Drgania wokół nas. Maciej P. vel platon1984. moderator zadane.pl. 16 stycznia 2013

Transkrypt

1 Drgania wokół nas Maciej P. vel platon1984 moderator zadane.pl 16 stycznia 2013 Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

2 Plan prezentacji 1 Co to są drgania 2 Jak opisać drgania? 3 Przykłady układów drgających, czyli jak teoria realizuje się w naturze 4 Podsumowanie Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

3 Co to są drgania? Gdy pytam o to studentów, zwykle słyszę odpowiedź: No wiem pan takie tego... (i machają rękami w górę i w dół) Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

4 Co to są drgania? Gdy pytam o to studentów, zwykle słyszę odpowiedź: No wiem pan takie tego... (i machają rękami w górę i w dół) Definicja łopatologiczna Drgania, czyli oscylacje to cykliczne (przeważnie) zmiany w czasie pewnych wielkości fizycznych, polegające na tym, że raz ich wartość rośnie, a raz maleje Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

5 Co to są drgania? Gdy pytam o to studentów, zwykle słyszę odpowiedź: No wiem pan takie tego... (i machają rękami w górę i w dół) Definicja łopatologiczna Drgania, czyli oscylacje to cykliczne (przeważnie) zmiany w czasie pewnych wielkości fizycznych, polegające na tym, że raz ich wartość rośnie, a raz maleje W myśl tak sformułowanej definicji bardzo wiele procesów ma charakter oscylacyjny... Zanim jednak je wymienię - trochę teorii ;) Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

6 Jak opisać drgania? Kiedy potraficie zmierzyć to, o czym mówicie i wyrazić wynik w liczbach, wówczas wiecie o czym mówicie (W. Thomson 1 st Baron Kelvin of Largs) Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

7 Jak opisać drgania? Kiedy potraficie zmierzyć to, o czym mówicie i wyrazić wynik w liczbach, wówczas wiecie o czym mówicie (W. Thomson 1 st Baron Kelvin of Largs) Zacznijmy zatem od prostego eksperymentu. Jedna osoba drga długopisem po kartce, czyli kreśli na niej linię pionową w górę i w dół. Druga osoba zaś w tym czasie wyciąga tę kartę spod długopisu (fachowo mówimy, że stanowi generator podstawy czasu). Co wyjdzie...? Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

8 Jak opisać drgania? Kiedy potraficie zmierzyć to, o czym mówicie i wyrazić wynik w liczbach, wówczas wiecie o czym mówicie (W. Thomson 1 st Baron Kelvin of Largs) Zacznijmy zatem od prostego eksperymentu. Jedna osoba drga długopisem po kartce, czyli kreśli na niej linię pionową w górę i w dół. Druga osoba zaś w tym czasie wyciąga tę kartę spod długopisu (fachowo mówimy, że stanowi generator podstawy czasu). Co wyjdzie...? Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

9 Warunkiem wystąpienia oscylacji jest działanie siły zwracającej - siły działającej przeciwnie do wychylenia, a więc od tego wychylenia zależnej. W ruchu drgającym siła nie jest stała, ani co do wartości ani zwrotu F = F (x) = kx. x = 0 odpowiada więc położeniu równowagi - siła działająca jest wtedy równa zeru: ma = F = kx (1) V (t+ t) V (t) t wiedząc, że przyspieszenie a = możemy zbadać ewolucję w czasie funkcji x(t). Dokładne rozwiązanie jest w postaci: oraz prędkość: V = x(t+ t) x(t) t x(t) = A sin (ωt + φ) (2) gdzie A - amplituda drgań (największe wychylenie z położenie równowagi), ω = 2π T, T - okres drgań, czyli czas dla którego wszystkie wielkości opisujące ruch (położenie prędkość przyspieszenie) spełniają warunek: x(t) = x(t + T ), V (t) = V (t + T ), a(t) = a(t + T ) (3) φ to tzw. faza początkowa, zwykle kładziemy φ = 0 φ = 0.5π Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

10 Był to przykład drgań: harmonicznych cyklicznych swobodnych całkowita energia nie ulega zmianie takie drgania praktycznie nie występują nigdzie poza lekcjami fizyki - natura jest bardziej skomplikowana wiele jednak przypadków może być traktowanych w przybliżeniu jako drgania harmoniczne Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

11 Od maksymalnego wychylenia następuje powrót do położenia równowagi, które osiągane jest po nieskończenie długim czasie. Amplituda osiągana tylko raz na początku drgania. Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21 Nie zawsze jednak drgania są takie ładne jak funkcja sin(x) Drgania z tłumieniem: siła tłumiąca proporcjonalna do prędkości T = βv ma = kx βv (4) Dla silnego tłumienia x(t) = Ae ωt + Be ωt (5)

