2. Ciągłość funkcji. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. zima 2016/2017
|
|
|
- Dagmara Łukasik
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 2. Ciągłość funkcji Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
2 1 Motywacja 2 Definicja 3 Funkcje nieciągłe w ekonomii 4 Pożytki z ciągłości rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
3 Ciągłość - motywacja W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia z nieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczenia na danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrym przybliżeniem właściwego wyniku. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
4 Ciągłość - motywacja W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia z nieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczenia na danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrym przybliżeniem właściwego wyniku. Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π 2. Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π i podnosimy ją do kwadratu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
5 Ciągłość - motywacja W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia z nieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczenia na danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrym przybliżeniem właściwego wyniku. Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π 2. Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π i podnosimy ją do kwadratu. Jednakże, warto sobie uświadomić, że wartość π w kalkulatorze nie jest dokładna (choć bliska). Skąd mamy zatem pewność, że po podniesieniu do kwadratu wartość przybliżona i rzeczywista się nie oddalą od siebie znacząco? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
6 Ciągłość - motywacja W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia z nieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczenia na danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrym przybliżeniem właściwego wyniku. Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π 2. Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π i podnosimy ją do kwadratu. Jednakże, warto sobie uświadomić, że wartość π w kalkulatorze nie jest dokładna (choć bliska). Skąd mamy zatem pewność, że po podniesieniu do kwadratu wartość przybliżona i rzeczywista się nie oddalą od siebie znacząco? Zapewnia nam to równość: π 2 = lim x π x 2, która mówi, że w pobliżu π wartości funkcji x 2 są bliskie π 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
7 Ciągłość - motywacja Nie zawsze tak musi być. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
8 Ciągłość - motywacja Nie zawsze tak musi być. Rozważmy na przykład funkcję: 1 f (x) =, dla x 0 x 0, dla x = 0.. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
9 Ciągłość - motywacja Nie zawsze tak musi być. Rozważmy na przykład funkcję: 1 f (x) =, dla x 0 x 0, dla x = 0.. Jeśli rozważymy f (ɛ), gdzie ɛ > 0 (lub ɛ < 0) jest bliskie zeru, nie otrzymamy wartości w pobliżu f (0) = 0 - lecz wręcz przeciwnie, bardzo dużą (na moduł) liczbę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
10 Ciągłość - motywacja Nie zawsze tak musi być. Rozważmy na przykład funkcję: 1 f (x) =, dla x 0 x 0, dla x = 0.. Jeśli rozważymy f (ɛ), gdzie ɛ > 0 (lub ɛ < 0) jest bliskie zeru, nie otrzymamy wartości w pobliżu f (0) = 0 - lecz wręcz przeciwnie, bardzo dużą (na moduł) liczbę. Dlatego, określenie klasy funkcji, na których można bezpiecznie wykonywać przybliżone rachunki jest bardzo ważne. Taką klasę tworzą funkcje ciągłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
11 Ciągłość - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się badaniem ich ciągłości zajmować). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
12 Ciągłość - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się badaniem ich ciągłości zajmować). Ciągłość w punkcie Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 D f wtedy i tylko wtedy, gdy granica x x0 lim f (x) istnieje i x x0 lim f (x) = f (x 0 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
13 Ciągłość - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się badaniem ich ciągłości zajmować). Ciągłość w punkcie Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 D f wtedy i tylko wtedy, gdy granica x x0 lim f (x) istnieje i x x0 lim f (x) = f (x 0 ). Wniosek - ciągłość obustronna w punkcie Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 D f wtedy i tylko wtedy, gdy granica lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
14 Ciągłość - definicja Ciągłość Funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
15 Ciągłość - definicja Ciągłość Funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Ideę definicji można prosto zilustrować na wykresie - funkcja jest ciągła w punkcie dziedziny, jeśli wykres się w nim nie rozrywa. Innymi słowy, jak to w szkole się mówiło: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
16 Ciągłość - definicja Ciągłość Funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Ideę definicji można prosto zilustrować na wykresie - funkcja jest ciągła w punkcie dziedziny, jeśli wykres się w nim nie rozrywa. Innymi słowy, jak to w szkole się mówiło: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe. Sprawa jest troszeczkę bardziej skomplikowana (zaraz to zobaczymy), ale w najprostszych przypadkach to się sprawdza. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
17 Ciągłość - ilustracja Ta funkcja jest ciągła... Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
18 Ciągłość - ilustracja Ta funkcja jest ciągła... a ta nie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
