Siła sprężystości - przypomnienie

Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg

Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni (brak tarcia) Prawo Hooke a F = kx k > 0 F x D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

Zakres stosowalności prawa Hooke a F zerwanie x https://pl.wikipedia.org/wiki/prawo_hooke a

Sytuacja dynamiczna ruch oscylacyjny wokół położenia równowagi Ruch oscylacyjny F = kx x ma = kx m d 2 x dt 2 = kx m!! x = kx!! x + k m x = 0 D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers równanie różniczkowe zwane równaniem oscylatora harmonicznego

Symulator sprężyny zawieszonej pionowo https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_en.html Siła grawitacja nie wpływa na drgania, przesuwa jedynie położenie równowagi wokół którego występują drgania. Ruchem drgającym rządzi jedynie siła sprężystości (jeżeli pominiemy opory).

Jak wygląda rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego https://www.youtube.com/watch?v=t7frgxc9sbi

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego faza x = Acos( ωt +ϕ) amplituda (m) częstość kołowa (kątowa) (rad/s) - nie mylić z prędkością kątową! faza początkowa okres drgań: t = T = 2π ω częstotliwość drgań: f = 1 T = ω 2π

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego położenie: prędkość: przyspieszenie: x = Acos( ωt +φ)!x = Aω sin( ωt +φ) x!! = Aω 2 cos( ωt +φ) = ω 2 x Podstawiając do równania oscylatora harmonicznego: ω 2 x + k m x = 0 ω = k m T = 2π m k

Oscylatora harmoniczny - przykład Warunki początkowe: x = 0, t = 0, v = -3 m s, k = 10, m = 0.1 kg v ω = k m = 10 rad s T = 2π m k 0.628 s f = 1 T x 1.6 Hz t = 0, x = 0 0 = Acos( φ) cos( φ) = 0 φ = π 2 lub φ = 3π 2 t = 0, v = 3 3 = A ω sin( φ) A = 0.3 m D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

Oscylator harmoniczny - przykład x = 0.3cos( 10t + π 2)

Oscylator harmoniczny - przykład v = 3sin( 10t + π 2) a = 30cos( 10t + π 2)

Rozważania energetyczne w ruchu harmonicznym prostym E całkowita E k E p

Energia potencjalna i kinetyczna w funkcji położenia energia kinetyczna energia potencjalna, studnia potencjału F s F s

Wahadło matematyczne y x θ l R θ Rsinθ Rcosθ m!! x = R(θ)sinθ = R(θ) x l, m!!y = R(θ)cosθ mg Przybliżenie małego kąta: (1) θ 1 rad, cosθ 1 (2)!!y 0 R = mg!! x + g l x = 0 mg Rozwiązanie: x = Acos( ωt +φ) równanie oscylatora harmonicznego! ω = g l T = 2π l g Symulacja: https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_en.html

Symulator wahadła https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_en.html

Tłumiony oscylator harmoniczny F s F opór Siła grawitacji nie ma wpływu na oscylacje przesuwa tylko położenie równowagi. Rolę odgrywa tylko siła oporu i sprężystości: F opór = bv F s = kx Rozwiązanie: Równanie ruchu: b m!! x = bv kx m!! x + b!x + kx = 0 ( ) x = A 0 e 2m t cos ωt +φ x mg obwiednia amplitudy Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

Oscylator harmoniczny tłumiony z siłą wymuszającą, zjawisko rezonansu F s F opór Dla oscylacji rolę odgrywają tylko siły oporu, sprężystości i wymuszającą: F opór = bv F s = kx F wym = F 0 sin ωt Rozwiązanie: ( ) (w obszarze stabilnych drgań) A Równanie ruchu: ( ) x = Acos ωt +φ ( ) m!! x = bv kx + F 0 cos ωt m!! x + b!x + kx F 0 cos ωt, gdzie rezonans A = F 0 ( ) = 0 ( ) + b 2 ω 2 m ω 2 ω 0 2 x mg F 0 cos( ωt) Obracająca sie tarcza napędzana silnikiem wymusza ruch oscylatora tłumionego. ω 0 = k m częstość drgań własnych układu (naturalna częstotliwość dla układ) Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax ω 0 ω

Przykłady rezonansu w przyrodzie W 1940 r. most w Tacoma w stanie Waszyngton uległ zniszczeniu. Przyczyną był wiejący od oceanu zmienny wiatr, który choc słabszy od huraganu, wprowadził most w oscylacje przy częstotliwości rezonansowej. Gdy kable nośne uległy zerwaniu, współczynnik tłumienia spadł, co spowodowało jeszcze większa amplitude oscylacji i doprowadziło do zawalenia całej konstrukcji. Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax W 1850 roku w Angers we Francji 487 żółnierzy maszerujących po moście wiszącym wprawiło go w drgania rezonansowe powodując zniszczenie mostu i śmierć 226 ludzi. H. C. Ohanian, J. T. Markert, Physics for Engineers and Scientists

Przykłady rezonansu w przyrodzie Szklany kielich pęka pod wpływem oscylacji rezonansowych wywołanych falą dźwiękową emitowaną przez trąbkę. By mocno rozhuśtać osobę na huśtawce trzeba pchać z odpowiednią częstotliwością. D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

Przykłady rezonansu w przyrodzie Rezonans w obwodzie RLC http://www.examfear.com/notes/class-12/physics/alternating-current/2203/applications-of-resonance.htm

Przykłady rezonansu w przyrodzie Słońce emituje ciągłe spektrum światła każdemu kolorowi odpowiada inna częstotliwość fali elektromagnetycznej (E-M). Jeżeli częstotliwość fali E-M odpowiada częstotliwości drgań własnych molekuł (rezonans), następuje intensywny przekaz energii (absorpcja tej energii przez molekuły) cząstki zaczynają wibrować bardziej intensywnie z większą amplitudą Pobudzone cząsteczki często mogą wyemitować pobraną energię w postaci fal E-M (światła) o częstotliwościach rezonansowych http://www.thestargarden.co.uk/spectral-lines.html

Przykłady rezonansu w przyrodzie https://www.youtube.com/watch?v=_h8o-soa3bw

Suplement: Nie mylić częstości kołowej z prędkością kątową x = Acos( ωt +ϕ) częstość kołowa prędkość kątowa θ l θ l v t ω = 2π T = const nie ma nic wspólnego z θ! ω t = dθ dt = v t l

Suplement: Nie mylić częstości kołowej z prędkością kątową Tylko w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu prędkość kątowa jest równa częstości kołowej! https://www.youtube.com/watch?v=cx-qhzwslqs