12 Dla tłumienia słabego x(t) = Ae βt/m sin(ωt + φ) (6) Czerwona linia pokazuje jak zmienia się amplituda w czasie. Występują jednak oscylacje względem położenia równowagi i można mówić o cykliczności. Choć zmienia się amplituda nie ulega zmianie okres drgań, więc ciągle są one harmoniczne, choć gasnące Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

13 Drgania wymuszone, czyli gdy trzeba układ trochę zachęcić Zapomnijmy na chwilę o tłumieniu, ale dodamy za to siłę zewnętrzną, która także będzie zależna od czasu: F (t) = F 0 sin (Ωt) (7) ma = kx + F 0 sin (Ωt) (8) wszystko zależy od tego jaka jest częstość Ω względem tzw. częstości drgań własnych ω 0 = k/m. Gdy są różne: x(t) = A sin (ω 0 t) + B sin (Ωt) (9) mamy po prostu złożenie dwóch drgań o różnych częstościach - bardzo finezyjne kształty Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

14 Drgania wymuszone, czyli gdy trzeba układ trochę zachęcić Zapomnijmy na chwilę o tłumieniu, ale dodamy za to siłę zewnętrzną, która także będzie zależna od czasu: F (t) = F 0 sin (Ωt) (7) ma = kx + F 0 sin (Ωt) (8) wszystko zależy od tego jaka jest częstość Ω względem tzw. częstości drgań własnych ω 0 = k/m. Gdy są różne: x(t) = A sin (ω 0 t) + B sin (Ωt) (9) mamy po prostu złożenie dwóch drgań o różnych częstościach - bardzo finezyjne kształty Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

15 Jeszcze ciekawiej jest gdy częstość siły pobudzającej jest taka jak częstość drgań własnych: x(t) = A sin (ω 0 t) + Bt cos (ω 0 t) (10) Jest to zjawisko rezonansu - amplituda rośnie liniowo. Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

16 Przykłady układów drgających, czyli jak teoria realizuje się w naturze Huśtawka: Jeśli chcemy zacząć się huśtać, potrzebny jest wzbudzacz, osoba która będzie nas w odpowiedni sposób popychać na huśtawce. Dzięki temu uzyskamy odpowiednią amplitudę, a nawet możemy wpaść w rezonans - wykorzystują to akrobaci, którzy sąw stanie zrobić pełen obrót na huśtwce ;) Uwaga: ponieważ ruch huśtawki odbywa się z oporami - huśtawka pozostawiona sama sobie po pewnym czasie zatrzymuje się, amplituda w stanie rezonansu nie rośnie do nieskończoności, lecz do pewnej wartości maksymalnej. Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

17 Wahadło Choć ruch wahadła, nawet tego najprostszego - matematycznego, czyli masy punktowej zawieszonej na nieważkiej nici, jest znacznie bardziej skomplikowany, niż o tym się mówi w szkole - okres jest zależny od amplitudy, to pierwsze jego przybliżenie może doskonale obrazować ruch drgający Wahadło wychylone z położenie równowagi ma pewien nadmiar energii potencjalnej, która przekształca się w energię kinetyczną, gdy wahadło opada. Przy przechodzeniu przez położenie równowagi, energia kinetyczna jest maksymalna i dlatego wahadło zaczyna poruszać się w drugą stronę, aż do uzyskania maksymalnego wychylenia. Jest to doskonały przykład zachowania energii mechanicznej, która to zasada jest aksjomatem fizyki w rzeczywistości jednak energia ulega rozproszeniu i dlatego potrzebna jest zewnętrzne jej źródło, które jest w stanie niwelować straty związane z oporami ruchu Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

18 Instrumenty muzyczne zarówno drganie struny (skrzypce, fortepian), drganie słupa powietrza (instrumenty dęte), czy też wibracja uderzonej membrany są źródłem dźwięku jest to trochę trudniejsze pojęciowo gdyż mamy tu do czynienia z falą, czyli propagacją zaburzenia w przestrzeni, oraz przekazem energii drgającego obiektu do otocznia (powietrza), co zwykle nazywamy rozchodzeniem się dźwięku częstotliwość dźwięku, można zmieniać poprzez zmian długość drgającej struny, jej naprężenia lub poprzez zmianę długość słupa powietrza w instrumentach dętych, bez fizyki drgań nie byłoby muzyki, zwłaszcza, że każdą, nawet najpiękniejszą muzykę możemy rozłożyć na podstawowe mody drgań i przez to ją zbadać ;) Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

19 Na pierwszy znak, gdy serce drgnie... H. Ordonówna także nasze serce jest przykładem oscylatora Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

