WYBOCZENIE-ZMARSZCZENIE OKŁADZINY BELKI TRÓJWARSTWOWEJ PRZY CZYSTYM ZGINANIU

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 41, s , Gliwie 011 WYBOCZENIE-ZMARSZCZENIE OKŁADZINY BELKI TRÓJWARSTWOWEJ PRZY CZYSTYM ZGINANIU PAWEŁ JASION, KRZYSZTOF MAGNUCKI Insyu Mehaniki Sosowanej, Poliehnika Poznańska pu.poznan.pl Sreszzenie. Przedmioem pray są belki rójwarswowe poddane zysemu zginaniu. Opisano i rozwiązano problem wybozenia-zmarszzenia okładziny śiskanej. Równanie równowagi wyznazono z zasady sajonarnośi ałkowiej energii poenjalnej, kórego ałką są unkje hiperbolizne. Badania numeryzne przeprowadzono dla rodziny belek o różnyh właśiwośiah mehaniznyh rdzenia. Ponado przeprowadzono badania numeryzne MES. Obiążenia kryyzne orzymane z obu meod zesawiono w abelah i na wykresah. 1. WPROWADZENIE Konsrukje rójwarswowe znane są od połowy dwudziesego wieku. Pierwsze modele eoreyzne yh konsrukji przedsawili C. Libove i S.B. Budor [4] oraz E. Reissner [6] w 1948 roku. Problemy wybozenia ogólnego oraz miejsowego konsrukji rójwarswowyh opisali w monograiah Planema [5], Volmir [8] oraz Allen [1]. Współześnie, z uwagi na rozwój ehnologii wywarzania maeriałów porowayh, pozosają przedmioem badań. Wybozenie miejsowe zginanej belki rójwarswowej objawia się zmarszzeniem okładziny śiskanej. Modelowanie ego zjawiska sprowadzono do problemu wybozenia ienkiego pasma płyy prosokąnej na podłożu sprężysym, kórego podsawy maemayzne przedsawili Vlasov i Leoniev [7]. Rozwiązania analiyzne i numeryzne MES marszzenia okładzin belek rójwarswowyh przedsawili Hadi [] oraz Koissin i inni [3]. Rdzeń belki pełni unkję podłoża sprężysego o skońzonyh wymiarah. W pray uogólniono znany od wielu la model Winklera dla podłoża sprężysego i sosowany również w opisah marszzenia okładzin belek rójwarswowyh. Belka rójwarswowa o długośi L i szerokośi b składa się z dwóh mealowyh okładzin o grubośi oraz rdzenia o grubośi wykonanego z pianki mealowej (rys. 1). Rys. 1. Belka rójwarswowa z rdzeniem z pianki mealowej

2 15 P. JASION, K. MAGNUCKI. MODEL MATEMATYCZNY WYBOCZENIA OKŁADZINY BELKI Belka na obu końah obiążona jes momenami parami sił. Założono, że w sanie kryyznym górna okładzina śiskana zmarszzy się wybozy, naomias dolna roziągana pozosanie płaska (rys. ). Rys.. Shema belki z wybozoną okładziną śiskaną Pole przemieszzeń (rys. 3) dla dowolnego punku przekroju poprzeznego belki rójwarswowej z górną okładziną wybozoną zapisano mπx u ( x, z) 0, w( x, z) w1 w( z) sin, (1) L gdzie: u ( x, z) - przemieszzenie wzdłużne, w ( x, z) - przemieszzenie poprzezne ugięie. Rys. 3. Shema przemieszzenia poprzeznego w rdzeniu i ugięia okładziny Zmarszzenie-ugięie okładziny śiskanej ( z ) jes wię w posai mπx w ( x) w x, w1 sin. () L w z są nasępująe: Warunki brzegowe dla nieznanej unkji w ( z) 1 oraz ( z) 0 z w. (3) z Odkszałenia rdzenia: u w u w w ε x 0, ε z, γ xz +. (4) x z z x x Energia odkszałenia sprężysego rdzenia L ( ) Eb 1 ν Uε x x z z xz dxdz ( ) ε + ν ε ε + ε + γ, (5) 1 ν 0 a po wprowadzeniu unkji (1) i wykonaniu ałkowania po długośi belki zapisano

