3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Metody umerycze Litertur:. Z. Fortu, B. Mcuow, J. Wąsowsi, Metody umerycze, WNT, Wrszw, 993.. J. i M. Jowscy, Przegląd metod i lgorytmów umeryczych, WNT, Wrszw, 988. 3. A. Kiełsińsi, H. Schwetlic, Numerycz lger liiow, WNT, Wrszw 99.. Numerycz reprezetc licz w mszyie cyfrowe W mszyie cyfrowe liczy są reprezetowe przez sończoą liczę cyfr ich rozwiięć pozycyych. Nczęście stosową podstwą tych rozwiięć est (mówimy wtedy o tzw. rytmetyce/reprezetci dwóowe/ire). Przedstwieie liczy zleży od e typu: ) liczy cłowite są przedstwie w sposó stłopozycyy ) liczy rzeczywiste są przedstwie w sposó zmieopozycyy Reprezetc stłopozycy Dowolą liczę cłowitą l możemy przedstwić w postci rozwiięci dwóowego: i l s ei, ( e dl l ), i gdzie s est ziem liczy l (tz. s + lu -), e i lu są e cyfrmi dwóowymi. W mszyie cyfrowe reprezetcę liczy przezcz się słowo o sończoe długości p. d+ itów (t. cyfr dwóowych). Jeśli tylo < d, to licz l est reprezetow w rozptrywe metryce i przedstwi zzwycz w postci: e e z d licz dwóowych W te sposó mogą yć reprezetowe dołdie liczy cłowite l z przedziłu [- d +, d -]. Dl współczesych mszy cyfrowych d ( 7, 63), co umożliwi dołdą reprezetcę wet 9 cyfrowych licz cłowitych z zresu [-9 3 37 36 854 775 88, 9 3 37 36 854 775 87]. Przy złożeiu, że rgumety i wyi są reprezetowle, dodwie, odemowie i możeie licz cłowitych est wyoywe dołdie! Reprezetc zmieopozycy Dowolą liczę rzeczywistą możemy przedstwić w postci: c s m, gdzie s est ziem liczy (tz. s + lu -), c est liczą cłowitą zwą cechą, m est liczą rzeczywistą z przedziłu [½, ] zyw mtysą. Cechę c zpisue się w sposó stłopozycyy d-t itch słow mszyy cyfrowe, pozostłych t itów słow przezcz się reprezetcę mtysy m, lecz zmist ogół iesończoego rozwiięci mtysy
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl i m e i ( e ; e i i lu dl i > ) zpmiętywych est tylo e t początowych cyfr dwóowych odpowiedio zorągloych (do t cyfr): m t i t t e i + e ( t + ) i wtedy + ( t ), t m m t. Licz rzeczywist est reprezetow tróą (s, c, m t ) zpmiętywą słowem w postci : e e e e e e z z cechy d-t itów cechy t itów mtysy Zero ( ) est zzwycz reprezetowe słowem o wszystich itch zerowych. c Reprezetcę zmieopozycyą liczy ędziemy ozczli przez rd(): rd( ) s. Błąd ezwzględy reprezetci est oreśloy o: ~ ε rd( ). Względy łąd reprezetci ε wyzczymy (dl ) sute ocięci i zorąglei mtysy: rd( ) t t rd( ) ( + ε ) gdzie ε. Liczy rzeczywiste ie są ogół reprezetowe dołdie, le w sposó przyliżoy z łędem t 6 względym t 9,. ε. Dl współczesych mszy cyfrowych ( ) Licz cyfr mtysy decydue o dołdości zmieopozycyego przedstwii licz, licz cyfr cechy oreśl zres reprezetowlych licz, co ozcz cmi m < c d t d t, gdzie cmi +, cm Liczy, tórych cech c < c mi są reprezetowe zerem, co może powodowć utrtę dołdości oliczeń, lowiem względy łąd reprezetci est rówy %. Sytucę tą zywmy iedomirem. Zś sytucę powiei się liczy, tóre cech c > c m, zywmy dmirem i oiecze est przerwie oliczeń. Oecie zres reprezetowych licz rzeczywistych est t duży 493 493 (.. ), że prolem iedomiru lu dmiru powi się rdzo rzdo w prtyce oliczeiowe. W przypdu ego wystąpiei wystrcz często prost modyfic lgorytmu: Przyłd: Oliczmy z liczy zespoloe z + i, i : m t lsyczym lgorytmem: z + przesztłcoym lgorytmem: z + + gdy gdy <
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl W lsyczym lgorytmie wystąpi dmir (iedomir), eśli lu są co do modułu więsze od c mi c m (miesze od ), zś przesztłcoy lgorytm pozwl oliczeie z dl dowolych i z zresu reprezetowych licz.. Błędy oliczeń Przy oliczeich wyoywych mszych cyfrowych występuą cztery podstwowe rodze łędów: ) łędy weściowych ) łędy reprezetci c) łędy ocięci d) łędy zorągleń Błędy dych weściowych występuą wówczs, gdy de liczowe wprowdze do pmięci lu reestrów mszyy cyfrowe odiegą od dołdych ich wrtości. Błędy tie powią się p. wtedy, gdy de weściowe są wyiiem pomirów wielości fizyczych mierzoych z pewymi łędmi pomiru. Błędy reprezetci występuą wówczs, gdy stępue oieczość reprezetci liczy w mszyie z wyorzystiem sończoe długości słów irych (ieuiioe est wtedy zorąglie). Zorąglie występue w przypdu reprezetci wszystich licz iewymierych (t. o iesończoym rozwiięciu dwóowym) tich,, π, e itp. Błędy ocięci powstą podczs oliczeń sute zmieszi liczy dziłń, p. podczs oliczi szeregów (sum) iesończoych, p. wrtość wyrżei N e + + +... + +... oliczmy! N! dl odpowiedio dore liczy N zstępuąc sumę iesończoą sumą o N pierwszych słdich tego N N rozwiięci: + + +... +. Ze względu długi czs oliczeń tego rodzu sum stosuemy! N! iewielie wrtości N. Rówież podczs oliczi wrtości cłi ozczoe o gricy sum przyliżących ą dl corz to gęstszych podziłów, przyęcie ede z tych sum o wrtości lisie cłce ozczoe est łędem ocięci: N I y ( ) d h ( y + y ) T ( h) + gdzie h est ilością podziłów N f() y y + h Przyłd dodwi/odemowi młe i duże liczy: Przesuięte mtysy względem tych smych cech powoduą r dodi/odęci licz ze względu ogriczoą reprezetcę mtysy wyiu (łąd odcięci). } 3
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Błędy zorągleń powią się podczs oliczeń sute oieczości zorągli oliczoych wrtości ze względu ogriczoą długość słów irych (p. dzieleie dwóch licz wymierych prowdzi często do oieczości zorąglei powstłe w wyiu dzielei liczy iewymiere, p.,333333...,333333 lu,66666..., 66667 ). Błędy te czsmi moż zmieszyć 3 6 ustląc umieętie sposó i oleość wyoywych dziłń: Przyłd iestilości umerycze przyłdzie oliczi ciągu cłe ozczoych: y + 5 5 5 5 + 5 + 5 + 5 d d d d otrzymuemy zleżość reurecyą: y + 5y.. sposó oliczi dl 3 cyfr zczących y 5y : d y l( + 5) l6 l5, 8 + 5 łąd ε 5 4 d 5y + 5 y 5y,9 łąd ε 5 4 y 5y,5 łąd ε 5 y 3 5y,83 (y 3 > y ie poprwe!) łąd 3 4 ε y 4 5y3,65 (uem wrtość surd!) łąd 4 65 ε 4 35 4 Błąd zorągli ε wrtości y, tórego moduł może sięgć 5 est przemży przez -5 dl żdego stępego elemetu powyższego ciągu. Błąd rdzo szyo rośie w oleych itercch!. sposó oliczi dl 3 cyfr zczących y y 5 5 Przymiemy, że : y y 9 poiewż y 9 + 5y9 y9, 7 6 y 8 y9,9 y 5 y6, 8 y y3, 58 45 5 45 5 45 5 y 7 y8, y 4 y5, 34 y y, 88 45 5 45 5 45 5 y 6 y7,5 y 3 y4, 43 y y, 8 poprwy!!! 45 5 45 5 45 5 4 4
