Skrypt 18. Trygonometria

Transkrypt

1 Projekt Innowayjny program nauzania matematyki dla lieów ogólnokształąyh współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego Skrypt 18 Trygonometria 1. Definije i wartośi funkji sinus, osinus, tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym. Definije i wartośi funkji sinus, osinus, tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym wykorzystanie w zadaniah. Definije i wartośi funkji sinus, osinus, tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym wykorzystanie w zadaniah z.. Wartośi funkji trygonometryznyh kątów 0, 5, Oblizanie długośi odinków w trójkąie prostokątnym wykorzystanie tabli lub kalkulatora 7. Oblizanie miary kąta ostrego gdy znana jest wartość jego funkji trygonometryznyh Opraowanie: L1 Uniwersytet SWPS ul. hodakowska 19/1, Warszawa tel , faks

2 Temat: Definije i wartośi funkji sinus, osinus, tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym. Praa z wykorzystaniem apletu trygonometria Otwórz plik trygonometria01.. Zapoznaj się z definijami funkji trygonometryznyh naiskaj po kolei przyiski sin α, os α, tg α.. Przejdź do ćwizenia 1 (naiśnij Ćwizenie 1). Określaj z definiji funkje trygonometryzne zgodnie z treśią poleeń.. Przejdź do ćwizenia określaj zależność między wskazanymi wielkośiami w trójkąie. Karta pray Zadanie 1: Określ funkje sinus, osinus, tangens wskazanyh kątów ostryh trójkątów prostokątnyh. Odp: sin α a, os α, tg α Odp: sin α, os α, tg α Odp: sin α, os α, tg α Odp: str.

3 Odp: sin α s w, os α Odp: x Odp: sin α 17 8, os α Odp: Zadanie : Uzupełnij według wzoru. Odp: os β a, a b Odp: a b Odp: b a b Odp: a b str.

4 Praa z wykorzystaniem apletu trygonometria Naiśnij przyisk Zauważ, że. Poruszaj wierzhołkami trójkąta i zwróć uwagę na to, kiedy wartośi funkji trygonometryznyh sinus, osinus zy tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym zmieniają się, a kiedy pozostają niezmienione (Własność 1). Karta pray Zadanie : Uzupełnij tabelę: obliz długośi odinków potrzebnyh do wyznazenia tangensa kąta α w każdym z trójkątów prostokątnyh według poniższego rysunku podaj wartośi funkji tangens kąta α we wszystkih tyh trójkątah tg α 9 tg α 1 1 tg α 1 tg α tg α tg α tg α tg α str.

5 Zadanie : Zapisz przy bokah kolejnyh trójkątów takie długośi (inne dla każdego trójkąta), aby sinus wskazanego kąta w każdym z nih był taki sam, jak sin α. Zadanie 5: Zapisz przy bokah poniższyh trójkątów takie długośi (inne dla każdego trójkąta), aby tangens wskazanego kąta w każdym z nih wynosił 1. Zadanie 6: Skreśl ten trójkąt, który ma inne kąty od pozostałyh. str. 5

6 Temat: Definije i wartośi funkji sinus, osinus, tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym wykorzystanie w zadaniah. Praa z wykorzystaniem apletu trygonometria Otwórz plik trygonometria01. Przejdź do strony Zauważ, że. Poruszaj wierzhołkami trójkąta i zanim zaznazysz opję Własność spróbuj określić jakie wartośi przyjmują poszzególne funkje trygonometryzne. Kolejne własnośi odkryjesz naiskają zielone strzałki. Karta pray Zadanie 1: Spośród wymienionyh wartośi funkji trygonometryznyh skreśl te, które na pewno nie mogą być wynikami oblizeń dotyząyh kątów ostryh trójkąta prostokątnego. Dla pozostałyh wartośi narysuj trójkąty prostokątne z odpowiednimi długośiami boków. sin β 0. os β 0.8 tg β 1 sin α 1 tg α sin β 1 sin α tg α 1 os α 1.1 tg β 5 tg α 10 sin α 8 7 sin α 8 9 os α 0 Pamiętaj: długośi boków w trójkąie nie są ani ujemne, ani równe 0, a przyprostokątne w trójkąie prostokątnym są krótsze od przeiwprostokątnej. Zadanie : α i β są kątami ostrymi w trójkąie prostokątnym. Uzupełnij tabelę. a) sin α 8 7 b) sin β 1 ) os α d) os β 7 5 e) tg α 9 5 os β os α sin β sin α tg β str. 6

7 Zadanie : Na podstawie danyh na rysunku obliz wartośi wskazanyh funkji trygonometryznyh. Wyniki zaokrąglij do zęśi dziesięiotysięznyh. sin α os β tg α tg β os α sin β sin α os β Zadanie : Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i obliz długość nieznanego boku trójkąta. Obliz wartośi wskazanyh funkji trygonometryznyh. Wyniki zaokrąglij do zęśi dziesięiotysięznyh. tg α sin α sin β tg α os α tg β str. 7

