Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy funkcja dwóch zmiennych i zapisujemy w postaci z = f x; y). Zbiór punktów x; y; z) z przestrzeni R takich, ze x; y) 2 D oraz z = f x; y) nazywamy wykresem funkcji f. Mówimy, ze ciag punktów P n ) n2n o wspó rzednych x n ; y n ) da zy do punktu P 0 o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) jeśli lim x n = x 0 i jednocześnie lim y n = n! n! y 0 czyli odleg ość q d P n ; P 0 ) = x n x 0 ) 2 + y n y 0 ) 2 da zy do zera przy n!. Mówimy, ze funkcja f x; y) określona na pewnym sasiedztwie S punktu P 0 o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) ma w tym punkcie granice g, jeśli dla dowolnego ciagu punktów P n ) n2n o wspó rzednych x n ; y n ), zbie znego do punktu P 0, lim f x n; y n ) = g. n! Funkcje f x; y) określona na pewnym obszarze D nazywamy ciag a w punkcie P 0 2 D, jeśli posiada w tym punkcie granice równa f x 0 ; y 0 ), czyli dla dowolnego ciagu punktów P n ) n2n o wspó rzednych x n ; y n ), da z acego do P 0, lim f x n; y n ) = f x 0 ; y 0 ). n! Funkcja f x; y) jest ciag a w obszarze D gdy jest ciag a w ka zdym punkcie tego obszaru.
Pochodne czastkowe funkcji dwóch zmiennych Za ó zmy, ze f x; y) jest funkcja dwóch zmiennych, G R 2 zbiorem otwartym oraz p = p ; p 2 ), Pochodna czastkow a w punkcie p funkcji f : G! R wzgl edem i-tej osi nazywamy pochodna w punkcie 0 funkcji jednej zmiennej) ' t) = f p + t! e i ). Mo zemy mówić o dwóch pochodnych czastkowych oznaczanych symbolami f 0 x p) i f 0 y p), przy czym oraz f 0 x p) = lim f p + t; p 2 ) f p ; p 2 ) t f 0 y p) = lim f p ; p 2 + t) f p ; p 2 ) t Pierwsza pochodna czastkow a wzgledem x funkcji dwóch zmiennych f x; y) jest funkcja dwóch zmiennych, która ka zdemu punktowi p 2 G o wspó rz ednych x; y) przyporzadkowuje liczb e f 0 x x; y) = f 0 x p). Przyk ady:. Pochodnymi czastkowymi funkcji f x; y) = x 2 +y w punkcie p = 0; 0) sa liczby oraz f 0 x 0; 0) = lim t 2 t = 0 f 0 t y 0; 0) = lim t =. Pierwsza pochodna czastkow a funkcji f x; y) = x 2 + y jest funkcja zaś druga - funkcja f 0 x x; y) = lim x + t) 2 + y x 2 y t f 0 y x; y) = lim x 2 + y + t x 2 y t = 2x =. 2. Pochodna czastkow a funkcji f x; y) = x cos y wzgledem zmiennej x jest funkcja f 0 x x; y) = x 2 cos y zaś wzgledem zmiennej y - funkcja f 0 y x; y) = x sin y 2
. Rozwa zmy funkcje f x; y) = ln xy 2 ) określona na zbiorze G = fx; y) 2 R 2 : x > 0; y > 0g. Wówczas, dla dowolnego x; y) 2 G oraz f 0 x x; y) = xy 2 y2 = x f 0 y x; y) = xy 2 2xy = 2 y. Pochodne czastkowe pochodnych czastkowych funkcji wielu zmiennych nazywamy pochodnymi czastkowymi drugiego rz edu tej funkcji. Funkcja dwóch zmiennych f x; y) mo ze wiec mieć w danym punkcie p cztery pochodne czastkowe drugiego rz edu oznaczane symbolami xx p) xy p) yx p) yy p) Przyk ad: 4. Pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f x; y) = x cos y znajdujemy obliczajac obie pochodne czastkowe funkcji f 0 x x; y) oraz obie pochodne czastkowe funkcji f 0 y x; y). Zatem xx x; y) = f 0 x) 0 x x; y) = x2 cos y = 6x cos y 0x xy x; y) = f 0 x) 0 y x; y) = x2 cos y 0 yx x; y) = f 0 y yy x; y) = f 0 y 0 x x; y) = x sin y 0 y = x = 0 y x; y) = x sin y 0 y = x2 sin y x2 sin y x cos y Twierdzenie Schwartza). Je zeli funkcja f x; y) określona na pewnym obszarze otwartym ma w tym obszarze obie pochodne mieszane xy i yx i pochodne te sa ciag e w pewnym punkcie P 0, to xy P 0 ) = yx P 0 )