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Błąd zorągli ε wrtości y 9 est żdorzowo dzieloy przez -5 dl żdego stępego elemetu powyższego ciągu. Błąd rdzo szyo mlee w oleych itercch! Przyłd stilości umerycze i dorego uwruowi zdi oliczi pierwist y poprzez oliczie ciągu y, y, y,..., gdzie y to dowolie wyr licz dodti, podstwie tóre wyzczmy olee wyrzy ciągu: y i yi + dl i,, 3,... yi Przyłd przeoszei się łędów podczs oliczeń: Jeśli,3±, i,4 ±, 3 to ie est oszcowie? Nwięsz możliw wrtość,33 Nmiesz możliw wrtość,39 Nwięsz możliw wrtość,94 Nmiesz możliw wrtość,84 Więc,84,94,89, 5 ± Zdie umerycze est źle uwruowe, eśli iewielie względe zmiy dych powoduą duże względe zmiy wyiów: Przyłd dwóch prostych rówoległych: α + α γ β + β γ Młe zurzeie dych ( α, α, β, β, γ, γ ) powodue, że proste się przecią, więc zdie est źle uwruowe. Zdie umerycze est prolemem polegącym wyzczeiu wetor wyiów w podstwie wetor dych. Mówimy, że zdie est dorze postwioe, eśli wetor w est edozczie oreśloy dl przyętego wetor dych. Niech D ozcz ziór dych, dl tórych zdie est dorze postwioe. N ziorze D istiee ztem odwzorowie W tie, że w W(). Niech ŵ ozcz oliczoy umeryczie wetor wyiów. W celu oliczei ŵ leży sformułowć lgorytm oliczeiowy polegący oreśleiu ciągu dziłń, tóre trze wyoć d wetorem dych i wyimi poprzedich dziłń, przy czym lgorytm te ędzie poprwie sformułowy wtedy, gdy licz iezędych dziłń ędzie sończo (choć może zleżeć od wetor dych ). Algorytm oreśl odwzorowie WN tie, że w WN(,ε). Odwzorowie WN est oreśloe ziorze DN D poiewż ie moż uwzględić przy olicziu tich D, tóre powoduą ztrzymie się mszyy z powodu powsti łędów, p. dmiru. Mówimy, że lgorytm oliczeiowy est umeryczie stily, eżeli dl dowolie wyrych dych D istiee t dołdość oliczeń ε, że dl ε < ε mmy DN(ε) orz lim ε WN(,ε) W( ). 5
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Iymi słowy, lgorytm est umeryczie stily wtedy, gdy zwięsząc dołdość oliczeń moż wyzczyć z dowolą dołdością dowole istieące rozwiązi zdi. Z powodu łędów zorągleń przy zde dołdości mszyy ε > est ogół WN(,ε) W(), lecz często moż dorć tie zurzoe + δ D, że WN(,ε) W( + δ). To, rdzo wyi W( + δ) różi się od W(), zleży od rodzu zdi i cechę tę zywmy uwruowiem zdi. Mówimy, że zdie est stile, eżeli dl żdego D mmy lim δ, + δ D W( + δ) W(), czyli eśli istiee ciągł zleżość rozwiązi W od dych w ziorze dych D, dl tórych zdie est dorze postwioe. Licz cyfr istotych uwzględi liczę cyfr począwszy od pierwsze iezerowe licząc od lewe stroy, p.,543 posidą 3 cyfry istote, zś licz,3 posid cyfry istote, licz 3 posid 3 cyfry istote, licz,45 posid 4 cyfry istote. Cyfry zczące liczy się od pierwsze iezerowe cyfry po ropce dziesięte ż do pozyci t-te. Reduc cyfr zczących występue w przypdu odemowi licz lisich co do wrtości ezwzględe, p. dl licz o 6 cyfrch zczących,5,499934,67 otrzymmy liczę o zreduowe ilości cyfr zczących do. Przy odemowiu lisich soie licz mł est dołdie oliczo różic, co powodue możliwość wystąpiei dużego łędu względego. 6
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl. Iterpolc Aprosymc INTERPOLACJA Iterpolc est w pewym sesie zdiem odwrotym do tlicowi fuci. Przy tlicowiu mąc lityczą postć fuci uduemy tlicę wrtości, przy iterpolci tomist podstwie tlicy wrtości fuci próuemy oreślić e postć lityczą, p.: π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π f(),77,77 -,77 - -,77 f(),5,,5, -,5 -, -,5 -,6,6,47,79,,4,73,4,36,67,98 INTERPOLACJA TABLICOWANIE 3,3 3,6 3,93 4,4 4,56 4,87 5,8 5,5 5,8 6,3 6,44 6,75 7,7 Sformułowie zdi iterpolci: N przedzile ; de est + różych putów,,...,, tóre zywmy węzłmi iterpolci orz wrtości pewe fuci yf() w tych putch: f( )y, f( )y,..., f( )y. () Zdiem iterpolci est wyzczeie przyliżoych wrtości fuci w putch ie ędących węzłmi orz oszcowie łędu tych przyliżoych wrtości. W tym celu leży zleźć fucę F(), zwą fucą iterpolci, tór w węzłch iterpolci przymue tie sme wrtości, co fuc yf(), tz. F( )f( )y, F( ) f( )y,..., F( ) f( )y. Fuc iterpoluąc przymue zzwycz postć wielomiów lgericzych, wielomiów trygoometryczych lu fuci sleych (tzw. splów). W zleżości od postci fuci iterpoluące zgdieie iterpolcye może mieć dołdie edo rozwiązie, może ie mieć rozwiązi, lo mieć ich iesończeie wiele. Wże est, y istił dołdie ed fuc iterpoluąc. Ide: A więc zdie iterpolci poleg poszuiwiu pewe fuci iterpoluące F(), tór dym, dysretym ziorze rgumetów poryw się z wrtościmi fuci iterpolowe f(). Tie postępowie est często iedogode, gdyż przy iterpolci wielomiowe duż licz węzłów iterpolci wymg sostruowi wielomiu iterpolcyego wysoiego stopi. Podto często mmy do czyiei z fucą, tóre wrtości dysretym ziorze rgumetów są oreśloe empiryczie (p. są wyimi pomirów), więc mogą yć orczoe pewymi łędmi; wtedy żądie szui dołdego odwzorowi wrtości fuci iterpolowe w fuci iterpolcye ie m sesu! Aprosymc est zgdieiem rdzie ogólym iż iterpolc i poleg (rdzie oszczędym) zstąpieiu (prosymowiu) de fuci f() ią fucą F() zwą fucą prosymuącą lu 7,38 7,7 7
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl przyliżeiem fuci f(). Podczs prosymci ie wymg się, żey szu fuc prosymuąc F() przymowł dołdie te sme wrtości ziorze dych, t. putch węzłowych. Oczywiście przyliżeie tie powodue powieie się łędów prosymci (przyliżei), prolem oszcowi tych łędów orz ich wielość mą istoty wpływ wyór metody prosymuące. Gdy ziór, tórym mierzymy łąd prosymci est ziorem dysretym, wówczs mówimy o prosymci putowe, gdy zś est przedziłem, prosymcę zywmy itegrlą.. Iterpolc z pomocą wielomiów Poleg szuiu wielomiu W () stopi co wyże, spełiącego wrui (). Tw.. Istiee dołdie ede wielomi iterpolcyy stopi co wyże (>), tóry w putch,,..., przymue wrtości y, y,..., y. DOWÓD: Przymimy, że węzły iterpolci są rozmieszczoe w zupełie dowoly sposó przedzile ;. Mmy de + węzłów, w tórych są ze wrtości pewe fuci yf(). Szumy wielomiu postci: W () + + + + () Korzystąc z wruów () otrzymuemy ułd + rówń z + iewidomymi współczyimi,,..., : + + + y + + + y (3) + + + y Mcierz współczyiów tego ułdu m postć:...... A............... poiewż wyzczi D mcierzy A est wyzcziiem Vdermode, więc przy przyętych złożeich, że i dl i, otrzymuemy zwsze: D ( i ) (4) < i Ztem ułd rówń (3) m dołdie edo rozwiązie, wrtości,,..., według twierdzei Crmer są oreśloe wzorem: i y Di (5) D gdzie D i są oleymi dopełieimi lgericzymi elemetów i-te olumy mcierzy A. Z twierdzei Crmer wyi więc, że istiee wielomi postci () spełiący wrui () orz est o edozczie wyzczoy. Stopień tego wielomiu est ie więszy iż (gdy wtedy est wielomiem stopi odpowiedio iższego). 8