20 Na pierwszy znak, gdy serce drgnie... H. Ordonówna także nasze serce jest przykładem oscylatora jego bicie nie jest jednak zbyt regularne i zmienia się bardzo zależnie od wieku, wykonywanych czynnośc oraz oczywiście przeżywanych emocji obraz drgań serca, przetworzonych na impulsy elektryczne to tzw. elektrokardiogram EKG z jego wyglądu można bardzo dużo powiedzieć o stanie zdrowia pacjenta i każda górka i dołek ma swoją interpretację medyczną, a gdy drgań tych nie ma - dobrze nie jest Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

21 Na pierwszy znak, gdy serce drgnie... H. Ordonówna także nasze serce jest przykładem oscylatora jego bicie nie jest jednak zbyt regularne i zmienia się bardzo zależnie od wieku, wykonywanych czynnośc oraz oczywiście przeżywanych emocji obraz drgań serca, przetworzonych na impulsy elektryczne to tzw. elektrokardiogram EKG z jego wyglądu można bardzo dużo powiedzieć o stanie zdrowia pacjenta i każda górka i dołek ma swoją interpretację medyczną, a gdy drgań tych nie ma - dobrze nie jest Źródło: Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

22 Figury Lissajous Jeśli złożymy drgania w dwóch płaszczyznach prostopadłych: x(t) = A sin (ω 1 t), y(t) = B sin (ω 2 t + φ) (11) zależnie od relacji: amplitud A,B, częstości ω 1, ω 2 oraz różnicy faz φ, możemy obserwować bardzo fantazyjne krzywe, zwana figurami Lissajous Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

23 Drgania molekuł każdą cząsteczkę możemy opisać jako atomy połączone sprężynkami (wiązaniami chemicznymi) zależnie od budowy cząsteczki - jej geometrii możemy określić ile drgań podstawowych będzie ona wykazywać dwutlenek węgla CO 2, który ma budowę liniową wykazuje 4 mody drgań, zaś woda H 2 O o budowie trójkątnej już tylko 3 mody częstości odpowiadające poszczególnym drganiom leżą w zakresie podczerwieni i w takim widmie są zwykle badane pobudzanie wody drgań (jako całych molekuł, a nie samych atomów składowych) wykorzystywane jest w kuchniach mikrofalowych promieniowanie elektromagnetyczne z zakresu mikrofal, ma częstość odpowiadającą obrotom H2O, cząsteczki trąc o siebie wzajemnie są powodem ogrzewania się naszego jedzenia w kuchni mikrofalowej nie ogrzejemy suchych - pozbawionych wody produktów Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

24 Gdy zależy nam na drganiach tłumionych opory ruchu kojarzą nam się z czymś niepożądanym, bo chcialibyśmy, aby huśtawka nie zatrzymywała się sama w przypadku amortyzatorów montowanych w samochodach i wagonach kolejowych (niekiedy również w zderzakach), zależy nam jednak, aby taka odkształcona sprężyna wracała do położenia równowagi możliwie wolno i bez wychyleń w drugą stronę - chcemy drgań z dużym tłumieniem źródło: Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

25 Niepożądane drgania mieszkańcy dużych miast, zwłaszcza zamieskzujący okolice ruchliwych ulic, mają prawo narzekać nie tylko na hałas (w sumie też drgania - akustyczne) ale także na dzwoniące szyby w tym celu montuje się ekrany tłumiące, które psują wprawdzie widok, ale redukują kłopotliwy wpływ ruchliwego sąsiedztwa, podobnie, warszawskie metro przebiega tylko pod ulicami, gdzie generowane przezeń drgania nie przeszkadzają nikomu i nie wpływają destrukcyjnie na zabudowania zgubne skutki rezonansu mechanicznego obserwować można było w przypadku mostu Tacoma Narrows winny okazał się być wiatr, który tworząc turbulencje wprawił most w rezonans - wygląda spektakularnie, ale bardzo to niebezpieczny proces niegdyś uważano, że oddział wojska, nie może iść równym krokiem przez most, aby ten nie runął - to tylko mit Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

26 Aby obejrzeć falujący most kliknij fotografię Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

27 Podsumowanie drgania się wszędzie wokół nas, obserwujemy je na poziomie: atomowym (drgania elektronów w atomach, oscylacje jąder atomowych) molekularnym: drgania w sieciach krystalicznych (odpowiedzialne za istnienie oporu elektrycznego) i drgania molekuł w płynach, makroskopowym: drgająca sprężyna, huśtawka, czy wahadło zegara a nawet w skali kosmicznej - periodyczny ruch planet to także drganie Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21

28 Dziękuję za uwagę ;) Maciej P. vel platon1984 (zadane.pl) Drgania wokół nas 16 stycznia / 21