ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA

Transkrypt

1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA Andrzej FRYSZKOWSKI SZCZECIN, 27 MARCA 2014 Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

2 BROSZURA OMG I (2005/2006) (opracowanie: Joanna Jaszuńska). Zasada szu adkowa Dirichleta g osi, ze Jeśli umieścimy (n + 1) przedmiotów w n szu adkach, to w pewnej szu adce znajd ¾a si ¾e co najmniej 2 przedmioty. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

3 Mo zna te z powiedzieć tak: Jeśli umieścimy (m > n) przedmiotów w n to w pewnej szu adce znajd ¾a si ¾e co najmniej 2 przedmioty. szu adkach, Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

4 Bardziej ogólne sformu owanie: Jeśli umieścimy (kn + 1) przedmiotów w n to w pewnej szu adce znajd ¾a si ¾e co najmniej (k + 1) przedmioty. szu adkach, Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

5 T ¾e bardzo naturaln ¾a obserwacj ¾e mo zna zastosować w wielu dziedzinach matematyki i o ró znym stopniu trudności. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

6 ZADANIE 1. Na sali znajduj ¾a si ¾e 43 osoby. Wyka z, ze wśród nich jest 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

7 ZADANIE 2. (VII OMG, test) Czy wśród ka zdych pi ¾eciu ró znych liczb ca kowitych istniej ¾a takie dwie, których ró znica jest podzielna przez 4? Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

8 ZADANIE 3. We wn ¾etrzu trójk ¾ata równobocznego o boku 2 wybrano pi ¾eć punktów. Udowodnij, ze pewne dwa spośród nich s ¾a odleg e o co najwy zej 1. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

9 ZADANIE 4. Na p aszczyźnie danych jest pi ¾eć punktów kratowych (czyli punktów o obu wspó rz ¾ednych ca kowitych). Udowodnij, ze środek któregoś z odcinków ¾acz ¾acych te punkty te z jest punktem kratowym. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

10 ZADANIE 5. (OMG V, Fina ) Danych jest pi ¾eć dodatnich liczb rzeczywistych. Wyka z, ze spośród tych liczb mo zna wybrać takie dwie liczby a, b, dla których a b < 1 4. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

11 ZADANIE 6. (OMG 1/I/3) W kole o promieniu 10 wybrano 99 punktów. Udowodnij, ze wewn ¾atrz tego ko a istnieje punkt odleg y od ka zdego z wybranych punktów o wiecej ni z 1. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

12 ZADANIE 7. Ponad po ow ¾e powierzchni pewnej planety zajmuj ¾a morza i oceany. Udowodnij, ze istnieje taka średnica tej planety, której zaden koniec nie jest na l ¾adzie. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

13 ZADANIE 8. (OMG 2/I/7) Spośród wszystkich wierzcho ków 17 k ¾ata foremnego wybrano dziesi ¾eć. Wyka z, ze wsród wybranych punktów s ¾a cztery b ¾ed ¾ace wierzcho kami trapezu. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

14 ZADANIE 9. (OMG IX, Fina, zad. 4) Spośród wierzcho ków 100-k ¾ata foremnego wybrano 51 punktów. Wyka z, ze wśród wybranych punktów istniej ¾a trzy b ¾ed ¾ace wierzcho kami trójk ¾ata prostok ¾atnego równoramiennego. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

15 ZADANIE 10. Przy okr ¾ag ym stole jest 100 miejsc oznaczonych proporczykami 100 ró znych państw. Ambasadorowie tych państw siedli przy stole w sposób losowy tak, ze zaden z nich nie zaj ¾a odpowiedniego miejsca. Wyka z, ze mo zna tak obrócić okr ¾ag y stó, aby co najmniej dwóch ambasadorów siedzia o przy w aściwych proporczykach. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

16 ZADANIE 11. Danych jest 12 ró znych dwucyfrowych liczb naturalnych. Udowodnij, ze mo zna tak wybrać pewne dwie z nich, aby ich ró znica by a liczb ¾a postaci aa (gdzie a jest cyfr ¾a). Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

17 ZADANIE 12. Na nieskończonej szachownicy stoi 1999 koników szachowych. Czy mo zna z nich wybrać 1000 takich, ze zadne dwa si ¾e nie atakuj ¾a? Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

18 ZADANIE 13. Wyka z, ze w ka zdym wypuk ym parzystok ¾acie istnieje przek ¾atna, która nie jest równoleg a do zadnego z boków. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

19 ZADANIE 14. Wyka z, ze w ka zdym wielościanie pewne dwa wierzcho ki maj ¾a tyle samo kraw ¾edzi. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

20 ZADANIE 15. Wyka z, ze w ka zdym wielościanie pewne dwie ściany maj ¾a tyle samo kraw¾edzi. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

21 ZADANIE 16. (MOM 1972) Dany jest zbiór z o zony z dziesi ¾eciu liczb naturalnych dwucyfrowych. Udowodnij, ze w tym zbiorze istniej ¾a dwa niepuste, roz ¾aczne podzbiory takie, ze sumy liczb obu podzbiorów s ¾a równe. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

22 ZADANIE 17. (XL OM, zawody II stopnia) Dane s ¾a liczby ca kowite a 1, a 2,..., a 11. Wyka z, ze istniej ¾a takie liczby x 1, x 2,..., x 11, nie wszystkie równe 0, z których ka zda jest równa 1, 0 lub 1 oraz liczba x 1 a 1 + x 2 a x 11 a 11 jest podzielna przez Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

23 ZADANIE 18. Udowodnij, ze w dowolnym ci ¾agu 2014 liczb naturalnych mo zna wskazać pewn ¾a liczb ¾e kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

24 ZADANIE 19. Na p aszczyźnie danych jest 6 punktów, z których zadne trzy nie le z ¾a na jednej prostej, a ka zde dwa maj ¾a ró zn ¾a odleg ość. W ka zdym trójk ¾acie wyznaczonym przez pewn ¾a trójk ¾e tych punktów najkrótszy bok malujemy na czerwono. Udowodnij, ze istnieje trójk ¾at o wszystkich bokach czerwonych. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25

25 ZADANIE 20. (MOM, XXXVII/II/3) W turnieju szachowym uczestniczy 66 zawodników, ka zdy z ka zdym rozgrywa jedn ¾a parti ¾e, zawody odbywaj ¾a si ¾e w czterech miastach. Udowodnij, ze pewna trójka zawodników rozgrywa partie mi ¾edzy sob ¾a w tym samym mieście. Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA / 25