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl 3. Wzór iterpolcyy Lgrge Podstwiąc (5) do () i grupuąc rzem te sme słdii, w tórych występuą edowe y i otrzymuemy: W () y Φ () + y Φ () + + y Φ () (6) gdzie fuce Φ (), Φ (),..., Φ () są wielomimi stopi co wyże. Poszuuemy wielomiu W () stopi co wyże oreśloego rówiem (6). Dl żdego i (i,,..., ) zchodzi zleżość: W ( i ) y Φ ( i ) + y Φ ( i ) + + y Φ ( i ) (7) stąd więc wyi, że: gdy i Φ ( i ) (8) gdy i Ay oreślić fuce Φ ( i ) leży zleźć wielomi stopi, tóry w putch,,..., -, +,..., est tożsmościowo rówy zeru, w pucie rów się edości. Stąd Φ () λ( ) ( )... ( - ) ( + )... ( ) (9) poiewż Φ ( ), więc λ( ) ( )... ( - ) ( + )... ( ) () Po podstwieiu we wzorze (9) stłe λ wyzczoe ze wzoru () otrzymuemy: ( )( )...( )( + )...( ) Φ () ()...... ( )( ) ( )( ) ( ) + Ztem podstwiąc () do (6) otrzymuemy:... W () y... ( )( ) ( )( + )...( ) ( )( ) ( )( )...( ) + () Przymuąc ozczeie ω () ( ) ( )... ( ) (3) możemy () zpisć w postci: ω( ) ( ) W () y ω ( ) ( ) gdzie y y( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ω y ω ω est wrtością pochode wielomiu ω () w pucie, ędącym zrzem zerem tego wielomiu. Otrzymy wzór zywmy wzorem iterpolcyym Lgrge. N podstwie twierdzei. możemy stwierdzić, iż te wielomi est edyym wielomiem stopi co wyże. (4) 9
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Prz.: Zleźć wielomi iterpolcyy, tóry w putch,,, 4 przymue wrtości 3,, -3, 8. ( ) ( )( )( 4) ( + )( )( 4) ( + )( )( 4) + W3 3 + 3 + 8 4 + 4 + 4 4 + 4 4 3 ( )( )( ) 4 3 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 3 3 3 3 3 ( 7 + 4 8) + ( 4 4 + 6) + ( 3 6 + 8) + ( 4 + 4) 3 5 + 6 6 9 8 9 W() 4,,, 8, 6, 4,,, 8, 6, 4,,, -, -4, -6, -8, -, -,4 -,6 Fuc iterpolow Iterpolc liiow Iterpolc Lgrge' -,8,,8,6,4 3, 4, 4,8 4. Itercy metod Aite służy do wyzczi wrtości wielomiu iterpolcyego Lgrge stopi oprtego + dowolych (wzemie różych) węzłch,,..., w dym pucie,. Niech W i, ozcz wielomi stopi pierwszego, tóry w putch i, (i ) przymue wrtości y i, y : y i i y Wi, ( ) (5) i Podoie zdefiiuemy wielomi W i,, drugiego stopi, tóry w trzech putch i,, (i ) przymue wrtości y i, y, y : W W i,, ) i, Wi, ( (6)
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Ogólie moż wyzć, że: W,,...,, W,,...,, m m W,,...,, m( ) (7) m Kolee wielomiy wyższych stopi tworzą chrterystyczą mcierz tróątą zgodie z poiższym schemtem, zwym schemtem Aite: y y W, 3 y 3 W,3 W,,3 4 y 4 W,4 W,,4 W,,3,4 : : : : : : y W, W,, W,,3, W,,3,..., Ostti z wielomiów tego schemtu W,,3,..., est szuym wielomiem iterpolcyym. 5. Oszcowie łędu wzoru iterpolcyego Wzór iterpolcyy () z złożei spełi wrui (), tz. ego podstwie moż wyzczyć wrtości fuci iterpolowe w węzłch iterpolcyych. Powste ed pytie, z ą dołdością wielomi te przyliż fucę f() w pozostłych putch leżących wewątrz przedziłu ;, czyli leży oreślić wielości łędu iterpolci ε() zdefiiowego stępuąco: ε() f() W () Błąd iterpolci może yć rdzo duży i est zleży od włsości fuci f(), tóre ie mmy wpływu, orz od wrtości ω (), zleże od sposou wyoru węzłów iterpolci. Nleży ztem dorć w ti sposó węzły iterpolci i, y sup ω yło miesze! Zgdieie to zostło sformułowe przez ; ( ) rosysiego mtemty P.L. Czeyszew o zgdieie zdowi wielomiu lgericzego lepie przyliżącego zero zdym przedzile. Do rozwiązi tego zdi stosuemy wielomiy Czeyszew. Zwiso Rugego chrteryzuące się dużym łędem iterpolci przy ońcch przedziłu; est typowe dl iterpolci z pomocą wielomiów wysoich stopi przy stłych odległościch węzłów. 6. Zstosowi iterpolci Iterpolc stosow est przy olicziu wrtości fuci z pomocą tlicy w putch różych od podych, przy zgęszcziu tlic, przy zstępowiu fuci zyt sompliowych wielomiem odpowiediego stopi (p. przy cłowiu umeryczym).
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl APROKSYMACJA Aprosymc est zgdieiem rdzie ogólym iż iterpolc i poleg (rdzie oszczędym) zstąpieiu (prosymowiu) de fuci f() ią fucą F() zwą fucą prosymuącą lu przyliżeiem fuci f(). Podczs prosymci ie wymg się, żey szu fuc prosymuąc F() przymowł dołdie te sme wrtości ziorze dych, t. putch węzłowych. Jest to szczególie istote w przypdu dych oreśloych empiryczie (p. wyimi pomirów) orczoych pewymi łędmi, wówczs żądie dołdego przymowi przez szuą fucę iedołdych wrtości ie m sesu. Fucę f() zą lu oreśloą tlicą wrtości ędziemy prosymowć ią fucą F() zwą fucą prosymuącą lu przyliżeiem fuci f(). Oczywiście przyliżeie tie powodue powieie się łędów prosymci (przyliżei), prolem oszcowi tych łędów orz ich wielość mą istoty wpływ wyór metody prosymuące. Gdy ziór, tórym mierzymy łąd prosymci est ziorem dysretym, wówczs mówimy o prosymci putowe, gdy zś est przedziłem, prosymcę zywmy itegrlą. Iterpolc est szczególym przypdiem prosymci. Niech fuc f X ; X pewą przestrzeią liiową uormową sończeie lu iesończeie wymirową, zś X m m-wymirową podprzestrzeią liiową przestrzei X. Aprosymc fuci f() poleg wyzczeiu tich współczyiów,,..., m fuci F ( ) ϕ ( ) + ϕ ( ) +... + ( ) mϕ m () gdzie φ, φ,..., φ m są fucmi zowymi m+ wymirowe podprzestrzei liiowe X m+, y fuc f F. F() spełił pewe wrui, p. miimlizowł ormę różicy ( ) ( ) Aprosymc oreślo wzorem () osi zwę prosymci liiowe lu wielomiem uogólioym. W oliczeich cyfrowych duże zczeie odgryw rówież prosymc wymier oreślo stępuąco: F ( ) ( ) + ϕ ( ) +... + mϕm ( ) ( ) + ψ ( ) +... + ψ ( ) ϕ () ψ m m
