WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
|
|
- Sylwia Smolińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41
2 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE DWÓCH POPULACJI Pytanie: czy populacje pod pewnymi względami są takie same, czy rozkłady zmiennych losowych mają pewne cechy takie same? Hipotezy paramertryczne: badamy równość pewnych parametrów rozkładów: wartości oczekiwanej, wariancji, prawdopodobieństwa pewnego zbioru Hipotezy nieparametryczne: sprawdzamy czy rozkłady są jednakowe Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 2 / 41
3 PORÓWNANIE DWÓCH POPULACJI - PRZYKŁADY czy plon przeciętny przy dwóch sposobach nawożenia jest jednakowy czy przeciętna cena pewnego towaru w sklepach Warszawy jest wyższa niż w sklepach Krakowa czy czas wykonania pewnego detalu przy dwóch sposobach produkcji jest jednakowy czy poparcie dla Pana A wzrosło w ciągu miesiąca czy margaryna Rama i Flora są kupowane tak samo często czy dwie metody pomiarowe są jednakowo dokładne Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 3 / 41
4 Model I - porównanie wartości oczekiwanych Założenia X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 1, σ 2 1 ); X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 2, σ 2 2 ); µ 1, µ 2 nieznane, σ 1, σ 2 znane, wszystkie zmienne niezależne. Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 Poziom istotności α X 1 = 1 n1 n 1 i=1 X 1,i N(µ 1, σ2 1 n 1 ) i X 2 = 1 n2 n 2 i=1 X 2,i N(µ 2, σ2 2 Statystyka testowa: U n1,n 2 = X 1 X 2 σ σ2 2 n 1 n 2 Przy hipotezie H 0 prawdziwej U n1,n 2 N(0, 1) Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : µ 1 µ 2 K 1 = { U n1,n 2 > u 1 α } 2 H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { U n1,n 2 > u 1 α } H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { U n1,n 2 < u 1 α } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 4 / 41 n 2 )
5 Model II- porównanie wartości oczekiwanych Założenia X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 1, σ 2 1 ); X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 2, σ 2 2 ); µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 nieznane, ale σ 1 = σ 2, wszystkie zmienne niezależne. Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 X 1 = 1 n1 n 1 i=1 X 1,i N(µ 1, σ2 1 n 1 ), X 2 = 1 n2 n 2 i=1 X 2,i N(µ 2, σ2 2 ( ( )) X 1 X 2 N µ 1 µ 2, σ n1 n2 S1 2 = 1 n1 n 1 1 i=1 (X 1,i X 1 ) 2 - estymator wariancji w oparciu o próbę X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 S2 2 = 1 n2 n 2 1 i=1 (X 2,i X 2 ) 2 - estymator wariancji w oparciu o próbę X 2,1, X 2,2,..., X 2,n1 S 2 = (n 1 1)S1 2+(n 2 1)S2 2 n 1 +n estymator wariancji w oparciu o dwie próby Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 5 / 41 n 2 )
6 Model II- prównanie wartości oczekiwanych cd. Statystyka testowa: T n1,n 2 = X 1 X 2 S 1 n n 2 Przy hipotezie H 0 prawdziwej T ma rozkład t-studenta z n 1 + n 2 2 stopniami swobody Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : µ 1 µ 2 K 1 = { T n1,n 2 > t(α, n 1 + n 2 2) } H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { T n1,n 2 > t(2α, n 1 + n 2 2) } H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { T n1,n 2 < t(2α, n 1 + n 2 2) } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 6 / 41
7 Model III - porównanie wartości oczekiwanych, test asymptotyczny Założenia: X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - i.i.d. z rozkładu o EX = µ 1 i VarX = σ 2 1 ; X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - i.i.d. z rozkładu o EX = µ 2 VarX = σ 2 2 ; µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 nieznane, wszystkie zmienne niezależne, n 1, n 2 duże. Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 poziom istotności α Statystyka testowa: U = X 1 X 2 Ŝ2 1 + Ŝ2 2 n 1 n2 Przy hipotezie H 0 prawdziwej U N(0, 1) przy n 1, n 2 + Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : µ 1 µ 2 K 1 = { U > u 1 α } 2 H 2 : µ 1 > µ 2 K 2 = { U > u 1 α } H 3 : µ 1 < µ 2 K 3 = { U < u 1 α } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 7 / 41