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Mówimy, ze funkcja dwóch zmiennych f, określona na obszarze D, ma w punkcie P 0 2 D o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) minimum lokalne, jeśli istnieje otczenie D 0 D punktu P 0 takie, ze dla dowolnego punktu x; y) 2 D 0 f x; y) > f x 0 ; y 0 ). Analogicznie - funkcja f ma w x 0 ; y 0 ) maksimum lokalne, jeśli f x; y) 6 f x 0 ; y 0 ) dla dowolnego punktu x; y) pewnego otoczenia D 0 punktu x 0 ; y 0 ). Jeśli w powy zszych nierównościach wyst epuj a nierówności ostre, to mówimy o minimum maksimum) w aściwym. Twierdzenie. warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie x 0 ; y 0 ) obie pochodne czastkowe i ekstremum lokalne, to f 0 x x 0 ; y 0 ) = 0 oraz f 0 y x 0 ; y 0 ) = 0. atwo zauwa zyć, ze funkcja f x; y) = xy ma w punkcie 0; 0) obie pochodne czastkowe równe zero, ale nie ma w tym punkcie ekstremum lokalnego. Rzeczywiście f 0; 0) = 0 i w ka zdym otoczeniu punktu 0; 0) znajduja sie punkty, dla których wartość funkcji jest dodatnia obie wspó rz edne tego samego znaku) oraz punkty, w których wartość funkcji jest ujemna wspó rz edne ró znych znaków) Twierdzenie 2. warunek wystarczajacy istnienia ekstremum) Jeśli funkcja dwóch zmiennych f x; y) ma ciag e pochodne czastkowe pierwszego i drugiego rzedu w otoczeniu punktu P 0 o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) oraz spe nione sa warunki: ) f 0 x x 0 ; y 0 ) = 0 i f 0 y x 0 ; y 0 ) = 0 2) W x 0 ; y 0 ) = xx x 0 ; y 0 ) xy x 0 ; y 0 ) yx x 0 ; y 0 ) yy x 0 ; y 0 ) > 0, to funkcja f ma w punkcie P 0 ekstremum w aściwe. Jeśli xx x 0 ; y 0 ) < 0, to funkcja ma w P 0 maksimum w aściwe, jeśli zaś xx x 0 ; y 0 ) > 0 - minimum w aściwe. Jeśli W x 0 ; y 0 ) < 0, to funkcja f nie ma w P 0 ekstremum. Jeśli W x 0 ; y 0 ) = 0 - twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum. 4
Przyk ady : 5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji fx; y) = x y + xy: Dziedzina funkcji f jest zbiór R 2 : Niech x; y) 2 R 2. Obliczamy pochodne czastkowe pierwszego rz edu funkcji f : fxx; 0 y) = x 2 + y; fyx; 0 y) = y 2 + x: Badamy warunek konieczny istnienia ekstremum: fxx; 0 y) = 0 fyx; 0 y) = 0 ) x 2 + y = 0 y 2 + x = 0 ) x 2 + y = 0 y 2 + x = 0: Z drugiego równania otrzymujemy x = y 2 : Podstawiajac ten warunek do pierwszego równania, otrzymujemy y 4 + y = 0, czyli yy + ) = 0: Zatem y = 0 lub y = ; a stad odpowiednio x = 0 lub x = : Punktami stacjonarnymi funkcji f sa wiec punkty 0; 0) oraz ; ): Badamy warunek wystarczajacy istnienia ekstremum. pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f : Wyznaczamy Badamy wartość wyró znika xxx; y) = 6x; xyx; y) = ; yyx; y) = 6y: W x; y) = xxx; y) yyx; y) xyx; y)) 2 w wyznaczonych punktach stacjonarnych: W 0; 0) = 9 < 0; zatem w punkcie 0; 0) funkcja f nie ma ekstremum. W ; ) = 27; zatem w punkcie ; ) funkcja f ma ekstremum. Poniewa z fxx; 00 ) = 6 > 0; wi ec w punkcie tym jest minimum lokalne, które wynosi f min ; ) = : 5
6. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji gx; y) = 2x y 2 )e 2x : Rozwiazanie: Dziedzina funkcji g jest zbiór R 2 : Niech x; y) 2 R 2. Obliczamy pochodne czastkowe pierwszego rz edu funkcji g : g 0 xx; y) = 2e 2x + 2x y 2 ) 2e 2x ) = e 2x 2 4x + 2y 2 ); g 0 yx; y) = 2ye 2x : Badamy warunek konieczny istnienia ekstremum: gxx; 0 y) = 0 gyx; 0 y) = 0 ) e 2x 2 4x + 2y 2 ) = 0 2ye 2x = 0: Poniewa z dla ka zdej liczby rzeczywistej x spe niona jest nierówność e 2x > 0; wiec uk ad przyjmuje postać 2 4x + 2y 2 = 0 y = 0: Podstawiaj ac drugi warunek do pierwszego równania, otrzymujemy 2 4x = 0; a stad x = : Zatem punktem stacjonarnym funkcji g jest 2 ; 0. 2 Badamy warunek wystarczajacy istnienia ekstremum. pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji g : g 00 xxx; y) = 2e 2x 2 4x + 2y 2 ) + e 2x 4) = = e 2x 8 + 8x 4y 2 ); g 00 xyx; y) = 4ye 2x ; g 00 yyx; y) = 2e 2x : Badamy wartość wyró znika W x; y) = g 00 xxx; y) g 00 yyx; y) g 00 xyx; y)) 2 w wyznaczonym punkcie stacjonarnym: Wyznaczamy W ; 0 = 8e 2 ; zatem w punkcie ; 0 funkcja g ma ekstremum. 2 2 Poniewa z gxx 00 ; 0 = 4e < 0; wiec w punkcie tym jest maksimum 2 lokalne, które wynosi g max ; 0 = : 2 e 6
7. Zadanie: Znaleźć odleg ość punktu P o wspó rz ednych 2; 0; 0) od powierzchni S opisanej równaniem x 2 + y 2 = z 2, a tak ze wspó rzedne punktu tej powierzchni le z acego najbli zej punktu P. Rozwiazanie: Odleg ość punktu M o wspó rz ednych x; y; z) od punktu P wynosi d MP = q x 2) 2 + y 2 + z 2. Jeśli punkt M le zy na powierzchni S, to x 2 + y 2 = z 2, wiec q d MP = x 2) 2 + y 2 + x 2 + y 2 = p 2x 2 + 2y 2 4x + 4: Dla u atwienia rachunków, znajdziemy ekstremum funkcji określajacej kwadrat takiej odleg ości, czyli funkcji f x; y) = 2x 2 + 2y 2 4x + 4. Pochodne czastkowe pierwszego rz edu funkcji f wynosza f 0 x = 4x 4 oraz f 0 y = 4y, zatem ekstremum mo ze znajdować si e w punkcie ; 0). Poniewa z xx = 4, yy = 4 oraz xy = 0, wi ec w punkcie tym funkcja f ma minimum równe 2. Szukana odleg ość wynosi zatem p p 2, zaś wspó rzedne punktów powierzchni S le z acych w odleg ości 2 od punktu P : x =, y = 0 i z = lub. Najmniejsza i najwieksza wartość funkcji w zbiorze Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, wartość funkcji wielu zmiennych osiagana w punktach stacjonarnych mo ze nie być najmniejsza ani najwi eksz a wartości a tej funkcji w jej dziedzinie. Co wi ecej, funkcja taka mo ze w ogóle nie osiagać wartości najmniejszej i najwi ekszej. Jednak - podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej - prawdziwe jest nast epujace twierdzenie: 7
