CZASOISMO INŻYNIERII ĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNA OF CIVI ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA,. XXXI, z. 61 (/1), kwieień-zerwie 1, s. 119-13 Kaarzyna MISIUREK 1 aweł ŚNIADY STOCHASTYCZNE DRGANIA BEKI SANDWICZOWEJ WYWOŁANE OBCIĄŻENIEM RUCHOMYM. ANAIZA KOREACYJNA. W pray rozparywane są sohasyzne drgania belki sandwizowej swobodnie podparej wywołane sohasyzną siłą poruszająą się ze sałą prędkośią. Korzysają z podsawowyh ehnik analiyznyh przeprowadzono analizę korelayjną dla sohasyznyh drgań belki. rzedsawiono dla warianji rozwiązanie zęśiowo w formie zamknięej. Rezulaem pray jes zaprezenowanie wpływu prędkośi z jaką porusza się siła na losową harakerysykę drgań, m.in. warianji przemieszzeń pionowyh i obrou belki sandwizowej. Wyprowadzono również zależność na dynamizny współzynnik dla obiążeń sohasyznyh. Słowa kluzowe: belka sandwizowa, sohasyzne drgania, obiążenie ruhome, losowy współzynnik dynamizny 1. Wsęp W konsrukjah inżynierskim zęso spoykanym zjawiskiem jes wysępowanie drgań wywołanyh poruszająym się obiążeniem. W rzezywisośi ruhome obiążenie działająe na konsrukję obok składowej deerminisyznej może mieć składową nieregularną mająą haraker proesu sohasyznego. W pray przedsawione zosanie rozwiązanie dla problemu drgań łumionyh belki sandwizowej swobodnie podparej wywołanyh poruszająą się ze sałą prędkośią siłą skupioną, kóra jes sajonarnym proesem sohasyznym. Konsrukje sandwizowe, zwane również konsrukjami przekładkowymi lub warswowymi, są układami mająymi rójwarswową budowę. Konsrukje e zbudowane są z dwóh ienkih warsw zewnęrznyh harakeryzująyh się 1 Auor do korespondenji/orresponding auhor: Kaarzyna Misiurek, Insyu Inżynierii ądowej, oliehnika Wroławska, Wybrzeże Wyspiańskiego 7, 5-37 Wroław, el. +8 78 37 386, e-mail: kaarzyna.misiurek@pwr.wro.pl aweł Śniady, Wydział Inżynierii Kszałowania Środowiska i Geodezji, Uniwersye rzyrodnizy, pl. Grunwaldzki, 5-363 Wroław, el. 71 3 556, e-mail: pawel.sniady@wp.pl
1 K. Misiurek,. Śniady wysokimi właśiwośiami wyrzymałośiowymi pomiędzy kórymi znajduje się gruba warswa środkowa o niskih właśiwośiah mehaniznyh [1-3]. Konsrukje sandwizowe znajdują obenie zasosowanie w wielu gałęziah przemysłu i wykonuje się je z najbardziej zaawansowanyh ehnologiznie maeriałów. Obszar ih zasosowania iągle się poszerza, dzięki przede wszyskim idei samyh konsrukji, kóre mogą być wyrzymałe ak samo jak konsrukje jednorodne, ale ehują się znaznie niższa wagą. Zagadnienie związane z obiążeniem sohasyznym dla belki Bernoulli- Eulera w zakresie eorii korelayjnej rozparywał. Fryba [-6]. W pray [1] rozparywano sohasyzne drgania belki, gdy siła porusza się ruhem przyspieszonym, hamująym i jednosajnym. Drgania belki