3 WYBOCZENIE-ZMARSZCZENIE OKŁADZINY BELKI TRÓJWARSTWOWEJ E bl / dw U w m w ( z) dz ( ) dz L 1 ν π ε 1 +, (6) 4 1 ν / gdzie: E - moduł Younga pianki rdzenia, ν - lizba Poissona pianki rdzenia. Energia odkszałenia sprężysego okładziny śiskanej () z L 4 1 d w 1 3 E J π y dx E bl m w 1 48 L 0 dx U ε, (7) gdzie E - moduł Younga maeriału okładziny, ( ) 1 J 3 y b - momen bezwładnośi 1 przekroju poprzeznego okładziny. Praa obiążenia L 1 dw 1 mπ W N dx N L w1. (8) dx 4 L 0 Z zasady sajonarnośi ałkowiej energii poenjalnej ( ) ( Uε + Uε W ) 0 δ (9) orzymano równanie różnizkowe równowagi ( z) d w 1 ν mπ k w( z) 0, gdzie k dz L, (10) kórego ałka, po uwzględnieniu warunków brzegowyh (3), jes w posai w () z 1 sinh ( C ) 1 sinh C z, gdzie 1 ν C k mπ. (11) L Ponado z zasady sajonarnośi (9) wyznazono naprężenie kryyzne N, α1 σ min + α C, (1) b C C anh( C ) gdzie: E α 1 1+ ν x, E x1 α - współzynniki, x 1, - paramer. 6 1 ν ( ) 1 Warośi naprężeń kryyznyh σ oraz współzynnika C wyznaza się numeryznie w minimalizaji wyrażenia (1). W szzególnym przypadku, gdy C << 1, anh ( C ) C, wówzas rdzeń jes klasyznym podłożem sprężysym zgodnym z modelem Winklera, zaem ( ) min α E E x 1 ( ) σ 1, Winkler + α C E J y C, (13) C 3( 1 ν ) E b gdzie - sała podłoża. 1 ν Szzegółowy opis wybozenia belek na podłożu sprężysym model Winklera przedsawił np. Żyzkowki [9]. Wskazał na podsawowe założenie doyząe proporjonalnośi obiążenia-naisku do ugięia-przemieszzenia podłoża oraz warunki brzegowe.

4 154 P. JASION, K. MAGNUCKI 3. OBLICZENIA NUMERYCZNE MODEL ANALITYCZNY Rozwiązanie analiyzne modelu belki rójwarswowej zawiera przemieszzenia poprzezne w rdzeniu (11) oraz naprężenia kryyzne wybozenia-zmarszzenia okładziny śiskanej (1). Oblizenia numeryzne wykonano dla rodziny belek o grubośi okładzin 1 mm i module Younga E MPa (sop aluminium) oraz różnyh grubośiah rdzenia 18, 8, 38, 48, 58 mm, sałej lizbie Poissona ν 0,3 i różnyh warośiah modułu Younga E 10, 50, 100 MPa. Wyniki yh oblizeń zesawiono w abelah 1, i 3. Tabela 1. Naprężenia kryyzne dla okładziny moduł rdzenia E 10 MPa [ mm] C 1,10 1,56,00,46,9 σ MPa 136,9 13,8 119,1 117, 116,6 [ ] ( ) [ MPa] σ 115,5 9,6 79,5 70,8 64,4,Winkler Tabela. Naprężenia kryyzne dla okładziny moduł rdzenia E 50 MPa [ mm] C 1,67,44 3,5 4,09 4,94 σ MPa 356,9 34,7 339,8 339, 339,1 [ ] ( ) [ MPa] σ 58,4 07,1 177,8 158, 143,9,Winkler Tabela 3. Naprężenia kryyzne dla okładziny moduł rdzenia E 100 MPa [ mm] C,04 3,03 4,08 5,15 6,1 σ MPa 551,6 540,0 538,4 538,3 538,3 [ ] ( ) [ MPa] σ 365,4 9,9 51,5 3,7 19,,Winkler Różnie między warośiami naprężeń kryyznyh wyznazone z przedsawionego modelu i klasyznego modelu Winklera są znazne. Różnie e rosną ze wzrosem grubośi rdzenia. Opraowany model rdzenia belki rójwarswowej uwzględnia roziąganie-śiskanie i śinanie, naomias w modelu Winklera uwzględnione jes jedynie roziąganie-śiskanie. 4. OBLICZENIA NUMERYCZNE MODEL MES Model MES belki rójwarswowej opraowano w sysemie ABAQUS. Okładziny dyskreyzowano prosokąnymi elemenami powłokowymi, rdzeń naomias sześiośianowymi elemenami bryłowymi (rys. 4). Górną i dolną okładzinę odsunięo od rdzenia o połowę ih grubośi. Pomiędzy okładzinami i rdzeniem zadano warunki powiązania. Model belki podparo na obu końah ak, że zablokowano przemieszzenia węzłów okładzin i rdzenia w płaszzyźnie prosopadłej do osi belki. Siły przyłożono do krawędzi okładzin: śiskająą do krawędzi górnej i roziągająą do krawędzi dolnej. Z uwagi na symerię układu zamodelowano jedynie ćwiarkę belki, zadają w dwóh płaszzyznah symerii odpowiednie warunki brzegowe.