19 Ciągłość - definicja Stwierdzenie: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe nie mówi jednak całej prawdy: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
20 Ciągłość - definicja Stwierdzenie: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe nie mówi jednak całej prawdy: Na przykład, funkcja f (x) = 1, o dziedzinie R \ {0} (w x przeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
21 Ciągłość - definicja Stwierdzenie: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe nie mówi jednak całej prawdy: Na przykład, funkcja f (x) = 1, o dziedzinie R \ {0} (w x przeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
22 Ciągłość - definicja Stwierdzenie: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe nie mówi jednak całej prawdy: Na przykład, funkcja f (x) = 1, o dziedzinie R \ {0} (w x przeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła! Co do jej ciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, a choć wykres w 0 się rozrywa to 0 nie należy do dziedziny!. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
23 Ciągłość - definicja Stwierdzenie: jeśli można narysować bez odrywania długopisu - to jest ciągłe nie mówi jednak całej prawdy: Na przykład, funkcja f (x) = 1, o dziedzinie R \ {0} (w x przeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła! Co do jej ciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, a choć wykres w 0 się rozrywa to 0 nie należy do dziedziny!. Wniosek: Poza dziedziną funkcji nie badamy ciągłości! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
24 Ciągłość - twierdzenia Ciągłość funkcji elementarnych Funkcje elementarne (czyli sumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożenia funkcji wielomianowych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych) są ciągłe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
25 Ciągłość - twierdzenia Ciągłość funkcji elementarnych Funkcje elementarne (czyli sumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożenia funkcji wielomianowych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych) są ciągłe. Ciągłość działań na funkcjach Sumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożenia funkcji ciągłych są ciągłe w ich dziedzinach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
26 Ciągłość - twierdzenia Ciągłość funkcji elementarnych Funkcje elementarne (czyli sumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożenia funkcji wielomianowych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych) są ciągłe. Ciągłość działań na funkcjach Sumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożenia funkcji ciągłych są ciągłe w ich dziedzinach. Zbiór funkcji ciągłych, których dziedziną jest zbiór A, a przeciwdziedziną zbiór B oznaczamy C(A, B). Domyślną przeciwdziedziną jest R, dlatego zapis C(A) oznacza to samo co C(A, R). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
27 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
28 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 We wszystkich punktach, poza 0 i 1 funkcja jest ciągła, gdyż w otoczeniu takich punktów jest dana wzorem funkcji elementarnej. Dlatego zbadać trzeba tylko ciągłość funkcji w 0 i 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
29 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
30 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 lim f (x) = f (0) = = 1; x 0 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
31 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 lim f (x) = f (0) = = 1; lim x 0 f (x) = 1 0 = 1. x 0 + rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
32 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 lim f (x) = f (0) = = 1; lim x 0 f (x) = 1 0 = 1. x 0 + Zarem f jest ciągła w 0 (granice są równe sobie i wartości funkcji w punkcie). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
33 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
34 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 lim f (x) = 1 1 = 0; x 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
35 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 lim f (x) = 1 1 = 0; lim x 1 f (x) = f (1) = = 5. x 1 + rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
36 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 lim f (x) = 1 1 = 0; lim x 1 f (x) = f (1) = = 5. x 1 + Zarem f nie jest ciągła w 1 (granice nie są sobie równe). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
37 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
38 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 Ostatecznie, f jest ciągła w R \ {1}, a nie jest ciągła w 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
39 Ciągłość - przykład Przykład Zbadać ciągłość funkcji: x 2 + 1, dla x 0 f (x) = 1 x, dla 0 < x < 1. 2x + 3, dla x 1 Ostatecznie, f jest ciągła w R \ {1}, a nie jest ciągła w 1. Zatem, funkcja f nie jest ciągła. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
40 Funkcje nieciągłe - motywacja Często w ekonomii zakładamy ciągłość różnych funkcji: kosztu, popytu, podaży, użyteczności itp. niejako domyślnie (i za chwilę dowiemy się, jakie są z tego pożytki). Zazwyczaj też tak będziemy postępować. Jednak warto sobie uświadomić, że funkcje nieciągłe nie są tak rzadkie i nietypowe, więc zwykle warto się zastanowić, czy założenie ciągłości ma sens w danej sytuacji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
41 Przykłady ekonomiczne funkcji nieciągłych Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
42 Przykłady ekonomiczne funkcji nieciągłych Niektóre taryfy operatorów telefonicznych, czy taksówek np. stała opłata za pierwsze kilka minut/kilometrów, a potem naliczanie za każdą rozpoczętą minutę/kilometr. Ceny zmieniają się skokowo w zależności od czasu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