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Rozwiązie zdi prosymci wiąże się z wyzczeiem zy, t. fuci zowych φ, φ,..., φ m (orz ewetulie rówież ψ, ψ,..., ψ m) orz oreśleiem współczyiów,,..., m (orz ewetulie rówież,,..., m ). Często oierymi podprzestrzeimi X m est: podprzestrzeń fuci trygoometryczych szczególie gdy prosymow fuc f() est oresow:, si, cos, si, cos,..., si, cos, podprzestrzeń wielomiów stopi co wyże m z zą edomiów:,, 3,..., m, podprzestrzeń wielomiów Czeyszew: T, T (), T (),..., T m (), podprzestrzeń wielomiów Legedre : L, L (), L (),..., L m (). Mówimy, że fuc F() dorze przyliż fucę f(), eżeli orm ( ) F( ) często oreśl stępuąco: f orm Czeyszew: sup f ( ) orm L : f f ( ) ; d f est mł. Norm est APROKSYMACJA JEDNOSTAJNA Dl fuci f() oreśloe przedzile ; poszuuemy fuci F() dące miesze msimum różicy między F() f() cłym przedzile F ( ) f ( ) sup F( ) f ( ) ; Twierdzeie Weierstrss mówi, że dowolą fucę f() ciągłą przedzile ; ; możemy prosymowć edyie z pomocą wielomiów z dowolie dużą dołdością. Podto eżeli fucę f() moż przedzile ; rozwiąć w szereg Tylor, to przyliżeiem może yć odpowiedio ocięty szereg Tylor, w tórym licz wyrzów uzleżio est od żąde dołdości. Zgdieie sprowdz się wówczs do zleziei tich współczyiów i wielomiu W + + +... + ( ) 3
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl y stępuące wyrżeie yło miesze: E m f W ; ( ) ( ) Wielomi W (), dl tórego E osiąg miimum zywmy -tym wielomiem przyliżei edostego fuci f(). Przy poszuiwiu wielomiu lepszego przyliżei edostego orzyst się z twierdzei Borel, tóry wyzł, że dl żde fuci f() ciągłe przedzile ; i dowole liczy turle istiee wielomi W () ędący e lepszym przyliżeiem edostym, orz z twierdzei Czeyszew, mówiącego, że wielomi ti est tylo ede. Zzczyć trze, że ie m ogóle metody umożliwiące zdowie wielomiu lepszego przyliżei edostego stopi dl dowole fuci f() ciągłe przedzile ;. Istieą metody umożliwiące oreśleie tich przyliżeń dl pewych szczególych przypdów, le są oe rdzo prcochłoe i dltego częście rezyguemy z poszuiwi wielomiu lepszego przyliżei prosymuąc fucę f() wielomimi ie ędącymi lepszymi przyliżeimi edostymi. Dl fuci f() oreśloe przedzile F ( ) f ( ) w( ) [ F( ) f ( ) ] APROKSYMACJA ŚREDNIOKWADRATOWA d ; poszuuemy miimum cłi zś dl fuci f() de dysretym ziorze rgumetów poszuuemy miimum sumy (tzw. metod mieszych wdrtów) F ( ) f ( ) w( )[ F( ) f ( )] ; gdzie ( ) i i i i w dl i,,..., i Nczęście mmy do czyiei z pewą fucą yf(), tór pewym ziorze X putów,,,..., przymue wrtości y, y, y,..., y. Wrtości te mogą yć oreśloe z pewymi łędmi (p. mogą yć wyimi pomirów orczoymi łędmi oserwci). Wielość tych łędów wpływ ość prosymci. Zdiem prosymci ędzie poszuiwie tie fuci F() przyliżące fucę f(), tór umożliwi wygłdzeie fuci f(), tz. pozwoli z złócoych łędmi dych wrtości fuci przyliże otrzymć głdą fucę przyliżącą z dużym prwdopodoieństwem mło odchylącą się od fuci przyliże zrówo w węzłch,,,..., rówież między imi przy złożeiu, że fuc przyliż m dosyć głdi przeieg. Wielomi prosymuący dą fucę f() w sesie mieszych wdrtów powiie mieć stopień tyle wysoi, y dostteczie przyliżć prosymową fucę, edocześie stopień te powiie yć wystrcząco isi, y wielomi te wygłdzł losowe łędy wyiące, p. z pomirów. W prtyce stopień wielomiu oreślmy priori podstwie lizy modelu fizyczego dego zwis ądź też przeprowdzmy prosymcę oleo wielomimi corz to wyższych stopi i oliczmy odchylei fuci miimlizowe H t długo, długo ze wzrostem wielomiu fuc miimlizow H mlee w sposó istoty: 4
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl 5
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl 6
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl 7
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl. Uwgi ogóle CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Cłowie umerycze poleg przyliżoym olicziu cłi ozczoe przede wszystim w sytucch, gdy litycze wyzczeie fuci pierwote est trude ądź ie możliwe do wyzczei lu gdy fuc podcłow oreślo est z pomocą tlicy, p.: π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π f(),77,77 -,77 - -,77 f(),5,,5, -,5 -, -,5 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE -,6,6,47,79,,4,73,4,36,67,98 3,3 3,6 3,93 4,4 4,56 4,87 5,8 5,5 5,8 6,3 6,44 6,75 7,7 7,38 7,7 Gdy przedził cłowi est sończoy, wówczs fucę podcłową F() zstępuemy fucą iterpoluącą ϕ(), tórą moż łtwo cłowć, p.: Niech ϕ() ędzie wielomiem iterpolcyym Lgrge dl fuci F() z węzłmi iterpolci,,...,, wtedy: ϕ gdzie Φ ( ) L ( ) Φ ( ) F( ) ( ) N N ( )...( )( + )...( N ) ( )...( )( )...( ) + N () () Podstwiąc terz w miesce fuci podcłowe F() wielomi iterpolcyy ϕ(), otrzymmy: gdzie A F ( ) d ϕ( ) d A F( ) Φ ( ) d N (3) (4) 8
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Jeżeli spełioe est: ) F ( ) ϕ ( ) < ε (5) ) ; (6) to możemy oszcowć łąd cłowi umeryczego stępuąco: N ( ) d A F( ) ( F( ) ϕ( ) ) d ε ( F ) (7) T więc wielość łędu zleż est od wielości przyętego przedziłu cłowi ; rówież od ości przyliżei iterpolcyego fuci podcłowe F() przez fucę iterpolcyą ϕ(). Uwgi:. Moż ztem oliczyć cłę z dowolą dołdością, eśli tylo fucę F() moż przyliżyć wielomimi z dowolą dołdością (oprócz wielomiów moż stosowć rówież ie fuce iterpolcye ϕ(), p. fuce wymiere lu trygoometrycze).. Jeżeli przedził cłowi est duży (powodue duży łąd oszcowi) moż go podzielić podprzedziły i w żdym podprzedzile zstosowć powyższy sposó oliczi cłi. 3. Jeżeli fuc F() m osoliwości (p. F() est ieogriczo lu e pochode isiego rzędu ie istieą w przedzile cłowi) utrudiące dore e przyliżeie wielomiem iterpolcyym, wtedy fucę podcłową przedstwimy w postci iloczyu F()p()f(), gdzie f() est fucą, tórą łtwo przyliżyć wielomiem iterpolcyym ϕ(), zś p() m wszelie osoliwości fuci podcłowe. W wyiu powyższych podstwień otrzymuemy: gdzie F ( ) d p( ) f ( ) d p( ) ϕ( ) d A f ( ) ( ) ( ) A p Φ d N Rozicie fuci F() iloczy fuci f() i p() ieoieczie musi yć związe z wydzieleiem osoliwości F(), le może yć związe z wyorem odpowiediego typu wielomiów, p. ortogolych w metodzie Guss.. Ogóly wzór cłowi umeryczego i wdrtury Do przyliżoego oliczi cłe postci: I( f ) p( ) f ( ) d () ędziemy stosowć wzory zywe wdrturmi postci: S gdzie N ( f ) A f ( ), () ; zywmy węzłmi wdrtury, (9) (8) 9
