Rachunek Różniczkowy
Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem punktu x 0. x 0 r x 0 x 0 + r
Granica funkcji w punkcie Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x 0. f : S(x 0, r) R. Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy dla każdego ciągu (x n ) o wyrazach x n S(x 0, r) zbieżnego do x 0 ciąg wartości (f(x n )) jest zbieżny do g. Piszemy wtedy lim f(x) = g. x x 0
Granica funkcji w punkcie f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) f (x 5 ) g x x 5 x 4 x x 2 x 0 3 1
Własności granicy funkcji w punkcie Ponieważ definicja granicy funkcji w punkcie odwołuje się do granicy ciągu, to własności granicy funkcji są podobne do własności granicy ciągu. lim x x 0 ( f(x) ± g(x)) = lim x x 0 f(x) ± lim x x 0 g(x), lim x x 0 (λ f(x)) = λ lim x x 0 f(x), lim x x 0 ( f(x) g(x)) = lim x x 0 f(x) lim x x 0 g(x), f(x) lim lim x x 0 g(x) = x x0 f(x) lim g(x) x x 0, o ile lim x x 0 g(x) 0.
Funkcja ciągła w punkcie Otoczeniem punktu x 0 nazywamy przedział U(x 0, r) = (x 0 r, x 0 + r) = S(x 0, r) {x 0 }. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. f : U(x 0, r) R. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy istnieje granica funkcji w punkcie x 0 oraz lim f(x) = f(x 0 ). x x 0
Funkcja ciągła w punkcie f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) f (x 5 ) f(x 0 ) x x 5 x 4 x x 2 x 0 3 1
Funkcja ciągła w zbiorze Mówimy, że funkcja f : X R. jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Z własności granicy funkcji w punkcie i definicji ciągłości wynika, że funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i funkcje logarytmiczne. Ponadto, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji ciągłych jest również funkcją ciągłą.
Funkcja nieciągła f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) f (x 5 ) f(x 0 ) x x 5 x 4 x x 2 x 0 3 1
Pochodna funkcji w punkcie Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. f : U(x 0, r) R. Niech x będzie dowolnym punktem otoczenia U różnym od x 0. Wówczas różnica x - x 0 jest przyrostem argumentu. Oznaczam go symbolem Δx = x x 0. Temu przyrostowi argumentu odpowiada przyrost wartości funkcji Δf = f(x) f(x 0 ).
Pochodna funkcji w punkcie Iloraz Δf Δx = f(x) f(x 0 ) x x 0 jest tangensem kąta nachylenia siecznej do wykresu funkcji f przechodzącej przez punkty P = (x, f(x)), P 0 = (x 0, f(x 0 )). f (x) P f (x 0 ) P 0 α f(x) f(x 0 ) α x x 0 x 0 x
Pochodna funkcji w punkcie Iloraz Δf Δx = f(x) f(x 0 ) = f(x 0 + Δx) f(x 0 ) x x 0 Δx. nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi Δx. f (x) P f (x 0 ) P 0 α Δf Δx = tg α x 0 x
Równanie siecznej Iloraz różnicowy jest zatem współczynnikiem kierunkowym w równaniu siecznej. f(x) P f(x 0 ) P 0 α y f(x 0 ) = Δf Δx (x x 0 ) x 0 x
Pochodna funkcji w punkcie Iloraz różnicowy funkcji f jest funkcją zmiennej x określoną w sąsiedztwie punktu x 0. g(x) = Δf Δx = f(x) f(x 0 ) x x 0. Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego, gdy x dąży do x 0 i oznaczamy symbolem f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim Δx 0 f(x 0 + Δx) f(x 0 ) Δx. O funkcji, która ma pochodną w punkcie x 0 mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.
Równanie stycznej Pochodna funkcji f w punkcie x 0 jest współczynnikiem kierunkowym w równaniu stycznej. f(x 0 ) α y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) x 0 x
Pochodna funkcji w punkcie Zatem jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to posiada w tym punkcie styczną do swojego wykresu. Funkcje nie posiadające stycznej nie mogą być zatem różniczkowalne. Funkcja y = x nie jest różniczkowalna w punkcie 0, bo nie ma określonej stycznej do swojego wykresu w tym punkcie - wykres posiada tzw. ostrze.