43 Przykłady ekonomiczne funkcji nieciągłych Niektóre taryfy operatorów telefonicznych, czy taksówek np. stała opłata za pierwsze kilka minut/kilometrów, a potem naliczanie za każdą rozpoczętą minutę/kilometr. Ceny zmieniają się skokowo w zależności od czasu. Psychologiczne efekty wyższej pierwszej cyfry ceny lub większej liczby cyfr w cenie (stąd ceny typu 7, 99 PLN): popyt w zależności od ceny może zmieniać się skokowo (choć nie ma to większego efektu w skali makro). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
44 Przykłady ekonomiczne funkcji nieciągłych Niektóre taryfy operatorów telefonicznych, czy taksówek np. stała opłata za pierwsze kilka minut/kilometrów, a potem naliczanie za każdą rozpoczętą minutę/kilometr. Ceny zmieniają się skokowo w zależności od czasu. Psychologiczne efekty wyższej pierwszej cyfry ceny lub większej liczby cyfr w cenie (stąd ceny typu 7, 99 PLN): popyt w zależności od ceny może zmieniać się skokowo (choć nie ma to większego efektu w skali makro). Funkcja mierząca ilość zapasów w magazynie w danym momencie czasu - co pewien czas do magazynu przychodzi dostawa, skokowo zmieniając wartość tej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
45 Przykłady ekonomiczne funkcji nieciągłych Niektóre taryfy operatorów telefonicznych, czy taksówek np. stała opłata za pierwsze kilka minut/kilometrów, a potem naliczanie za każdą rozpoczętą minutę/kilometr. Ceny zmieniają się skokowo w zależności od czasu. Psychologiczne efekty wyższej pierwszej cyfry ceny lub większej liczby cyfr w cenie (stąd ceny typu 7, 99 PLN): popyt w zależności od ceny może zmieniać się skokowo (choć nie ma to większego efektu w skali makro). Funkcja mierząca ilość zapasów w magazynie w danym momencie czasu - co pewien czas do magazynu przychodzi dostawa, skokowo zmieniając wartość tej funkcji. Najczęściej jednak takie funkcje są ciągłe prawie wszędzie, czyli poza pojedynczymi, oddzielonymi od siebie punktami nieciągłości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
46 Ciekawostka W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła (przynajmniej prawie wszędzie ), to gdy rozważymy przestrzeń wszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, że funkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
47 Ciekawostka W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła (przynajmniej prawie wszędzie ), to gdy rozważymy przestrzeń wszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, że funkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! Najbardziej typowe funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie są ciągłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
48 Ciekawostka W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła (przynajmniej prawie wszędzie ), to gdy rozważymy przestrzeń wszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, że funkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! Najbardziej typowe funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie są ciągłe. To, że uważamy je za patologie wynika tylko z naszego uproszczonego podejścia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
49 Ciekawostka W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła (przynajmniej prawie wszędzie ), to gdy rozważymy przestrzeń wszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, że funkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! Najbardziej typowe funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie są ciągłe. To, że uważamy je za patologie wynika tylko z naszego uproszczonego podejścia. Przykładem funkcji nieciągłej w każdym punkcie jest tak zwana funkcja Dirichleta: 1, dla x Q f (x) = 0, dla x R \ Q. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
50 Ciągłość w ekonomii - motywacja Dlaczego zatem często upraszcza się rzeczywistość, by założyć, że dane zjawiska ekonomiczne są (przynajmniej w dużej skali) ciągłe? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
51 Ciągłość w ekonomii - motywacja Dlaczego zatem często upraszcza się rzeczywistość, by założyć, że dane zjawiska ekonomiczne są (przynajmniej w dużej skali) ciągłe? Po pierwsze, ciągłość funkcji często gwarantuje możliwość rozwiązania zagadnienia często spotykanego w ekonomii lub finansach: problemu optymalizacji (czyli znajdowania największej/najmniejszej wartości danej wielkości pod pewnymi warunkami). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
52 Ciągłość w ekonomii - motywacja Dlaczego zatem często upraszcza się rzeczywistość, by założyć, że dane zjawiska ekonomiczne są (przynajmniej w dużej skali) ciągłe? Po pierwsze, ciągłość funkcji często gwarantuje możliwość rozwiązania zagadnienia często spotykanego w ekonomii lub finansach: problemu optymalizacji (czyli znajdowania największej/najmniejszej wartości danej wielkości pod pewnymi warunkami). Przykładami takich zagadnień, które napotkają Państwo w dalszej części studiów są maksymalizacja zysku jakiegoś przedsięwzięcia (w zależności np. od nakładów), czy minimalizacja kosztu jakiegoś zachowania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
53 Twierdzenie Weierstrassa Twierdzenie Weierstrassa Jeśli pewna funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to f przyjmuje w tym przedziale wartość największą i najmniejszą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
54 Twierdzenie Weierstrassa Twierdzenie Weierstrassa Jeśli pewna funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to f przyjmuje w tym przedziale wartość największą i najmniejszą. Uwaga! Bez założenia ciągłości funkcji f i domkniętości przedziału [a, b] taki rezultat może nie działać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
