4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 1 / 44

Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 2 / 44

Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 2 / 44

Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość? Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji i stosując informacje z tej części wykładu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 2 / 44

Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 3 / 44

Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 3 / 44

Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk. Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 3 / 44

Pochodne i monotoniczność Zaczniemy od twierdzenia: Pochodne i monotoniczność Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 4 / 44

Pochodne i monotoniczność Zaczniemy od twierdzenia: Pochodne i monotoniczność Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b). Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest rosnąca/malejąca w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d) nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w sumie tych przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 4 / 44

Ekstrema lokalne Ekstrema lokalne Mówimy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) < f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) < f (x 0 ). Mówimy, że f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) > f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) > f (x 0 ). Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 5 / 44

Ekstrema lokalne Ekstrema lokalne Mówimy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) < f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) < f (x 0 ). Mówimy, że f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) > f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) > f (x 0 ). Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji. Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym maksimum/minimum lokalnym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 5 / 44

Ekstrema - rysunek Na powyższym rysunku A, B, C są maksimami lokalnymi, a D i E - minimami lokalnymi. Wszystkie nazywamy ekstremami lokalnymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 6 / 44

Uwaga o lokalności ekstremów rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 7 / 44

Uwaga o lokalności ekstremów Słowo lokalne w powyższych definicjach definicjach jest istotne (aczkolwiek często opuszczane). W szczególności oznacza to, że ekstremum lokalne wykryte za pomocą pochodnych nie musi być rozwiązaniem optymalnym badanego procesu. Może się okazać, że bardziej optymalne wartości badana funkcja przyjmuje w innych ekstremach, a nawet poza ekstremami. Na przykład na powyższym rysunku A i B są maksimami lokalnymi, ale na pewno nie globalnymi (wartość maksimum C jest większa). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 7 / 44

Pochodne i ekstrema lokalne Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 8 / 44

Pochodne i ekstrema lokalne Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest różniczkowalna, to nie może mieć ekstremów w punktach innych niż te, w których pochodna się zeruje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 8 / 44

Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 9 / 44

Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne: Na przykład f (x) = x ma minimum lokalne w 0, a nie da się tego udowodnić jedynie za pomocą pochodnych, bo funkcja ta nie jest różniczkowalna w 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność izima wypukłość 2017/2018 9 / 44

Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 10 / 44

Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość. Na przykład f (x) = x 3 nie ma ekstremum lokalnego w 0, mimo, że f (0) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 10 / 44

Warunek wystarczający istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać formalna Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x 0 R oraz różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje ɛ > 0 takie, że f (x) > 0 dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) < 0 dla każdego x (x 0, x 0 + ɛ), to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum lokalne. Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x 0 R oraz różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje ɛ > 0 takie, że f (x) < 0 dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) > 0 dla każdego x (x 0, x 0 + ɛ), to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum lokalne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 11 / 44

Warunek wystarczający istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać nieformalna Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x 0 znak z + na, to w tym punkcie funkcja f ma maksimum lokalne. Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x 0 znak z na +, to w tym punkcie funkcja f ma minimum lokalne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 12 / 44

Warunek wystarczający istnienia ekstremum - ilustracja graficzna To twierdzenie można sobie zawsze logicznie wyprowadzić, analizując wykres funkcji: jeśli najpierw rośnie, a potem maleje, to w punkcie przejścia musi mieć górkę czyli maksimum. Gdy jest na odwrót, mamy dolinkę, czyli minimum. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 13 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 14 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 14 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 14 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = 15x 4 15x 3 120x 2 + 180x = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 14 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = 15x 4 15x 3 120x 2 + 180x = 15x(x + 3)(x 2) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 14 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 15 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 15 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 15 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). f (x) < 0 x ( 3, 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 15 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). f (x) < 0 x ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 15 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 858 1 4, f (0) = 1, f (2) = 77. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 16 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 17 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 17 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) + 0-0 + 0 + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 17 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) + 0-0 + 0 + f (x) 858 1 (maks) 4 1 (min) 77 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 17 / 44

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) + 0-0 + 0 + f (x) 858 1 (maks) 4 1 (min) 77 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 17 / 44

Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 18 / 44

Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 18 / 44

Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 18 / 44

Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 19 / 44

Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. Dla funkcji wklęsłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży pod wykresem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 19 / 44

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 20 / 44

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 20 / 44

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 20 / 44

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 21 / 44

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. f (x) = x jest wklęsła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 21 / 44

Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 22 / 44

Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Pochodne i wklęsłość/wypukłość Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 22 / 44

Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Pochodne i wklęsłość/wypukłość Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b). Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest wklęsła/wypukła w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d) nie oznacza, że jest wklęsła/wypukła w sumie tych przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 22 / 44

Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 23 / 44

Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x) jest funkcją użyteczności z posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x) to funkcja u (x) jest malejąca. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 23 / 44

Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x) jest funkcją użyteczności z posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x) to funkcja u (x) jest malejąca. Skoro funkcja różniczkowalna jest malejąca, gdy jej pochodna jest ujemna, to prawo Gossena można sformułować tak: Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej Jeśli wartość dwukrotnie różniczkowalnej funkcji użyteczności u zależy tylko od ilości posiadanego pojedynczego dobra x, to u (x) < 0 dla dowolnego x > 0 z dziedziny tej funkcji. Czasem w prawie Gossena zakłada się tylko słabą nierówność na u. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 23 / 44

Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 24 / 44

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 25 / 44

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 25 / 44

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. f > 0, f < 0 f rośnie coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = ln x, albo f (x) = x w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 25 / 44

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. f > 0, f < 0 f rośnie coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = ln x, albo f (x) = x w całej dziedzinie. f < 0, f > 0 f maleje coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = 1 x dla x > 0, albo f (x) = x 2 dla x < 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 25 / 44

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. f > 0, f < 0 f rośnie coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = ln x, albo f (x) = x w całej dziedzinie. f < 0, f > 0 f maleje coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = 1 x dla x > 0, albo f (x) = x 2 dla x < 0. f < 0, f < 0 f maleje coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = 1 x dla x < 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 25 / 44

Druga pochodna i ekstrema Stąd można wyciągnąć wniosek na temat ekstremów: Druga pochodna i ekstrema Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x 0 i jej druga pochodna jest ciągła oraz f (x 0 ) = 0 to: a) Jeśli f (x 0 ) > 0 to f ma minimum lokalne w x 0. b) Jeśli f (x 0 ) < 0 to f ma maksimum lokalne w x 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 26 / 44

Druga pochodna i ekstrema Stąd można wyciągnąć wniosek na temat ekstremów: Druga pochodna i ekstrema Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x 0 i jej druga pochodna jest ciągła oraz f (x 0 ) = 0 to: a) Jeśli f (x 0 ) > 0 to f ma minimum lokalne w x 0. b) Jeśli f (x 0 ) < 0 to f ma maksimum lokalne w x 0. Jeśli f (x 0 ) = 0, to ekstremum w tym punkcie może nie istnieć, mimo, że f (x 0 ) = 0! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 26 / 44

Punkt przegięcia - definicja Zmiana wklęsłości i wypukłości funkcji również, tak jak w wypadku monotoniczności, wyznacza szczególny punkt na wykresie funkcji. Te odpowiedniki ekstremów dla pierwszej pochodnej nazywamy punktami przegięcia. Nie dzielimy ich ze względu na to, w którą stronę następuje zmiana. Punkt przegięcia Mówimy, że f ma w punkcie x 0 punkt przegięcia, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że w tym otoczeniu po jednej stronie tego punktu funkcja jest wklęsła, a po drugiej wypukła. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 27 / 44

Punkt przegięcia - definicja Zmiana wklęsłości i wypukłości funkcji również, tak jak w wypadku monotoniczności, wyznacza szczególny punkt na wykresie funkcji. Te odpowiedniki ekstremów dla pierwszej pochodnej nazywamy punktami przegięcia. Nie dzielimy ich ze względu na to, w którą stronę następuje zmiana. Punkt przegięcia Mówimy, że f ma w punkcie x 0 punkt przegięcia, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że w tym otoczeniu po jednej stronie tego punktu funkcja jest wklęsła, a po drugiej wypukła. Dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnych oznacza to, że f w punkcie przegięcia zmienia znam. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 27 / 44

Punkt przegięcia - przykład f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 28 / 44

Punkt przegięcia - przykład f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). Punkt zmiany funkcji wypukłej we wklęsłą (lub na odwrót) - w tym przypadku x = 0 - nazywa się punktem przegięcia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 28 / 44

Punkt przegięcia - przykład f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). Punkt zmiany funkcji wypukłej we wklęsłą (lub na odwrót) - w tym przypadku x = 0 - nazywa się punktem przegięcia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 28 / 44

Druga pochodna i punkty przegięcia Punkty przegięcia wykrywamy za pomocą drugiej pochodnej (tak, jak ekstrema za pomocą pierwszej) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 29 / 44

