II semestr. Jan Kubarski
|
|
- Natalia Świątek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 II semestr Jan Kubarski
2 0. Funkcje wielu zmiennych, granice De nition 0.. Ka zd a funkcje f : A! R określona na podzbiorze A R n nazywamy funkcja n-zmiennych. Np. Funkcja f (x; y) xy jest funkcja zmiennych, tak samo jak funkcja f (x; y) x: Funkcja określona na zbiorze pustym f : ;! R nosi nazwe funkcji pustej. Funkcja taka jest tylko jedna. Funkcje f (x; y) ln x y ; g (x; y) p sin (x + y) przedstawiaj a funkcje pusta. Przypomnijmy, ze punkt x 0 jest punktem skupienia zbioru A R n je zeli w A mo zna znaleźć ciag punktów zbie zny do x 0 : De nition 0.. Niech f : A! R b edzie funkcja n-zmiennych (A R n ) zaś x 0 punktem skupienia zbioru A: Mówimy, ze granica n-krotna funkcji f (x) w punkcie x 0 jest liczba je zeli Zapisujemy lub 8 ">0 9 >0 8 xa (d (x; x 0 ) < ) jf (x) j < ) : lim x!x 0 f (x) ; lim f x ; :::; x n : x!x 0 x!x 0 :::::::: x n!x n 0 Dla granic wielokrotnych zachodza takie same prawa rachunku granic (granica sumy, ró znicy, iloczynu, ilorazu) jak dla granic funkcji jednej zmiennej. Remark 0..3 Przyroda granic w a sciwych lub niew a sciwych w punktach nieskończonych dla funkcji wielu zmiennych jest o wiele bogatsza, bowiem wyst epuj a granice w punktach w których pewne wspó rz edne sa skończone a pewne nieskończone. Np. lim f (x; y) () x!a y!
3 0.. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH, GRANICE 3, 8 ">0 9 >0 9 L 8 (x;y) (jx aj < i y > L ) jf (x; y) j < ) : Analogicznie mo zna okre slíc inne granice podwójne, potrójne, itp. (cz e sciowo w a sciwe a cz e sciowo niew a sciwe). Obliczanie granic wielokrotnych na ogó jest trudniejsze od obliczania granic pojedyńczych. Example 0..4 Obliczyć lim x!0 y!0 Wymaga to pewnego oszacowania. x y x + y : 0 (jxj jyj) x + y jxj jyj jxj jyj x + y x + y jxj jyj : Stad 0 lim x!0 y!0 x y x + y lim x!0 y!0 x y jxj jyj lim x!0 y!0 jxj jyj 0: Oprócz granic wielokrotnych wy zej opisanych spotykamy te z granice otrzymane w wyniku kolejnych przejść granicznych wykonanych oddzielnie dla ka zdej zmiennej w pewnej kolejności, zwane granicami iterowanymi. Np. dla n mamy dwie granice iterowane lim lim f (x; y) ; lim y!b x!a lim x!a y!b f (x; y) : Okazuje sie, ze nie ma zwiazku mi edzy istnieniem i wartościa granicy wielokrotnej a granicami iterowanymi. Example 0..5 Dla funkcji f (x; y) x y x + y mamy: dziedzina x 6 y; czyli p aszczyzna z wyci et a prosta y (0; 0) jest oczywíscie punktem skupienia dziedziny lim lim x!0 y!0 x y x + y ; lim lim x y y!0 x!0 x + y ; x; punkt
4 4 granica podwójna nie istnieje lim f (x; y) lim x0 y!0 (granica po osi OY ) y!0 lim x!0 y0 lim x!0 6 (granica po osi OX). Granica podwójna nie istnieje bo zale zy od sposobu zbiegania do punktu granicznego. De nition 0..6 Niech f : A! R b edzie funkcja n-zmiennych (A R n ) zaś punkt x 0 niech b edzie punktem skupienia zbioru A: Mówimy, ze funkcja f jest ciag a w punkcie x 0 je zeli ma granice w tym punkcie równa wartości funkcji w tym punkcie: lim f (x) f (x 0 ) : x!x 0 Punkt dziedziny który nie jest punktem skupienia (punkt taki nazywamy punktem izolowanym) uznajemy z de nicji za punkt ci ag ości. Dzia ania dodawania, odejmowania, iloczynu, ilorazu, superpozycji wykonane skończona ilość razy na funkcjach ciag ych daja funkcje ciag e. Analogonem w asności Weierstrassa dla funkcji ciag ych wielu zmiennych jest Theorem 0..7 (W asność Weierstrassa) Ka zda funkcja ciag a na zbiorze zwartym jest funkcja ograniczon a i przyjmuje swoje kresy. 0. Pochodne kierunkowe i czastkowe De nition 0.. Niech funkcja f (x) f (x ; :::; x n ) b edzie dana funkcja n-zmiennych rzeczywistych określona w otoczeniu punktu x 0 (x 0; :::; x n 0). Weźmy dowolny wektor h [h ; :::; h n ] (czesto oznaczamy go innym symbole x [[x ; :::; x n ]). Pochodn a kierunkowa funkcji f w punkcie x 0 w kierunku wektora h nazywamy granic e f 0 h (x 0 ) f (x 0 + t h) f (x 0 ) lim t!0 t f (x 0 + t h ; :::; x n 0 + t h n ) lim t!0 t f (x 0; :::; x n 0) :
5 0.. POCHODNE KIERUNKOWE I CZASTKOWE 5 Jest to pochodna w punkcie t 0 funkcji ' (t) zmiennej t określonej wzorem ' (t) f (x 0 + t h) ; fh 0 (x 0 ) d dt ' (t) ' 0 (0) t0 ' (t) ' (0) lim : t!0 t Dla pochodnych kierunkowych fh 0 (x 0) zachodza wzory na sume, iloczyn, iloraz funkcji analogiczne jak dla funkcji jednej zmiennej ((f + g) 0 h (x 0) fh 0 (x 0) + gh 0 (x 0) ; itp.). Example 0.. We zmy f (x; y) x + y ; (x 0 ; y 0 ) (; ) ; h [; ] : Lub f 0 [;] (; ) lim t!0 f ( + t ; + t ) f (; ) t lim t!0 + t + ( + t) t ' (t) lim t!0 4t + 5t t 5: f ((; ) + t [; ]) f ( + t; + t) + t + ( + t) 4t + 5t + ; ' 0 (t) 8t + 5; f 0 [;] (; ) ' 0 (0) 5: Example 0..3 Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji xy (x; y) 6 (0; 0) ; f (x; y) x +y 0 (x; y) (0; 0) ; w punkcie (0; 0) w kierunku h [; 0] oraz h [; ] : f 0 [;0] (0; 0) lim t!0 f (t; 0) f (0; 0) t lim t!0 0 0 t 0; f[;] 0 f (t; t) f (0; 0) (0; 0) lim t!0 t lim t!0 t t +t t lim t!0 t nie istnieje.
6 6 De nition 0..4 Pochodn a kierunkowa w kierunku wersora i-tej osi h e i [0; :::; 0; {z } ; 0; :::; 0; 0; :::; 0] nazywamy pochodna czastkow a funkcji f po i tej i zmiennej i (x 0) o ile nazwami zmiennych sa x ; :::; x n ; lub f jx i (x 0 ) ; lub f x i (x 0 ) ; i (x 0) f ji (x 0 ) : f (x 0 + t e i ) f (x 0 ) lim t!0 t f (x lim 0; :::; x i 0 + t; :::x n 0) t!0 t f (x 0; :::; x n 0) : Jest to zwyk a pochodna po zmiennej i-tej traktujac pozosta e zmienne jako parametry. Example 0..5 f (x; y; z) xye xz ; yexz + xye xz xz; xexz ; xyexz x ; f @x f @x xe x z e xz + xe xz xz e xz + x ze e xz + x ze xz : ye xz + xye xz xz
7 0.3. KONSEKWECJE CIAG OŚCI POCH. CZAST Konsekwecje ciag ości pochodnych czastkowych Theorem 0.3. Je sli pochodne sa funkcjami ciag ymi, to i kierunkowa fh 0 istnieje w ka zdym kierunku i wyra za si e wzorem fh + ::: + @f ; :::; h ; :::; h n Ze wzoru wynika dalej ciag o sć pochodnej kierunkowej fh 0 (x) dla ka zdego ustalonego wektora h: (W ostatnim wzorze wyst epuje iloczyn skalarny wektorów) Proof. Pominiemy. Example 0.3. Sprawdzimy powy zszy wzór dla funkcji f (x; y) xy + y : We zmy wektor h [x; y] : f 0 [x;y] (x; y) lim t!0 f (x + t x; y + t y) f (x; y) t (x + t x) (y + t y) + (y + t y) xy y lim t!0 t lim x y + y x + t x y + y y + t (y) t!0 x y + y x + y y x y + y (x + y) : Z drugiej @x x + y: + y x + x y + y (x + y) : Z za o zenia ciag ości pochodnych czastkowych wynikaja te z dalsze konsekwencje.