55 Twierdzenie Weierstrassa Twierdzenie Weierstrassa Jeśli pewna funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to f przyjmuje w tym przedziale wartość największą i najmniejszą. Uwaga! Bez założenia ciągłości funkcji f i domkniętości przedziału [a, b] taki rezultat może nie działać. Dzięki temu twierdzeniu wiemy, że o ile zbiór możliwych argumentów funkcji jest domknięty i funkcja jest ciągła, to możemy dla tej funkcji rozwiązywać zagadnienia optymalizacyjne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
56 Twierdzenie Weierstrassa - przykład istotności założeń Funkcja ctg na przedziale (0, π) nie przyjmuje wartości najmniejszej, ani największej. Jednak przedział ten nie jest domknięty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
57 Twierdzenie Weierstrassa - przykład istotności założeń Jeśli uzupełnimy definicję funkcji f (x) = ctg x o f (0) = f (π) = 0 to na [0, π] ta funkcja nadal nie osiąga wartości najmniejszej, ani największej. Powodem jest fakt, że f nie jest ciągła. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
58 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalna zależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
59 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalna zależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu. Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz ze wzrostem ceny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
60 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalna zależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu. Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz ze wzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody ze sprzedaży są zerowe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
61 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalna zależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu. Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz ze wzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody ze sprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P, popyt na towar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
62 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalna zależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu. Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz ze wzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody ze sprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P, popyt na towar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy. Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0. Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje x max [0, P] takie, że R(x max ) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i, jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt R(x max ) > 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
63 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalna zależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu. Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz ze wzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody ze sprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P, popyt na towar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy. Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0. Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje x max [0, P] takie, że R(x max ) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i, jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt R(x max ) > 0. Wniosek: podnoszenie ceny ponad x max może przynieść firmie tylko straty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
64 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Szczególnym przypadkiem tej analizy jest tak zwany efekt Laffera, czyli analiza zależności przychodów państwa od stawek podatkowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
65 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Szczególnym przypadkiem tej analizy jest tak zwany efekt Laffera, czyli analiza zależności przychodów państwa od stawek podatkowych. Istnieje taki poziom opodatkowania (mniejszy niż 100%), że podnoszenie stawek podatkowych ponad ten poziom przynosi państwu tylko straty. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
66 Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje Szczególnym przypadkiem tej analizy jest tak zwany efekt Laffera, czyli analiza zależności przychodów państwa od stawek podatkowych. Istnieje taki poziom opodatkowania (mniejszy niż 100%), że podnoszenie stawek podatkowych ponad ten poziom przynosi państwu tylko straty. Oczywiście, ten wynik jest wyłącznie jakościowy - nie wskazuje, jaka jest optymalna wysokość podatków i kiedy są one zbyt wysokie (dlatego efekt Laffera jest często nadużywany w dyskusjach). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
67 Własność Darboux Drugie ważne twierdzenie związane z ciągłością jest dość intuicyjne: Własność Darboux Jeśli pewna funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] i f (a)f (b) < 0 (czyli f (a) i f (b) są przeciwnych znaków), to w tym przedziale istnieje miejsce zerowe funkcji f tj. punkt t (a, b) taki, że f (t) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
68 Własność Darboux Twierdzenie formułuje precyzyjnie kwestię dość oczywistą: jeśli wykres funkcji ciągłej łączy punkty leżące powyżej i poniżej prostej x = 0 (tak naprawdę, jakiejkolwiek innej też), to wykres w pewnym miejscu musi przeciąć tą prostą (niewykluczone, że więcej niż raz). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
69 Własność Darboux Twierdzenie formułuje precyzyjnie kwestię dość oczywistą: jeśli wykres funkcji ciągłej łączy punkty leżące powyżej i poniżej prostej x = 0 (tak naprawdę, jakiejkolwiek innej też), to wykres w pewnym miejscu musi przeciąć tą prostą (niewykluczone, że więcej niż raz). Jednak matematyczno-ekonomiczne wnioski z tego faktu są dość doniosłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