Twierdzenie. Funkcja ciag a wielu zmiennych, określona na ograniczonym zbiorze domkni etym, jest ograniczona oraz osiaga wartość najmniejsza i najwieksz a. Aby znaleźć najwi eksz a i najmniejsza wartość funkcji f posiadajacej pochodne czastkowe drugiego rz edu w ograniczonym i domkni etym zbiorze D post epujemy nast epuj aco: a) znajdujemy punkty le z ace we wnetrzu zbioru D, w których pierwsze pochodne czastkowe funkcji f przyjmuja wartość zero i obliczamy wartość funkcji f w tych punktach; b) wyznaczamy najmniejsza i najwieksz a wartość funkcji f na brzegu zbioru D oraz c) porównujemy te wartości. Przyk ad: 8. funkcji Zadanie: Wyznaczyć najmniejsza i najwieksz a wartość f x; y) = 2x + 4x 2 + y 2 2xy w obszarze domknietym ograniczonym liniami y = x 2 i y = 4. Rozwiazanie: a) Znajdujemy punkty stacjonarne funkcji f. Pierwsze pochodne czastkowe wynosza: f 0 x x; y) = 6x 2 + 8x 2y oraz f 0 y x; y) = 2y 2x. Obie pochodne zeruja sie w punktach 0; 0) i ; ). Zaden z tych punktów nie le zy we wnetrzu obszaru D. b) Szukamy najmniejszej i najwi ekszej wartości funkcji f na odcinku y = 4, x 2 [ 2; 2]. Badamy wiec funkcje jednej zmiennej Poniewa z g x) = f x; 4) = 2x + 4x 2 8x + 6. g 0 x) = 6x 2 + 8x 8, funkcja g mo ze mieć ekstremum w punkcie x = 2 lub x 2 = 2. Musimy te z zbadać wartości funkcji f na uku y = x 2 dla x 2 [ 2; 2]. Tym razem badamy funkcj e h x) = f x; x 2 = x 4 + 4x 2. 8
Funkcja ma miejsce zerowe w punkcie x = 0. h 0 x) = 4x + 8x c) Aby znaleźć najwieksz a i najmniejsza wartość funkcji f x; y) w danym zbiorze, musimy porównać wartości f 2; 4) ; f 2; 4), f 2; 4 oraz f 0; 0). Ostatecznie f min = 0 = f 0; 0) oraz f max = 2 = f 2; 4) = f 2; 4). 9. Zadanie: W trójkacie o wierzcho kach 0; 0), 0; ) i ; 0) znaleźć punkt o tej w asności, ze suma kwadratów odleg ości od tego punktu do wierzcho ków trójkata jest najmniejsza. Rozwiazanie: Suma kwadratów odleg ości od punktu o wspó rz ednych x; y) do wierzcho ków trójkata jest równa f x; y) = x 2 + y 2 + x 2 + y ) 2 + x ) 2 + y 2 = x 2 + y 2 2y 2x + 2. a) Szukamy punktów stacjonarnych funkcji f x; y) we wnetrzu trójkata. Pochodne czastkowe pierwszego rz edu badanej funkcji wynosza f 0 x x; y) = 6x 2 i f 0 y x; y) = 6y 2 zeruja sie zatem w punkcie o wspó rzednych ;. Wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4. b) Na odcinku y = 0 dla x 2 [0; ] nasza funkcja przyjmuje postać g x) = x 2 2x + 2. Pochodna funkcji g zeruje sie w punkcie x = oraz g = f ; 0 = 5. Ponadto g 0) = f 0; 0) = 2 oraz g ) = f ; 0) =. Na odcinku x = 0 dla y 2 [0; ] nasza funkcja przyjmuje postać h y) = f 0; y) = y 2 2y + 2. Poniewa z wzór na funkcje h jest analogiczny do wzoru na funkcje g, wnioskujemy, ze na tym odcinku funkcja ma wartość najmniejsza 5 a najwieksz a. Wreszcie na odcinku y = x dla x 2 [0; ] nasza funkcja przyjmuje postać k x) = f x; x) = 6x 2 6x + i ma minimum w punkcie oraz k 2 2 = f ; 2 2 =. 2 c) Ostatecznie f min = f ; = 4. 9