8 8 Theorem (Twierdzenie Schwarza) Je sli wszystkie pochodne czastkowe drugiego rz edu sa funkcjami ciag ymi, i ; tzn. (niezale zno sć od kolejno sći ró zniczkowania). Example Wiele praw zyki ma postać równań z pochodnymi czastkowymi. () Równanie ciep a. Niech B b edzie jednorodnym zycznie cia em i T (x; y; z; t) temperatur a cia a w punkcie (x; y; z) w chwili t: Fourier pokaza - w oparciu o zasad e zachowania energii - ze T musi spe niać równanie ró zniczkowe (zwane równaniem ciep a) k (T xx + T yy + T zz ) T t ; gdzie k jest sta a zwana wspó czynnikiem przewodnictwa cieplnego cia a B ( T T ; () Równanie Laplace a. Potencja grawitacyjny V (x; y; z) dla masy m w punkcie (x; y; z) w polu grawitacyjnym wytworzonym przez mas e M w GmM pocz atku uk adu wspó rz ednych jest równy V (x; y; z) px. Spe nia +y +z on równanie Laplace a V xx + V yy + V zz 0: (3) Równanie Poissona. W przypadku, gdy M jest masa przestrzennego cia a B i (x; y; z) le zy w jego wn etrzu, to V spe nia równanie Poissona V xx + V yy + V zz 4; gdzie jest g esto sci a masy przyciagaj acego cia a B: (4) Równanie falowe. Bernoulli a potem d Alembert odkryli równanie opisujace fal e f (x; y; z; t) (d zwi ekow a, wodna, drgajac a strun e,...) f xx + f yy + f zz c f tt : (5) Równanie Korteweg-de Vries (KdV w skrócie). Równanie opisujace fal e wodna u (x; t) w p ytkiej wodzie u t + u xxx + u u x 0: Rozwiazania (niektóre) tego równania nazywane sa solitonami.
9 0.4. GRADIENT A POCHODNA KIERUNKOWA Gradient a pochodna kierunkowa De nition 0.4. Gradientem funkcji f (x; y; z) w punkcie x 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) nazywamy (rf) (x (x (x 0) (x 0) (x 0) k gdzie i [; 0; 0] ; j [0; ; 0] ; k [0; 0; ] oznaczaja wersory osi wspó rzednych. Dla funkcji -zmiennych f (x; y) b edzie to (rf) (x (x 0) (x 0) j: Zmieniajac punkt x 0 otrzymamy pole wektorowe rf h ent funkcji f: Analogicznie dla funkcji wielu zmiennych f (x ; :::; x n ) : Lemma 0.4. Je sli funkcja f (x ; :::; x n ) ma ciag e pochodne czastkowe, to f 0 h (x) (rf) x h; (iloczyn skalarny gradientu przez wektor). Proof. Wynika to natychmiast z wzoru (). Za ó zmy dalej, ze kvk i zadajmy pytanie: W jakim kierunku v o d ugości pochodna kierunkowa fv 0 (x) osiaga najwi eksz a a w jakim najmniejsza wartość? W tym celu napiszmy iloczyn skalarny (rf) x v w nastepuj acy sposób: f 0 v (x) (rf) x v k(rf) x k kvk cos ; gdzie jest katem miedzy wektorami (rf) x i v. Poniewa z cos ; maksimum jest przyjete gdy cos ; t.j. gdy 0: Znaczy to, ze nale zy wziać v (rf) x k(rf) x k :
10 0 Zatem, (rf) x k(rf) x k Analogicznie jest kierunkiem w którym f najszybciej rośnie. (rf) x k(rf) x k odpowiada katowi (cos ) i jest kierunkiem w którym f najszybciej maleje, tzn. jest kierunkiem najwi ekszego spadku Example Ciep o. Rozwa zmy kawa ek jednorodnego materia u którego temperatura w ka zdym punkcie tego cia a jest opisana w danym momencie czasu przez funkcj e skalarna T (x; y; z) : Ruch ciep a odbywa si e zawsze w kierunku najwi ekszego spadku temperatury i dlatego jest opisany przez pole wektorowe J k rt; gdzie k > 0 jest sta a zale zn a od o srodka zwana wspó czynnikiem przewodnictwa cieplnego (rt jest gradientem funkcji skalarnej T ). Przypomnijmy, ze najwi ekszy spadek funkcji T odnotowujemy w kierunku przeciwnym do gradientu, stad minus w powy zszym wzorze). Operatorem Laplace a nazywamy operator oznaczany symbolem r określony na funkcjach skalarnych n-zmiennych f (x ; :::; x n ) wzorem r (x ) (x ) + ::: (x n ) : Funkcje f dla której r f 0 nazywamy harmoniczna. Przyk adem takiej funkcji jest rozwa zana wy zej funkcja (patrz zadanie ni zej). r p Pn i (xi ) 0.5 Ró zniczkowanie czastkowe z o zenia funkcji wielu zmiennych Theorem 0.5. Je zeli funkcja n-zmiennych F (x ; :::; x n ) ; (x ; :::; x n ) U R n, ma ciag e pochodne czastkowe ; za s funkcje x i x i (t) ; t (; ) ; i ró zniczkowalne, to z o zenie F x (t) ; :::; x n (t)
11 0.5. RÓ ZNICZKOWANIE CZASTKOWE Z O ZENIA jest te z ró zniczkowalne i zachodzi wzór d dt ::: n x (t) ; :::; x n (t) x (t) ; :::; x n (t) dx dt + ::: x (t) ; :::; x n (t) dxn dt : Theorem 0.5. Je zeli funkcja n-zmiennych F (x ; :::; x n ) ; (x ; :::; x n ) U R n, ma ciag e pochodne czastkowe ; i funkcje x i x i (t ; :::; t m ) ; (t ; :::; t m i R m ; te z maja ciag e pochodne czastkowe, to z o zenie F x t ; :::; t m ; :::; x n t ; :::; t m ma te z ciag e pochodne czastkowe równe (w tym wzorze t (t ; :::; t m (x (t) ; :::; x n t ::: n x (t) ; :::; x n (t) dx dt r + ::: x (t) ; :::; x n (t) dxn dt r : Example Sprawdzíc wzór na pochodne superpozycji dla funkcji F (x; y) (x + y) e x +y ; x r cos '; y r sin ': Najpierw z o zenie, potem ró zniczkowanie: F (x (r; ') ; y (r; ')) r (cos ' + sin ') e r ; (x (r; ') ; y (r; ')) (cos ' + sin ') e r + r e r (cos ' + sin ') e r + r
12 Najpierw ró zniczkowanie, potem z o zenie(x + y) e @x e x +y + (x + y) e x +y x; (x (r; ') ; y (r; e r + r (cos ' + sin ') e r r cos e x +y + (x + y) e x +y y; (x (r; ') ; y (r; e r + r (cos ' + sin ') e r r sin '; cos e r + r (cos ' + sin ') e r r cos ' cos ' + + e r + r (cos ' + sin ') e r r sin ' sin ' e r (cos ' + sin ') + r e r (cos ' + sin ') (cos ' + sin ') e r + r : Analogicznie sprawdzimy sposobami. re r ( sin ' + cos ') : dwoma Example Za ó zmy, ze funkcja y y (x) jest ró zniczkowalna i jest uwik ana w równanie F (x; y) 0; tzn. F (x; y (x)) 0: Powy zsze wzory na ró zniczkowanie z o zenia pozwalaja znale zć pochodn a dy bez znajomo sci funkcji dx y (x) a jedynie funkcji F (x; y) w która jest nasza funkcja uwik ana. (x; y dy dx (x; y (x; y (x; y (x)) (x; y (x)) dy dx ;
