Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe

Transkrypt

1 Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

2 Wyznacznik macierzy 3x3 Jak ju z wspomnieliśmy tydzień temu wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia 3 mo zna obliczać za pomoc ¾a metody Sarrusa. a b c d e f = aek + bfg + cdh ceg afh bdk g h k Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec 013 / 13

3 Wyznacznik macierzy wy zszych rz ¾edów Wyznacznik macierzy wy zszych rz ¾edów za pomoc ¾a rozwini ¾ecia Laplace a mo zna sprowadzić do wyznacznika rz ¾edu 3. Rozwini ¾ecie Laplace a zosta o zaprezentowane na poprzednim wyk adzie, ale przytoczymy je jeszcze raz w celu omówinia pewnych jego mody kacji det A = k a ij ( 1) i+j A ij. j=1 Nale zy w tym miejscu zauwa zyć, ze obliczanie wyznacznika mo ze być dość pracoch onne. Dla przyk adu obliczaj ¾ac wyznancznik stopnia 4 musimy obliczyć 4 wyznaczniki stopnia 3. Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

4 Wyznacznik macierzy wy zszych rz ¾edów Natomiast obliczania wyznacznika stopnia 5 musimy obliczyć 5 wyznaczników stopnia 4, a co za tym idzie 0 wyznaczników stopnia 3. W zwi ¾azku z powy zszym spostrze zeniem przedstawimy teraz metod ¾e zmniejszaj ¾ac ¾a pracoch onność. Metoda ta polega na zastosowaniu operacji elementarnych w taki sposób aby zwi ¾ekszyć liczb ¾e elementów zerowych. Najwygodzniej jest doprowadzić do sytuacji, w której wszystkie elementy w wierszu (poza jednym) by y równe zero. Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

5 Operacje elementarne na wyznacznikach Operacjami elementranymi s ¾a: 1 dodanie dwóch lub wi ¾ecej wierszy do siebie pomno zenie wiersza przez pewn ¾a sta ¾a oraz dodanie otrzymanego wiersza do innego Powy zsze w asności zachowuj ¾a swoj ¾a prawdziwość równie z dla kolumn. Ponadto nale zy pami ¾etać, ze zamiana dwóch wierszy lub kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika na przeciwny oraz pomno zenie pewnego wiersza lub kolumny przez sta ¾a powoduje pomno zenie wyznacznika przez t ¾a sta ¾a. Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

6 Przyk ad rozwini ¾ecia Laplace a = 1 ( 1) w w 1;w 3+w 1;w 4 w 1 = = 1 ( 1) k3+k1 0 4 = = = = = Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

7 Macierz odwrotna Dla ka zdej macierzy kwadratowej, której wyznacznik jest ró zny od zera mo zna wyznaczyć macierz odwrotn ¾a. Macierz ¾a odwrotn ¾a do macierzy kwadratowej A jest macierz A 1 spe niaj ¾aca poni zsze równanie A A 1 = A 1 A = I, gdzie I oznacza macierz jednostkow ¾a. Macierz odwrotn ¾a do macierzy A mo zna wyznaczać m. in. za pomoc ¾a nast ¾epuj ¾acego wzoru A 1 = 1 det A DT, gdzie D jest macierz ¾a dope nień algebraicznych. Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

8 Dzia ania na macierzach a wartość wyznacznika Jeśli det A = a, det B = b, det A 1 = c i macierze s ¾a tego samego stopnia to zachodz ¾a nast ¾epuj ¾ace równości det (A + B) = a + b det (A B) = a b det C = c = 1 a, st ¾ad det A det A 1 = det A A 1 = det I = 1 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

9 Przyk ad wyznaczania macierzy odwrotnej Niech A = atwo sprawdzamy, ze det A = 8 zatem istnieje macierz odrotna. Wyznaczmy elementy macierzy D d 11 = ( 1) = 3; d 1 = ( 1) = 4; d 13 = ( 1) = 1 itd 3 5 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

10 Przyk ad wyznaczania macierzy odwrotnej c.d. Ostatecznie stwierdzamy, ze macierz D jest równa D = st ¾ad i ostatecznie A 1 = D T = = Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

11 Równania macierzowe Macierz odwrotna odgrywa bardzo zancz ¾ac ¾a rol ¾e w rozwi ¾azywaniu równań macierzonych. Mno zenie przez macierz odwrotn ¾a jest odpowienikiem dzielenia w ciele liczb rzeczywistych. Nale zy jednak pami ¾etać, ze iloczyn macierzy nie jest przemienny i dlatego istotna jest kolejność wyst ¾epowania macierzy w zapisie uk adu równań. Za ó zmy, ze chcemy rozwi ¾azać równanie AXB + C = D gdzie A, B, C, D s ¾a nieosobliwymi macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. W celu wyznaczenia niewiadomej macierzy X musimy post ¾epować w nast ¾epuj ¾acy sposób: Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

12 Równania macierzowe c.d. Najpierw przenosimy macierz C na drug ¾a stron ¾e, czyli odejmujemy macierz C stronami. Otrzmyujemy wówczas AXB = D C nast ¾epnie mno zymy oba rówania z lewej strony przez A 1 oraz z prawej strony przez B 1 i otrzymujmemy A 1 AXBB 1 = A 1 (D C ) B 1 st ¾ad wykorzystuj ¾ac poznan ¾a wcześniej w asność otrzymujemy IXI = A 1 (D C ) B 1 Ostatecznie wykorzystujemy fakt, ze macierz jednostkowa jest elementem neutralnym mno zenia i mamy X = A 1 (D C ) B 1. Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13

13 Dzi ¾ekuj ¾e za uwag ¾e i zycz ¾e spokojnych Świ ¾at. Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec / 13