Szeregi. (powtórka z Matematyki) Wyzacz graic ci gu: 3 3 + ( 4 + ) 4 7 + 3 3. Przeksztaª szeregi: d) e) 4 podstaw = l rozbij a wyrazy parzyste i ieparzyste a ast pie podstaw = k i = k + 5 = podstaw co± pod tak by dosta i=5 5 k oblicz t sum, a ast pie zamie«a k= = k= k oblicz t sum, a ast pie zamie«a 3. Zbadaj, czy speªioy jest waruek koieczy zbie»o±ci: =7 4 3 + = cos ( ) 4. Korzystaj c z kryterium d'alemberta zbadaj zbie»o± :?? k k=? =??? k=? =? k = e 7 3 7 + 6 = 3! = (!) 3 ()!! 5. Korzystaj c z kryterium pierwiastkowego (Cauchy'ego) zbadaj zbie»o± : = 4 = (, ) + 7 ( 3 ) Przypomieie. Trzy ajwa»iejsze graice w Aalizie to: si() lim = lim e = lim l( + ) =. 6. Korzystaj c z kryterium porówawczego (ilorazowego) zbadaj zbie»o± : d) = =6 5 + 9 3 l() e) = 3 3 3 3 3 5 f) =3 ( + ) 3 ( ) si
7. Korzystaj c z kryterium o zag szczaiu zbadaj zbie»o± : =5 l() l () 8. Korzystaj c z samodzielie wybraego kryterium zbadaj zbie»o± : d) g) j) l() ( ) si e)! 3 3 h) 4 3 3 4 ( ) k) + 3 cos() + 3 f) π 3 i) + 5 l) =3 l() l ( l() ) 3 + 6 + ) tg ( 3! arctg (3) 9. Zbadaj, czy szereg jest zbie»y bezwgl die, zbie»y warukowo czy rozbie»y: d) si() 4 ( ) + e) ( ) 3 5 + ( ) l ( + ) f) cos(π) l() + 6 ( 5)!. Przy pomocy oszacowaia reszty szeregu przemieego oblicz warto± szeregu ( ) z dokªado±ci,. Tz. podaj liczb, która ró»i si od sumy szeregu o co ajwy»ej. Oblicz caªki iewªa±ciwe: d) + 3 d + e d e) + +. Korzystaj c z kryterium caªkowego zbadaj zbie»o± : 5 + d 3 e d f) 3 + 4 ( 8) d e d. = l() =3 l () =4 l() l ( l() ) 3. Przy pomocy szacowaia szeregu przez caªk oblicz przybli»o warto± szeregu Jak du»y jest bª d tego przybli»eia? =. 4. Oszacuj warto± szeregu z dokªado±ci do,5. 4 5. Ile pierwszych elemetów szeregu szeregu z dokªado±ci do,? A do,? e trzeba doda by oszacowa warto± caªego
Topologia. Metryka to fukcja speªiaj ca 3 waruki (patrz wykªad). Sprawd¹, które z tych waruków speªiaj poi»sze fukcje f : R R R f(, y) = y f(, y) = f(, y) = y. Poleceie j.w. tylko dla fukcji g : R R R o wzorze g ( (, ), (y, y ) ) = + + y + y g ( (, ), (y, y ) ) = ( y ) +( y ) 3. Wyka»,»e fukcja d: X X R (dla dowolego X) zadaa poi»ej jest metryk. dla = y d(, y) = dla y (jest to metryka dyskret. Dla X = R arysuj kule (w tej metryce) B(, ), B(, ). 4. Wyka»,»e fukcja τ : R R R + } jest metryk, oblicz odlegªo± w tej metryce puktów (, ) i (3, ), a ast pie arysuj w tej metryce kule B((, ); ), B((, ); ) oraz B((, ); ). tzw. metryka rzeka: τ(, y) = τ ( (, ), (y, y ) ) y = dla = y + y + y dla y tzw. metryka w zªa kolejowego: τ(, y) = τ ( (, ), (y, y ) ) = ( y ) + ( y ) dla y = y + + y + y dla y y 5. Narysuj kule B((, ), ), B((, ), ), B((, ), ) w obu poi»szych metrykach: d ( (, ), (y, y ) ) = y + y ; d ( (, ), (y, y ) ) = ma ( y, y ). 6. Wyzacz w trze podzbioru R wzgl dem metryki euklidesowej oraz dyskretej A = (, ) B = [, ) } C = N (, ) 7. Wyzacz domki cie podzbioru R wzgl dem metryki euklidesowej oraz dyskretej A = (, ) B = [, ) } C = N (, ) 8. Wyzacz brzeg powy»szych zbiorów wzgl dem odp. metryk. 9. Wyzacz kres doly i góry poi»szych zbiorów. Podaj ich ±redic. A = [, ) B = ( Q (, ) ) 3} C = N (, 3). Wyzacz graic gór i dol ci gu. 3