nieskońzenie długiej, kórej przemieszzenie opisane jes ruhem Browna rozparywane były w pray [8]. roblem sohasyznyh drgań belek wywołanyh ruhomym obiążeniem analizowany był między innymi w praah [1-1]. W niniejszej pray przedsawione zosanie rozwiązanie w zakresie eorii korelayjnej. omimo, że poruszająa się siła jes sajonarnym proesem sohasyznym reakja belki jes niesajonarnym proesem sohasyznym o wynika z faku, że siła działa na belkę przez skońzony okres. Meodyka zasosowana w pray opiera się na założeniah doyząyh konsrukji sandwizowyh [7]. oniższa praa sanowi konynuaję i poszerzenie rozważań zaprezenowanyh w pray [9], w kórej zaprezenowano rozwiązanie drgań niełumionyh dla deerminisyznej siły ruhomej. Zasosowano podsawowy model jakim jes belka swobodnie podpara w elu zaprezenowania algorymu rozwiązania dla sohasyznyh drgań konsrukji sandwizowyh.. Rozwiązanie ogólne Rozparywana jes klasyzna belka sandwizowa o prosokąnym przekroju poprzeznym składająa się z dwóh ienkih, szywnyh a zarazem elasyznyh okładzin zewnęrznyh i grubego rdzenia. rzyjęo nasępująe założenia przy analizie drgań belki wywołanyh ruhomym obiążeniem: Ważne jes prawo Hooke a, w porównaniu z okładzinami rdzeń harakeryzuje się dużą podanośią, zapewniają jednoześnie sały odsęp pomiędzy okładzinami, okładziny przenoszą ylko siły osiowe, siły śinająe są przenoszone przez rdzeń, ugięie wszyskih warsw oraz przemieszzenie w kierunku normalnym jes idenyzne, warswy okładzinowe są elasyzne, izoropowe i nie ulegają deformają podzas śinania, elasyzny rdzeń przenosi ylko śinanie i w płaszzyźnie normalnej naprężenia są pomijane;
Sohasyzne drgania belki sandwizowej 11 Inerja podłużnyh drgań może zosać pominięa, naomias inerja poprzezna jes dominująa [7, 9]. Na poniższyh ilusrajah zaprezenowano przyjęy dodani zwro sił i przemieszzenia dla wyięego elemenu belki. Rys. 1. Geomeria belki sandwizowej oraz wypadkowe sił (na podsawie [7]) Fig. 1. Geomery of a sandwih beam seion and inernal fores (based on [7]) Rys.. Shema deformaji i przemieszzeń elemenu belki sandwizowej (na podsawie [7]) Fig.. Deformaions and displaemens in a sandwih beam seion (based on [7]) Tłumione drgania belki w modelu ięgnowym opisuje układ równań różnizkowyh Gbd ( x v), w x, x, w x, w x, x x (1)
1 K. Misiurek,. Śniady x, Gb Gb w x, x, x d d x () E1 A1 E A gdzie symbol oznaza delę Diraa,, przy zym E1 A1 E A. Symbolem oznazono masę przypadająą na jednoskę długośi v belki a przez paramer łumienia. Symbolem w w( x, ) oznazono przemieszzenie belki prosopadłe do jej osi a symbol ( x, ) oznaza ką wynikająy z wzajemnego przesunięia się warsw zewnęrznyh. Symbolem b oznazono szerokość belki, symbol d oznaza wysokość belki. rzyjęo, że ruhoma siła skupiona () poruszająa