Pochodne funkcji elementarnych (λ) = 0, (x n ) = nx n 1, 1 ( x ) = 1 x 2, (a x ) = a x ln a, (e x ) = e x, (log a x) = 1 x ln a, (ln x) = 1 x.
Własności pochodnej funkcji w punkcie (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x), (λ f(x)) = λ f (x), (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x), f(x) ( g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2, ( g(f(x))) = g (f(x)) f (x).
Funkcja różniczkowalna Mówimy, że funkcja w zbiorze f : X R. jest różniczkowalna w zbiorze X, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru X. Z własności pochodnej funkcji w punkcie wynika, że funkcjami różniczkowalnymi w swoich dziedzinach są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i funkcje logarytmiczne. Ponadto, suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji różniczkowalnych jest również funkcją różniczkowalną.
Interpretacja ekonomiczna pochodnej - koszt krańcowy Rozważmy funkcję C opisującą zależność kosztu wyprodukowania towaru w zależności od ilości towaru q jaką wyprodukowano: C : 0, + ) R. Przypuśćmy, że wielkość produkcji wzrosła o Δq jednostek, licząc od poziomu q 0. Wtedy średni koszt zwiększenia produkcji o Δq przypadający na dodatkową jednostkę jest równy C(q 0 + Δq) C(q 0 ) Δq.
Interpretacja ekonomiczna pochodnej - koszt krańcowy C(q 0 + Δq) C(q 0 ) Graniczna wartość tego kosztu przy Δq dążącym do 0 nazywana jest kosztem krańcowym przy poziomie produkcji q 0. Jest to oczywiście pochodna Δq. C (q 0 ) = lim Δq 0 C(q 0 + Δq) C(q 0 ) Δq. Mówi ona jaki jest przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki produktu. W podobny sposób definiujemy popyt krańcowy, czy utarg krańcowy.
Elastyczność funkcji Dla funkcji różniczkowalnej f : (0, + ) R. iloraz f(x + Δx) f(x) f(x) nazywamy przyrostem względnym funkcji f. Natomiast iloraz Δx x przyrostem względnym argumentu x.
Elastyczność funkcji Stosunek f(x + Δx) f(x) f(x) Δx x = x f(x) f(x + Δx) f(x) Δx nazywamy elastycznością funkcji f w przedziale x, x + Δx. Elastyczność określa procentowy przyrost wartości funkcji f odpowiadający przyrostowi argumentu x o 1% na przedziale x, x + Δx.
Elastyczność funkcji Granica powyższej elastyczności, czyli lim Δx 0 x f(x) f(x + Δx) f(x) Δx nazywana jest elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczana symbolem E x f. Zatem E x f = lim Δx 0 x f(x) f(x + Δx) f(x) Δx = x f(x) f (x).
Elastyczność funkcji Elastyczność funkcji f w punkcie x określa w przybliżeniu procentowy przyrost wartości funkcji f (wzrost albo spadek), odpowiadający przyrostowi argumentu o 1% (licząc od poziomu x). y y E x0 f > 1 E x0 f < 1 f (x 0 ) = f(x 0 ) a, E x0 f = x 0 f(x 0 ) f(x 0 ) a = x 0 a.
Interpretacja ekonomiczna elastyczności funkcji Niech Q(p) oznacza wielkość popytu na dany towar przy cenie p. Wtedy przychód R przedsiębiorstwa wyrażony jest funkcją postaci R(p) = p Q(p). Zatem R (p) = Q(p) + p Q (p). Ponieważ, jak się później przekonamy, przychód wzrośnie, gdy R (p) > 0, to z powyższego równoważne jest z warunkiem p p Q (p) > Q(p), czyli Q (p) > 1. Q(p)
Interpretacja ekonomiczna elastyczności funkcji Otrzymaliśmy zatem, że E p Q = p Q (p) > 1, Q(p) czyli przychód przedsiębiorstwa wzrośnie, gdy elastyczność cenowa popytu będzie większa od -1. EpQ < -1 popyt jest elastyczny, przyrostowi ceny o 1% odpowiada spadek popytu większy niż 1%, EpQ = -1 popyt jest neutralny, przyrostowi ceny o 1% odpowiada spadek popytu o 1%, EpQ > -1 popyt jest nieelastyczny, przyrostowi ceny o 1% odpowiada spadek popytu mniejszy niż 1%.