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl p() zywmy fucą wgową lu róto wgą, tórą przymuemy o ustloą i ieuemą przedzile cłowi ;. Błąd metody przyliżoego oliczi cłi ozczymy o: E( f ) I( f ) S( f ) () zś o ryterium dołdości wdrtury przymiemy zgodość S(W) i I(W), gdy W est wielomiem. Mówimy, że wdrtur S(W) est rzędu r, eżeli: ) I(W) S(W) dl wszystich wielomiów W() stopi mieszego iż r, ) istiee wielomi W() stopi r ti, że I(W) S(W). Tw. Kwdrtur postci () est zież dl żde fuci f C( ; ) wtedy i tylo wtedy, gdy ) est o zież dl żdego wielomiu N ) Jeżeli istieą < dl pewych, wtedy musi istieć licz M iezleż od N t, że: B N N A N A M (3) 3. Kwdrtury Newto-Cotes Złdmy, że węzły,,..., N wdrtury są ustloe i że przedził cłowi est sończoy. Celem ędzie włściwy wyór współczyiów A. Kwdrtury ędzie oreślo w postci: S gdzie A N ( f ) I( L ) A f ( ), (4) N L N est wielomiem iterpolcyym Lgrge dl fuci f() z węzłmi iterpolci,,..., N, ( ) ( ) p Φ d Kwdrtury z węzłmi rówoodległymi zywmy wdrturmi Newto-Cotes, wśród tórych więsze zczeie prtycze mą wzory zwe wdrturmi (wzormi) zmiętymi, w tórych ońce przedziłu są węzłmi wdrtur i wg p ( ). Kwdrtury zmięte przymuą więc stępuącą postć: S gdzie A N ( f ) Φ (5) A f, (6) ( ) d h N ( )!( N )! N t ( t )...( t N ) ( t ) dt (7) h (8) N f f ( + h) (9)
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Rząd wdrtur zmiętych w zleżości od przystości i ieprzystości N: Jeżeli N est liczą ieprzystą, to wdrtur (6) ie est dołd dl wszystich wielomiów stopi (N+) i (N+) est e rzędem dołdości. Gdy zś N est liczą przystą, wówczs wdrtur (6) est dołd dl wielomiów stopi (N+) i e rząd wyosi (N+). Tz. rząd wdrtury wyosi N / +. Nczęście stosowe są wdrtury zmięte dl N i N. Wzór trpezów (dl N): A h ( t ) dt h, A h tdt h więc S ( f ) h( f + f) () Powste łąd rzędu ( ) 3 Wzór prol (Simpso) (dl N): 4 A h, A h, A h, 3 3 3 więc S ( f ) h( f + 4 f + f ) () 3 Powste łąd rzędu ( ) 5 88 Kwdrtury złożoe Newto-Cotes Ze względu to, że wielość łędu zleż est od wielości przedziłu ;, więc wet wdrtury isiego rzędu mogą ie zpewić żde dołdości, eśli przedził te est odpowiedio duży. W prtyce przedził cłowi ; dzielimy pewą liczę podprzedziłów i w żdym tim podprzedzile stosuemy wdrturę isiego rzędu, wyii sumuemy. Kwdrturę, tór est sumą wdrtur podprzedziłch zywmy wdrturą złożoą. Błąd wdrtury złożoe est sumą łędów wdrtur prostych podprzedziłch, tóre zleże są od -te potęgi ( ), więc po podzieleiu przedziłu ; p części współczyi łędu zmieszy się p rzy. Ztem łąd wdrtury złożoe ędzie w przyliżeiu p - rzy mieszy. T więc dl > możemy przez zwięszie liczy podprzedziłów dowolie zmieszć łąd.
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Złożoy wzór trpezów: Przedził cłowi ; dzielimy m części o długości h. W żdym podprzedzile m stosuemy wzór trpezów, wyii sumuemy i otrzymuemy: m S( f ) h( f + f+ ) h f + f +... + fm + fm () gdzie f i f + ih ( ) Powste łąd rzędu y 3 ( ) ( f ) ( ξ ), gdzie ξ ;. m h h/ h h/ Błąd mlee podczs zwięszi ilości podprzedziłów, czyli zgęszczi podziłów przedziłu cłowi ;. W ti sposó moż otrzymć dowolie dużą dołdość pod wruiem, że ze są wrtości fuci cłowe dl wszystich w te sposó wyzczoych węzłów wdrtury. Złożoy wzór prol: Przedził cłowi ; dzielimy m części o długości h. W żdym podprzedzile m stosuemy wzór prol, wyii sumuemy i otrzymuemy: m h h S( f ) ( f + 4 f + f ) ( f + fm + ( f + f4 +... + fm ) + 4( f + f3 +... + fm ) ) (3) 3 3 5 ( ) ( 4 Powste łąd rzędu f ) ( ξ ), gdzie ξ ;. 4 8m
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl 4. Metod Romerg: Dzieląc przedził cłowi ; i (i,,...) rówych części i, + hi o długości hi i możemy zpisć złożoy wzór trpezów w stępuące postci: i ( ( ) ( ) T, i hi fi, f + f ) (4) gdzie f ( ) f i, i, Nstępie oreślmy stępe (zpewe lepsze) przyliżeie cłi: T, i+ T, i T, i T, i+ + (5) Metod Romerg poleg olicziu z roiem h i elimiuąc oleo więsze słdowe łędów. Postć ogól: Tm, i+ Tm, i T m, i Tm, i+ + (6) m ( ) ( ) T,i m+ m+ Otrzymuemy łąd rzędu ch f ξ, gdzie c est pewą stłą, ξ ;, h. m+ i Sposó wyzczi oleych wrtości przyliżeń moż grficzie przedstwić w postci: Estrpolc Richrdso Opisy sposó poprwii wyiów est szczególym przypdiem tzw. estrpolci Richrdso, polegące olicziu oleych przyliżeń. Estrpolc Richrdso poleg tym, że mąc oliczoe wrtości s, s dl dwóch różych roów h wyzczmy tie trzecie przyliżeie s 3, tórego łąd ie zwier uż słdi z h. Nzw estrpolci pochodzi stąd, że eśli s s, to s 3 ie leży do przedziłu domiętego o ońcch w s, s. 3
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Numerycze rozwiązywie rówń różiczowych Litertur:. Z. Fortu, B. Mcuow, J. Wąsowsi, Metody umerycze, WNT, Wrszw, 993.. J. i M. Jowscy, Przegląd metod i lgorytmów umeryczych, WNT, Wrszw, 988. 3. A. Kiełsińsi, H. Schwetlic, Numerycz lger liiow, WNT, Wrszw 99.. Podstwowe poęci rchuu różiczowego df Pochod fuci ede zmiee y f ( ) ozcz symolmi y, f ( ),, d d Dy, Df ( ) est to ow fuc zmiee, rów przy żde wrtości gricy stosuu przyrostu fuci Δy do odpowidącego mu przyrostu zmiee iezleże Δ, gdy Δ dąży do zer: ( + Δ) f ( ) f f ( ) lim. Δ Δ Oliczie pochode f () zywmy różiczowiem de fuci f. ( ) dy, ( ) Iterpretc geometrycz pochode. Jeżeli wyresem fuci y f ( ) w ułdzie współrzędych prostoątych est pew rzyw, to wrtość pochode f ( ) w dym pucie (tz. przy de wrtości ) rów się tgα, gdzie α est ątem zwrtym między osią O i styczą do rzywe w dym e pucie. Kąt te liczy się od dodtiego ieruu osi O w ieruu przeciwym oiegowi wszówe zegr. Istieie pochode. Pochod f ( ) istiee przy tych wrtościch zmiee iezleże, przy tórych: fuc f ( ) est ozczo i ciągł, f istiee gric oreślo wzorem: ( ) ( + Δ) f ( ) f lim. Δ Δ Br istiei pochode w dym pucie wszue to, że w odpowiedim pucie wyresu fuci ądź ie m oreśloe stycze, ądź stycz tworzy z osią O ąt rówy 9 (wtedy gric fuci ste się iesończo). 4
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl ) ( ) 3 f, f ( ), 3 3 f ( ) ) f ( ) si, gric w pucie ie istiee c) f ( ) + e Różiczą zmiee iezleże (ozcz się d) est przyrost Δ, tóremu moż dć dowolą wrtość (dodtią lu uemą), więc d Δ. Różiczą dy fuci y f ( ) w dym pucie zywmy iloczy pochode f ( ) przez różiczę d (czyli przez dowoly przyrost Δ zmiee ) i piszemy: dy f ( )d. Iterpretc geometrycz różiczi. Przy przedstwieiu fuci y f ( ) w ułdzie współrzędych prostoątych orzem różiczi dy est przyrost, i otrzymue rzęd stycze do wyresu fuci w pucie przy dym przyroście odcięte d. Włsości różiczi. Mówimy, że gdy Δ to Δ y i dy są iesończeie młymi tego smego rzędu do Δ, różic Włsość t pozwl w oliczeich rchuu różiczowego zstępowć młe przyrosty fuci ich różiczmi!. Rówi różiczowe Δ y dy est iesończeie młą rzędu wyższego iż Δ. Rówiem różiczowym zywmy rówie zwierące fuce iewidome, zmiee iezleże orz pochode fuci iewidomych lu ich różiczi. Jeżeli fuce iewidome zleżą od ede zmiee iezleże, to rówie różiczowe zywmy zwyczym. Jeżeli fuce iewidome zleżą od ilu zmieych iezleżych, to rówie różiczowe zywmy rówiem różiczowym cząstowym. Rzędem rówi różiczowego zywmy wyższy z rzędów pochodych lu różicze występuących w rówiu. Cłą rówi różiczowego est edo lu il rówń, tóre wiążą fuce iewidome ze zmieymi iezleżymi w te sposó, że przy podstwieiu do dego rówi różiczowego zlezioych fuci iewidomych i ich pochodych lu różicze rówie to est tożsmościowo spełioe. 5
