Wykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym

Transkrypt

1 Wykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym Niechf: R n RbędziefunkcjąróżniczkowalnąnapewnymobszarzeO R 2.Przyjrzyjmy się zbiorowi f 1 (0)={x R n : f(x)=0}, czylizerowejpoziomicytejfunkcji.jeślipochodnaf (x)jestróżnaodzerawkażdympunkcie poziomicy(to znaczy w każdym punkcie tej poziomicy nie znika przynajmniej jedna pochodna cząstkowa funkcji f), odpowiednie twierdzenia zapewniają, że poziomica ta jest powierzchnią n 1wymiarowąwR n.powierzchnięzdefiniujemyprecyzyjniejwnastępnymwykładzie.terazwystarcząnamprzykłady:wr 2 powierzchniamijednowymiarowymisą:okrąg(tzn.czyli poziomicazerowafunkcjif(x,y)=x 2 +y 2 1),wszelkiekrzywestożkowe:elipsy,hiperbole,parabole.Krzywestożkowesąpoziomicamifunkcjikwadratowychna R 2.Oczywiścienie wszystkie poziomice funkcji kwadratowych są powierzchniami. Na przykład poziomica zerowa funkcjig(x,y)=x 2 y 2 todwieprzecinającesięproste: Wokolicachpunktu(0,0)zbiórtenniejestpowierzchnią.Wykresfunkcjix x niejest powierzchnią w otoczeniu(0, 0) ze względu na dzióbek. W R 3 powierzchniamiwymiaru2sąwykresyróżniczkowalnychfunkcjizr 2 do R,kształty takie jak sfera, elipsoida, torus... Zastanawiać się teraz będziemy nad odpowiedzią na następujące pytanie: kiedy poziomica zerowa funkcji f definiuje jedną ze zmiennych jako funkcje pozostałych. Przyjrzyjmy się funkcji f, której poziomica zerowa jest okręgiem: f(x,y)=x 2 +y

2 2 Patrzącnawykresstwierdzamy,żepoziomicazerowadefiniujedwiefunkcjex y i (x), i = 1, 2. Wykresem pierwszej z nich jest górny półokrąg, wykresem drugiej dolny. Punktamikłopotliwymisąpunkty( 1,0),(0,1).Mówimywtakimprzypadku,żefunkcjex y i (x) zadane są przez równanie (1) f(x,y)=0 wsposóbuwikłany.wtymprzypadkupostaćfunkcjifjestnatyleprosta,żerównanie(1) można rozwikłać: y 1 (x)= x 2 1, y 2 (x)= x 2 1. Bywają jednak sytuacje w których rozwiązanie rówanania ze względu na jedną ze zmiennych jest trudne, albo wręcz niemożliwe. Chcielibyśmy jednak móc uzyskać jakieś informacje na temat funkcji zadawanych przez równanie. Interesować będą nas na przykład ekstrema. Punkty( 1, 0) i(0, 1) nazwałam kłopotliwymi, ponieważ w ich otoczeniu nie można zdefiniować zmiennej y jako funkcji zmiennej x. Kłopot polega na tym, że każdej wartości x odpowiadałyby dwie wartości y. Innego rodzaju kłopot pojawia się w sytuacji kiedy wykres wygląda następująco: Wtejsytuacjiniemaproblemuzdwuwartościowościąifunkcjax y(x)jestokreślona,ale styczna do wykresu w punkcie(1, 0) jest pionowa, co oznacza, że funkcja ta jest nieróżniczkowalna. Wszystkie te zastrzeżenia podsumowuje następujące twierdzenie Twierdzenie1(Ofunkcjiuwikłanej,TFU).Niechf: R n 1 R Rbędziefunkcjąklasy C 1 (różniczkowalnąwsposóbciągły)napewnymobszarzeo R n 1 R.Niechtakżepunkt (x 0,y 0 )należydoo.jeśli F y (x 0,y 0 ) 0 toistniejeotwartyzbióru R n 1 zawierającyx 0 ifunkcjag:u Rróżniczkowalnaitaka, że zbiór {(x,y) O,x U: F(x,y)=0} jest wykresem funkcji g. Załóżmy teraz, że funkcja f zadaje w sposób uwikłany y jako funkcję różniczkowalną zmiennych(x 1,...,x n ).Jakznaleźćpunktykrytyczney(x)?Warunekkoniecznymówi,żewpunkcie krytycznympochodnay (x)jestmacierzązerową.musimywięcwyznaczyćpochodnecząstkowe y x i. Użyjemy notacji y x i= y x i, F x i= F x i. Różniczkujemy równanie F(x 1,x 2,...,x n,y(x 1,x 2,...,x n ))=0