się ze sałą prędkośią v (rys.3) jes sajonarnym proesem sohasyznym w szerszym sensie i przedsawiamy ją w posai sumy warośi średniej odpowiadająej deerminisyznej zęśi siły i flukuaji losowej (): ( ) ( ) (3) rzy zym E[ ( )] ons., E[ ( )]. () Symbolem E [] oznazono operaję warośi ozekiwanej. Rys. 3. Ruh losowej siły () po długośi belki Fig. 3. The moion of he random Fore () along he beam. rzyjęo, że funkja kowarianyjna ruhomej siły jes znana i jes równa C (, ) E[ ( ) ( )] C ( ) C ( ). 1 1 1 (5)
Sohasyzne drgania belki sandwizowej 13 Rozwiązanie od składowej sałej dla drgań niełumionyh przedsawiono w pray [9]. W pray zajmiemy się ylko flukuają losową () rozparują drgania belki swobodnie podparej. Dla belki swobodnie podparej rozwiązania poszukujemy w posai: w (, T ) yn( )sin, n 1 (, T ) n( )os n. n 1 odsawiają powyższe szeregi do równań (1), () i zasąpieniu () wielkośią () oraz wykonaniu odpowiednih operaji przedsawionyh wześniej orzymuje się rozwiązanie w posai: y ( ) h ( ) ( )sin d, n n yn (8) ( ) h ( ) ( )sin d. n (9) (6) (7) Impulsowe funkje przejśia mają posać sin n h ( ) e, h y n n n b n e sin n ( ), n b n (1) (11) gdzie: przy zym Gbd n n n n n b,. Korzysają ze wzorów (8), (9) orzymuje się rozwiązanie dla funkji kowarianyjnyh współrzędnyh uogólnionyh C 1 yk yn (, ) ( ) 1 k v 1 hy ( 1 1) h ( ) [( 1 )]sin sin 1, k y C n d d (1)
1 K. Misiurek,. Śniady b k b n C (, ) C (, ). k n 1 yk yn 1 k b n b Sąd orzymamy szukane funkje kowarianji dla przemieszzeń belki C x x C k x 1 w ( 1,, 1, ) ( 1, )sin sin, w yk yn k 1 n 1 C x x C k x 1 ( 1,, 1, ) ( 1, )os os. k n k 1 n 1 (13) (1) (15) Warianję przemieszzeń orzymuje się ze wzorów (1), (15) przyjmują x1 x x i 1. Waro podkreślić, że gdy poruszająa się siła jes proesem o rozkładzie normalnym o funkje przemieszzeń belki ( w ( x, ), ( x, ) ) są akże proesami o rozkładzie normalnym i wówzas wyznazone warość ozekiwana (od siły sałej) i funkja kowarianji jednoznaznie określają en rozkład. Założenie, że proes wzbudzania drgań (ruhoma siła) jes proesem normalnym jes w pełni uzasadniony, gdyż zęso jes on sumą wielu przypadkowyh i niezależnyh zynników. rzykładowo losowość obiążenia wynika z poruszania się pojazdu po nierównej nawierzhni drogowej, kórej profil zmienia się w sposób przypadkowy. Bazują na rozwiązaniah powyżej, możliwe jes wyznazenie dynamiznego współzynnika dla obiążenia losowego, kóre wyraża się jako sosunek odhylenia sandardowego dla ugięia dynamiznego do odhylenia sandardowego dla ugięia sayznego wywołanego siłą w punkie x d x, max wn x,, xx, s max wn (16) gdzie: s wn n b sin sin Gbd n 1 n xx,. Dynamizny współzynnik dla obiążeń losowyh może być wykorzysywany przy określaniu warośi harakerysyznej dla równoważnego obiążenia sayznego.