a = b = ( ) c = ( ) d) d = cos ( π ) (+ ) e) e = e ( 3) f) f = si(). Wyzacz wszystkie pukty skupieia ci gu g = si ( ) π 3 +.. Korzystaj c z ogóliej wersji wybraego kryterium zbadaj zbie»o± szeregu =7 + ( ) 3+ (4 + ( ) ) 3. Norma to fukcja speªiaj ca 3 waruki (patrz wykªad). Sprawd¹, które z tych waruków speªiaj poi»sze fukcje f : R R f() = 3 f() = f() = e 4. Poleceie j.w. tylko dla fukcji g : R R o wzorze g ( (, y) ) = g ( (, y) ) = y g ( (, y) ) = + y 5. Narysuj zbiór Z = (, y) R : (, y) (, ) > (, y) } 6. Narysuj a pªaszczy¹ie R kule B((, ), ), B((, ), ) w metrykach pochodz cych od orm oraz ma. 3 Ci gi i szeregi fukcyje. Oblicz odlegªo± w metryce supremum mi dzy fukcjami f, g : [, ] R dla fukcji daych wzorami f() = 3 4 +, a g() = 3 + 5.. Oblicz ρ( 3 si, cos ), gdzie ρ(, ) ozacza metryk supremum w przestrzei B(R). 3. Dae s fukcje f() = 5 fukcji f i g B([, 4]). oraz g() = 6 l(). Oblicz odlegªo± w metryce supremum 4. Wyzacz graic puktow daego ci gu fukcyjego dla R. Zbadaj, czy zbie»o± jest jedostaja a prostej. f () = si ( ) g () = e h () = si() +si() 5. Rozpatrzmy ci gi z powy»szego zadaia. Je±li zbie»o± ie jest jedostaja, podaj przykªad przedziaªu [a, b] po obci ciu do którego zbie»o± b dzie jedostaja. 6. Zbadaj zbie»o± puktow i jedostaj ci gów: ( f () = ( ) dla [, ] oraz dla R ( g () = cos () dla [ π, π ] oraz dla [, π] ( h () = + 3 dla [, + ) (d) u () = + + 4 dla [, ] Wskazówka: + + 4 oraz + 4
7. Oblicz lim + + + 4 d. 8. Korzystaj c z kryterium Weierstrassa zbadaj zbie»o± jedostaj szeregów si() 3 dla R = e dla [, 5] 9. Wyzacz promie«zbie»o±ci szeregów: =! ( ) 3 = e e ( + ). Korzystaj c z ró»iczkowaia i caªkowaia szeregu oblicz warto± sumy dla v [, ] v v Wsk. dla v = warto± szeregu to 3. Szeregi Taylora. Wyzacz z deicji wzór Taylora dla fukcji l( + ) oraz cos() (tj. sprawd¹, czy wzory podae a wykªadzie s poprawe).. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora do wyrazu rz du 3 wyzacz przybli»o warto±,. Korzystaj c z reszty w postaci Lagrage'a oszacuj bª d przybli»eia. 3. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora do wyrazu rz du wyzacz przybli»o warto± 3 3. Korzystaj c z reszty w wybraej postaci oszacuj bª d przybli»eia. 4. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora oszacuj arctg ( ). Dobierz tak liczb elemetów rozwii cia by bª d szacowaia byª ie wi kszy i»,. 5. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora oszacuj e /5. Dobierz tak liczb elemetów rozwii cia by bª d szacowaia byª ie wi kszy i»,5. 