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Zdowie cłe rówi różiczowego zywmy cłowiem tego rówi. Cłę wyrżącą w sposó wy fucę iewidomą przez zmiee iezleże zywmy rozwiąziem rówi różiczowego. Cłi rówń różiczowych mogą zwierć pewe dowole stłe lu dowole fuce, więc cłi rówi różiczowego są ieedozcze. Zzwycz dowole fuce łde są pewe wrui dodtowe zwe wrumi początowymi lu rzegowymi, tóre polegą tym, że fuce iewidome, tże ich pochode powiy przyierć z góry de wrtości przy ietórych, oreśloych wrtościch zmieych iezleżych. Przy tych wruch dodtowych rozwiązie zdi może się stć edozcze. Rozwżmy powyższe defiice przyłdzie rówń różiczowych zwyczych: Przypuśćmy, że szumy fuci (, ) rówie: dy d f przy czym ( ) f ( ) y( ) spełiące w żdym pucie pewego przedziłu ozcz fucę dą, ciągłą w tym przedzile. Widomo, że istiee iesończeie wiele fuci spełiących to rówie. Jeżeli F ( ) est ąolwie fucą pierwotą fuci f ( ) w przedzile (, ), to ziór wszystich fuci: y ( ) F( ) + C, gdzie C ozcz dowolą stłą, zwier wszystie fuce spełiące rówie i tylo tie fuce. Mówimy, że ti ziór fuci est rozwiąziem ogólym lu cłą ogólą tego rówi. Jeżeli zżądmy dodtowo, y fuc y ( ) spełił tzw. wrue początowy: y ( ) y, gdzie (, ) i y są z góry dymi liczmi zwymi wrtościmi początowymi, to otrzymmy: y F( ) + C, stąd C y F( ). Rówie różiczowe z zdym wruiem początowym osi zwę zgdiei początowego. Istiee ztem dołdie ed fuc y ( ) spełiąc w przedzile (, ) rozwże rówie różiczowe zwycze orz powyższy wrue początowy, miowicie: y( ) F( ) + y F( ). 6
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Fucę tą zywmy rozwiąziem szczególym (cłą szczególą) rozwżego rówi różiczowego zwyczego, spełiącym w/w wrue początowy. N podstwie edego z twierdzeń główych rchuu cłowego możemy powyższe rówie różiczowe zpisć stępuąco: y( ) y + f ( t) dt. 3. Metody umeryczego rozwiązywi rówń różiczowych Rozwżć ędziemy rówi różiczowe zwycze rzędu pierwszego stępuące postci: gdzie dy y f (, y), d f est dą fucą dwóch zmieych. Fucę y y( ) oreśloą i różiczowlą dl leżących do przedziłu (, ) zywmy rozwiąziem rówi różiczowego, eśli: y ( ) f (, y( ) ) dl (, ) Rówie to m iesończeie wiele rozwiązń różiących się stłą (C). Ustleie wruu początowego postci (, y ) pozwoli m edozczie ustlić powyższego rówi. Metody umeryczego oliczi rozwiązi szczególego y ( ) przy zdym (, y ) możemy podzielić : metody edoroowe metody wieloroowe Metody edoroowe ostruuą ciąg przyliżeń y i y( i ) podstwie tylo poprzediego elemetu ciągu, tz.: y y yi + yi + h Φ f ( i, yi; h) gdzie fuc Φ f dl i,,..., N-, może zleżeć od f ieliiowo. Metody wieloroowe ostruuą ciąg przyliżeń y i y( i ) podstwie pewe ilości wcześieszych elemetów ciągu, tz.: 7
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl y y ( h) dl,,..., - + +... + α yi + + α yi h( β fi+ +... + β fi+ β fi ) dl i,,..., N-, α + yi gdzie f f (, y ). W zleżości od wrtości metodę zywmy rówież -roową. 8
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Metody edoroowe Metod Euler (metod styczych) Mmy de rówie różiczowe zwycze rzędu pierwszego postci: dy y f (, y) d orz wrue początowy (, y ), tóry wyzcz pewie put M (, y ), w tórym podstwie powyższego rówi moż oliczyć wrtość pochode: dy p f ( y ) y,, d gdzie p est współczyiiem ieruowym stycze t do wyresów cłe rówi w pucie. M N odciu h przyliżmy rzywą przy pomocy proste stycze t i i wyzczmy put N i (zmist putu M i ) o przyliżoą wrtość y i rzywe w pucie i, miowicie: y y + Δy gdzie Δy p h h f (, y ). Strtuąc z N oliczmy stępą przyliżoą wrtość y w pucie itd. N W metodzie Euler powią się dw źródł łędów: łąd metody łąd zorągleń 9
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Zmodyfiow metod Euler W zmodyfiowe metodzie Euler wyorzystuemy dwie włsości (słusze dl proli):. Stycz do łuu M M w pucie P o odcięte ędące średią rytmetyczą odciętych putów i est rówoległ do odci M M. M M. Współczyi ieruowy siecze M M est średią rytmetyczą współczyiów ieruowych styczych t i. y + Gdyy zy ył put P o odcięte t to wystrczyłoy oliczyć styczą t w t pucie P i poprowdzić rówoległą przez put M, żey otrzymć put M, o t put przecięci te proste rówoległe z prostą. y + h y P M Put P prosymuemy przez P o współrzędych (, y ) stępuąco: + h, y y + h p, gdzie p f (, y ) - pochod w pucie M. y M P Tges ąt chylei stycze t w P stowi przyliżeie tges ąt chylei odci M M : p f (, y ) f + h, y + h p Przyliżoe współrzęde putu M otrzymmy ztem o: + h, y y + h p. Formuły te moż zpisć stępuąco: h f (, y ), gdzie f (, y ) p - pochod w pucie M ; h f + h, y +, gdzie f + h y + p, - pochod w pucie P ; y y +. W dlszym rou wyzcz się współrzęde ( + )/ +h 3
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl putu M o odcięte + h orzystąc z M itd. Moż więc wyprowdzić ogólą zleżość w postci: yi + yi + h f i + h, y i + h f ( i, y i ). W efecie otrzymuemy put M leżący zczie liże wyściowe rzywe iż te, tóry otrzymliyśmy metodą Euler! Metod Rugego-Kutty - est lgericzym uogólieiem opisych ostruci geometrycze, tz. est uogólieiem metody styczych Euler orz e zmodyfiowe wersi, zostie poze poiże. Cel: Szumy współczyiów:,,..., α, β, γ,... orz licz R, R,... tich, y wrtość y oreślo przez ciąg rówń ył możliwie liższ dołde wrtości: h f (, y ) h f ( + h, y + α ) 3 h f ( + h, y + β + γ ) y y + R + R +... + R... + Dl uproszczei dlszych rozwżń ogriczymy się do rozwżi formuł. rzędu (co m d zmodyfiową metodę Euler), tz.: h f (, y ), gdzie h Δ, f (, y ) y (pochod) h f ( + h, y + α ) y y + R + R Sorzystmy z powyższego rozwiięci drugiego rzędu orz przyliżei wzorem Tylor w celu wyprowdzei współczyiów: R, R, α,. Poszuiw fuc y( ) spełi rówie: y ( ) f (, y( ) ). Zróżiczuemy powyższe rówie względem i otrzymmy: y ( ) f + y f y. Dołde rozwiięcie fuci y ze wzoru Tylor przy złożeiu, że f m ciągłe różiczi przedzile, ż do -tego stopi: f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f f + + ( ) +...!! m stępuącą postć: 3