5 WYBOCZENIE-ZMARSZCZENIE OKŁADZINY BELKI TRÓJWARSTWOWEJ Rys.4. Model MES belki rójwarswowej Badania MES przeprowadzono na rodzinie belek, dla kóryh moduł Younga E 50 MPa. Pozosałe paramery jak w oblizeniah dla modelu analiyznego. Badanie polegało na wyznazeniu warośi naprężeń kryyznyh oraz posai wybozenia. Niezależnie od grubośi belki, posać wybozenia była aka sama. Dwie przykładowe belki z poałdowaną równomiernie okładziną przedsawiono na rys. 5. Rys. 5. Pierwsze posaie wybozenia belek rójwarswowyh (E 50 MPa) Warośi naprężeń kryyznyh uzyskanyh w analizie MES porównano z ymi, kóre orzymano z zaproponowanego modelu i z modelu Winklera. Porównanie, przedsawione na rys. 6, wskazuje na dużą zgodność rozwiązania analiyznego z rozwiązaniem MES. Rys. 6. Porównanie warośi naprężeń kryyznyh orzymanyh różnymi meodami (E 50 MPa)

6 156 P. JASION, K. MAGNUCKI 5. ZAKOŃCZENIE W pray przedsawiono model analiyzny opisująy wybozenie-zmarszzenie śiskanej okładziny belki rójwarswowej poddanej zysemu zginaniu. Zaproponowany model pozwolił wyznazyć warośi naprężeń kryyznyh. Orzymane w en sposób wyniki są zgodne z wynikami uzyskanymi meodą elemenów skońzonyh. Dla porównania, przedsawione zagadnienie rozwiązano, sosują klasyzny model Winklera uwzględniająy jedynie roziąganie-śiskanie. Wyniki uzyskane w en sposób znaznie odbiegają od yh, orzymanyh z zaproponowanego modelu i modelu MES, gdzie opróz roziągania-śiskania uwzględniono również eek śinania. Praa inansowana przez Miniserswo Nauki i Szkolniwa Wyższego Gran nr 0807/B/T0/010/38. LITERATURA 1. Allen HG.: Analysis and design o sruural sandwih panels. London: Pergamon Press, Hadi B.K.: Wrinkling o sandwih olumn: omparison beween inie elemen analysis and analyial soluions. Composie Sruures 001, Vol.53, p Koissin V., Shipsha A., Skvorsov V.: Ee o physial nonlineariy on loal bukling in sandwih beams. Journal o Sandwih sruures and maerials 010, Vol.1, p Libove C., Budor S.B.: A general small-deleion heory or la sandwih plaes. NACA TN 156, Planema F.J.: Sandwih onsruion: The bending and bukling o sandwih beams, plaes and shells. New York: John Wiley and Sons, Reissner E.: Finie deleions o sandwih plaes. Journal o he Aeronauial Siene 1948, 15(7), p Власов В.З., Леонтев Н.Н. Балки, пластины и оболочки на упругом основании. Физ- Мат-Лит. Москва Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. Изд. НАУКА. Москва Żyzkowski M.: Wyrzymałość elemenów konsrukyjnyh.w: Mehanika ehnizna T.IX. Warszawa: PWN, BUCKLING-WRINKLING OF FACES OF SANDWICH BEAM UNDER PURE BENDING Summary. The subje o he paper are sandwih beams under pure bending. The problem o bukling-wrinkling o a ompression ae is desribed and solved. The equaion o equilibrium is obained based on he priniple o saionary oal poenial energy. The analyial soluion o his equaion is omposed o hyperboli unions. Numerial alulaions are realized or a amily o sandwih beams wih dieren mehanial properies o he ore. Moreover, FEM invesigaions are realized. Resuls o boh mehods are ompared and presened in ables and igures.