6. Korzystaj c z rozwii cia w szereg Taylora wyzacz pierwsze trzy cyfry liczby e. 7. Z ilu elemetów rozwii cia trzeba skorzysta by wyzaczy warto± si ( ) z dokªado- ±ci do 6 (tj. jedej milioowej). 8. Z ilu elemetów rozwii cia trzeba skorzysta by wyzaczy warto± l ( ) z dokªado- ±ci do 3 (tj. jedej tysi czej). 9. Korzystaj c z wzorów z wykªadu oraz z dziaªa«a szeregach (dodawaia, mo»eia, dzieleia oraz podstawiai wyzacz pierwsze trzycztery iezerowe wyrazy szeregu Taylora: α() = si() + e β() = 3 l( ) γ() = cos(3 ) d) δ() = e arctg() e) ε() = f) ζ() = si() cos() g) η() = e si() h) θ() = cos(cos() ) i) ι() = ( + )e j) κ() = 3 + k) λ() = l(cos()) l) µ() = arctg(si( 3 )) m) ν() = cos(e ) ) ξ() = si() cos(3 ) o) o() = arctg() l(+ ) 5
. Korzystaj c z szeregów Taylora oblicz graice: e l( + ) lim arctg( ) si() lim + cos( 3 ) si() cos() lim 3 e cos( ) d) lim arctg( si(3)) 4 Pochoda zªo»eia. Dae s odwzorowaia: u(, y) = y 3+y, v(, y) = 4 +y 3, f(u, v) = u 3 l v. Wyzacz pochode cz stkowe (zupeªe) df i df a dwa sposoby wstawiaj c jed fukcj do d dy drugiej oraz korzystaj c z twierdzeia o pochodej zªo»eia. Zakªadaj c dodatkowo,»e i y s fukcjami zmieej t daymi wzorami (t) = t, y(t) = t wyzacz warto± pochodej df (). dt. Dae s odwzorowaia f i g o wzorach f(, y) = (y, + 3y 3, 4 ) g(, y, z) = ( + y + 3z, 3 y z). Wyzacz D(f g)(,, ) oraz D(g f)(, ) a dwa sposoby (jak w powy»szym zadaiu). 3. Wyzacz dziedzi, zbiór warto±ci oraz Jakobia przeksztaªce«φ, Ψ: R R. ( ) ( ( y ) Φ(r, φ) = r cos(φ), r si(φ) Ψ(, y) = + y, arctg ) 4. Dla fukcji z poprzediego zadaia wyzacz D(Ψ Φ)(r, φ) 5. Zakªad ubezpiecze«oferuje swoim klietom ubezpieczeie a»ycie z wybra przez klieta wysoko±ci sumy ubezpieczeia. Zgodie z obowi zuj cym prawem (i ze zdrowym rozs dkiem ekoomiczym) musi cz ± piei dzy zamrozi, tworz c tzw. rezerw matematycz u. Do okre±leia wysoko±ci tej rezerwy stosuje wzór: y( + ) u(, y, v) =, v gdzie ilo± klietów (w milioach), y ª cza wysoko± sum ubezpieczeia, v pewie czyik zale»y m.i. od stóp procetowych. (, y, v [, ] ) Zakªad przyosi tym wi kszy zysk, im miejszy jest stosuek rezerwy do ª czej wysoko±ci sum ubezpieczeia. Iymi sªowy zakªad chce miimalizowa fukcj h(, y, v) = y( + ) vy = ( + ) yv. Dziaª aaliz zakªadu zaobserwowaª,»e ª cza wysoko± sum ubezpieczeia jest fukcj ilo±ci klietów da wzorem y() = +. W chwili obecej zakªad ma = 3 + klietów. Zbadaj, czy warto jest reklamowa produkt (koszt reklamy pomijamy), tz. jak zwi kszeie ilo±ci klietów wpªyie a warto± fukcji h. (Zakªadamy,»e v jest staªe). Polska Izba Ubezpiecze«ogªosiªa wyiki bada«, z których wyika,»e liczba ubezpieczoych (klietów zakªadu) jest zale»a od wielko±ci v przez zale»o± (v) = 3v. Przy zale»o±ci y() jak w poprzedim podpukcie oraz obecej wysoko±ci v =,9 odpowiedz a pytaie. Co ucieszy akcjoariuszy zakªadu: obi»eie czy podiesieie wspóªczyika v? 6
