7. Szczególna teoria względności. Wybór i opracowanie zadań : Barbara Kościelska Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.

Transkrypt

1 7 Szzególna eoria względnośi Wybór i opraowanie zadań 7-79: Barbara Kośielska Więej zadań z ej emayki znajduje się w II zęśi skrypu 7 Czy można znaleźć aki układ odniesienia w kórym Chrzes Polski i Biwa pod Grunwaldem zaszłyby: a) w ym samym miejsu b) w ym samym zasie? 7 W ym samym miejsu korony słoneznej w obrębie s nasąpiły dwa wybuhy Rakiea poruszająa się ze sałą prędkośią względem Słońa zarejesrowała obydwa e zdarzenia w odsępie s a) Z jaką prędkośią porusza się rakiea? b) Ile wynosi odległość przesrzenna między wybuhami w układzie związanym z poruszająą się rakieą? 7 Dwie ząski o jednakowyh prędkośiah 75 poruszają się po jednej prosej i padają na arzę Jedna z nih uderzyła w arzę o - s później niż druga Oblizyć odległość między ymi ząskami w loie w układzie odniesienia związanym z nimi 7 Długość nieruhomego poiągu jes dokładnie aka sama jak długość unelu i wynosi Poiąg en jedzie z prędkośią Jak długo będzie rwał przejazd poiągu przez unel według pasażera siedząego w poiągu oraz według urysy sojąego koło unelu? Czas przejazdu określamy jako odsęp zasu pomiędzy momenem kiedy zoło poiągu mija wlo unelu i hwilą gdy konie osaniego wagonu znajduje się przy końowej krawędzi unelu 75 Mezony µ kóre powsają w górnyh warswah amosfery poruszają się w kierunku Ziemi z prędkośią 9 (-prędkość świała w próżni) Po przebyiu drogi (mniejszej niż grubość amosfery) mezony rozpadają się Oblizyć: (a) zas żyia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią oraz w układzie związanym z mezonem (b) grubość warswy amosfery jaką przebędzie mezon mierzoną w układzie mierzonym z mezonem 76 Układ K porusza się z prędkośią u względem nieruhomego układu odniesienia K W układzie K prę poruszająy się względem niego z prędkośią u ma długość Jaka jes długość ego pręa w układzie K? Długość spozynkowa pręa w obu układah jes aka sama 77 Szywny prę o długośi 5 m znajduje się w spozynku względem układu K Jaka będzie długość i orienaja pręa θ w układzie K jeżeli w układzie K prę worzy ką θ 5 z osią i układ en porusza się z prędkośią 9 7 * Jaką maksymalną prędkość musi mieć ząska aby jej energia kineyzna mogła być napisana w posai 5m z błędem nie przekrazająym % 79 Dowieść że ząska o ładunku q poruszająa się prosopadle do pola magneyznego o indukji B będzie zaazać okrąg o promieniu R ( K K ) / /(qb) gdzie jes energią spozynkową a K energią kineyzną ząski

2 Rozwiązania: 7R Załóżmy że Gniezno w kórym odbył się w roku 966 (hwila zasu ) Chrzes Polski ma w przesrzeni w układzie współrzędnyh związanym z Ziemią położenie naomias w hwili zasu ( rok) odbyła się w punkie o współrzędnej Biwa pod Grunwaldem Wiemy że w układzie współrzędnyh związanym z Ziemią oba zdarzenia zaszły w innyh miejsah i innym zasie Załóżmy że isnieje jakiś inny układ odniesienia poruszająy się względem naszego z prędkośią Przyjmijmy że w ym nowym układzie współrzędnyh Chrzes Polski miał miejse w punkie w hwili zasu zaś Biwa pod Grunwaldem w punkie w hwili (a) Zgodnie z ransformają orenza: () W nowym układzie współrzędnyh oba zdarzenia miałyby zajść w ym samym miejsu zyli: Wówzas prawe srony równań () eż będą sobie równe: skąd: () Układ w kórym oba zdarzenia zaszłyby w ym samym miejsu przesrzeni musiałby poruszać się względem naszego układu z prędkośią opisaną wzorem () (b) Zgodnie z ransformają orenza: () W nowym układzie współrzędnyh oba zdarzenia miałyby zajść w ym samym zasie zyli: Wówzas prawe srony równań () eż będą sobie równe:

3 skąd: () Orzymana prędkość () nowego układu współrzędnyh jes większa od prędkośi świała w próżni zyli układ w kórym oba zdarzenia zaszłyby w ym samym zasie nie isnieje 7R Oznazmy współrzędną miejsa w kórym zaszły na Słońu dwa wybuhy przez a przedział zasu między nimi - s (gdzie i są hwilami zasu w kóryh nasąpił odpowiednio pierwszy i drugi wybuh Przyjmijmy że w układzie związanym z rakieą wybuhy na Słońu nasąpiły w miejsah o współrzędnyh oraz w hwilah zasu odpowiednio oraz ( - s) (a) Zgodnie z ransformają orenza: Wówzas zas między wybuhami w układzie współrzędnyh związanym z rakieą: zyli: skąd prędkość z jaką porusza się rakiea: ) ( (a) Zgodnie z ransformają orenza:

4 Wówzas odległość między wybuhami w układzie współrzędnyh związanym z rakieą: ) ( gdzie jes prędkośią rakiey opisaną równaniem () 7R Nieh i oznazają współrzędne ząsek w układzie odniesienia związanym z arzą naomias i współrzędne ząsek u układzie odniesienia związanym z nimi Zgodnie z ransformają orenza: Wówzas odległość między ząskami w układzie odniesienia związanym z nimi: () Odległość między ząskami w układzie związanym z arzą: ) ( gdzie jes zasem zmierzonym pomiędzy uderzeniami ząsek o arzę w układzie współrzędnyh związanym z arzą Wsawiają () do () orzymamy: m 7R Odpowiedź: według obu obserwaorów (pasażera poiągu i urysy sojąego koło unelu) zas przejazdu poiągu wynosi: 75R Odpowiedź: (a) Czas żyia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią:

5 Czas żyia mezonu mierzony w układzie związanym z mezonem: (b) am 76R Długość pręa w układzie K wynosi: () gdzie jes prędkośią pręa w układzie K a jego długośią spozynkową Długość pręa możemy oblizyć znają jego długość oraz prędkość u w układzie K: Prędkość pręa w układzie K: () () Podsawiają () i () do () orzymamy: u u u u u u 77R Długość pręa rozkładamy na dwie składowe i y równoległe odpowiednio do osi i y układu K Wówzas orzymamy: () y Składowa y jes prosopadła do kierunku wekora prędkośi układu K i mierzona z układu K nie będzie doznawać skróenia Czyli: ( ) y y sinθ u u

6 gdzie y jes składową długośi pręa równoległą do osi y układu K Składowa jes równoległa do kierunku wekora prędkośi układu K i mierzona z układu K ulegnie skróeniu: os () θ gdzie jes składową długośi pręa równoległą do osi układu K Podsawiają () i () do () orzymamy: os m θ Orienaja pręa w układzie K będzie określona wzorem: an an y θ θ skąd po podsawieniu warośi lizbowyh: 77 θ 7R * Oznazmy przez kl energię kineyzną w ujęiu klasyznym zaś przez rel energię kineyzną w ujęiu relaywisyznym Wówzas: () m kl ) ( () m m m m m rel Rozwijają pierwszy składnik równania () w szereg dwumianowy i biorą pod uwagę pierwsze rzy składniki rozwinięia orzymamy: Podsawiają powyższe rozwinięie do równania () orzymamy: ) ( m m m rel ) ( m m m kl rel Dzielą równanie () sronami przez kl orzymamy:

7 rel kl zyli aby energia kineyzna mogła być zapisana klasyznie z błędem nie większym niż %: 79R Cząska o ładunku q poruszająa się prosopadle do pola magneyznego o indukji B będzie poruszać się po okręgu o promieniu R Mamy wię: gdzie p jes pędem ząski Wówzas: m qb R m p qbr () R p qb nergię ałkowią ząski można wyrazić poprzez jej pęd: () lub przez sumę energii spozynkowej i kineyznej K : K skąd po podniesieniu sronami do kwadrau orzymamy: Z równań () i (): () Podsawiają () do () orzymamy: p K K p K () p K K K R K qb K