8 Model III - porównanie wartości oczekiwanych, PRZYKŁAD Egzamin ze statystyki zdawało 247 studentów. Czy studenci chodzący na wykłady uzyskali średnio lepsze wyniki. 162 osoby ( 3 razy były na wykładzie) średnia z ocen X 1 = 3, 20 S1 2 = 0, osób (< 3 razy były na wykładzie) średnia z ocen X 2 = 2, 56 S2 2 = 0, 48 H 0 : µ 1 = µ 2 Poziom istotności 0,05 3,2 2,56 U emp = = 5, 998 > 1, 64, p value < 0, ,92/162+0,48/85 Hipotezę o równości średnich odrzucamy na korzyść hipotezy o większej średniej dla studentów chodzących na wykład. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 8 / 41
9 Model II - Hipoteza o równości wariancji Założenia X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 1, σ 2 1 ); X 2,1, X 2,2,..., X 2,n2 - próba losowa z rozkładu normalnego N(µ 2, σ 2 2 ); µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 nieznane, wszystkie obserwowane zmienne niezależne. Hipoteza zerowa: H 0 : σ 1 = σ 2 S1 2 = 1 n1 n 1 1 i=1 (X 1,i X 1 ) 2, S2 2 = 1 n2 n 2 1 i=1 (X 2,i X 2 ) 2 - estymatory wariancji σ1 2 i σ2 2 Statystyka testowa: F = S2 1 S 2 2 Przy H 0 prawdziwej F F n1 1,n 2 1 Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : σ1 2 σ2 2 K 1 = { F < F ( 1 α 2 ; n 1 1, n 2 1 ) F > F ( α 2 ; n 1 1, n 2 1 )} H 2 : σ1 2 > σ2 2 K 2 = {F > F (α; n 1 1, n 2 1)} H 3 : σ1 2 < σ2 2 K 3 = {F < F (1 α; n 1 1, n 2 1)} Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 9 / 41
10 Model IV - hipoteza o równości wskaźników struktury Założenia Wykonujemy n 1 niezależnych doświadczeń typu sukces - porażka, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p 1, i n 2 niezależnych doświadczeń typu sukces - porażka, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p 2 p 1, p 2 (0, 1) nieznane, n 1, n 2 duże X i oznacza liczbę sukcesów w n i próbach, i = 1, 2 Wtedy X 1 bin(n 1, p 1 ), X 2 bin(n 2, p 2 ) Hipoteza zerowa H 0 : p 1 = p 2 ˆp 1 = X 1 n 1 i ˆp 2 = X 2 n 2 - estymatory parametrów p 1 i p 2 p = X 1+X 2 n 1 +n 2 - estymator prawdopodobieństwa sukcesu przy założeniu, że H 0 prawdziwa Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
11 Model IV - hipoteza o równości wskaźników struktury cd. Statystyka testowa U n 1,n 2 = ˆp 1 ˆp 2 ( ) p (1 p ) n1 n2 Przy prawdziwości H 0 U n 1,n 2 N(0, 1) przy n 1, n 2 + Alternatywa Zbiór krytyczny H 1 : p 1 p 2 K 1 = { Un 1,n 2 > u 1 α } 2 H 2 : p 1 > p 2 K 2 = { Un 1,n 2 > u 1 α } H 3 : p 1 < p 2 K 3 = { Un 1,n 2 < u 1 α } Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
12 Model IV - hipoteza o równości wskaźników struktury, PRZYKŁAD Egzamin ze statystyki zdawało 247 studentów. Czy studenci chodzący na wykłady mieli większe szanse na uzyskanie oceny pozytywnej 162 osoby ( 3 razy były na wykładzie) częstość zdania egzaminu ˆp 1 = 0, osób (< 3 razy były na wykładzie) częstość zdania egzaminu ˆp 2 = 0, 447 H 0 : p 1 = p 2 vs H 0 : p 1 > p 2 Poziom istotności 0,05 U n 1,n 2,emp = 3, 84 > 1, 64 p value = 0, Hipotezę o równości odrzucamy na korzyść hipotezy o większym prawdopodobieeństwie zdania dla studentów chodzących na wykład. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