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl y * h * ( h) y ( ) + h f ( y ) + ( f + y f ) +... +, y gdzie Δ h i y ( ) f (, y ). Z drugie stroy, przyliżoe rozwiięcie y ( ) poprzez formuły. rzędu: y y y( + h) y( ) R + R R h f (, y ) + R h f ( + h, y + α ) moż rozwiąć względem drugiego słdi f ( + h y + α ) stępuąco:, y( + h) y( ) R h f (, y ) + R h f (, y ) + R h f + α f +... y h gdzie: f - pochod po w pucie, f y - pochod po y w pucie y, Δ h y ( ), h df df dy df df df +, gdzie: f, f y, d dy d d dy d h Porówuąc terz wyrzy przy h i h w ou rozwiięcich otrzymuemy stępuący ułd rówń: R + R, R, α R, z tórego wyi iż: α, R, R, gdzie est dowole. Podstwmy i otrzymmy:, R R. Ostteczie otrzymuemy więc: h f (, y ), h f ( + h, y + α ) h f + h, y +, y y + R + R y + y + h f + h, y +, co odpowid zmodyfiowe metodzie Euler. W przypdu zstosowi rozwiięci przy pomocy formuł. rzędu otrzymuemy łąd zorągli rzędu h 3! Klsyczą wersą metody Rugego-Kutty populrieszą w prtyczych zstosowich est rozwiięcie przy pomocy formuł 4. rzędu o stępuące postci: 3
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl yi + yi + ( + + 3 + 4 ), 6 gdzie: f ( i, y i ), f i + h, yi + h, 3 f i + h, yi + h, 4 f ( i + h, yi + h 3 ), czyli:,, c, α, β, γ, ϕ, ψ, δ, R, 6 R, 3 R 3, 3 R 4. 6 W przypdu zstosowi rozwiięci przy pomocy formuł 4. rzędu otrzymuemy łąd zorągli rzędu h 5! 33
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl METODY WIELOKROKOWE: W metodch wieloroowych wyorzystuemy zomość ilu wrtości początowych. Rówie różiczowe postci: y ( ) f (, y( ) ) po przecłowiu ou stro od + h do y ( + h) y( ) f (, y( ) ) d F( ) d. + h + h de m: Fuc F( ) est ed ie z, gdyż ie zmy fuci y( ). Zmy tomist wrtości fuci y w putch:,,,...,, więc możemy wyliczyć wrtości liczowe: F F( ) f (, y( )), F F( ) f (, y( )), F F( ) f (, y( )). W metodch wieloroowych iterpolue się fucę F ( ) wielomiem F * ( ) oreśloym z pomocą wrtości F, F,..., F i zstępue się oliczie: + h ( + h) y( ) F( ) d f ( y( ) ) + h y, przez oliczie + h * y( + h) y( ) F ( ) d. Istieą rodziy metod wieloroowych: ) metody estrpolcye: d W metodch estrpolcyych olicz się (estrpolue się) wrtość fuci y ( ) przedzile (, + ) podstwie wrtości F, F,..., F, otrzymuąc esplicite postć y( ) y( h). + + ) metody iterpolcye: W metodch iterpolcyych olicz się (iterpolue się) wrtość fuci F ( ) przedzile (, + ) (, ( + ) h) podstwie wrtości F, F,..., F, F +. Związe oreślący wrtość y + ędzie wyrżoy przez F + f ( +, y+ ) i ędzie ogół rówiem uwiłym, tóre moż rozwiązywć metodą oleych przyliżeń. 34
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Numerycze rozwiązywie lgericzych rówń liiowych. Ułd rówń liiowych Cel: Rozwiązie ułdu rówń liiowych postci A : - A mcierz o m wierszch i olumch, - wetor m dych licz, - wetor iewidomych Powyższy ułd rówń liiowych może: mieć iesończeie wiele rozwiązń, mieć dołdie edo rozwiązie, ie mieć wcle rozwiązń (ułd sprzeczy).... A M O M M M m m m... Algericze rozwiązie ułdu rówń liiowych: Jeżeli istiee det A, wtedy istiee rozwiązie postci A. Prostot oliczi orz istieie lgericzych wzorów i wruów dl różych postci mcierzy A. Niedogodości: zyt duż oliczeiow złożoość i mł dołdość umerycz wyzczi mcierzy odwrote A - szczególie dl dużych m i. Numerycze rozwiązie ułdu rówń liiowych: metody dą róży stopień dołdości przy różym czsie oliczeń uwzględieie 3 przyczy powstwi łędów: łąd spowodowy iedołdość wrtości współczyiów ułdu rówń (łąd weściowy), łąd powstący sute popełii łędów podczs umeryczego wyoywi dziłń rytmetyczych (łąd zorągleń), łąd wyzczi rozwiązi spowodowy sposoem dziłi metody (łąd metody). Przy szcowiu łędów oliczeń umeryczych stosuemy stępuące ormy: + +... + + +... + m,,..., { } Dl dowolego wetor R oowiązuą ierówości: 35
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Oreślmy rówież ormy dl mcierzy: m A m i (msyml sum modułów w olumie),,..., i A (więsz wrtość włs mcierzy A T A) / A A,,... m i m (msyml sum modułów w wierszu) m E i i i (orm eulidesow mcierzy, ormy Schur/Froeiusz) Metody dołde rozwiązywi ułdów rówń liiowych: Jeżeli rozwiązie ułdu rówń A poleg tim przesztłciu dych A i, że przy złożeiu dołdie wyoywych dziłń rytmetyczych po sończoe liczie dziłń otrzymuemy rozwiązie, to tą metodę rozwiązywi zywmy metodą dołdą. Metody dołde chrteryzuą się młą liczą oliczeń potrzeych do wyzczei rozwiązi, ed dl zdń źle uwruowych umeryczie wyzczoe rozwiązie może yć orczoe rdzo dużym łędem. Metody dołde mogą więc ie yć stile ze względu łędy zorągleń. Wzory Crmer (wyzczie rozwiązń podstwie gotowych wzorów): Dl ułdu rówń: +, + mmy stępuące wzory:,,gdzie det A wyzczi Ułdy rówń z mcierzą tróątą: Jeżeli mcierz A ułdu rówń z iewidomymi est mcierzą tróątą (górą lu dolą), to rozwiązie tiego ułdu moż uzysć wyouąc młą liczę dziłń rytmetyczych przy młych łędch zorągleń. Złóżmy, że mcierz A est mcierzą tróątą górą i y istiło edozcze rozwiązie złóżmy, że,..., ii, wtedy otrzymuemy stępuący ułd rówń: + +... + +... +... tórego iewidome oliczmy ze wzoru reurecyego: i i... ii+ i+, i dl i -, -,..., ii 36
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Metod elimici Guss (częście stosow metod): () () Dy est ułd rówń A postci: () () () () + +... + () () () () + +... +...... () () () () + +... + Odemuąc od i-tego wiersz ułdu (i,3,...,) wiersz pierwszy przemożoy przez () () () ( ) i otrzymuemy ułd A postci: () () () () + +... + () () () +... +...... () () () +... + W te sposó wyelimiowo iewidomą z rówń leżących w wierszch i,3,...,. Nstępie elimiow est iewidom z rówń leżących w wierszch i3,4,..., odemuąc od tych wierszy wiersz drugi przemożoy przez ( ) ( ) i itd. Ostteczie otrzymuemy ułd sprowdzoy do postci tróąte: ( ) ( ) ( ) ( ) + +... + ( ) ( ) ( ) +... +... ( ) ( ) Otrzymy ułd rozwiązuemy zgodie z wcześie zprezetowym sposoem. Złożoość oliczeiow metody: 3 3 3 + + 3 5 M (możeń) i D (dodwń). 3 6 Podto metod elimici Guss umożliwi zlezieie rozłdu mcierzy A iloczy dwóch mcierzy tróątych L i U tich, y ALU, co est przydte podczs rozwiązywi wielu zgdień umeryczych dotyczących mcierzy wdrtowych A. Metodę elimici Guss możemy zpisć w postci mcierzowe: A () () ( ) ( ) ( ) ( L ) ( L ) ( L ) A... LU, gdzie: l () ( ) ( ) () L ( L ) ( L )... ( L ) ( L ) l3 l3...... l l gdzie mcierze L () oreśloe są stępuąco:......... l..............., U... ( ) A 37