13 0.6. RÓ ZNICZKI 3 Np. Znale zć pochodn a funkcji y (x) dla x 0 uwikanej w funkcj e e x y + x y i taka, ze y (0) 0: Pomocniczo de niujemy F (x; y) e x y +x y dy (0; 0) (0; x y +x x y +x y e x x0;y0 x0;y0 y + xj x0;y0 e x y j x0;y0 : Zagadnieniem istnienia funkcji uwik anej w dane równanie zajmiemy si e później. 0.6 Ró zniczki pierwszego i wy zszych rz edów 0.6. Ró zniczka pierwszego rz edu Za ó zmy, ze funkcja f (x) ; x (x ; :::; x n ) ; jest określona w otoczeniu punktu x 0 i posiada pochodna kierunkow a fh 0 (x 0) w ka zdym kierunku h R n : De nition 0.6. Funkcj e kierunku h przy ustalonym x 0 nazywamy ró zniczk a (pierwsza ró zniczk a) funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem (df) x0 (df) x0 : R n! R; h 7!f 0 h (x 0 ) : Zaobserwujmy na konkretnych przyk adach zachowanie si e ró zniczki funkcji zmiennych f (x; y) w przypadku, gdy pochodne czastkowe funkcji f sa ciag e, i gdy nie sa ciag e. Example 0.6. Rozwa zmy funkcj e f (x; y) xy(x+y) x +y gdy (x; y) 6 (0; 0) ; 0 gdy (x; y) (0; 0) :
14 4 W ka zdym punkcie (x; y) 6 (0; 0) funkcja ma ciag e y xy + x y (x + y x x y + xy (x + y ) : W punkcie (0; 0) te z sa pochodne czastkowe @f (0; 0) t!0 f (tx; 0) f (0; 0) (0; 0) lim ( f (0; ty) f (0; 0) t 0 lim t!0 t 0; 0 lim t!0 t 0: y xy+x y (x +y ) gdy (x; y) 6 (0; 0) ; 0 gdy (x; y) (0; 0) nie jest funkcja ciag a w punkcie (0; 0) ; bo granica podwójna lim x!0 zale zy od wyboru lim 0; (granica po osi OX), lim lim y 0 y x0 (0 + y y!0 y!0 ) lim 6 0: x0 y!0 Podobnie pochodna nie jest te z ciag a w (0; 0) : Znajdziemy ró zniczk e funkcji f (x; y) w punkcie (0; 0) : f[h;k] 0 (0; 0) f (0 + th; 0 + tk) f (0; 0) lim t!0 t f (th; tk) lim t!0 t lim t!0 thtk(th+tk) t h +t k t lim t!0 lim t!0 hk (h + k) h + k t 3 hk(h+k) t (h +k ) t hk (h + k) : h + k
15 0.6. RÓ ZNICZKI 5 z y x hk(h+k) h +k Wykres tej funkcji nie jest oczywíscie p aszczyzn a; funkcja hk(h+k) nie jest h +k bowiem liniowa. Rozwa zmy teraz jakikolwiek inny punkt np (; ) i obliczmy tam pochodne kierunkowe f 0 [h;k] (; ) f ( + th; + tk) f (; ) lim t!0 t lim t!0 (+th)(+tk)(3+th+tk) 6 (+th) +(+tk) 5 t 8h + k + 30thk tk + 4th + 5t h k + 5t hk lim t! th + t h + 4tk + t k 8 5 h + 5 k k jest oczywíscie p aszczyzn a, funkcja ta jest lin- 8 h + 5 Wykres funkcji 8h + 5 iowa. 5 k z y x 4 5 6
16 6 Ostatnia obserwacja jest typowa dla funkcji o ciag ych pochodnych czastkowych (wynika to z powy zszych lematów). Theorem Je sli funkcja f (x ; :::; x n ) ma w punkcie x 0 ciag e pochodne czastkowe to jej pierwsza ró zniczka (df) x0 : R n! R jest funkcja liniowa i wyra za si e wzorem (df) x0 h ; :::; (x 0) h + n (x 0) h n : Wyrazimy ja jeszcze inaczej. W tym celu weźmy funkcje h (x ; :::; x n ) x i : Jej ró zniczka w ka zdym punkcie jest taka sama; oznaczamy ja przez dx i : Poniewa j; to j dx i h ; :::; h n h i : () Stad (x 0 ) dx + n (x 0 ) dx n : Punkt w którym pierwsza ró zniczka jest zerowa nazywamy punktem krytycznym. Zgodnie z nast epnymi rozdzia ami w punktach krytycznych moga być ekstrema lokalne danej funkcji Ró zniczki drugiego i wy zszych rz edów Za ó zmy, ze funkcja f (x ; :::; x n ) ma ciag e pochodne czastkowe do rzedu drugiego. Wtedy pochodna kierunkowa w ustalonym kierunku h fh 0 x ; :::; x x ; :::; x n h + @x x ; :::; x n h i i x ; :::; x n h n posiada dalej ciag e pochodne czastkowe wzgledem zmiennych x ; :::; x n i oczywiście pochodna kierunkow a w dowolnym kierunku k; (fh 0 )0 k (patrz wniosek (0.3.)): Oznaczamy ja krócej f 00 : Wyra za sie ona wzorem f 00 h;k h;k j hi k j : (3)
17 0.6. RÓ ZNICZKI 7 Istotnie: f 00 h;k i j i;;j j i i hi k j hi k j k j (na mocy Tw. Schwarza) De nition Ró zniczk a drugiego rz edu funkcji f w punkcie x 0 (w otoczeniu którego jest okre slona i w którym ma pochodne czastkowe ciag e drugiego rz edu) nazywamy funkcj e d f x 0 : R n! R ; h 7!f 00 h;h (x 0 ) : Proposition Ró zniczk a drugiego rz edu funkcji f w punkcie x 0 (w otoczeniu którego jest okre slona i w którym ma pochodne czastkowe ciag e drugiego rz edu) wyra za si e wzorem d x 0 d dx j j i;;j Proof. Na podstawie wzoru (3) oraz j (x 0) dx i dx j : d f x 0 (h) fh;h 00 (x 0 j hi h j i;;j j dxi (h) dx j (h) j dxi dx j! (h) :
18 8 Ró zniczka druga w danym punkcie jest wi ec znana z algebry forma kwadratowa. Example Dla funkcji -zmiennych korzystajac ze Tw. Schwarza dostajemy Analogicznie d dx dx f dx dy dy dx f @ f (dx) dx dy (dy) : d 3 3 (dx)3 + f (dx) dy + dx (dy) 3 (dy)3 : Np. dla f (x; y) x x 3x f f y df 3x 4xy dx x d f d 3x 4xy dx + d x dy (6x 4y) dx dx + ( 4x) dy dx + + ( 4x) dx dy + 0dy (6x 4y) (dx) 8xdx dy: d 3 f d (6x 4y) (dx) d (8x) dx dy 6 (dx) 3 4 (dx) dy 8 (dx) dy 6 (dx) 3 (dx) dy: x 6x 4y; Analogicznie dla funkcji f o ciag ych pochodnych czastkowych do rz edu k de niujemy ró zniczke rzedu k w danym punkcie wzorem x 0 d k f x 0 : R n! R wzorem d k f x 0 (h) f (k) (x h; :::; h 0 ) : {z } k razy
19 0.6. RÓ ZNICZKI 9 Ró zniczka ta jest równa d k f x 0 i ;:::;i k Pomocnym mo ze te z być wzór d k+ f x 0 i ;:::;i k i :::@x i k (x 0 ) dx i ::: dx i k : k i :::@x i k (x 0 ) dx i ::: dx i k : (4) Np. dla funkcji z poprzedniego przyk adu(6x 4y) (dx) 8xdx dy: d 3 x 3 x y d (6x 4y) (dx) + d ( 8x) dx dy 6dx (dx) 4dy (dx) 8dx dx dy 6 (dx) 3 (dx) dy: Trzecia ró zniczka dla tej funkcji jest wi ec jednakowa w ka zdym punkcie Wzór Taylora Zacznijmy od przyk adu funkcji -zmiennej. Example Dla funkcji -zmiennej f (x) wzory wyra zaj ace ró zniczki pierwszego i wy zszych rz edów sa bardzo proste, bowiem jest tylko jedna zmienna, powiedzmy, x i ró zniczki d k f musza wyra zać si e w terminach dx: df f 0 dx; d f f 00 (dx) ; d k f f (k) (dx) k : Oczywíscie oraz dx (h) h; (dx) k : R! R; h 7! dx (h) ::: dx (h) h k :
