Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.

Transkrypt

1 Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do każdego zadania sk lada sie z trzech odpowiedzi czastkowych do poszczególnych cześci tego zadania Wśród odpowiedzi czastkowych odpowiedź TAK (i podobnie odpowiedź NIE) może wystapić 0, 1, lub 3 razy Za trzy poprawne odpowiedzi czastkowe do jednego zadania otrzymuje sie 1 punkt Za każda poprawna odpowiedź czastkow a otrzymuje sie 1/10 punktu Odpowiedzi podajemy na do l aczonej do testu kartce z tabelka Jest tam wyjaśniony sposób ich wpisywania (1) Niech A, B, C bed a dowolnymi podzbiorami zbioru X Oznaczmy przez A zbiór X \ A Czy prawdziwa jest implikacja (a) (A B Ø B C Ø A C Ø) A B C Ø? (b) (A B A C) B C? (c) A (B C) = Ø (B C) A? () Na zjedzenie garnca miodu Kubuś z Tygryskiem i Prosiaczkiem zużywaja 3 godziny, Kubuś z Tygryskiem 4 godziny, a sam Kubuś 5 godzin Na zjedzenie tego samego garnca miodu wystarcza (a) Prosiaczkowi 1 godzin (b) Prosiaczkowi z Tygryskiem 7 godzin (c) Tygryskowi 15 godzin (3) Liczba 001! 1000 (a) jest ca lkowita (b) ma na końcu 500 zer (c) ma na końcu 499 zer (4) Pierwiastkiem funkcji kwadratowej ax + bx + c o wspó lczynnikach ca lkowitych a, b, c, a 0 jest liczba 3 1 Zatem (a) pierwiastkiem tej funkcji musi być także liczba 3 1 (b) musza być spe lnione równości a = 1, b = i c = (c) musi być spe lniona równość c = a (5) Wielomian x 3 5x + 3x 7 ma (a) trzy pierwiastki (b) pierwiastek podwójny (c) tylko jeden pierwiastek 1

2 (6) Wielomian (x + ax + b) 001 może w zależności od a, b R (a) dzielić si e przez (x 1) 00 (b) mieć dok ladnie różne pierwiastki rzeczywiste (c) mieć 400 różne pierwiastki rzeczywiste (7) Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność (a) a b a b? (b) a b a b? (c) a b b a? (8) Równanie x m = 0 może mieć w zależności od parametru m R dok ladnie (a) 3 rozwiazania (b) 5 rozwiazań (c) 6 rozwiazań (9) Uk lad równań { x + y = r xy = a może mieć w zależności od parametrów a, r R dok ladnie (a) rozwiazania (b) 6 rozwiazań (c) 1 rozwiazanie (10) Dana jest parabola bed aca wykresem funkcji kwadratowej g(x) = ax + bx + c Wówczas (a) obraz tej paraboli w symetrii wzgledem osi OY jest wykresem funkcji ) = ax bx + c (b) obraz tej paraboli w symetrii wzgledem punktu (0, 0) jest wykresem funkcji ) = ax + bx c (c) obraz tej paraboli w symetrii wzgledem prostej x = b jest wykresem funkcji ) = ax + bx + a c (11) Liczba sin π 1 (a) 6 4 (b) (c) jest równa (1) Funkcja dana wzorem ) = log 1 (log x) jest (a) określona w przedziale (0, ) (b) funkcja sta l a (c) funkcja malejac a (13) Funkcja dana wzorem ) = 8 x jest z lożeniem funkcji

3 3 (a) 8 x i x (b) x 3 i x (c) x i 3x (14) Funkcja f : R R spe lnia dla dowolnych x, y R warunek y) = ) + f(y) (a) Taka funkcja jest logarytm o dowolnej podstawie a > 0, a 1 (b) Taka funkcja nie istnieje (c) Taka funkcja musi być sta la (15) Funkcja parzysta i różniczkowalna określona dla wszystkich liczb rzeczywistych posiada (a) pochodna, która jest funkcja nieparzysta (b) ekstremum lokalne (niekoniecznie w laściwe) (c) miejsce zerowe (16) Pochodna pewnej funkcji f w punkcie x 0 ma wartość Wtedy (a) lim 0 +h) 0 ) = 1 h (b) lim 0 +h) 0 ) = h (c) lim 0 ) 0 +h) = h (17) Funkcja f : R R dana wzorem x + 1 dla x < 0 ) = 0 dla x = 0 x + 1 dla x > 0 (a) jest ciag la w x = 0 (b) ma pochodna dla x = 0 (c) ma minimum lokalne w x = 0 (18) Do naczynia o kszta lcie odwróconego wierzcho lkiem do do lu stożka o kacie rozwarcia 60 wlewa sie woda z szybkościa 100 cm 3 /s (a) wysokość s lupa wody (w centymetrach) w zależności od czasu t wyrażonego w sekundach przedstawia wzór 3 900t π (b) szybkość podnoszenia si e lustra wody (w centymetrach na sekund e) w zależności od czasu t wyrażonego w sekundach przed- stawia wzór π 3 t (c) szybkość podnoszenia sie lustra wody (w decymetrach na minute) w zależności od czasu t wyrażonego w minutach przedstawia wzór 3 πt (19) Czy ciag a n, n = 1,, 3, jest rosnacy, gdy