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl............ l...... l...... () () () L l... 3 ( L ) l... 3 i,, li (), dl i,3,...,.............................. l... l... () ( ) ( ) gdyż przesztłceie ułdu A do postci A ( ) rówowże est przemożeiu te ierówości oustroie przez mcierz L ()........................ ( ) ( ) ( ) L l... 3 ( L ) l... 3 i,, li ( ), dl i3,4,...,.............................. l... l... ( ) ( ) ( 3) 3 orz przesztłceie ułdu A do postci A ( ) rówowże est przemożeiu te ierówości oustroie przez mcierz L () itd. Dzięi temu wyzczeie rozwiązi poleg rozwiąziu dwu ułdów z mcierzmi tróątymi: Ly, Uy. Dzięi możliwości tiego zpisu, przy oieczości poowego rozwiązi ułdu rówń dl iego wetor ułdu moż wyorzystć wyzczoe wcześie mcierze L i U. Metod Doolittle wyzczi rozłdu LU: u u i i i Przyłd: i l i i i ii u, i, i+,..., l ui, i+, i+,..., u 3 3 l l3 l 3 u u u u u u 3 3 33 3 3 Metod częściowego wyoru elemetu podstwowego (Guss-Crout): Poleg wyorze msymlego moduł tzw. elemetu podstwowego, względem tórego doouemy elimici zmiee z dlszych rówń. W podstwowe metodzie Guss i Doolittle wyiero o elemet podstwowy zwsze elemet leżący digoli. Dzięi temu usprwieiu ie stąpi ztrzymie się metody z powodu dzielei przez, gdy digoli wystąpi elemet -rowy rówie ędzie posidć edozcze rozwiązie. Podto wyór elemet msymlego spowodue rówież poprwieie dołdości oliczeń. Złożoość oliczeiow metody est t sm dl metody elimici Guss. 3 38
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Metod elimici Jord (elimici zupełe): () () Ułd rówń postci A postci: () () () () + +... + () () () () + +... +...... () () () () + +... + przesztłcmy stępuąco. Pierwsze rówie dzielimy oustroie przez ( ) stępie od od i-tego wiersz ułdu (i,3,...,) odemuemy wiersz pierwszy () () ( ) przemożoy przez otrzymuąc ułd A postci: i () () () + +... + () () () +... +...... () () () +... + Nstępie drugie rówie dzielimy oustroie przez ( ) stępie od od i-tego wiersz ułdu (i3,4,...,) odemuemy wiersz pierwszy przemożoy przez i ( ) () ( ) otrzymuąc ułd A postci: () () () + 3 3 +... + () () () + 3 3 +... +...... () () () +... + Postępuąc logiczie dle otrzymmy po (-) elimicch Jordowsich ułd stępuące postci, tóry est zrzem gotowym rozwiąziem ułdu: ( ) ( )... () 3 + Zletą metody est prostot, czolwie licz dziłń rytmetyczych M (możeń) i 3 D (dodwń) est o.,5 rz więszy iż w metodzie elimici Guss. Podto przy poowym rozwiązywiu ułdu rówń przy zmieioe prwe stroie ułdu, t. wetor, oiecze est przeprowdzeie wszystich roów od początu, gdyż ie moż zleźć odpowiedi rozłdu ALU, dl metody Guss. 39
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl OBLICZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH I WEKTORÓW WŁASNYCH MACIERZY Mcierz wdrtow A może yć iterpretow o pewie sposó przesztłcei -wymirowych wetorów przyporządowuąc dowolemu wetorowi R wetor y A. Dziłie operci liiowe A wetor przewi się ogół w zmiie: długości wetor (tz. orm y ie est ogół rów ormie ) ieruu wetor (tz. wetor y ie est zzwycz rówoległy do wetor ) Odróżi to opercę liiową A od możei wetor przez slr. DEF. Jeśli dl pewego iezerowego wetor v oże się, że wetor Av est rówoległy do v, to mówimy, że wetor v est wetorem włsym mcierzy A. Istiee ztem pewie slr λ ti, że Av λv. DEF. Liczę λ zywmy wrtością włsą mcierzy A. Woec tego wyi dziłi mcierzy A wetor włsy sprowdz się do pomożei tego wetor przez liczę. Włsość t umożliwi duże uproszczeie ościowe rozwiązywi zdń z zresu mechii, fizyi, chemii, mtemtyi itp. Sposó umeryczego wyzczi wetorów i wrtości włsych mcierzy A zleży od: szczególych cech mcierzy A, tego, czy mmy wyzczyć wszystie wrtości lu wetory włse, czy też tylo te o więszym module lu il więszych lu mieszych wrtości włsych. Wrtości włse mcierzy A są pierwistmi wielomiu chrterystyczego w( λ) det ( A λi ) te mcierzy; gdzie I ozcz mcierz edostową. Przy oliczeich mszyie cyfrowe rzdo posługuemy się tym wielomiem, gdyż wyzczeie ego współczyiów est umeryczie trude. N ogół przesztłcmy mcierz A do postci dogodiesze do wyzczi e wrtości włsych, stępie orzystmy ze szczególych cech tie mcierzy. 4
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl PODSTAWOWE POJĘCIA DEF: Niezerowy wetor o słdowych rzeczywistych lu zespoloych zywmy wetorem włsym mcierzy A eżeli istiee t licz λ (rzeczywist lu zespolo), że A λ. Liczę λ zywmy wrtością włsą mcierzy A. TW.. Licz λ est wrtością włsą mcierzy A wtedy i tylo wtedy, eśli est pierwistiem wielomiu chrterystyczego det ( A λi ) mcierzy A. T DEF: Wetory włse i wrtości włse mcierzy trspoowe A zywmy odpowiedio lewostroymi wetormi i lewostroymi wrtościmi włsymi mcierzy A. DEF: Pierwisti λ, λ,..., λ wielomiu chrterystyczego (z uwzględieiem ewetulych wielorotości tych pierwistów) zywmy widmem mcierzy A. Ziór licz λ, λ,..., λ ozczmy Sp ( A). T WNIOSEK: Widmo mcierzy A est rówe widmu lewostroemu, czyli ( A) Sp( A ) Sp. TW.. Niech λ L i λ P ędą odpowiedio lewostroą wrtością włsą i wrtością włsą mcierzy A, L i P odpowidącymi tym wrtościom lewostroym wetorem włsym i wetorem włsym. Jeżeli λ, to wetory i są ortogole, czyli Dowód:, A λ, L P, L P., A A, λ, T P L P orz L P L P L L P L λ P, więc ( λ λ ), T WNIOSEK: Poiewż dl mcierzy symetrycze A A wetory włse są zrzem lewostroymi wetormi włsymi, więc wetory włse odpowidące różym wrtościom włsym są ortogole. TW.3. Jeżeli p(t) est wielomiem zmiee t, liczy λ, λ,..., λ tworzą widmo mcierzy A to widmem mcierzy p(a) są liczy p ( λ ), p( λ ),..., p( λ ). Wetory włse mcierzy A są wetormi włsymi mcierzy p(a). TW.4. (Cyley-Hmilto) Jeżeli w ( λ) est wielomiem chrterystyczym mcierzy A, to w( A) est mcierzą zerową. DEF: Mówimy, że mcierze A i B są podoe, eżeli istiee t ieosoliw mcierz P, zw mcierzą podoieństw, że P AP B. TW.5. Jeżeli mcierze A i B są podoe, to Sp(A)Sp(B). T DEF: Mcierz Q m m zywmy ortogolą, eżeli Q I. L P Q L P L P 4