8 Temat: Definije i wartośi funkji sinus, osinus, tangens kątów ostryh w trójkąie prostokątnym wykorzystanie w zadaniah z.. Zadanie 1: Gdzie podział się jeden kwadraik? Powyższe trójkąty są zbudowane z tyh samyh elementów. Zgodnie ze wzorem na pole trójkąta, pola obydwu powinny być równe,5 [j ]. Tymzasem w drugim trójkąie brakuje jednej jednostki. Jak to wyjaśnisz? Zadanie : Obliz a i wiedzą, że tg α 0,5. Wyniki zaokrąglij do 0,01. Zadanie : Przekątna prostokąta ma długość. Obliz pole prostokąta wiedzą, że sinus kąta nahylenia przekątnej do dłuższego boku wynosi 0,. str. 8

9 Temat: Wartośi funkji trygonometryznyh kątów 0, 5, 60. Praa z wykorzystaniem apletu trygonometria0. 1. Otwórz plik trygonometria0.. Na pierwszej stronie znajduje się wyprowadzenie wartośi wszystkih funkji trygonometryznyh kątów 0, 5, 60. (Przehodzenie pomiędzy stroną z wartośiami funkji trygonometryznyh a następną stroną - z zadaniami - poprzez naiśnięie ramki z tematem.) Ustaw suwak na α 0. Zwróć uwagę na opis wybranyh odinków trójkąta równoboznego (wykorzystany tu jest wzór na wysokość trójkąta równoboznego o boku długośi a). Obliz sin 0. Sprawdź swoje oblizenia zaznazają pole wyboru sin 0. Postępuj podobnie dla pozostałyh wartośi funkji trygonometryznyh kątów 0, 5, 60.. Zaznaz pole wyboru Tabela tu masz zestawienie wszystkih wyprowadzonyh wartośi funkji trygonometryznyh dla kątów 0, 5, 60. ędziesz mieć do niej dostęp również w trakie rozwiązywania zadań (poprzez zaznazenie pola wyboru).. Przejdź do zadań naiśnij ramkę z tematem. Rozwiązuj kolejne zadania, a poprawność swoih rozwiązań sprawdzaj poprzez rozwinięie rozwiązania za pomoą suwaków Rozwiązanie. by rozwiązać każde z prezentowanyh zadań, zapisz najpierw zależność pomiędzy wskazanym kątem ostrym, długośią boku, którą właśnie hesz wylizyć i długośią boku danego z wykorzystaniem odpowiedniej funkji trygonometryznej. Zamień funkję danego kąta ostrego na wartość zgodnie z Tabelą. Przekształć otrzymane wyrażenie, aby oblizyć długość boku. Postępuj podobnie z drugim nieznanym bokiem trójkąta. 5. Do tej pory wszystkie oblizenia dotyzyły poszukiwania długośi boków. zy z wykorzystaniem funkji trygonometryznyh można oblizyć miarę kąta? Naiśnij ramkę z napisem Oblizanie długośi boków. Napis w rame zmieni się na Oblizanie miar kątów. Postępuj podobnie jak w przypadku zadań dotyząyh oblizania długośi boków losuj kolejne zadania, a poprawność swoih oblizeń sprawdzaj z użyiem suwaków. Pomonizo możesz poruszać wierzhołkiem trójkąta, aby dane zadania zgadzały się z kształtem trójkąta. W trakie rozwiązywania zadań korzystaj z Tabeli. str. 9

10 Temat: Oblizanie długośi odinków w trójkąie prostokątnym wykorzystanie tabli lub kalkulatora. Praa z wykorzystaniem apletu trygonometria0. 1. Otwórz plik trygonometria0.. Do rozwiązania są zadania, któryh treść po zęśi zależy od kształtu i wielkośi trójkąta. Poruszaj wierzhołkami trójkąta, aby stworzyć nową sytuaję oblizeniową i naiśnij przyisk Następny przykład.. Rozwiąż zadanie: zapisz zależność wiążąą wielkośi dane i wielkość do oblizenia; skorzystaj z tabliy wartośi funkji trygonometryznyh naiskają strzałki nawigayjne góra/dół przewiniesz tablię do strony, na której odzytasz odpowiednią wartość funkji trygonometryznej; sprawdź się poprzez naiśnięie ramki Odzytaj tablię zostaną zaznazone zerwonym kolorem nazwy kolumn, miara kąta i wartość funkji trygonometryznej; zapisz przekształenia i oblizenia.. Poprawność swoih oblizeń sprawdź używają suwaka Rozwiązanie. Przykład: W trójkąie dane są: b m, α. Obliz długość boku. W treśi zadania dany jest kąt α. Dla kąta α mamy: os α b. Ponieważ kąt α ma miarę, zapisujemy: os b i dalej: os. Odzytujemy z tabli wartośi funkji trygonometryznyh: os 0,905. Podstawiamy otrzymują: 0,905. Następnie przekształamy: 0,905 i otrzymujemy:, m. str. 10