Druga pochodna i punkty przegięcia Punkty przegięcia wykrywamy za pomocą drugiej pochodnej (tak, jak ekstrema za pomocą pierwszej): Punkt przegięcia - warunek konieczny Jeśli funkcja f ma punkt przegięcia w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie dwukrotnie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 29 / 44

Druga pochodna i punkty przegięcia Punkty przegięcia wykrywamy za pomocą drugiej pochodnej (tak, jak ekstrema za pomocą pierwszej): Punkt przegięcia - warunek konieczny Jeśli funkcja f ma punkt przegięcia w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie dwukrotnie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, to nie może mieć punktów przegięcia w punktach innych niż te, w których druga pochodna się zeruje. Ale to nie musi oznaczać, że zerowanie drugiej pochodnej od razu wyznacza punkt przegięcia! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 29 / 44

Druga pochodna i punkty przegięcia Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie jest prawdziwe: dla f (x) = x 4, zachodzi f (x) = 4x 3 i f (x) = 12x 2, a więc f (0) = 0, ale funkcja ta jest wypukła w całej dziedzinie, więc nie ma w ogóle punktów przegięcia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 30 / 44

Druga pochodna i punkty przegięcia Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie jest prawdziwe: dla f (x) = x 4, zachodzi f (x) = 4x 3 i f (x) = 12x 2, a więc f (0) = 0, ale funkcja ta jest wypukła w całej dziedzinie, więc nie ma w ogóle punktów przegięcia. Punkt przegięcia - warunek wystarczający Jeśli druga pochodna funkcji f zmienia w punkcie x 0 znak, to w tym punkcie funkcja f ma punkt przegięcia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 30 / 44

Druga pochodna i punkty przegięcia Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie jest prawdziwe: dla f (x) = x 4, zachodzi f (x) = 4x 3 i f (x) = 12x 2, a więc f (0) = 0, ale funkcja ta jest wypukła w całej dziedzinie, więc nie ma w ogóle punktów przegięcia. Punkt przegięcia - warunek wystarczający Jeśli druga pochodna funkcji f zmienia w punkcie x 0 znak, to w tym punkcie funkcja f ma punkt przegięcia. Zatem, poza sprawdzeniem zerowania drugiej pochodnej, by wyznaczyć punkt przegięcia, musimy sprawdzić, czy druga pochodna zmienia w tym punkcie znak. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 30 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład Zadanie Zbadać wklęsłość/wypukłość i wskazać punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 31 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład Zadanie Zbadać wklęsłość/wypukłość i wskazać punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Wiemy już, że dziedziną tej funkcji jest R i obliczyliśmy jej pierwszą pochodną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 31 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład Zadanie Zbadać wklęsłość/wypukłość i wskazać punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Wiemy już, że dziedziną tej funkcji jest R i obliczyliśmy jej pierwszą pochodną. Teraz obliczamy drugą: f (x) = (15x 4 15x 3 120x 2 + 180x) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 31 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład Zadanie Zbadać wklęsłość/wypukłość i wskazać punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Wiemy już, że dziedziną tej funkcji jest R i obliczyliśmy jej pierwszą pochodną. Teraz obliczamy drugą: f (x) = (15x 4 15x 3 120x 2 + 180x) = 60x 3 45x 2 240x + 180 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 31 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład Zadanie Zbadać wklęsłość/wypukłość i wskazać punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Wiemy już, że dziedziną tej funkcji jest R i obliczyliśmy jej pierwszą pochodną. Teraz obliczamy drugą: f (x) = (15x 4 15x 3 120x 2 + 180x) = 60x 3 45x 2 240x + 180 = 15(4x 3)(x 2)(x + 2). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 31 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) = 15(4x 3)(x 2)(x + 2). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 32 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) = 15(4x 3)(x 2)(x + 2). Porównujemy wartość drugiej pochodnej z zerem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 32 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) = 15(4x 3)(x 2)(x + 2). Porównujemy wartość drugiej pochodnej z zerem. f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 32 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) = 15(4x 3)(x 2)(x + 2). Porównujemy wartość drugiej pochodnej z zerem. f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ). f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 32 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) = 15(4x 3)(x 2)(x + 2). Porównujemy wartość drugiej pochodnej z zerem. f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ). f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2). f (x) = 0 x { 2, 3 4, 2}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 32 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), więc funkcja f jest wypukła w przedziale ( 2, 3 4 ) i w przedziale (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), więc funkcja f jest wypukła w przedziale ( 2, 3 4 ) i w przedziale (2, + ). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), więc funkcja f jest wypukła w przedziale ( 2, 3 4 ) i w przedziale (2, + ). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (, 2) i w przedziale ( 3 4, 2). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), więc funkcja f jest wypukła w przedziale ( 2, 3 4 ) i w przedziale (2, + ). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (, 2) i w przedziale ( 3 4, 2). Nie można powiedzieć jednak, że jest wklęsła w sumie tych przedziałów! f (x) = 0 x { 2, 3 4, 2}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), więc funkcja f jest wypukła w przedziale ( 2, 3 4 ) i w przedziale (2, + ). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (, 2) i w przedziale ( 3 4, 2). Nie można powiedzieć jednak, że jest wklęsła w sumie tych przedziałów! f (x) = 0 x { 2, 3 4, 2}. W każdym z tych punktów f zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie wklęsłości/wypukłości - przykład f (x) > 0 x ( 2, 3 4 ) (2, + ), więc funkcja f jest wypukła w przedziale ( 2, 3 4 ) i w przedziale (2, + ). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x (, 2) ( 3 4, 2), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (, 2) i w przedziale ( 3 4, 2). Nie można powiedzieć jednak, że jest wklęsła w sumie tych przedziałów! f (x) = 0 x { 2, 3 4, 2}. W każdym z tych punktów f zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia. Warto jeszcze oszacować wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach, f ( 2) = 525, f ( 3 4 ) 34, 3, f (2) = 77. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 33 / 44