5 Odwracaie odwzorowa«. Wyka»,»e fukcja jest ró»owarto±ciowa i a. Wyzacz odwzorowaie odwrote. f() = ( ) 3 + 3 f : R R g() = + 3 g : [, + ) [, + ) h() = e h: R (, ). Dla powy»szych fukcji oblicz pochode fukcji odwrotych (f ) (4), (g ) (3) oraz (h ) (). Wykoaj to a dwa sposoby: wprost, tj. licz c pochod fukcji odwrotej oraz licz c pochod fukcji i korzystaj c ze wzoru z wykªadu. 3. Dae s fukcje p: R R oraz q : ( π, π) R zadae wzorami p() = e + i q() = cos(). Oblicz (p ) () i (q ) (). 4. Daa jest fukcja u: R R o wzorze u() = ( si ). Sprawd¹, czy jest ró»owarto±ciowa, czy jest a. Obetij dziedzi i przeciwdziedzi tak by fukcja byªa bijekcj. Dla obci tej fukcji wyzacz fukcj odwrot u. d) Wyzacz obraz u ( [ π, π) ) oraz przeciwobraz u ( (, π) ). 5. Wyka»,»e odwzorowaie jest ró»owarto±ciowe i a. Wyzacz odwzorowaie odwrote. k(, y) = ( + y, y) k : R R l(, y) = (e, + y 3 ) l : R (, + ) R 6. Oblicz a dwa sposoby (jak w zad.) pochode (k ) (, ) i (l ) (, ). 7. Dae jest odwzorowaie F : R R + R o wzorze F (, y) = (, y). Zbadaj w jakich puktach odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Podaj mo»liwie du»y obszar a którym jest globalie odwracale. Podaj wzór odwzorowaia odwrotego. Zajd¹ jakobia odwzorowaia F w pukcie (, ) korzystaj c z twierdzeia o odwzorowaiu odwrotym. 8. Dae jest odwzorowaie G: R R R o wzorze G(, y) = ( +y, y). Zbadaj w jakich puktach odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Zajd¹ pochod odwzorowaia G w pukcie (4, ). 9. Dae jest odwzorowaie H : R R, H(, y) = (( + )e y, y ). Zajd¹ pukty w których odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Zajd¹ mo»liwie du»y obszar, po obci ciu do którego otrzymae odwzorowaie jest globalie odwracale. Zajd¹ macierz pochodej odwzorowaia odwrotego w pukcie (3, ).. Dae jest odwzorowaie U : R \ } R R, U(, y) = ( y, y3 ). Zajd¹ pukty w których odwzorowaie to jest lokalie odwracale. Wyzacz odwzorowaie odwrote. Podaj jakobia odwzorowaia odwrotego w pukcie (, 8).. Dae jest odwzorowaie V : R R, V (, y) = (e y, y 3 + 3y ). Podaj macierz odwzorowaia odwrotego w pukcie (e, 4). Uzasadij,»e odwzorowaie odwrote jest ró»iczkowale w tym pukcie (tj.»e fukcja jest lokalie odwracal. 7
6 Odwzorowaia uwikªae. Zajd¹ pukty, w których fukcja f zadaje y jako fukcj uwikªa ϕ(), je±li f(, y) = + y 4 5. Zajd¹ pukty zerowaia si pochodej fukcji uwikªaej y = ϕ(). Stwierd¹, czy w tych puktach jest ekstremum, je±li tak okre±l czy jest to maksimum czy miimum.. Day jest zbiór S = (, y) R : e y + y + y = }. Dobierz warto±ci a, b tak, aby pukty (, i (b, ) ale»aªy do zbioru S. Stwierd¹, czy mo»liwe jest w otoczeiu tych puktów rozwikªaie zmieej y wzgl dem lub wzgl dem y. Je±li tak, zajd¹ warto±ci pochodych fukcji uwikªaych w odpowiedich puktach. 