11 Karta pray Zadanie 1: Podaj przybliżone wartośi funkji trygonometryznyh. Skorzystaj z tabli wartośi funkji trygonometryznyh. a) sin b) sin 15 ) sin 9 d) tg e) tg 8 f) tg 65 Zadanie : Podaj przybliżone wartośi funkji trygonometryznyh. Skorzystaj z tabli wartośi funkji trygonometryznyh. a) os 5 b) os 7 ) os 7 d) tg e) sin f) os 5 Zadanie : Dla danego kąta α bądź danego kąta β podaj przybliżone wartośi funkji trygonometryznyh. Skorzystaj z tabli wartośi funkji trygonometryznyh. a) α 6 sin α d) β 18 sin β g) α 6 sin α os α tg α b) α 15 os α e) β 50 os β h) β 75 sin β os β tg β ) α 15 tg α f) β 7 tg β i) α sin α os β Wskazówka: Odzytują wartośi funkji trygonometryznyh z tabli zwraaj uwagę jedynie na funkję trygonometryzną zy to jest sinus, osinus, zy tangens, oraz na miarę kąta. Nie jest istotne zy ten kąt w zadaniu nazywa się α, zy β. Na zas odzytywania wartośi funkji trygonometryznej z tabliy, kąt otrzymuje nową nazwę. Sinus i tangens odzytywany jest dla kąta α odzytaj miarę kąta z lewej strony, a osinus dla kąta β odzytaj miarę kąta z prawej strony. Za każdym razem sprawdzaj nazwy kolumn. str. 11

12 Temat: Oblizanie miary kąta ostrego gdy znana jest wartość jego funkji trygonometryznyh. Praa z wykorzystaniem apletu trygonometria0. 1. Otwórz plik trygonometria0. Przejdź do strony Oblizanie miary kąta w trójkąie poprzez naiśnięie ramki z tematem Oblizanie długośi boku trójkąta. Ukaże się aktualny temat: Oblizanie miary kąta w trójkąie.. Podobnie, jak przy poprzedniej stronie, do rozwiązania są zadania, któryh treść po zęśi zależy od kształtu i wielkośi trójkąta. Poruszaj wierzhołkami trójkąta, aby stworzyć nową sytuaję oblizeniową i naiśnij przyisk Następny przykład.. Rozwiąż zadanie: zapisz zależność wiążąą wielkośi dane i wielkość do oblizenia; podstaw dane z zadania i uprość wyrażenie stosują zaokrąglanie do 0,0001. skorzystaj z tabliy wartośi funkji trygonometryznyh naiskają strzałki nawigayjne góra/dół przewiniesz tablię do strony, na której odzytasz odpowiednią miarę kąta; sprawdź się poprzez naiśnięie ramki Odzytaj tablię zostaną zaznazone zerwonym kolorem nazwy kolumn, wartość funkji trygonometryznej i miara kąta; zapisz przekształenia i oblizenia.. Poprawność swoih oblizeń sprawdź używają suwaka Rozwiązanie. Przykład: W trójkąie dane są: b 8 m, 9 m. Obliz miarę kąta α. Zależność pomiędzy długośią boku b, długośią boku i kątem α, to: os α b. Podstawiamy dane: os α 9 8, stąd os α 0,8889. Odszukujemy w tabliy wartośi funkji trygonometryznyh w kolumnie wartośi funkji osinus lizbę najbliższą 0,8889. Odzytujemy: os 7 0,8910. Odpowiedź: α 7. str. 1

13 Karta pray Zadanie 1: Podaj przybliżoną miarę kąta ostrego, dla której funkja trygonometryzna przyjmuje daną wartość. Skorzystaj z tabli wartośi funkji trygonometryznyh. a) sin α 0,95 α d) os α 0,95 α g) sin β 0,5 β b) sin α 0, α e) os α 0, α h) tg β 1 β ) tg α 0,1 α f) tg β 0,1 β i) os β 0,5 β Wskazówka: w tabliy wartośi funkji trygonometryznyh wartośi dla kątów ostryh są przybliżone poza trzema wyjątkami: sin 0 0,5; os 60 0,5; tg 5 1. Przykład: W trójkąie dane są: a m, 8 m. Obliz miarę kąta α. Zależność pomiędzy długośią boku a, długośią boku i kątem α, to: sin α a. Podstawiamy dane: sin α 8, stąd sin α 0,5. Odzytujemy z tabliy wartośi funkji trygonometryznyh: sin α 0,5 dla α 0. Odpowiedź: α 0 Zadanie : W trójkąie dane są: a m, 8 m. Obliz miarę kąta β. str. 1