Badanie zmienności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność, wklęsłość/wypukłość i wskazać ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 34 / 44

Badanie zmienności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność, wklęsłość/wypukłość i wskazać ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę: x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 3, 2) 2 (2, + ) 4 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 34 / 44

Badanie zmienności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność, wklęsłość/wypukłość i wskazać ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę: x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 3, 2) 4 2 (2, + ) f (x) - - - 0 + + + 0-0 + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 34 / 44

Badanie zmienności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność, wklęsłość/wypukłość i wskazać ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę: x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 3, 2) 4 2 (2, + ) f (x) - - - 0 + + + 0-0 + f (x) + 0 - - - 0 + + + 0 + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 34 / 44

Badanie zmienności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność, wklęsłość/wypukłość i wskazać ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę: x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 3, 2) 4 2 (2, + ) f (x) - - - 0 + + + 0-0 + f (x) + 0 - - - 0 + + + 0 + f (x) 858 1 4 (maks) 525 (pp) 1 (min) 34, 3 (pp) 77 (pp) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 34 / 44

Badanie zmienności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność, wklęsłość/wypukłość i wskazać ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę: x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 3, 2) 4 2 (2, + ) f (x) - - - 0 + + + 0-0 + f (x) + 0 - - - 0 + + + 0 + f (x) 858 1 4 (maks) 525 (pp) 1 (min) 34, 3 (pp) 77 (pp) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 34 / 44

Szkicowanie wykresu funkcji - przykład x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 4 3, 2) 2 (2, + ) f (x) 858 1 4 (maks) 525 (pp) 1 (min) 34, 3 (pp) 77 (pp) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 35 / 44

Szkicowanie wykresu funkcji - przykład x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 4 3, 2) 2 (2, + ) f (x) 858 1 4 (maks) 525 (pp) 1 (min) 34, 3 (pp) Mając tabelkę, z łatwością narysujemy wykres funkcji: 77 (pp) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 35 / 44

Szkicowanie wykresu funkcji - przykład x (, 3) 3 ( 3, 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, 3 4 ) 3 4 ( 4 3, 2) 2 (2, + ) f (x) 858 1 4 (maks) 525 (pp) 1 (min) 34, 3 (pp) Mając tabelkę, z łatwością narysujemy wykres funkcji: 77 (pp) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 35 / 44

Przykład 2 - rozkład Gaussa Zbadamy teraz zachowanie funkcji danej wzorem: f (x) = 1 2π e x2 2. Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisująca typowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności do ryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 36 / 44

Przykład 2 - rozkład Gaussa Zbadamy teraz zachowanie funkcji danej wzorem: f (x) = 1 2π e x2 2. Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisująca typowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności do ryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.). Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawisk społecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładu wykazują związek z taką matematyczną abstrakcją jaką pozornie są liczby π i e. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 36 / 44

Przykład 2 - rozkład Gaussa Zadanie Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = 1 2π e x2 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 37 / 44

Przykład 2 - rozkład Gaussa Zadanie Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = 1 2π e x2 2. Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotonicznośćzima i wypukłość 2017/2018 37 / 44