13 Test analizy wariancji Rozważamy k prób losowych X 1,1, X 1,2,..., X 1,n1 X 2,1, X 2,2,..., X 2,n X k,1, X k,2,..., X k,nk PRZYKŁAD: X i,j cena pewnego produktu w i-tym mieście, i rozważamy k miast. ZAŁOŻENIA: X i,j, i = 1, 2,..., k, j = 1, 2,..., n i są niezależne X i,j N(m i, σ 2 ), m 1, m 2,..., m k, σ są nieznane Hipoteza zerowa: H 0 : m 1 = m 2 = = m k alternatywa H 1 : H 0 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
14 Test analizy wariancji, cd. Oznaczenia: n = n 1 + n n k X i = 1 ni n i j=1 X i,j X = 1 p ni n i=1 j=1 X i,j = 1 p n i=1 n i X i Test oparty na ilorazie wiarogodności odrzuca H 0 gdy ki=1 n i ( X i X ) 2 /(k 1) F = ki=1 ni j=1 (X > F (α, k 1, n k) i,j X i ) 2 /(n k) gdzie F (α, k 1, n k) wartość krytyczna w rozkładzie F k 1,n k rzędu α. 1 ki=1 k 1 n i ( X i X ) 2 - estymator wariancji międzygrupowej ki=1 ni j=1 (X i,j X i ) 2 - estymator wariancji wewnątrz grup 1 n k k n i (X i,j X ) 2 = i=1 j=1 k n i ( X i X ) 2 + i=1 k n i (X i,j X i ) 2 i=1 j=1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
15 Tabela testu analizy wariancji Źródło Sumy Stopnie wartość zmienności kwadratów swobody statystyki F między próbkami wewnątrz próbek Razem ki=1 n i ( X i X ) 2 k 1 ki=1 ni j=1 (X i,j X i ) 2 n k F emp ki=1 ni j=1 (X i,j X ) 2 n 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
16 Test analizy wariancji, PRZYKŁAD Porównano zyski ze sprzedaży pewnego towaru w czterech miastach. Wylosowano po 10 sklepów i otrzymano wyniki: miasto A B C D średni zysk ki=1 ni j=1 X 2 i,j = Testem analizy wariancji zweryfikuj hipotezę o równości przeciętnego zysku w tych miastach H 0 : m 1 = m 2 = m 3 = m 4 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
17 PRZYKŁAD cd i=1 j=1 X = 90, 5 (X i,j X i ) 2 = 4 10( X i X ) 2 = 210 i= i=1 j=1 X 2 i,j 4 i=1 10 X 2 i = 315 Źródło Sumy Stopnie wartość zmienności kwadratów swobody statystyki F między próbkami wewnątrz próbek Razem Wniosek: odrzucamy hipotezę H 0 F (0, 05, 3, 36) = 2, 87 8 > 2, 87 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
18 Asymptotyczne własności testu opartego na ilorazie wiarogodności Model: X 1, X 2,..., X n,... i.i.d. P θ, θ Θ, Θ zbiór d wymiarowy Θ 0 = {θ : h(θ) = 0}, Θ 0 zbiór d p wymiarowy Hipoteza: H 0 : h(θ) = 0 vs H 1 : h(θ) 0 Statystyka testowa: Λ(X 1, X 2,..., X n ) = sup θ Θ L(θ) sup θ Θ0 L(θ) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
19 Asymptotyczne własności testu opartego na ilorazie wiarogodności Twierdzenie. Jeżeli H 0 jest prawdziwa to rozkład statystyki 2 ln Λ dąży (przy n + ) do rozkładu chi-kwadrat z p stopniami swobody Obszar krytyczny testu asymptotycznego przy poziomie istotności α { } K = (x 1, x 2,..., x n ) : 2 ln Λ(x 1, x 2,..., x n ) > χ 2 (α, p) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
20 Przykład Model Poissona: X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu Poissona Poiss(θ), θ > 0 Weryfikujemy H 0 : θ = θ 0 vs. H 1 : θ θ 0 Funkcja wiarogodności L(θ) = e nθ ENW (θ) = X d = 1, dim(θ 0 ) = 0 = p = 1 θn X X 1!...X n! ( Λ = e n(θ 0 X ) X θ 0 ) n X Hipotezę H 0 odrzucamy gdy ) 2 ln Λ = 2nθ 0 X ) + 2n X (ln X ln θ 0 > χ 2 (α, 1) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
21 TESTOWANIE HIPOTEZ O ZGODNOŚCI Badamy, czy zmienna pochodzi z konkretnego rozkładu lub rodziny rozkładów (testy zgodności) Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F H 0 : F = F 0, F 0 ustalona Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
22 Test Kołmogorowa Założenie: F 0 - ciągła, ściśle rosnąca dystrybuanta Statystyka testowa: D n = sup F n (t) F 0 (t), t R gdzie F n (t) = F n (X 1, X 2,..., X n, t) jest dystrybuantą empiryczną. D n = max{d + n, D n } gdzie D + n i=1...n = max i n z i Dn = max i=1...n z i i 1 n z i = F 0 (x i:n ) TEST: Jeżeli D n > c(α, n), to hipotezę H 0 odrzucamy. Wybór c(α, n), wartości stablicowane Rozkład statystyki D n przy prawdziwości hipotezy H 0 nie zależy od postaci F 0. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
23 Wartości c(α, n) przy dużym n α c(α, n) 1.07/ n 1.22/ n 1.36/ n 1.63/ n Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
24 PRZYKŁAD Na podstawie próbki losowej 10-elementowej weryfikujemy hipotezę, że obserwowana zmienna ma rozkład o dystrybuancie F x = x 2 gdy x (0,1) xi i/n F(xi) i/n-f(xi) F(xi)-(i-1)/n 0,038 0,1 0,001 0,099 0,001 0,146 0,2 0,021 0,179 0,079 0,165 0,3 0,027 0,273 0,173 0,289 0,4 0,084 0,316 0,216 0,325 0,5 0,106 0,394 0,294 0,655 0,6 0,430 0,170 0,070 0,719 0,7 0,517 0,183 0,083 0,736 0,8 0,541 0,259 0,159 0,924 0,9 0,853 0,047 0,053 0, ,970 0,030 0,070 D n =Max=0,394 Wartość krytyczna przy poziomie istotności 0,1 = 0,369 HIPOTEZĘ ODRZUCAMY Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
25 Test Kołmogorowa - Lillieforsa Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F H 0 : F jest dystrybuantą rozkładu normalnego Statystyka testowa D n = max{d n +, Dn } gdzie D n + = max i i=1...n n z i Dn = max i=1...n z i i 1 n X = 1 n n i=1 X i S 2 = 1 n 1 Obszar krytyczny testu: K = {D n > D n (α)} z i = Φ n (X i X ) 2 i=1 D n (α) stablicowane, dla dużych n zachodzi D n (α) = α D(α) D(α) n n ( Xi:n X ) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41 S
26 Test Kołmogorowa - Smirnowa Model: X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o dystrybuancie F, Y 1, Y 2,..., Y m i.i.d. z rozkładu o dystrybuancie G. Hipoteza: H 0 : F = G vs. H 1 : F G Statystyka testowa: D n,m = sup F n (t) G m (t), t R gdzie F n, G m dystrybuanty empiryczne Test: H 0 odrzucamy gdy D n,m > c(α, n, m), wartości krytyczne c(α, n, m) stablicowane, nie zależą od postaci dystrybuant F i G Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
27 Test zgodności chi-kwadrat Test zgodności chi-kwadrat służy do weryfikacji hipotezy o postaci rozkładu obserwowanej zmiennej losowej X, jest testem asymptotycznym, pozwala weryfikować hipotezy o rozkładzie dyskretnym oraz o rozkładzie ciągłym. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
28 Test zgodności chi-kwadrat, rozkład dyskretny Model: Powtarzamy n- krotnie doświadczenie losowe, które ma k możliwych wyników w 1, w 2,..., w k. gdzie p i = 1. X w 1 w 2... w k P(X = w i ) p 1 p 2... p k Hipoteza zerowa: H 0 : p 1 = p1 0, p 2 = p2 0,..., p k = pk 0 gdzie p1 0, p0 2,..., p0 k są znane. X 1, X 2,..., X n - obserwacje cechy X. N i = n j=1 1(X j = w i ), i = 1, 2,..., k - zliczamy ile razy w próbce X 1, X 2,..., X n pojawiła się wartość w i. Wyniki doświadczeń prezentuje tabela: X w 1 w 2... w k liczba doświadczeń N 1 N 2... N k Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
29 Test zgodności chi-kwadrat, rozkład dyskretny, cd. Wektor (N 1, N 2,..., N k ) Mult(n, p 1, p 2,..., p k ). Oczekiwana liczba pojawienia się wyniku w i w próbie n-elementowej przy prawdziwej hipotezie H 0 EN i = np 0 i Postać statystyki testu chi-kwadrat: χ 2 = (wielkość obserwowana - wielkość oczekiwana) 2 wielkość oczekiwana Test: odrzucamy H 0 gdy χ 2 = k i=1 (N i np 0 i )2 np 0 i > χ 2 (α, k 1) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
30 PRZYKŁAD Chcemy sprawdzić czy kostka do gry jest symetryczna. Rzucamy kostką 300 razy. Wyniki podaje tabela H 0 : pi 0 = 1 6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 np 0 i = wynik w i liczba rzutów N i wartość oczekiwana Wartość statystyki testowej: χ 2 emp = 6 i=1 (N i np 0 i )2 np 0 i χ 2 0,95,5 = 11, 07 χ 2 emp < χ 2 (0, 05, 5) = 5, 16 Wniosek: Agata Boratyńska nie ma podstawstatystyka do odrzucenia matematyczna, wykład hipotezy 11 i 12 H,zatem można sądzić, 30 / 41