Sohasyzne drgania belki sandwizowej 15 3. Rozwiązanie szzegółowe Funkja kowarianyjna ruhomej siły może mieć różną posać. rzyjmijmy, że poruszająa się siła jes sajonarnym proesem sohasyznym normalnym ypu biały szum a wię funkja kowarianji jes określona wzorem C ( ) ( ). roes sohasyzny ypu biały szum zęso sosowany jes do aproksymaji proesów szeroko widmowyh. o podsawieniu ej funkji kowarianji do wzoru (1) orzymuje się wyrażenie C yk yn (, ) 1 1 k v hy ( ) h ( ) ( )sin sin d d k ( ) 1 1 1 yn 1 1 k v hy ( 1 ) h ( )sin sin, k y d n ( ) (17) W szzególnym przypadku gdy 1 i n k po wykonaniu odpowiednih ałkowań orzymuje się ( ) y (, ) ( ) sin ( )sin n yn yn n ( ) n C e d ( ) C n k n [ K ( ) K ( ) K ( ) K ( )] (, ) n1 n n3 n n b n b ( ) n K ( ) K ( ) n1 n K ( ) K ( ) n3 n (18) (19) gdzie: 1 Kn 1( ) e d 1 e ( )
16 K. Misiurek,. Śniady ( ) n( ) os K e d e os sin ( ) n3( ) os K e d 1 e sin os n n n n ( ) n( ) os n os K e d 1 1 e os n sin os n sin ( n ) os sin n n n n n os sin n n n n n
Sohasyzne drgania belki sandwizowej 17 omijają wzajemną kowarianję między różnymi współrzędnymi szukane warianje oblizane ze wzorów uproszzonyh (18), (19) przyjmują posać: w n ( ) ( ) ( x, ) n 1 n n ( x, ) 1 [ K ( ) K ( ) K ( ) K ( )]sin n1 n n3 n 1 Kn 1( ) Kn( ) os n 1 n b n Kn3( ) Kn( ) b n () (1) Dynamizny współzynnik dla obiążeń losowyh dla środkowej przekroju przęsła wynosi: 1 n [ Kn 1 ( ) Kn ( ) Kn3 ( ) Kn ( )]sin Gbd n 1 n, n n b. rzykład numeryzny n 1 n sin () W ej zęśi pray analizowane jes zahowanie się belki sandwizowej swobodnie podparej obiążone losową siłą ruhomą poruszająą się ze sałą prędkośią v po długośi belki. Oblizenia numeryzne zosały przeprowadzone dla nasępująyh założeń: okładziny wykonane są ze sali, rdzeń wykonany jes z drewna klejonego warswowo. rzyjęo nasępująe paramery oblizeniowe: 5 m, d. m, b. m,.1 m, 1 E 5 Ga, Gr 78 Ma, 1 kn. W przykładzie oblizeniowym przeanalizowano różne prędkośi z jaką poruszała się siła:,.,.,.8, gdzie i v v Gbd v jes prędkośią fali śinająej w rdzeniu belki sandwizowej. Analiza numeryz-
.5,T 18 K. Misiurek,. Śniady na zosała przeprowadzona dla zmiennyh bezwymiarowyh gdzie,1 oraz T,1. x oraz v T, Na rysunkah nr i 5 przedsawiono wykresy warianji dla przemieszzeń pionowyh i obrou belki sandwizowej w zasie przejazdu siły oraz w przekrojah harakerysyznyh. Wraz ze wzrosem prędkośi z jaką porusza się siła zmniejsza się warość warianji jes o związane z zależnośią ugięia belki od prędkośi przejazdu siły. w,.5.5 1 8 1. 1 8 1.5 1 8. 1 8.1..3..5.6.7.8.9 1,.5.5 1 8.5 1 8.75 1 8 1 1 8 1.5 1 8.1..3..5.6.7.8.9 1 Rys.. Wykres warianji dla ugięia i obrou belki, gdy siła dojehała do środka belki Fig.. The variane for defleion and roaion of he beam when random moving fore is inside he beam w 1 1 8 1 8 3 1 8,T.5 1 8 1 1 8 1.5 1 8 1 8.1..3..5.6.7.8.9 1 T.1..3..5.6.7.8.9 1 T Rys. 5. Warianja ugięia środka przęsła i obrou belki na podporze w zasie przejazdu siły Fig. 5. The variane of he ener span defleion and he variane of he beam roaion on he suppor during he passage of fores