20 0 Wzór Taylora funkcji f (x) o srodku x 0 ró zniczek mo zemy wi ec zapisać za pomoc a f (x 0 + h) f (x 0 ) + f 0 (x 0 )! ::: + f (n) (x 0 ) n! f (x 0 ) + (df) x 0 (h)! h + f 00 (x 0 )! h + ::: h n + f (n+) (x 0 + h) (n + )! + (dn+ f) x0 +h (h) (n + )! + ::: + (dn f) x0 (h) n! h n+ + Okazuje si e, ze dla funkcji wielu zmiennych wzór Taylora wyra zaj acy przyrost f x 0 + h ; :::; x n 0 + h n f x 0; :::; x n 0 najprościej wyra za si e w terminach ró zniczek wy zszych rz edów i wyglada dok adnie tak samo jak dla funkcji -zmiennej. Theorem Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Je sli funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) ma ciag e pochodne czastkowe do rz edu k + w otoczeniu punktu x 0 to dla dostatecznie ma ych h (tak aby odcinek aczacy x 0 z punktem x 0 + h zawiera si e w tym otoczeniu), zachodzi wzór f (x 0 + h) (5) f (x 0 ) + (df) x 0 (h)! + dk+ f x 0 +h (h) (k + )! + ::: + dk f x 0 (h) k! dla pewnej liczby (0; ) (zale znej od pozosta ych wielko sci: f; x 0 ; h). + (6)
21 0.6. RÓ ZNICZKI We wspó rz ednych wzór ten wyglada mniej przejrzyście f x 0 + h ; :::; x n 0 + h n f x 0; :::; x0 n + kx + r! r + (k + )! i ;:::;i r i ;:::;i k+ W szczególności dla funkcji -zmiennych f (x 0 + h; y 0 + r i :::@x i r (x 0 ) h i ::: h ir k+ i :::@x i k+ (x 0 + h) h i ::: h i r+ : f (x 0 ; y 0 ) + kx kx r f + r! r (x 0; y s 0 ) h r s k s + r s + Xk+ k k+ f (k + )! k+ (x s 0 + h; y 0 + k) h k+ s k s : s Wydaje si e jednak szybciej otrzymać wzór Taylora bezpośrednio z ogólnego wzoru (5) wyliczajac kolejne ró zniczki w oparciu o wzór (4). Example Dla f (x; y) x ln (y + ) otrzymujemy dla punktu (0; 0) f (0; 0) 0 df x ln (y + ) dx + x y + dy; (df) (0;0) 0; x d f d (x ln (y + )) dx + d dy y + ln (y + ) (dx) + x dy dx + y + + x y + dx dy + x (y + ) (dy) ln (y + ) (dx) + 4x y + dx dy x (y + ) (dy) ;
22 Zatem d f (0;0) ln (dx) ; d 3 f d ( ln (y + )) (dx) + 4x +d dx dy y + x d (y + ) (dy) y + dy (dx) + 4 y + (dx) dy 4x (y + ) dy dx dy x (y + ) dx (dy) + + x (y + ) 3 (dy)3 6 y + (dx) dy + x (y + ) 3 (dy)3 : 6x (y + ) dx (dy) + f (x; y) ln x y + x y 6 x (y + ) x y + x (y + ) 3 y3 : Dla ma ego przyrostu (x; y) (t.j. bliskiego (0; 0)) zaniedbujac trzecia ró zniczke mamy w przybli zeniu f (x; y) ln x : f (x; y) x ln (y + ) ; x ; y 5
23 0.6. RÓ ZNICZKI 3 f (x; y) x ln (y + ) ; x ; 0:5 y 0:5 (d f) (0;0) (h; k) h ln 0.8 z y x 0.6 z k h Ze wzoru Taylora otrzymujemy wzór przybli zony rz edu k f (x 0 + h) f (x 0 ) + (df) x 0 (h) + ::: + dk f x 0 (h)! k! i oszacowanie bezwzgl edne b edu d k+ f sup (h) x 0 +h (k + )! : 0 Example Znale zć przybli zenie rz edu za pomoc a wzoru Taylora funkcji f (x; y) e x cos y w pobli zu punktu (0; 0) : Rozwiazanie: df e x cos y dx e x sin y; df (0;0) dx; d f d (e x cos y) dx d (e x sin y) dy (e x cos y dx e x sin y dy) dx (e x sin y dx + e x cos y dy) dy e x cos y (dx) e x sin y dx dy e x cos y (dy) : d f (0;0) (dx) (dy) :
24 4 (df) f (x; y) (0;0) (x; y) f (0; 0) +! + x + x y : + (d f) (0;0) (x; y)! Example 0.6. Znale zć przybli zenie rz edu oraz za pomoc a wzoru Taylora funkcji f (x; y) x y w pobli zu punktu (; 3) a nast epnie obliczyć w ten sposób przybli zone warto sci wyra zenia (:0) 3:05, porównać wyniki z warto sci a obliczona na kalkulatorze. Rozwiazanie. f (x; y) x y e y ln x xy xy dy x y y dx + x y ln x dy: df (;3) 3dx: d f d x y y dx + d (x y ln xy y xy y dy dx (xy ln x) (xy ln x) dy dy x y y (y ) (dx) + x y y ln x + x y dx dy + x y ln x (dy) d f (;3) 6 (dx) + dx dy: f ( + x; 3 + y) f (; 3) + (df) (;3) (x; y)! + 3x + 3 0:0 :06 (df) f ( + x; 3 + y) (;3) (x; y) f (; 3) +! + 3x + 6x + x y + (d f) (;3) (x; y)! + 3x + 3x + xy + 3 0:0 + 3 (0:0) 3 + 0:0 0:05 :06:
25 0.7. EKSTREMA LOKALNE 5 Warto sć dok adniejsza z kalkulatora :0 3:05 : Ekstrema lokalne 0.7. De nicja lokalnego ekstremum De nition 0.7. Mówimy, ze funkcja n-zmiennych f (x) określona w otoczeniu punktu x 0 R n ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, je zeli istnieje otoczenie U tego punktu (zawarte w dziedzinie funkcji) w którym wartości funkcji nie przewy zszaj a f (x 0 ) ; tzn. f (x) f (x 0 ) ; dla x U: Je zeli zachodzi nierówność ostra f (x) < f (x 0 ) dla x 6 x 0 to mówimy o maksimum lokalnym w a sciwym. Dla nierówności w przeciwna strone mamy odpowiednio minimum lokalne i minimum lokalne w a sciwe Warunek konieczny Theorem 0.7. Warunek konieczny ekstremum lokalnego. Za ó zmy, ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) okre slona w otoczeniu punktu x 0 posiada w tym punkcie ró zniczk e (df) x0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Wówczas (df) x0 0; w szczególno sci pochodne czastkowe w tym punkcie sa (x (x 0) 0: n Proof. Dla dowolnego wektora h R n określmy pomocniczo funkcje ' () f (x 0 + h) : Jej dziedzina zawiera pewne otoczenie punktu 0 0 i funkcja ta posiada w 0 0 ekstremum lokalne. Poniewa z funkcja ' () ma pochodna w tym
26 6 punkcie ' 0 (0) ' () ' (0) lim! f (x 0 + h) f (x 0 ) lim! fh 0 (x 0 ) to z Tw.Fermata w punkcie tym pochodna jest zero. Stad fh 0 (x 0) 0 a tym samym (df) x0 (h) fh 0 (x 0 ) 0: Przed warunkami wystarczajacymi omówimy pewien przyk ad. Example Rozwa zmy funkcj e f (x; y) x 3 3x + y 3 + 3y : f (x; y) x 3 3x + y 3 + 3y ; x 3; 3 y : 3 z y x 3y + 6y + 6 df 3x 6x dx + 3y + 6y dy; d f (6x 6) (dx) + (6y + 6) (dy) :