3 3 pozmiennejx i : F x i(x 1,x 2,...,x n,y(x 1,x 2,...,x n ))+ Dla przejrzystości zapisu opuścimy argumenty: (2) F x i+f y y x i=0. Wynikaztego,że F y (x 1,x 2,...,x n,y(x 1,x 2,...,x n ))y x i(x 1,x 2,...,x n )=0. y x i= F x i F y. Pamiętaćnależy,żeobiepochodnecząstkoweF x iif y sąfunkcjamizmiennychxiy.aby otrzymaćprawdziwąwartośćpochodnejy x (x)trzebawstawićwartośćyodpowiadającąx,czyli taką,żef(x,y)=0.warunkiemistnieniafunkcjiuwikłanejx y(x)jestabyf y nieznikała -możnawięcdzielićprzeztęwartość.punktx 0 jestpunktemkrytycznymjeśliy x i(x 0 )=0. Oznacza to, że spełniony jest układ równań: F x i(x 0,y 0 )=0dlai {1,2,...,n}, F(x 0,y 0 )=0. Może się okazać, że znalezione przez nas punkty krytyczne należą do różnych funkcji. Przekonaliśmy się, że jedno równanie może określać wiele funkcji uwikłanych. Określenie rodzaju punktu krytycznego wymaga znalezienia drugiej pochodnej. Zróżniczkujmy jeszcze raz równanie(2), tymrazempox j zakażdymrazempamiętając,żepochodnecząstkowefunkcjifzależąodx j także poprzez funkcję y(x): F x i x j+f x i yy x j+ ( F yx j+f yy y x j) yx i+f y y x i x j=0 W punkcie krytycznym wszystkie pierwsze pochodne cząstkowe funkcji F i funkcji y znikają, zatem równanie przyjmuje postać: F x i x j(x 0,y 0 )+F y (x 0,y 0 )y x i x j(x 0,y 0 )=0 Możemywięcwyznaczyćdrugąpochodnącząstkowąy x i x j(x 0,y 0 ): (3) y x i x j(x 0)= F x i x j(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ). Pamiętajmy, że wzór(3) obowiązuje tylko w punkcie krytycznym. Układając pochodne cząstkowe w macierz otrzymujemy drugą pochodną y w punkcie krytycznym: F x 1 x 1(x 0,y 0 ) F x 1 x 2(x 0,y 0 ) F x 1 x n(x 0,y 0 ) y F (x 0 )= x 2 x 1(x 0,y 0 ) F x 2 x 2(x 0,y 0 ) F x 2 x n(x 0,y 0 ) vdots F x n x 1(x 0,y 0 ) F x n x 2(x 0,y 0 ) F x m x n(x 0,y 0 ) Określoność tej formy badamy jak zwykle. Przykład 1. Niech F(x,y)=x 2 + ( y 4 ) 2 1 x 2 Dziwnewyrażenie 4 x 2 zastąpićmożnatakże x. Zastanówmy się jak wygląda poziomica zerowa tej funkcji. Spróbujemy dowiedzieć się o niej możliwie dużo stosując metody analityczne(bez patrzenia na wykres). Przyjemność narysowania wykresu przy pomocy komputera zostawimy

4 4 sobie na koniec. Używać będziemy wszelkich dostępnych metod, ze szczególnym uwzględnieniem badania funkcji zadanych w sposób uwikłany. Poziomica zerowa funkcji F zadana jest równaniem (4) x 2 + ( y 4 x 2 ) 2=1. Wynika z tego, że żaden ze składników po lewej stronie równania nie przekracza jedynki: oraz (y x 2 1 czyli 1 x 1 x ) 2 1 czyli 1 y x 1, 1+ x y 1+ x. Ostatecznie więc cały obrazek musi mieścić się w prostokącie[ 1, 1] [ 1, 2]. Równanie jest symetryczne ze względu na zamianę x na x, zatem poziomica będzie symetryczna względem prostejx=0. x jest nieróżniczkowalna w x = 0, także poziomica będzie krzy- Ponieważ funkcja x wą nieróżniczkowalną w punktach o współrzędnej x = 0. Czy są takie punkty na krzywej? Sprawdźmy dlax=0mamy F(0,y)=y 2 1=0, czyli y=1,y= 1 Dokrzywejnależąwięcpunkty(0,1)i(0, 1)iwtychpunktachkrzywajestnieróżniczkowalna. Dotychczasowe informacje zaznaczmy na rysunku Sprawdźmyterazczyrównanie(4)określayjakofunkcjęuwikłanązmiennejx.PoliczmyF y : F y (x,y)=2(y x ) PochodnaF y przyjmujewartośćzerowpunktachwktórychy= x. Szukamy takich punktów na krzywej: F(x, x )=x 2 +( x x ) 2 1=x 2 1=0 czyli x=1, x= 1. Wynikaztego,żewotoczeniupunktów(1,1)i( 1,1)(októrychwiemy,żenależądokrzywej) równanie nie definiuje y jako funkcji od x. Oznacza to zazwyczaj następujący kształt wykresu:

5 Sprawdźmy, czy ewentualne funkcje x y(x) zadawane przez równanie mają punkty krytyczne.znajdźmypochodnąf x (dlaułatwieniapoliczmydladodatniegox): F x =2x+2 ( y x )( 1 ) =2x y x x x Pochodna przyjmuje wartość 0 dla y= x(2x+1) Po wstawieniu do równania(4) otrzymujemy warunek na x postaci 4x 3 +x 2 1=0. Niestety rozwiązania tego równania nie są wymierne. Można jednak oszacować mniej więcej wartość interesującego nas miejsca zerowego. Zauważmy, że wielomian w(x)=4x 3 +x 2 1 maekstremawpunktachspełniającychrównaniew (x)=0,tzn 5 0=12x 2 +2x=2x(6x+1) = x=0, x= 1 6 Wpunkciex= 1wartośćwjestujemna,podobniewx=0.Wiadomotakże,żelim 6 x w= + idlax>0funkcjawjestściślerosnąca.oznaczato,żemiędzyzeremanieskończonością jestdokładniejednomiejscezerowe.oznaczmytomiejscezerowex 0.Sprawdzamytakże,że w( 1 2 )= 1 4 <0natomiastw(3)= 3 >0.Wiemywięc,że 1 <x < 3.Punktkrytyczny 4 jestwięcwpunkcie(x 0,y 0 = x 0 (2x 0 +1)).ZsymetriifunkcjiFwynika,żepodobnypunkt krytycznyjestdla x 0,czyliwpunkcie( x 0,y 0 ).Sprawdźmytyppunktukrytycznego: F xx = x ( Wpunkcie(x 0, x 0 (2x 0 +1)) WartośćF y wpunkciekrytycznymto Wnioskujemy więc, że 2x y ) x = x x ( 2x y ) +1 x F xx (x 0, x 0 (2x 0 +1))=2+ 2 x0 + 1 x 0 >0. =2+ y x x. F y (x 0, x 0 (2x 0 +1))=2( x 0 (2x 0 +1) x 0 )=2x 0 x0 >0 y xx (x 0 )= F xx(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ) <0, zatemmamydoczynieniazmaksimum.podobniejestdla( x 0,y 0 ).Wartośćy 0 jestzcałą pewnościądodatnia.jeśliskorzystamyzinformacji,żex 0 > 1 2 tootrzymamy,że y 0 > ( ) = 2 Zaznaczmy prawdopodobny przebieg krzywej na wykresie:

6 6 Policzmy teraz pochodną funkcji x y(x) zadawanej przez równanie(4), tam gdzie można tozrobić.ograniczamysiędox>0(dlax<0wynikdostaniemykorzystajączsymetrii). y x = F x = 2x x y+ x F y 2 x(y = y x(2x+1) x) 2 x(y x). W górnej częściwykresu,tzn.dlax>0,(y> x>0),mianownikprzyjmujewartości dodatnie,ioznakupochodnejdecydujelicznik.licznikzmieniaznakwpunkcie(x 0,y 0 )idla x<x 0 jestdodatniadlax>x 0 ujemny.funkcjax y(x)rośniewięcodwartościy=1w x=0domaksimumy 0 wx 0 anastępniemalejedowartości1wx=1.pochodnay x dążydo + dlaxzbliżającychsiędo0odprawejstrony.dlax<0wykresjestsymetryczny.oznacza to,żewx=0funkcjamaminimumokształcie dzióbka : Dolną część wykresu zrekonstruujemy przyglądając się funkcjom y x(y) zadanym przez naszerównanie.badającf x szukamykłopotliwychpunktów: F x =2x y x x. Wiemyjuż,żeF x =0dla(x 0,y 0 )idla( x 0,y 0 ).Widaćtakże,żeniedobresąpunktydla których x = 0, w tych punktach nie możemy różniczkować. Szukamy teraz ekstremów funkcji y x(y)(niewiedzącoczywiścienarazieiletychfunkcjijest).pochodnaf y mapostać F y (x,y)=2(y x ). Punkty krytyczne zatem to(1, 1) i( 1, 1), czyli te, które wcześniej znaleźliśmy jako niedobre do wyznaczania funkcji x y(x). Zbadamy rodzaj ekstremum w punkcie(1, 1): F yy (x,y)=2, F x =2x y x x (1,1) =2, zatem x yy (1,1)= 2 2 = 1<0.

7 Punkt(1, 1) jest więc maksimum funkcji. Z symetrii wykresu wnioskujemy, że w( 1, 1) otrzymamy minimum odpowiedniej funkcji. Nasze przewidywania dotyczące kształtu wykresu okazałysięwięcsłuszne.zbadajmyjeszczepochodnąx y dlay<1.pochodnataopisanajest wzorem: x y = F y = 2 x(y x). F x x(2x+1) y Znakpowyższegowyrażeniałatwookreślićgdyy<0ix>0.Mianownikjestwtedydodatni, liczni ujemny. Minus przed ułamkiem powoduje, że cala pochodna jest ujemna. Funkcja y x(y)jestwięcrosnącaprzynajmniejdlay <0.Dlaxdążącegodo0iydążącegodo 1 pochodnadążydozera.krzywazmierzawięcdopunktu(0, 1) wsposóbstyczny doosi pionowej. Spróbujmy uzupełnić wykres: 7 A ciekawe jak to wygląda naprawdę? Przykład 2. Znaleźć i zbadać punkty krytyczne funkcji (x,y) z(x,y) określonych równaniem (x+z)(y+z)(1 z xy )=8. Przykład ten był rozwiązany na wykładzie, być może wkrótce notatki zostaną uzupełnione