70 Własność Darboux - wnioski Po pierwsze, zauważmy, że bez własności Darboux nie mielibyśmy gwarancji, że znany ze szkoły graficzny sposób rozwiązywania nierówności wielomianowych jest poprawny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
71 Własność Darboux - wnioski Po pierwsze, zauważmy, że bez własności Darboux nie mielibyśmy gwarancji, że znany ze szkoły graficzny sposób rozwiązywania nierówności wielomianowych jest poprawny. Dzięki niej mamy pewność, że funkcja wielomianowa (która jest ciągła) może zmienić znak TYLKO w swoich miejscach zerowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
72 Własność Darboux - wnioski Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
73 Własność Darboux - wnioski Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy). Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
74 Własność Darboux - wnioski Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy). Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Można założyć, że dla ceny 0, S(0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku ze sprzedaży), a Q(0) > 0 ( Nieważne, co to, ale za darmo, więc poproszę dwa. ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
75 Własność Darboux - wnioski Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy). Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Można założyć, że dla ceny 0, S(0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku ze sprzedaży), a Q(0) > 0 ( Nieważne, co to, ale za darmo, więc poproszę dwa. ). Dla pewnej dużej ceny P 1 popyt spadnie do zera (Q(P 1 ) = 0), a podaż będzie dodatnia (S(P 1 ) > 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
76 Własność Darboux - wnioski S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P 1 ) = 0; S(P 1 ) > 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
77 Własność Darboux - wnioski S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P 1 ) = 0; S(P 1 ) > 0. Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x) S(x) dla x [0, P 1 ]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
78 Własność Darboux - wnioski S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P 1 ) = 0; S(P 1 ) > 0. Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x) S(x) dla x [0, P 1 ]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P 1 ) = S(P 1 ) < 0, czyli f (0)f (P 1 ) < 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
79 Własność Darboux - wnioski S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P 1 ) = 0; S(P 1 ) > 0. Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x) S(x) dla x [0, P 1 ]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P 1 ) = S(P 1 ) < 0, czyli f (0)f (P 1 ) < 0. Stąd i z własności Darboux istnieje P 0 [0, P 1 ] takie, że f (P 0 ) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
80 Własność Darboux - wnioski S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P 1 ) = 0; S(P 1 ) > 0. Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x) S(x) dla x [0, P 1 ]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P 1 ) = S(P 1 ) < 0, czyli f (0)f (P 1 ) < 0. Stąd i z własności Darboux istnieje P 0 [0, P 1 ] takie, że f (P 0 ) = 0. Zatem Q(P 0 ) S(P 0 ) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
81 Własność Darboux - wnioski S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P 1 ) = 0; S(P 1 ) > 0. Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x) S(x) dla x [0, P 1 ]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P 1 ) = S(P 1 ) < 0, czyli f (0)f (P 1 ) < 0. Stąd i z własności Darboux istnieje P 0 [0, P 1 ] takie, że f (P 0 ) = 0. Zatem Q(P 0 ) S(P 0 ) = 0, czyli Q(P 0 ) = S(P 0 ), czyli istnieje cena równowagi P 0 : cena, dla której podaż i popyt są równe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
82 Własność Darboux - odwrócenie? Na koniec, warto zauważyć, że implikacji w twierdzeniu Darboux nie da się odwrócić: na przykład funkcja f (x) = 2x 2 1 ma w przedziale [ 1, 1] miejsce zerowe (a nawet dwa), ale f ( 1) i f (1) są tego samego znaku. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/ / 28
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Ciągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
II. Wstęp: Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne
II. Wstęp: Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu
Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze.
(Scenariusz lekcji o wprowadzeniu pojęcia ciągłości funkcji w punkcie, w zbiorze CFX9859GB PLUS) Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. Cele: poznawczy - poznanie pojęć: ciągłość funkcji w punkcie, w
Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
![Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )](/thumbs/62/48086093.jpg "Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )")
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne
6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY)
1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY) Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 100 Kursywą zaznaczone zostały treści,
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Maksymalizacja zysku
Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek
Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Pochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
5. Całka nieoznaczona
5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona
WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II
Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Analiza matematyczna - 1. Granice
Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową