładem wykładniczym DOPASOWANIE - ROZKŁAD WYKŁADNICZY ai N F a ) i ( i pi ( Ni npi ) np ,111 0,111 6, ,222 0,111 5, ,333 0,111 0, ,444 0,111 0, ,555 0,111 0, ,666 0,111 0, ,777 0,111 2, ,888 0,111 3,01042 > ,111 0,26042 n 96 17,625 i 2 Histogram i pdf r. wykładniczego 0,0006 0,0005 0,0004 histogram 0,0003 wykladniczy 0,0002 0, Wartość krytyczna 14, 067 0,05,9 1 1 Wniosek: hipotezę odrzucamy Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

38 Przykład cd, hipoteza o zgodności z rozkładem lognormalnym ai N F a ) i ( i pi ( Ni npi ) np ,1111 0,1111 0, ,2222 0,1111 0, ,3333 0,1111 0, ,4444 0,1111 0, ,5556 0,1111 0, ,6667 0,1111 0, ,7778 0,1111 0, ,8889 0,1111 0,167 > ,0000 0,1111 0,510 DOPASOWANIE - ROZKŁAD LOGNORMALNY i 2 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0, histogram i pdf r. logarytmiczno-normalnego histogram Lognormal 0, , , , , ,00 2 Wartość krytyczna 12, 5916 Wniosek: brak podstaw do odrzucenia hipotezy 0,05,9 2 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

39 TEST CHI-KWADRAT NIEZALEŻNOŚCI (X, Y ) - dwuwymiarowa zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, tzn. (X, Y ) {1, 2,..., r} {1, 2,..., s}; (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ) próba losowa N i = N i,j = n 1(X l = i Y l = j) l=1 s N i,j and N j = j=1 r N i,j. Dane przedstawiamy w tabeli zwanej tablicą kontyngencji. x/y s N i, 1 N 1,1 N 1,2... N 1,s N 1, 2 N 2,1 N 2,2... N 2,s N 2, r N r,1 N r,2... N r,s N r, N,j N,1 N,2... N,s n Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41 i=1

40 Test niezależności cd. Hipoteza zerowa: H 0 : X i Y są niezależne Niech p i,j = P(X = i Y = j) p i = P(X = i) = s j=1 p i,j i p j = P(Y = j) = r i=1 p i,j. H 0 : p i,j = p i p j, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s. Jest to hipoteza o zgodności z pewnym rozkładem Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

41 Test niezależności chi-kwadrat Nieznanymi parametrami są: p i i p j, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s Ich estymatory największej wiarogodności to: ˆp i = N i n ˆp j = N j n Estymujemy zatem r 1 + s 1 parametrów Estymatory parametrów p i,j są postaci ˆp i,j = ˆp i ˆp j = N i n N j n Statystyka testu chi-kwadrat ma postać χ 2 = ( r s N i,j N ) 2 i N j n. N i N j i=1 j=1 n Jeżeli n + to rozkład statystyki χ 2 dąży do rozkładu χ 2 (r 1)(s 1) Hipotezę H 0 odrzucamy gdy χ 2 > χ 2 (α, (r 1)(s 1)) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 Testowanie jednorodności

Wykład 11 Testowanie jednorodności Wykład 11 Testowanie jednorodności Wrocław, 17 maja 2018 Test χ 2 jednorodności Niech X i, i = 1, 2,..., k będą niezależnymi zmiennymi losowymi typu dyskretnego przyjmującymi wartości z 1, z 2,..., z l,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym. Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11 Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

Porównanie wielu rozkładów normalnych

Porównanie wielu rozkładów normalnych Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

1 Estymacja przedziałowa

1 Estymacja przedziałowa 1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Badanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym

Badanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym Badanie zgodności z określonym rozkładem H 0 : Cecha X ma rozkład F F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa Test chi kwadrat zgodności F jest rozkładem ciągłym Test Kołmogorowa F jest rozkładem normalnym

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Porównanie dwóch rozkładów normalnych

Porównanie dwóch rozkładów normalnych Porównanie dwóch rozkładów normalnych Założenia: 1. X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2) 2. X 1, X 2 są niezależne Ocena µ 1 µ 2 oraz σ 2 1/σ 2 2. Próby: X 11,..., X 1n1 ; X 21,..., X 2n2 X 1, varx 1,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ

Bardziej szczegółowo

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7 Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Testowanie hipotez statystycznych Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/23 Testowanie hipotez średniej w R Test istotności dla wartości

Bardziej szczegółowo

Estymacja punktowa i przedziałowa

Estymacja punktowa i przedziałowa Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn

Bardziej szczegółowo

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW Założenia do analizy wariancji dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW anna_rajfura@sggw.pl Zagadnienia 1. Normalność rozkładu cechy Testy: chi-kwadrat zgodności, Shapiro-Wilka, Kołmogorowa-Smirnowa

Bardziej szczegółowo