3. Dae jest rówaie y = 3 + y. i) Zajd¹, w otoczeiu jakich puktów (, y) ie zadaje oo ró»iczkowalej fukcji uwikªaej y(). ii) Wyka»,»e zadaje oo fukcj uwikªa (y) oraz wyzacz jej pochod. iii) Wyzacz ekstrema (s dw lokale fukcji (y). Podaj ich typ (mi/ma). 4. Zajd¹ oba ekstrema lokale (oraz podaj ich typy) fukcji y() zdeiowaej wzorem y 3 + y =. Upewij si,»e w tych puktach fukcja y() faktyczie istieje! 5. Wyka»,»e fukcja G(, y) = 3y + y 3 7 zadaje fukcj uwikªa y() w otoczeiu puktu (4, 3). Korzystaj c z pierwszej pochodej oszacuj warto± y(4,). 6. Rozpatrzmy fukcj G(, y, z) = 3 + 3y + 4z 3z y. Czy rówaie G(, y, z) = deiuje fukcj uwikªa z(, y) w otoczeiu puktów o wspóªrz dych (, y)? A = (, ) B = (, ) C = (, ) W pukcie C oblicz z oraz z y (u»yj kalkulator oraz oszacuj z(,4;,). 7. Jedym z rozwi za«ukªadu (sprawd¹!) 3 y z = + y + z 3 = 6 jest pukt (,, ). Wyka»,»e w tym pukcie istiej fukcje uwikªae (z) i y(z). Wyzacz () i y (). (Uwaga:»eby zastosowa wzór z wykªadu trzeba obliczy obie pochode rówocze±ie macierz odwracaa musi by kwadratow. Oszacuj jak zmiei si i y gdy z =,. 8. Day jest ukªad rówa«w + + y z = 6 wy yz = Wyka»,»e w otoczeiu puktu (w,, y, z) = (,,, ) powy»szy ukªad deiuje ró»iczkowal fukcj uwikªa (w, ) = Φ(y, z). Wyzacz macierz pochodej DΦ(, ). 8
7 Ekstrema lokale. Dla podaych poi»ej fukcji wyka»,»e (, ) jest puktem stacjoarym, wyzacz macierz drugiej pochodej w tym pukcie. Nast pie wyka» brak ekstremum lokalego w tym pukcie korzystaj c z obci cia fukcji do prostych y =, =, y =, y = (iekoieczie wszystkich). f(, y) = 6 4 +y 4 g(, y) = y h(, y) = 3 y + y 3. Wprost z deicji zbadaj, czy pukt (, ) jest ekstremum lokalym fukcji: f(, y) = y g(, y) = y 4 h(, y) = 3 ( y) 3. Wyzacz ekstrema lokale fukcji. (Skorzystaj z deicji lub z tego,»e macierz drugiej pochodej ieujema a otoczeiu puktu stacjoarego daje miimum lokale.) f(, y) = y g(, y) = 4 +y 4 h(, y) = y( y) 4. Wyzacz ekstrema lokale fukcji wielu zmieych f(, y, z) = 3 +z 3 +y +z g(, y, z) = ye 4 y + z 4 + h(, y, z) = 3 +3y z+y yz+z d) o(w,, y, z) = w 3 + w+ + +yz y z 8 Ekstrema warukowe. Korzystaj c z mo»ików Lagrage'a wyzacz lokale ekstrema warukowe: Fukcji a(, y) = y przy waruku 8 + y =. Fukcji b(, y) = y + przy waruku y + y =.. Wyzacz lokale ekstrema warukowe fukcji. Wykoaj to a trzy sposoby (podstawieie, warstwice i przez mo»iki Lagrage'. Fukcja c(, y) = y przy waruku + y =. Fukcja d(, y) = + y przy waruku = y. (zadaie - puªapk Fukcja f(, y) = ( + ) + (y ) przy waruku + y = 6. 3. Wyzacz lokale ekstrema warukowe fukcji F (, y, z) = + y + z a zbiorze S = (, y, z) R 3 : + y + z + z = 3}. 4. Wyzacz lokale ekstrema warukowe fukcji G(, y, z) = z a zbiorze T = (, y, z) R 3 : + y + z = + y = z}. 9 Caªki wielokrote. Oblicz poi»sz caªk dwukrotie: licz c ajpierw po a potem po y; a ast pie odwrotie. Zbiór P to prostok t P = (, y) R :, y } = [, ] [, ]. y ddy P 9