27 0.7. EKSTREMA LOKALNE 7 Pierwsza ró zniczka znika w punktach (x; y) takich, ze 3x 6x 0 3y + 6y 0: Po rozwiazaniu otrzymujemy 4 punkty A (0; 0) ; A (0; ) ; A 3 (; 0) ; A 4 (; ) : W ka zdym z tych punktów wzór Taylora mówi f (x; y) f (A) + d f A + ::::; zatem, w przybli zeniu funkcja f (x; y) po przesuni eciu punktu A do (0; 0) wygl ada jak (d f) A f (x; y) f (A) d f A : Zobaczymy to na przyk adzie powy zszej funkcji. Przy okazji zaobserwujemy w ka zdym z tych 4 punktów nast epuj ace elementy znak 6x 6; wyró znik W det f f f # 6x 6 0 det 0 6y + 6 okre slono sć formy kwadratowej d f (6x 6) (dx) + (6y + 6) (dy)
28 8 A (0; 0) W 36 < 0; d f 6 (dx) + 6 (dy) ; (0;0) -nieokre slonego znaku x 3 3x + y 3 + 3y 4 z y x Brak lokalnego ekstremum (d f) (0;0) 6 (dx) + 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h + 3k z 0 0 y 0 x Druga ró zniczka nieokreślona
29 0.7. EKSTREMA LOKALNE 9 A (0; f 6 < 6 0 W det 36 > d f (0; ) 6 (dx) 6 (dy) Example x 3 3x + y 3 + 3y ujemnie określona 3 y z x Maksimum lokalne (d f) (0; ) 6 (dx) 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h 3k 0 zy x 6 -ró zniczka ujemnie określona
30 30 Example A (; 0) x 3 3x + y 3 + f 6 > 6 0 W det 36 > d f (0; ) 6 (dx) + 6 (dy) dodatnio okre slona z y x Mnimum lokalne (d f) (0; ) 6 (dx) + 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h + 3k 6 z 4 y x -ró zniczka dodatnio określona
31 0.7. EKSTREMA LOKALNE 3 Example A (; ) 6 0 W det 0-6 d f (0;0) 6 (dx) 6 (dy) ; 36 < 0; -nieokre slonego znaku 3 4 z 0 y 4 3 x x 3 3x + y 3 + 3y Brak lokalnego ekstremum (d f) (0;0) 6 (dx) 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h 3k z Example Druga ró zniczka nieokre slona y x
32 Warunki wystarczajace Za ó zmy, ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) określona w otoczeniu punktu x 0 posiada w tym punkcie druga ró zniczke (d f) x0. Przypomnijmy wzór d f x 0 d f x 0 h ; :::; h n i;;j j (x 0) dx i dx j j (x 0) h i h j : Wprowadźmy dla krótkości oznaczenie a ij Druga ró zniczka jest wi ec funkcja a ij a ji j : Z Tw. Schwarza g : R n! R określona wzorem gdzie macierz g h ; :::; h n a ij h i h j ; i;;j [a ij ] i;jn jest symetryczna. Ka zd a taka funkcje nazywamy forma kwadratow a a macierz [a ij ] i;jn macierza tej formy. Dowodzi si e w algebrze, ze dokonujac tzw. ortogonalnej zmiany uk adu wspó rz ednych (tzn. dokonuj ac obrotu przestrzeni R n ) mo zemy w nowym uk adzie wspó rzednych otrzymać forme kwadratow a bez wyrazów mieszanych: a ij 0 dla i 6 j; tzn forme kanoniczn a postaci h + ::: + n (h n ) ; przy czym wspó czynniki ; ::: n sa tu pierwiastkami charakterystycznymi macierzy A [a ij ] i;jn ; tzn. pierwiastkami wielomianu charakterystycznego w () det (A I) : Zmiana taka nie zmienia wyznacznika macierzy, jest wiec on równy iloczynowi ::: n : Forma g ma nieosobliwa macierz A (tzn. W : det A 6 0) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie liczby i sa niezerowe. Dla n mamy x + y : (Uwaga, dopuszczajac wszystkie
33 0.7. EKSTREMA LOKALNE 33 nieosobliwe zmiany uk adu wspó rz ednych, zatem równie z nie ortogonalne, mo zemy zawsze sprowadzić forme kwadratowa do takiej postaci kanonicznej w której wspó czynniki i 0; +; :) Przypomnijmy z algebry, nastepujac a de nicje De nition Form a kwadratow a g : R n! R nazywamy dodatnio okre slon a, je zeli (w postaci kanonicznej i > 0), ujemnie okre slon a, je zeli (w postaci kanonicznej i < 0), g (h) > 0 dla ka zdego 0 6 h R n ; g (h) < 0 dla ka zdego 0 6 h R n ; nieokre slonego znaku, je zeli istnieja wektory h i h R n dla których g (h ) > 0 i g (h ) < 0: W postaci kanonicznej wszystkie i 6 0 i nie sa tego samego znaku. Powy zsze trzy mozliwości wyczerpuja jedynie przypadek form niezdegenerowanych, tzn. o macierzy nieosobliwej (inaczej o wyznaczniku W : det A 6 0); równowa znie, w postaci kanonicznej zaden ze wspó czynników nie jest zero. Przyk ad z rysunkami powy zej wskazywa na to, ze w punkcie znikania pierwszej ró zniczki i przy warunku niezdegenerowania drugiej ró zniczki (tzn. W 6 0) zachodza odpowiedniości zachowanie w punkcie druga ró zniczka wyró znik minumum lokalne w aściwe dodatnio określona W > 0 maksimum lokalne w aściwe ujemnie określona W > 0 brak ekstremum nieokreślonego znaku W < 0
34 34 W przypadku zdegenerowanym W 0 nic powiedzieć si e nie da o istnieniu ekstremum lokalnym o czym świadcza nastepujace proste przyk ady poni zszych funkcji -zmiennych x + y 4 ; x + y 3 W punkcie (0; 0) pierwsza ma minimum w aściwe, druga nie ma zadnego ekstremum, chocia z obie maja w punkcie (0; 0) drugie ró zniczki nieujemne (d f) (0;0) (h; k) 0 oraz W 0. dla f (x; y) x + y 4 0; jest minimum lokalne df x dx + 4y 3 dy; d f (dx) + y (dy) ; d f (h; k) (0;0) h 0; W dla f (x; y) x + y 3 ; f 0; n n > 0; 3 f 0; < 0 brak lokalnego minimum n n3 df x dx + 3y dy d f (dx) + 6y (dy) d f (h; k) (0;0) h 0 W Zobaczmy na rysunku drugi z tych przyk adów x + y 3 ; (d f) (0;0) 0
35 0.7. EKSTREMA LOKALNE z y 0.5 x.0.5 oraz pierwszy x + y 4 ; (d f) (0;0) 0 Brak ekstremum, W 0 i d f 6 0 y z 8 Jest ekstremum, W 0; d f 6 0 Theorem Warunki wystarczaj ace istnienia ekstremum lokalnego Za ó zmy, ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) jest okre slona w otoczeniu punktu x 0 (x 0; :::; x n 0) i posiada w tym otoczeniu ciag e pochodne czastkowe do rz edu drugiego oraz jej pierwsza ró zniczka znika w x 0 Wówczas, je zeli druga ró zniczka x (df) x0 0: (d f) x0 (d f) x0 jest dodatnio okre slona, to w x 0 jest minimum lokalne, jest ujemnie okre slona, to w x 0 jest maksimum lokalne, (d f) x0 jest nieokre slonego znaku, to w x 0 nie ma ekstremum lokalnego. Przed rozpocz eciem dowodu tego twierdzenia wyka zemy pomocniczy lemat.