31 Test zgodności chi-kwadrat, rozkład ciągły Model: X 1, X 2,..., X n próba losowa z rozkładu ciągłego o nieznanej dystrybuancie Hipoteza zerowa: H 0 : X 1, X 2,..., X n i.i.d. F gdzie F jest znaną dystrybuantą rozkładu ciągłego. Statystyka testowa Wybieramy liczby = a 0 < a 1 < a 2 < < a k = i definiujemy N i = n 1(a i 1 < X j a i ), i = 1, 2,..., k j=1 Prawdopodobieństwo P(a i 1 < X j a i ) = F (a i ) F (a i 1 ) = p 0 i jest znane. Następnie stosujemy test chi-kwadrat dla przypadku rozkładu dyskretnego. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
32 Test zgodności chi-kwadrat, UWAGI Test zgodności chi-kwadrat jest testem asymptotycznym, liczność próby losowej n musi być duża, dla każdej klasy np 0 i > 5. Podział na klasy (a i 1, a i ) dokonuje się tak, aby p 0 i 1 k. Testu możemy używać do weryfikacji hipotezy, że rozkład obserwowanej zmiennej należy do pewnej rodziny rozkładów indeksowanych skończenie wymiarowym parametrem. Parametry estymujemy korzystając z danych. Jeśli używamy danych do estymacji nieznanych parametrów rozkładu występującego w hipotezie zerowej, to dla każdego estymowanego parametru odejmujemy jeden stopień swobody, zatem test odrzuca hipotezę zerową, gdy χ 2 = k i=1 (N i np 0 i )2 np 0 i > χ 2 (α, k d 1) gdzie d jest liczbą estymowanych parametrów. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
33 PRZYKŁAD Tabela przedstawia liczby roszczeń zgłoszonych w ciągu roku dla 500 niezależnych polis z pewnej grupy ryzyka w TU: liczba roszczeń > 2 liczba polis X - obserwowana zmienna losowa - liczba roszczeń dla jednej polisy H 0 : X Poiss(λ), λ > 0 jest nieznane. ˆλ = ENW (λ) = X = 0.2 p 0 1 = P(X = 0) e 0.2 = 0, p 0 1 = 410 p 0 2 = P(X = 1) 0.2e 0.2 = 0, p 0 2 = 80 p 0 3 = P(X > 1) 1 0.2e 0.2 e 0.2 = 0, p 0 3 = 10 Wartość statystyki testowej χ 2 = 3 (N i npi 0)2 i=1 = 21, 73 npi 0 Wartość krytyczna χ 2 (0, 05, 3 1 1) = 3, 84. Hipotezę H 0 odrzucamy Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
34 PRZYKŁAD, dane Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
35 Przykład cd, wartości estymatorów ROZKŁAD WYKŁADNICZY EMM 0, ENW 0, ROZKŁAD PARETO EMM theta 2,48984 lambda 4458,24 ENW theta 1,90145 lambda 2691,39 ROZKŁAD WEIBULLA EMK tau 0, c 0, ENW tau 0, c 0, ROZKŁAD GAMMA EMM alpha 0, beta 0, ENW alpha 0, beta 0, ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY ENW 7, , Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
36 Przykład cd, wykresy gęstości 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 histogram wykladniczy Pareto Weibulla Gamma Lognormal 0, Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
37 Przykład cd, hipoteza o zgodności z rozkładem wykładniczym DOPASOWANIE - ROZKŁAD WYKŁADNICZY ai N F a ) i ( i pi ( Ni npi ) np ,111 0,111 6, ,222 0,111 5, ,333 0,111 0, ,444 0,111 0, ,555 0,111 0, ,666 0,111 0, ,777 0,111 2, ,888 0,111 3,01042 > ,111 0,26042 n 96 17,625 i 2 Histogram i pdf r. wykładniczego 0,0006 0,0005 0,0004 histogram 0,0003 wykladniczy 0,0002 0, Wartość krytyczna 14, 067 0,05,9 1 1 Wniosek: hipotezę odrzucamy Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
38 Przykład cd, hipoteza o zgodności z rozkładem lognormalnym ai N F a ) i ( i pi ( Ni npi ) np ,1111 0,1111 0, ,2222 0,1111 0, ,3333 0,1111 0, ,4444 0,1111 0, ,5556 0,1111 0, ,6667 0,1111 0, ,7778 0,1111 0, ,8889 0,1111 0,167 > ,0000 0,1111 0,510 DOPASOWANIE - ROZKŁAD LOGNORMALNY i 2 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0, histogram i pdf r. logarytmiczno-normalnego histogram Lognormal 0, , , , , ,00 2 Wartość krytyczna 12, 5916 Wniosek: brak podstaw do odrzucenia hipotezy 0,05,9 2 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