Sohasyzne drgania belki sandwizowej 19 5. Wnioski W pray zaprezenowana zosała analiza korelayjna belki sandwizowej swobodnie podparej, obiążonej sohasyzną siłą poruszająą się ze sałą prędkośią. Analiza korelayjna zosała przeprowadzona dla drgań łumionyh. W elu wyznazenia funkji kowarianji wyprowadzono wzory na impulsowe funkje przejśia. rzyjęo również pewne uproszzenia, m.in. pominięo wzajemną korelaję. Dla warianji ugięia i obrou rozwiązanie przedsawiono zęśiowo w formie zamknięej. Analiza numeryzna przeprowadzona zosała przy założeniu, że poruszająa się siła jes sajonarnym proesem sohasyznym normalnym ypu biały szum. W ramah analizy numeryznej przedsawiono wpływ prędkośi z jaką porusza się siła na losową harakerysykę drgań: warianję przemieszzeń pionowyh i obrou belki sandwizowej. Wyprowadzono zależność na dynamizny współzynnik dla obiążeń sohasyznyh. ieraura [1] lanema F. J., Sandwih onsruion 1966, John Wiley & Sons. [] Vinson JR, Sierakowski R. The behavior of sruures omposed of omposie maerials. Dordreh, The Neherlands: Marinus Nijhoff, 1989. [3] Mahews F, Rawlings RD. Composie maerials: engineering and siene. ondon: Chapman & Hall, 199. [] Fryba. Vibraion of solids and sruures under moving loads. Noordhoff Inernaional, 197. [5] Fryba. Non-saionary response of a beam o a moving random fore. Journal of Sound and Vibraion 1976;6:33 38. [6] Fryba, Nakagiri S, Yoshikawa N. Sohasi finie elemens for a beam on a random foundaion wih unerain damping under a moving fore. Journal of Sound and Vibraion 1993;163:31 5. [7] Howson W.., Zare A.: Exa dynami siffness marix for flexural vibraion of ree-layered sandwih beams, Journal of Sound and Vibraion 8 (5) [8] Knowles J. K., On he dynami response of a beam o a randomly moving load, Journal of Applied Mehanis 1968, 35, 1-6. [9] Misiurek K., Sniady, Vibraions of sandwih beam due o a moving fore, Composie Sruures, Vol. 1, pp. 85 93, 13. [1] Tung CC. Random response of highway bridges o vehile loads. ro. ASCE, J Eng Meh Div 1967;93:73 9. [11] Tung CC. Response of highway bridges o renewal raffi loads. ro. ASCE, J Eng Meh Div 1967;95:1 57. [1] Zibdeh H. S., Abu-Hilal M., Sohasi vibraion of laminaed omposie oaed raversed by a random moving load 3, Engineering Sruures. rojek zosał sfinansowany ze środków Narodowego Cenrum Nauki przyznanyh na podsawie deyzji numer DEC-11/1/N/ST8/5.
13 K. Misiurek,. Śniady STOCHASTIC VIBRATIONS OF SANDWICH BEAM TRAVERSED BY RANDOM MOVING OAD S r e s z z e n ie raa doyzy drgań belki poddanej działaniu skupionyh i rozłożonyh sił harmoniznyh, z dołązonymi ranslayjno-roayjnymi łumikami dynamiznymi. W oblizeniah przyjęo liniowy model belki Eulera-Bernoulliego, równanie ruhu rozwiązano przy użyiu meody Fouriera. Zasosowanie zasowej ransformaji aplae a pozwala na wyznazenie ampliudy drgań w funkji zęsośi. rzykłady oblizeń numeryznyh doyzą zagadnień minimalizaji energii kineyznej ałej belki lub jej zęśi poprzez odpowiednie dosrojenie ranslayjno-roayjnego łumika drgań. Wyniki oblizeń numeryznyh powierdzają skuezność sosowania ranslayjnoroayjnyh łumików dynamiznyh w belkah. W badanyh przykładah wyznazono opymalną sraegię dosrajania łumików minimalizująą energię kineyzną. Słowa kluzowe: dynamizny łumika drgań, drgania belki, łumienie drgań, srojenie DOI:1.786/rb.1.3 rzesłano do redakji: 16.5.1 r. rzyjęo do druku:.9.1 r.