36 36 Lemma Je zeli forma kwadratowa g (h ; :::; h n ) P n i;j a ij h i h j o macierzy symetrycznej A [a ij ] jest dodatnio okre slona, to istnieje " > 0 taka, ze ka zda forma kwadratowa P n i;j b ij h i h j o macierzy symetrycznej B [b ij ] takiej, ze jb ij a ij j < " dla wszystkich i; j jest te z dodatnio okre slona. Proof. Lematu. Rozwa zmy w przestrzeni R n sfere n wymiarowa S n fx R n ; kxk g (tzn. zbiór wersorów): Jest to zbiór domkniety i ograniczony, czyli zwarty. Forma kwadratowa g (h ; :::; h n ) P n i;j a ij h i h j jest ciag a i na zbiorze zwartym S n (w asność Weierstrassa dla funkcji wielu zmiennych) przyjmuje swoje kresy. Rozwa zmy kres dolny funkcji g na sferze S n : " o inf khk g (h) : Z w asności Weierstrassa " o jest przyjete w pewnym punkcie h o ; a wiec " o g (h o ) > 0 z za o zonej dodatniej określoności formy g; oraz a ij h i h j g (h) g (h o ) " o i;j dla ka zdego wektora h S n : Weźmy " " o n : Poka zemy, ze dla macierzy B [b ij ] takiej, ze jb ij a ij j < " forma P n i;j b ij h i h j jest te z dodatnio określona. Dla dowolnego wersora h (h ; :::; h n ) S n mamy jh i j ; skad P n i jhi j n oraz (b ij a ij ) h i h j jb ij a ij j h i h j i;j i;j < " " i;j h i h j h i i " n " o : h j j
37 0.7. EKSTREMA LOKALNE 37 Zatem dla dowolnego wersora h (b ij a ij ) h i h j > " o i;j b ij h i h j i;j (b ij a ij + a ij ) h i h j i;j (b ij a ij ) h i h j + i;j > " o + " o 0: Dla dowolnego wektora niezerowego h wektor b ij h i h j khk i;j i;j h khk a ij h i h j i;j jest wersorem, wiec h i b ij khk h j khk > 0: Analogicznie dowodzimy lematu dla ujemnie określonych form kwadratowych. Proof. twierdzenia. Dla (d f) x0 dodatnio określonej. Ze wzoru Taylora dostajemy f (x 0 + h) f (x 0 ) + (df) x0 (h) {z } + d f (x 0 (h) : (7) +h) d f (x 0 +h) (h) i;;j j (x 0 + h) h i h j Z za o zenia dodatniej określoności drugiej ró zniczki mamy j (x 0) h i h j > 0 dla h 60: Po ó zmy dla krótkości a ij j (x) :
38 38 Z lematu wnosimy o istnieniu liczby " > 0 takiej, ze ka zda forma kwadratowa P n i;j b ij h i h j jest dodatnio określona gdy jb ij a ij (x 0 )j < ": Z ciag ości funkcji a ij f (x) znajdziemy liczb j ij > 0 taka, ze gdy kx x 0 k < ij to ja ij (x) a ij (x 0 )j < ": Weźmy min ij : Wtedy dla khk < i dowolnej (0; ) zachodzi k(x 0 + h) x 0 k < skad druga forma kwadratowa o macierzy [a ij (x 0 + h)] jest te z dodatnio określona. W szczególności gdy dodatkowo h 60 i;;j Ostatecznie ze wzoru (7) otrzymujemy a ij (x 0 + h) h i h j > 0: f (x 0 + h) f (x 0 ) d f (x 0 +h) (h) > 0 dla khk < i h 60 co dowodzi, ze w punkcie x 0 jest minimum w aściwe. Dla (d f) x0 ujemnie określonej analogicznie. Przypadek trzeci zostawiamy jako zadanie teoretyczne. []Zadanie teoretyczne przypadek trzeci. W zwiazku z powy zszym twierdzeniem istotnego znaczenia nabiera umiej etność rozstrzygania czy dana forma kwadratrowa b ed aca druga ró zniczk a badanej funkcji jest czy nie jest określonego znaku. Zagadnienie to zosta o rozstrzygni ete przez Sylvestra (84-897) Notka: James Joseph Sylvester by poet a i satyrykiem angielskim zanim nie pozna Cayleya. Arthur Cayley (8-895) studiowa i praktykowa prawo w Londynie, dopóki nie pozna Sylvestra. Po zawarciu znajomości wspólnym zainteresowaniem okaza a si e matematyka. Sylvester zacza j a wyk adać w 855 r w Woolwich a Cayley w 863 w Cambridge. Cayley spokojnie tam pracowa 30 lat a Sylvester zacza udzielać sie bardziej światowo. Od 877 mia wyk ady na Uniwersytecie Hopkinsa w Baltimore w Stanach. I to w aśnie od tych wyk adów zacze a sie matematyka w Stanach Zjednoczonych. Najwa zniejszym osiagni eciem Cayleya i Sylvestra jest rachunek macierzowy. Wprowadzili Oni macierz przekszta cenia liniowego i formy kwadratowe. Theorem 0.7. Tw. Sylvestra. Za ó zmy, ze forma kwadratowa g : R n! R ma macierz symetryczna A [a ij ] :
39 0.7. EKSTREMA LOKALNE 39 Na to aby forma g by a dodatnio okre slona potrzeba i wystarcza aby wszystkie wyznaczniki M k a ::: a k ::: ::: ::: a k ::: a kk ; k ; ; :::; n by y dodatnie M a > 0; M a a a a a ::: a n :::M n ::: ::: ::: a n ::: a nn > 0: > 0; ::: Na to aby forma g by a ujemnie okre slona potrzeba i wystarcza aby wyznaczniki w powy zszym ciagu by y na zmian e ujemne i dodatnie M a < 0; M a a a a > 0; :::; M n ( ) n a ::: a n ::: ::: ::: a n ::: a nn > 0: Remark 0.7. Przypadek n : Wykresem formy kwadratowej g (h; k) a h + b h k + c k jest w przypadku okre slonego znaku (dodatniego lub ujemnego) jest paraboloida eliptyczna h + k 8 z y 0 x
40 40 w przypadku nieokre slonego znaku paraboloida hiperboliczna z y 4 x h k Z ogólnej teorii wiadomo, ze dla formy a h + b h k + c k zawsze mo zna tak wybrać osie uk adu wspó rz ednych OX 0 i OY 0 (zachowujac pocz atek uk adu bez zmian) aby w tym uk adzie forma nie mia a sk adnika mieszanymi zmiennymi h k; t.j. aby by a postaci a 0 (h 0 ) + b 0 (k 0 ) : Wówczas gdy oba wspó czynniki a 0 i b 0 sa tego samego znaku otrzymujemy paraboloid e eliptyczna, za s gdy sa ró znych znaków paraboloid e hiperboliczn a. Odpowiedni a zmian e zmiennych mo zemy odszukać nast epuj aco: przypadek a 6 0 lub c 6 0 : Za ó zmy, ze a 6 0 (c 6 0 rozpatrujemy analogicznie). Rozwa zmy przekszta cenie dla g (h; k) a h + b a k + c a 0 (h 0 ) + b 0 (k 0 ) b k a a 0 a; b 0 c b a h 0 h + b a k; k0 k: Macierz tego przekszta cenia jest nieosobliwa b a 0 przypadek a 0 c: Stosujemy przekszta cenie 6 0: g (h; k) b h k b (h k) + b (h + k) a 0 (h 0 ) + b 0 (k 0 )
41 0.7. EKSTREMA LOKALNE 4 dla a 0 b ; b0 b h 0 h k; k 0 h + k: Macierz tego przekszta cenia jest nieosobliwa 6 0: Remark W przypadku n forma kwadratowa jest postaci g (h) ah i wykluczona jest mo zliwo sć nieokre slonego znaku. Skoro d f f 00 (dx) i gdy f 00 (x 0 ) 6 0 to (d f) x0 jest okre slonego znaku i ekstremum istnieje. Widzimy z Tw. Sylvestra ze dla formy dodatnio określonej lub ujemnie określonej drugi wyznacznik jest zawsze dodatni M a a a a a (a ) > 0. (a a dla macierzy symetrycznej). a Remark W przypadku n (tylko) mo zemy atwo równie z scharakteryzować przypadek nieokre slono sci znaku formy a h + b h k + c k w asnie poprzez M : Mianowicie ma być wtedy M a b b c ac b < 0: Istotnie, je zeli a 6 0 to w postaci kanonicznej (po odpowiedniej zmianie zmiennych) wspó czynniki sa wy zej wyliczone jako równe a i c ac b b : a a Zatem sa one ró znych znaków wtedy i tylko wtedy gdy ac b < 0. Je sli a 0 c to bezpo srednio z postaci kanonicznej powy zej otrzymanej widzimy, ze wspó czynniki a 0 b ; b0 b s a ró znych znaków. aczac to z Tw. Sylvestra otrzymamy dla funkcji -zmiennych nast epujace Twierdzenie. Theorem Warunki wystarczaj ace ekstremum lokalnego funkcji -zmiennych. Za ó zmy, ze dana funkcja f (x; y) jest okre slona w otoczeniu punktu (x 0 ; y 0 ) i posiada tam ciag e pochodne czastkowe do rz edu drugiego oraz, ze (df) (x0 ;y 0 ) 0: Wówczas,