. Oblicz caªki: 3 4y 3 d dy 9 y d dy y 3. Oblicz caªki: 4y y 3 dy d z z y dy d dz y+ y+z y y z 3z y d dz dy 4. Dae s pukty A = (, ), B = (, ), C = (, ) oraz D = (, ). Oblicz dwukrotie caªki a trójk tach ABC i ADC (jak w zadaiu.) ABC 6y ddy ADC + y ddy 5. Oblicz caªk a trójk cie EF G, gdzie E = (, ), F = (, ), G = (3, ). y ddy EF G 6. Zamie«kolejo± caªkowaia, a potem oblicz: e y dy d + y e y d dy e y 7. Dae jest zbiór A ograiczoy parabolami y = oraz y = +. Oblicz caªk + y ddy 8. Obszar B = (, y) R : < < < y < }. Oblicz y 5 + ddy 9. Zbiór C jest ograiczoy krzywymi y =, y =, =. Oblicz y ddy. Produkcja przedsi biorstwa daa jest fukcj Cobba-Douglasa A B C Y (K, L) = 5L,6 K,4, d dy l() gdzie L to liczba osobogodzi pracy (miesi czie), a K to kapitaª (te» miesi czie) w wielokroto±ciach PLN. Zakªadamy,»e L waha si rówomierie od do 3, a kapitaª mi dzy a PLN. Oblicz ±redi produkcj miesi cz.. Korzystaj c z podstawieia bieguowego oblicz poi»sze caªki. ( + y ) 3 ddy, gdzie zbiór D day jest ierówo±ci : + y 9 D
E F ddy, gdzie zbiór E: + y + y ddy, gdzie zbiór F : 4 + y y. Oblicz (w przybli»eiu) obj to± aboju 9 9 mm Parabellum przybli»aj c wymiary ast puj co: ±redica ªuski to mm wysoko± caªo±ci to 3 mm ªuska ma ksztaªt walca o wysoko±ci mm cz ± pocisku wystaj ca z ªuski ma ksztaªt paraboloidy obrotowej z = a( + y ). 3. Oblicz caªk P e y d dy gdzie P to prostok t opisay ierówo±ciami + y oraz y, tj. o wierzchoªkach w puktach (, ), (, ), ( 3, ) oraz (, ). 4. U»ywaj c podstawieia (, y) = ( v( u ), u ) oblicz caªk I y d dy gdzie I to zbiór mi dzy parabolami = y oraz = 3( y ). 5. Oblicz caªk gdzie J = (, y) R : y < y J d dy } 3y < 4y. 6. U»ywaj c podstawieia (u, v) = (y, y) oblicz caªk y d dy gdzie G to zbiór mi dzy y = +, y =, y = i y =. 7. Oblicz caªk G K yz d dy dz gdzie K = (, y, z) R 3 : y < 8 y < 4 z y}. Ci gªo± i ró»iczkowalo± odwzorowa«. Zajduj c odpowiedi ci g (lub obciaj c fukcj do odpowiediej krzywej/prostej) wyka» ieci gªo± fukcji w pukcie (, ): α(, y) = 3 y 4 +y 4 dla 4 + y 4 dla = y = dla y < β(, y) = dla y
. Wyka»,»e fukcja jest ci gªa γ(, y) = ɛ(, y) = 3 y 4 dla + y +y dla = y = si(y ) dla + y +y dla = y = δ(, y) = d) ζ(, y) = 3 y 3 dla 4 + y 4 ( +y ) dla = y = cos( y ) dla 4 + y 4 +y dla = y = 3. Zbadaj ci gªo±, tj. sprawd¹ dla jakich (, y) fukcja jest ci gªa η(, y) = l(+ ) + y dla y dla = θ(, y) = y dla y dla y = 4. Wyzacz pochode kierukowe o ile istiej fukcji α(, y) (powy»ej) w pukcie (, ) w kierukach [, ], [, ], [, ]. 5. Wyzacz obie pochode cz stkowe w pukcie (, ) o ile istiej fukcji 3 y dla ι(, y) = 4 + y 4 4 +y 4 dla = y = 6. Korzystaj c z pochodych kierukowych wyka»,»e fukcja ι ie jest ró»iczkowala w (, ) 7. Zbadaj ró»iczkowalo± fukcji κ(, y) = 4 y 3 +y dla + y dla = y = λ(, y) = y 4 4 +y dla 4 + y dla = y = 8. Zbadaj, czy fukcja jest klasy C µ(, y) = 3 y +y dla + y dla = y = ν(, y) = 3 +y 3 +y dla 4 + y dla = y =