39 TEST CHI-KWADRAT NIEZALEŻNOŚCI (X, Y ) - dwuwymiarowa zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, tzn. (X, Y ) {1, 2,..., r} {1, 2,..., s}; (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ) próba losowa N i = N i,j = n 1(X l = i Y l = j) l=1 s N i,j and N j = j=1 r N i,j. Dane przedstawiamy w tabeli zwanej tablicą kontyngencji. x/y s N i, 1 N 1,1 N 1,2... N 1,s N 1, 2 N 2,1 N 2,2... N 2,s N 2, r N r,1 N r,2... N r,s N r, N,j N,1 N,2... N,s n Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41 i=1
40 Test niezależności cd. Hipoteza zerowa: H 0 : X i Y są niezależne Niech p i,j = P(X = i Y = j) p i = P(X = i) = s j=1 p i,j i p j = P(Y = j) = r i=1 p i,j. H 0 : p i,j = p i p j, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s. Jest to hipoteza o zgodności z pewnym rozkładem Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
41 Test niezależności chi-kwadrat Nieznanymi parametrami są: p i i p j, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s Ich estymatory największej wiarogodności to: ˆp i = N i n ˆp j = N j n Estymujemy zatem r 1 + s 1 parametrów Estymatory parametrów p i,j są postaci ˆp i,j = ˆp i ˆp j = N i n N j n Statystyka testu chi-kwadrat ma postać χ 2 = ( r s N i,j N ) 2 i N j n. N i N j i=1 j=1 n Jeżeli n + to rozkład statystyki χ 2 dąży do rozkładu χ 2 (r 1)(s 1) Hipotezę H 0 odrzucamy gdy χ 2 > χ 2 (α, (r 1)(s 1)) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i / 41
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoWykład 10 Testy jednorodności rozkładów
Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków
Bardziej szczegółowoWykład 11 Testowanie jednorodności
Wykład 11 Testowanie jednorodności Wrocław, 17 maja 2018 Test χ 2 jednorodności Niech X i, i = 1, 2,..., k będą niezależnymi zmiennymi losowymi typu dyskretnego przyjmującymi wartości z 1, z 2,..., z l,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoTesty zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11
Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Bardziej szczegółowoPorównanie wielu rozkładów normalnych
Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoWykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym
Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoBadanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym
Badanie zgodności z określonym rozkładem H 0 : Cecha X ma rozkład F F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa Test chi kwadrat zgodności F jest rozkładem ciągłym Test Kołmogorowa F jest rozkładem normalnym
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoPorównanie dwóch rozkładów normalnych
Porównanie dwóch rozkładów normalnych Założenia: 1. X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2) 2. X 1, X 2 są niezależne Ocena µ 1 µ 2 oraz σ 2 1/σ 2 2. Próby: X 11,..., X 1n1 ; X 21,..., X 2n2 X 1, varx 1,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoTest t-studenta dla jednej średniej
Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.
WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych
Statystyczna analiza danych Testowanie hipotez statystycznych Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/23 Testowanie hipotez średniej w R Test istotności dla wartości
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoWykład 8 Dane kategoryczne
Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn
Bardziej szczegółowoZałożenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW
Założenia do analizy wariancji dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW anna_rajfura@sggw.pl Zagadnienia 1. Normalność rozkładu cechy Testy: chi-kwadrat zgodności, Shapiro-Wilka, Kołmogorowa-Smirnowa
Bardziej szczegółowo