42 4 je zeli wyró znik jest W f (x0 ;y 0 (x 0; y 0 (x 0; y 0 (x 0; y 0 ) > 0 to w punkcie (x 0 ; y 0 ) jest ekstremum lokalne, przy czym je (x 0 ; y 0 ) > 0 to jest minimum lokalne w a sciwe, je (x 0 ; y 0 ) < 0 to jest maksimum lokalne w a sciwe, je zeli wyró znik jest ujemny W < 0 to nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (x 0 ; y 0 ) : 0.8 Najwi eksze i najmniejsze wartości funkcji Niech f (x ; :::; x n ) b edzie funkcja ciag a i określona w pewnym zbiorze zwartym K; która ma skończone pochodne czastkowe wsz edzie z wyjatkiem oddzielnych punktów. Z twierdzenia Weierstrassa wynika, ze w tym zbiorze f osiaga w pewnym punkcie wartość najwi eksz a (i w pewnym punkcie wartość najmniejsza). Je zeli punkt taki le zy wewnatrz zbioru K to w nim funkcja ma maksimum lokalne. W tym przypadku nale zy do zbioru punktów podejrzanych o ekstremum, czyli punktów krytycznych (znikania pierwszej ró zniczki, tzn. znikania pochodnych czastkowych) lub punktów w których nie istnieje któraś z pochodnych czastkowych. Funkcja mo ze mieć swoja najwi eksz a (najmniejsza) wartość równie z na brzegu. Dlatego te z, aby znaleźć najwi eksz a (najmniejsza) wartość funkcji w zwartym zbiorze K; trzeba znaleźć punkty wewnetrzne podejrzane o ekstremum i obliczyć wartości funkcji w punktach brzegowych. Przyk ady patrz Zaporo zec, Metody rozwiazywania zadań z analizy matematycznej punkt 783, Fichtenholz T, punkt Ekstrema funkcji uwik anych W rozdziale tym poznamy sposób szukania ekstremów lokalnych funkcji y y (x ; :::; x n ) uwik anych w dane równanie F (x ; :::; x n ; y) 0 bez rozwiazy-
43 0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 43 wania tego równania wzgl edem y (w wielu sytuacjach rozwiazania takiego nie da sie bowiem uzyskać, np. w równaniu sin y + ln y + x xy ). De nition 0.9. Mówimy, ze funkcja y y (x ; :::; x n ) ; (x ; :::; x n ) 0 R n, jest zadana przez równanie (lub uwik ana w równanie) F (x ; :::; x n ; y) 0; (x ; :::; x n ; y) R n+ ; je zeli (x ; :::; x n ; y (x ; :::; x n )) dla (x ; :::; x n ) 0 ; F (x ; :::; x n ; y (x ; :::; x n )) 0 dla (x ; :::; x n ) 0 : Np. funkcja y (x) p x jest uwik ana w równanie x + y : Najtrudniejszym teoretycznie problemem jest stwierdzenie istnienia funkcji uwik anej y y (x ; :::; x n ) w dane równanie F (x ; :::; x n ; y) 0 spe niajacej warunek poczatkowy y (x 0 ; :::; x n0 ) y 0 taki, ze F (x 0 ; :::; x n0 ; y 0 ) 0: Warunkiem tym jest nieznikanie pochodnej czastkowej w tym Nie b edziemy tego dowodzić z powodu d ugiego i trudnego dowodu. Reszta jest wzgl ednie atwa, gdy z bez trudności znajdziemy szukane pochodne funkcji uwik anej korzystajac z Tw. o pochodnej z o zenia. W terminach tych pochodnych mo zna wyrazić warunki konieczne i warunki wystarczajace na ekstremum lokalne Ekstrema lokalne funkcji uwik anych jednej zmiennej Punktem wyjścia do szukania ekstremów lokalanych jest obliczenie pochodnych funkcji uwik anej. Theorem 0.9. (n) Za ó zmy, ze F (x; y) jest dana funkcja -zmiennych w p askim otwartym obszarze R klasy C (t.j. z ciag ymi pochodnymi czastkowymi i ). Za ó zmy dalej, ze dany jest 0; y 0 ) b ed acy rozwiazaniem równania F (x; y) 0; t.j. F (x 0 ; y 0 ) 0: Je sli (x 0; y 0 ) 6 0
44 44 istnieje funkcja y y (x) klasy C okre slona w otoczeniu (x 0 "; x 0 + ") punktu x 0 i uwik ana w równanie F (x; y) 0; t.j. F (x; y (x)) 0 dla x (x 0 "; x 0 + ") i spe niaj aca warunek pocz atkowy y (x 0 ) y 0 ; pochodna funkcji y (x) w ka zdym punkcie x z pewnego otoczenia punktu x 0 zadana jest wzorem dy (x; y (x)) (x; y (x)): Proof. Dowód cz eści pierwszej pomijamy. Udowodnimy cz eść druga. Niech y (x) b edzie funkcja klasy C uwik an a w równanie F (x; y) 0 spe niajaca warunek poczatkowy y (x 0 ) y 0 : Wtedy F (x; y (x)) 0: Ró zniczkujemy te funkcje po zmiennej x (x; y Jeśli 0; y 0 ) 6 0 to z ciag (x; y (x)) :dy (x) 0: dx równie otoczeniu punktu x 0 : W otoczeniu tym dy dx (x) Theorem Je zeli (x; y (x)) 6 0 w (x;y(x)): funkcja F (x; y) jest klasy C w otoczeniu punktu (x 0 ; y 0 ) (t.j. ma ciag e pochodne czastkowe do rz edu ), F (x 0 ; y 0 ) (x 0; y 0 ) 6 0; to funkcja y y (x) okre slona w otoczeniu punktu x 0 uwik ana w równanie F (x; y) 0 i spe niaj aca warunek y (x 0 ) y 0 jest klasy C ; przy czym
45 0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 45 je sli dy dx (x 0) 0 (x 0; y 0 ) 0) to d y dx (y 0 (x 0;y 0 ) (x 0;y 0 ) Proof. Pominiemy dowód, ze funkcja uwik ana jest klasy C : Poka zemy wzór wyra zaj acy druga pochodna. W tym celu dwukrotnie zró zniczkujemy równość F (x; y (x)) 0: Pominiemy dla krótkości zapisu punkty w których ró zniczkujemy (punkty ((x; y (x))) dla pochodnych czastkowych funkcji F oraz x dla pochodnych funkcji y) (x; y @ dx + dy dx dy (x; y (x)) (x) 0: dx dy dx d y dx 0: Wstawiamy punkt (x 0 ; y 0 ) : Uwzgledniaj ac dy (x dx 0) 0 (x 0; y 0 ) (x 0; y 0 ) d y dx (x 0) 0: Stad natychmiast wynika szukany wzór. Dzi eki powy zszemu twierdzeniu i warunkowi koniecznemu oraz warunkowi wystarczajacemu na ekstremum lokalane funkcji jednej zmiennej (I semestr) otrzymujemy jako wniosek poni zsze twierdzenie. Theorem Je zeli funkcja F (x; y) jest klasy C (x 0 ; y 0 ) oraz w otoczeniu punktu F (x 0 ; y 0 ) (x 0; y 0 ) (x 0; y 0 ) 6 0; wówczas (x 0;y 0 (x 0;y 0 ) > 0 to funkcja y (x) uwik ana w równanie F (x; y) 0 i spe niaj aca warunek y (x 0 ) y 0 posiada w punkcie x 0 minimum lokalne,