4 4 (a) a n = n 1? n (b) a n = (n 1)? n (c) a n = log (n+1) 001? (0) Czy ciag a n, n = 1,, 3, jest zbieżny do zera, gdy (a) a n = n? n! (b) a n = ? n n+1 n+n (c) a n = sin ( 1)n? n (1) Czy prawdziwe jest zdanie (a) lim a n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 a < 1? (b) lim a n = wtedy i tylko wtedy, gdy a < 0? (c) lim a n = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1? () Równanie x y + x + 4y 3 = 0 opisuje na p laszczyźnie (a) okrag (b) zbiór pusty (c) hiperbole (3) Trójkat ABC jest wpisany w okrag o środku O Prosta k jest styczna do tego okregu w punkcie B Miary katów wewnetrznych A i B sa równe odpowiednio 35 i 75 Wobec tego (a) kat wewnetrzny C ma miare 70 (b) miara kata ostrego miedzy bokiem AB i prosta k wynosi 70 (c) miara kata ostrego miedzy bokiem BC i prosta k wynosi 35 (4) D lugości boków trójkata tworza rosnacy ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie a i różnicy r Wówczas (a) a > r (b) jeżeli a < 3r, to trójkat jest ostrokatny (c) jeżeli trójkat jest prostokatny, to jego boki maja d lugości 3r, 4r, 5r (5) W trójkacie prostokatnym ABC, w którym AB > AC > BC, S jest środkiem odcinka AB, W spodkiem wysokości opuszczonej z punktu C, a D punktem przeciecia dwusiecznej kata wewnetrznego ACB z bokiem AB Kolejność punktów na odcinku AB jest nastepuj aca: (a) A, S, D, W, B (b) A, D, S, W, B (c) A, W, D, S, B (6) W trójkacie ABC punkt D leży na boku BC a punkt E leży na boku AC w taki sposób, że BD = 1 BC oraz AE = 1 AC Odcinki AD 3 3 i BE przecinaja sie w punkcie F Pole trójkata ABF jest równe (a) 1 pola trójk ata 5

5 5 (b) pola trójk ata 7 (c) 1 pola trójk ata 7 (7) W trapezie równoramiennym o podstawach d lugości a i b (a > b) odcinek l acz acy środek d luższej podstawy ze środkiem ramienia dzieli przekatn a w stosunku (a) b a a (b) a+b a (c) a+b (8) Krów zarażonych BSE jest w Polsce 1%, świń zarażonych pryszczyca 5%, a lisów zarażonych wścieklizna 90% Komisarz Unii Europejskiej wybiera losowo stado z lożone ze 100 krów, 100 świń i tylu lisów spośród 100 przebywajacych na danym terenie, ile uda sie z lapać Komisarz zakazuje eksportu ca lego miesa, jeśli losowo wybrane ze stada zwierze bedzie zarażone Ile lisów wystarczy ukryć przed komisarzem, aby dopuścić eksport miesa z prawdopodobieństwem wiekszym niż 90% : (a) 90? (b) 85? (c) 80? (9) Z urny, w której sa 3 kule bia le, 4 czerwone i 5 niebieskich, losujemy trzykrotnie po jednej kuli zwracajac za każdym razem wylosowana kule do urny Prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy (a) trzy kule różnych kolorów wynosi 3!(3 1)( 4 1)( 5 1) (b) trzy kule niebieskie wynosi (c) dwie kule niebieskie i jedna czerwona wynosi (4 1)( 5 ) ( 1 3 ) (30) Z talii 5-kartowej losujemy 5 kart Trójka to zbiór pieciu kart: trzech tej samej wysokości, jednej innej wysokości i jednej jeszcze innej wysokości, np A, A, A, W, 6 Prawdopodobieństwo wylosowania (a) trójki z damami wynosi (4 3)( 48 ) ( 5 5 ) (b) trójki zawierajacej D, D i D wynosi (49 ) ( 5 5 ) (c) dowolnej trójki wynosi 13(48 ) ( 5 5 )