Monotoniczność funkcji a znak pochodnej Załóżmy, że funkcja f jest określona i różniczkowalna na pewnym przedziale (otwartym lub domkniętym) I f : I R, I R. Funkcja f jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = 0 dla x I. Jeśli w przedziale I pochodna funkcji ma dodatni (odp. ujemny) znak, tzn. f (x) > 0 (odp. f (x) < 0) dla x I, to w przedziale I funkcja f jest rosnąca (odp. malejąca).
Monotoniczność funkcji a znak pochodnej Funkcja f różniczkowalna na przedziale I jest niemalejąca (odp. nierosnąca) wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 (odp. f (x) 0) dla x I. f (x 0 ) α f (x 0 ) = tg α > 0. W otoczeniu punktu x 0 funkcja rośnie. x 0 x
Ekstrema lokalne funkcji Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym a, b oraz niech punkt x 0 (a, b). Jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S(x 0, r) wszystkich punktów x S(x 0, r) punktu x 0, że dla f(x 0 ) f(x) (odp. f(x 0 ) f(x)), to mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie x 0 maksimum (odp. minimum) lokalne. Jeśli w powyższych nierównościach zamienimy nierówności na ostre, to otrzymamy odpowiednio definicję maksimum i minimum lokalnego właściwego. Maksimum i minimum określamy wspólną nazwą ekstremum.
Warunek konieczny ekstremum Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym a, b oraz niech punkt x 0 (a, b). Jeżeli funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne, to albo f (x 0 ) istnieje i f (x 0 ) = 0, albo f (x 0 ) nie istnieje. f (x 0 ) x 0
Warunek wystarczający ekstremum Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym a, b oraz niech punkt x 0 (a, b). Jeżeli spełnione są warunki: f jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x 0, r), f (x) < 0 dla x (x 0 r, x 0 ), f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + r), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne.
Warunek wystarczający ekstremum Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym a, b oraz niech punkt x 0 (a, b). Jeżeli spełnione są warunki: f jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x 0, r), f (x) > 0 dla x (x 0 r, x 0 ), f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + r), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne.
Warunek wystarczający ekstremum Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale domkniętym a, b oraz niech punkt x 0 (a, b). Jeżeli spełnione są warunki: f jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x 0, r), f (x) ma stały znak w sąsiedztwie S(x 0, r), to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x 0.
Zastosowanie ekonomiczne optymalna wielkość produkcji Przypuśćmy, że pewne przedsiębiorstwo wytwarza tylko jeden produkt i cała wytwarzana ilość tego produktu jest sprzedawana. Niech q oznacza wielkość produkcji, a R(q) oraz C(q) odpowiednio przychód ze sprzedaży i koszt wytworzenia q jednostek tego produktu. Zakładamy, że funkcje R i C są różniczkowalne. Zysk ze sprzedaży q jednostek danego produktu wynosi Z(q) = R(q) C(q), q 0. Optymalną wielkością produkcji jest wielkość produkcji, która zapewnia maksymalny zysk.
Zastosowanie ekonomiczne optymalna wielkość produkcji Z warunku koniecznego i wystarczającego ekstremum wynika, że wielkość produkcji q 0 zapewniająca maksymalny zysk musi spełniać warunki: Z (q 0 ) = 0, Z (q) > 0 dla q < q 0, Z (q) < 0 dla q > q 0, czyli układ warunków: R (q 0 ) = C (q 0 ), R (q) > C (q) dla q < q 0, R (q) < C (q) dla q > q 0.