46 46 (x 0;y 0 (x 0;y 0 ) maksimum lokalne. < 0 to powy zsza funkcja y (x) posiada w punkcie x 0 Example Zbadać ekstrema lokalne funkcji y y (x) uwik anej w równanie F (x; y) x 3 + y 3 3axy 0 gdzie a 6 0 jest parametrem. Rozwiazanie: Piszemy stosowny uk ad równań F (x; y) x 3 + y 3 3axy 3x 3ay 3y 3ax 6 0: Rozwiazanie otrzymanego uk adu jest najwieksza trudno sci a w takim zadaniu. W tym przypadku mo zemy wyznaczyć y z drugiego równania i podstawíc do pierwszego: y x a ; x 3 + x6 a 3 3x x 0 x 3 x 3 + x6 0 a 3 + x3 0 a 3 x 0 lub + x3 a 3 0 x 0 lub x 3p a Uwzgl edniaj ac zwiazek y x stwierdzamy, a ze rozwi azaniem s a dwie pary liczb x 0; y 0; zoraz x 3p a; y 3p 4a:
47 0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 47 W punkcie (0; 0) 3y 3ax 0 i nie mo zemy stwierdzíc istnienia funkcji uwik anej dla tego punktu. Punktem tym nie b edziemy si e wi ec zajmować. W punkcie a 3p ; a p 4 a 3p ; a 3p 4 3 (y 0 ) 3ax 0 3 a 3p 4 3a a 3p 3a p 3 6 0: Dowodzi to istnienia funkcji uwik anej y (x) takiej, ze y 3p a 3p 4a i tego, ze funkcja ta ma w punkcie x 0 3p a ekstremum lokalne. O rodzaju tego ekstremum decyduje F 0 ; y 0 ) 0; y 0 ) 6x 0 3 (y 0 ) 6a 3p 3ax 0 3a 3p a : Zatem, dla a > 0 mamy maksimum lokalne bo a minimum lokalne, bo > 0: a < 0 a dla a < 0 mamy 0.9. Ekstrema lokalne funkcji uwik anych dwu zmiennych Punktem wyjścia do szukania ekstremów lokalanych funkcji z z (x; y) uwik anej w równanie F (x; y; z) 0 jest obliczenie pochodnych czastkowych funcji z (x; y) przy pomocy funkcji F (x; y; z) : Theorem (n) Za ó zmy, ze F (x; y; z) jest dana funkcja 3-zmiennych w przestrzennym otwartym obszarze R 3 i ze jest ona klasy C. Za- ó zmy dalej, ze dany jest punkt (x 0 ; y 0 ; z 0 ) b ed acy rozwiazaniem równania F (x; y; z) 0; t.j. F (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 0: Je sli (x 0; y 0 ; z 0 ) 6 0
48 48 istnieje funkcja z z (x; y) klasy C okre slona w otoczeniu 0 punktu (x 0 ; y 0 ) i uwik ana w równanie F (x; y; z) 0; t.j. i spe niaj aca warunek pocz atkowy F (x; y; z (x; y)) 0 dla (x; y) 0 z (x 0 ; y 0 ) z 0 ; pochodne czastkowe funkcji z (x; y) sa w ka zdym punkcie (x; y) z pewnego otoczenia punktu (x 0 ; y 0 ) (x; y) (x; y; z (x; (x; y; z @y (x; y) (x; y; z (x; (x; y; z (x; y)): Je sli funkcja F (x; y; z) jest klasy C to wspomniana wy zej funkcja uwik ana z z (x; y) jest te z klasy C, przy je zeli dz dx (x 0; y 0 ) 0; dz dy (x 0; y 0 ) 0 (x 0; y 0 (x 0; y 0 (x 0; y 0 F 0 ; y 0 ; z 0 ) 0; y 0 ; z 0 ) F 0; y 0 ; z 0 ) 0; y 0 ; z 0 ) F 0 ; y 0 ; z 0 ) 0; y 0 ; z 0 ) (krócej mo zna te wszystkie wzory zapisać w postaci z jij F jij F jz : Dowód jako zadanie teoretyczne. Dzi eki powy zszemu twierdzeniu i warunkowi koniecznemu oraz warunkowi wystarczajacemu na ekstremum lokalane funkcji dwu zmiennych otrzymujemy jako wniosek poni zsze twierdzenie.
49 0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 49 Theorem Je zeli funkcja F (x; y; z) jest klasy C w otoczeniu punktu (x 0 ; y 0 ; z 0 ) oraz F (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (x 0; y 0 ; z 0 ) (x 0; y 0 ; z 0 ) 0; 0; y 0 ; z 0 ) 6 0; wówczas, F F F (x0 ;y 0 ;z 0 F F F > to funkcja z (x; y) uwik ana w równanie F (x; y; z) 0 i spe niaj aca warunek z (x 0 ; y 0 ) z 0 posiada w punkcie (x 0 ; y 0 ) ekstremum lokalne, przy czym gdy (x 0;y 0 (x 0;y 0 (x 0;y 0 (x 0;y 0 ) > 0 to jest to minimum lokalne, < 0 to jest to maksimum lokalne. Uwaga. U zycie powy zszego wyznacznika uzasadnione jest nast @ i znaki obu @z F F F sa takie same.
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Bardziej szczegółowoMatematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011
Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowo1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2. Ćwiczenia
Analiza Matematyczna. Ćwiczenia Bogdan Balcerzak 4 Spis treści RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA. Ca ka oznaczona................................... Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej....................3
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA EiT. (studia drugiego stopnia, drugi semestr) 3 2i, 2i44 i i )12, (cos 15 + i sin 15 ) 15, ( p 3 i) i)17, (i 1) 9, ( 1 i
MATEMATYKA EiT (studia drugiego stopnia, drugi semestr) ) Wyznaczyć Re z; Im z; jzj ; z dla z = ( + i)(3 i), ( + i)( i) + (3 5i), (+i) 3 i, i44 i 45 i 46 +3i, 47 (cos 33 + i sin 33 ), ( + p 3 i)7, (i )
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach
1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10
Matematyka A kolokwium, 7 maja, godz 8: : Poprawiłem: godz :, 4 września r 3 p Rozwiazać x t x t xt = x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t Pierwiastkami równania charakterystycznego = λ λ = λ + 3λ
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowogdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)
5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA EiT. (studia drugiego stopnia, drugi semestr) 3 2i, 2i44 i i )12, (cos 15 + i sin 15 ) 15, ( p 3 i) i)17, (i 1) 9, ( 1 i
MATEMATYKA EiT (studia drugiego stopnia, drugi semestr) ) Wyznaczyć Re z; Im z; jzj ; z dla z = ( + i)(3 i), ( + i)( i) + (3 5i), (+i) 3 i, i44 i 45 i 46 +3i, 47 (cos 33 + i sin 33 ), ( + p 3 i)7, (i )
Bardziej szczegółowo1 Miary asymetrii i koncentracji
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji
Bardziej szczegółowoZestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo2.1. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie
Rozdzia 2 Ruch i kinematyka 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie t, tzn. B X! t (X) =x
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowo(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci
56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna II
Analiza matematyczna II e nicje, twierdzenia 6 maja 03 K. obrowolska, W. yczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz., HELPMATH, ódź 007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoOpracowa : Zbigniew Skoczylas. Studenci wydzia ów W2, W4 oraz W7 opracowuja ¾ten materia samodzielnie. x 3 y 5 z 3 : 2x : (x 2 y 2 ) ; ; e) : 2+1
Algebra z geometri a analityczn a A - MAP 1140 Algebra z geometri a analityczn a B - MAP 1141 Lista zadań na rok akademicki 009/010 Opracowa Zbigniew Skoczylas Wyra zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowo