Ocena ryzyka kredytowego
|
|
- Barbara Pietrzak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Marcin Studniarski Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości z mojego wyk adu z Ryzyka inwestycji nansowych, g ównie w celu ustalenia oznaczeń i terminologii. Treść tego rozdzia u nie b edzie przedmiotem odrebnych pytań egzaminacyjnych, ale jej znajomość jest niezb edna do zrozumienia dalszej cz eści wyk adu. W ramach tego wyk adu rozwa zamy ryzyko kredytowe, które wynika z mo zliwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osob e lub instytucj e, której udzielono kredytu. 1.1 Podzia ryzyka kredytowego 1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez druga stron e p atności wynikajacych z kontraktu. 2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - mo zliwość zmiany wiarygodności kredytowej drugiej strony. 1.2 Przestrzeń probabilistyczna Niech b edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nastepujace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynika, ze do F nale z a zdarzenia: (zdarzenie pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). Najmniejsze -cia o zawierajace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy -cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna funkcje P : F! R spe niajac a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, 1
2 A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P! 1[ 1X A i = P (A i ): (1) Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójke (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. 1.3 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b edzie przestrzenia probabilistyczna. Zmienna losowa (wek- torem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienna losowa. Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcje P X : B(R n )! R dana P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (2) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyjać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny. 1.4 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartościa oczekiwana (lub średnia) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmujacej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb e EX := X i2i x i P (X = x i ); (3) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). 2
3 Wartościa oczekiwana wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuja skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (4) 1.5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwana, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartościa oczekiwana zmiennej losowej X nazywamy liczb e Z EX := XdP: (5) De nicja (5) jest uogólnieniem de nicji (3). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (4) przy za o zeniu, ze wszystkie wspó rz edne maja wartość oczekiwana. Twierdzenie 1. Niech X i Y b ed a zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (6) 1.6 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b edzie zmienna losowa. Jeśli E (X EX) 2 < 1, to te liczb e nazywamy wariancja zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E (X EX) 2 : (7) Wariancj e mo zna inaczej zapisać nast epujaco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (8) Ze wzorów (7) i (3) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończona ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X P (X = x i )(x i EX) 2 : (9) i2i W asności wariancji. Jeśli X jest zmienna losowa, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. 3
4 (b) Var(X) = 2 Var X ( 2 R). (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (10) 1.7 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzenia probabilistyczna, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (11) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie. Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa niezale zne i maja warto sć oczekiwana, to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n X i i zachodzi równo sć! ny ny E X i = EX i : (12) Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var! X i = Var X i : (13) 1.8 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancja ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (14) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) wynika, ze Cov(X; Y ) = E(XY ) EX EY: (15) Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystajac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast epujac a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (16) 4
5 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwiazane sa zale znościa liniowa, tzn. istnieja takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (17) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb e Corr(X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (18) Z nierówności (16) wynika, ze jcorr(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi edzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 2 i z równości (15) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y sa niezale zne i maja wartość oczekiwana, to sa nieskorelowane. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuja skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane sa skończone ciagi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ciag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (19) Wówczas, korzystajac z wzoru (3) na wartość oczekiwana, mo zemy zapisać wzór (14) w postaci Cov(X; Y ) = p i (x i EX) (y i EY ) : (20) 1.9 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (13)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e, to istnieje te z wariancja sumy P n X i i zachodzi równo sć Var! X i = Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (21) Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e i sa parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (13) Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuanta zmiennej losowej X :! R nazywamy funkcje F : R! [0; 1] określona F (t) := P (X t): (22) 5
6 Twierdzenie 5. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nast epujace w asno sci: (a) F jest niemalejaca. (b) F jest prawostronnie ciag a. (c) lim t! 1 F (t) = 0, lim t!+1 F (t) = 1. Twierdzenie 6. Je zeli funkcja F : R! [0; 1] spe nia warunki (a) (c) Twierdzenia 5, to jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej; jej rozk ad jest wyznaczony jednoznacznie. Twierdzenie 7. Je zeli F jest dystrybuanta zmiennej losowej X, to dla ka zdego t 2 R, P (X < t) = F (t ) := lim s!t F (s): (23) Niech X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n b edzie zmienna n-wymiarowa (wektorem losowym). Rozk ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zde niowany ogólnie (2). Rozk ad ten nazywamy rozk adem acznym wektora losowego X. Gdy znamy rozk ad aczny, to znamy tak ze rozk ad ka zdej wspó rz ednej: P (X j 2 B) = P (X 1 2 R; :::; X j 1 2 R; X j 2 B; X j+1 2 R; :::; X n 2 R): (24) Rozk ady (24) nazywamy rozk adami brzegowymi wektora losowego X. Dystrybuanta wektora losowego X nazywamy funkcje F : R n! [0; 1] określona F (t 1 ; :::; t n ) := P (X 1 t 1 ; :::; X n t n ): (25) Dystrybuantami brzegowymi F 1 ; :::; F n nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X 1 ; :::; X n Zmienne losowe zwiazane z ryzykiem kredytowym Ryzyko kredytowe b edziemy rozpatrywać jako ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc e (osob e lub instytucj e). Dla banku udzielajacego wielu kredytów istotna jest tak ze ocena ryzyka jednoczesnego wystapienia wielu przypadków niewyp acalności klientów oraz badanie zale zności mi edzy tymi zdarzeniami losowymi Przypadek pojedynczego kredytobiorcy Podstawowa zmienna losowa, która tutaj rozwa zamy, jest strata, oznaczana przez L (od ang. loss). Jest ona dana L := EAD SEV Y; (26) gdzie EAD (exposure at default) maksymalna wartość, jaka mo ze być utracona w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorc e. Jest to wartość ustalona, a wiec nie jest zmienna losowa. 6
7 SEV (severity) zmienna losowa o wartościach w przedziale [0; 1]; podaje ona, jaki procent wartości EAD jest faktycznie tracony przy zajściu zdarzenia niedotrzymania warunków; Y zmienna losowa o wartościach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartość 0, gdy kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienna Y nazywamy wskaźnikiem niedotrzymania warunków. Ponadto de niujemy: LGD (loss given default) strata (jako procent wartości EAD) w przypadku niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznacza sie z wzoru LGD = E(SEV ): (27) P D (probability of default) prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków. Wówczas wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania warunków wyra za sie EY = 1 P D + 0 (1 P D) = P D: (28) Za ó zmy, ze bank udzieli kredytu w wysokości K jednostek pieni edzy na okres 1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzymania warunków umowy bank otrzyma po roku kwot e EAD = K(1 + R): (29) Jest to jednocześnie maksymalna kwota, jaka bank mo ze stracić w przypadku niedotrzymania warunków. W praktyce w wi ekszości przypadków bankowi udaje si e odzyskać cz eść tej kwoty. Wysokość tej odzyskanej kwoty przyjmujemy jako EAD(1 LGD). Wartość oczekiwana kwoty uzyskanej przez bank po roku wynosi zatem K(1 + R)(1 P D) + K(1 + R)(1 LGD)P D = K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D]: (30) Przyjmuje si e, ze wartość ta powinna być równa kwocie kredytu wolnej od ryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-free rate), oznaczanej R f : K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D] = K(1 + R f ): (31) Z równości (31) mo zna otrzymać dwa inne wzory: 1) Wzór na implikowane prawdopodobieństwo niedotrzymania (implied default probability) jest to prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków umowy wynikajace z przyj etego modelu: P D = 1 1+R f 1+R LGD : (32) 2) Wzór na spread kredytowy (credit spread), czyli ró znice miedzy stopa procentowa uwzgledniajac a ryzyko a stopa wolna od ryzyka: LGD P D R R f = (1 + R f ) 1 LGD P D : (33) 7
8 Oczekiwana strata (expected loss) nazywamy wartość oczekiwana straty (26). Zak adaj ac niezale zność zmiennych losowych SEV i Y, otrzymujemy na mocy Twierdzenia 2 oraz (27) i (28) EL = E(EAD SEV Y ) = EAD E(SEV ) E(Y ) = EAD LGD P D: (34) Nieoczekiwana strata (unexpected loss) nazywamy odchylenie standardowe straty (26) L = p Var L = p Var(EAD SEV Y ) = EAD p Var(SEV Y ): (35) Twierdzenie 8. Je zeli zmienne losowe SEV i Y sa niezale zne, to L = EAD p Var(SEV )P D + LGD 2 P D(1 P D): (36) Portfel wielu kredytów B edziemy teraz rozwa zać ryzyko portfela P z o zonego z m kredytów. Podstawowa zmienna ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela L P określona mx mx L P := L i = EAD i SEV i Y i ; (37) gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycza i-tego kredytu. Oczekiwana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (34), mx mx E(L P ) = E(L i ) = EAD i LGD i P D i ; (38) przy za o zeniu, ze dla ka zdego i zmienne losowe SEV i i Y i sa niezale zne. Nieoczekiwana strata z portfela P nazywamy odchylenie standardowe (L P ) straty z portfela. Twierdzenie 9. v u mx (L P ) = t EAD i EAD j Cov (SEV i Y i ; SEV j Y j ): (39) i;j=1 Twierdzenie 10. Za ó zmy, ze poziom straty w przypadku niedotrzymania warunków jest sta y i jest taki sam dla wszystkich sk adników portfela: SEV i LGD i = LGD; 8i 2 f1; :::; mg: (40) Wówczas v u mx (L P ) = t EAD i EAD j LGD 2 ij qp D i (1 P D i )P D j (1 P D j ); gdzie i;j=1 (41) ij := (SEV i Y i ; SEV j Y j ) = (Y i ; Y j ): (42) 8
9 1.12 Warunkowa wartość oczekiwana Niech (; F; P ) b edzie przestrzenia probabilistyczna. Dla dowolnego A 2 F takiego, ze P (A) > 0, zde niujmy funkcje P A : F! R P A (B) := P (Bj A) = P (B \ A) : (43) P (A) Mo zna atwo wykazać, ze P A jest rozk adem prawdopodobieństwa na, tzn. spe nia aksjomaty (A1) (A3) de nicji prawdopodobieństwa. Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R posiadajacej wartość oczekiwana de niujemy jej warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem zajścia zdarzenia A nastepujaco: Z E (Xj A) := XdP A : (44) Wzór podany w poni zszym twierdzeniu oznacza, ze E (Xj A) jest średnia wartościa zmiennej losowej X na zbiorze A. Twierdzenie 11. Je zeli P (A) > 0 i X jest zmienna o skończonej warto sci oczekiwanej, to E (Xj A) = 1 Z XdP: (45) P (A) A Zde niujemy teraz warunkowa wartość oczekiwana wzgl edem -cia a generowanego przez co najwy zej przeliczalna liczb e zdarzeń. Do tego potrzebne nam b edzie nastepujace oznaczenie: dla dowolnego zdarzenia A 2 F, symbol 1 A oznacza zmienna określona nastepujaco: 1 A (!) := 1 dla! 2 A; 0 dla! 2 na: (46) Niech = S i2i A i, gdzie I jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, zaś zdarzenia A i o dodatnim prawdopodobieństwie stanowia rozbicie przestrzeni. Niech G = (A i ; i 2 I) b edzie najmniejszym -cia em zawierajacym zbiory A i. Dla dowolnej zmiennej losowej X :! R posiadajacej wartość oczekiwana de niujemy jej warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem -cia a G jako zmienna E (Xj G) :! R zde niowana E (Xj G) (!) := X E (Xj A i ) 1 Ai (!);! 2 : (47) i2i Twierdzenie 12. Warunkowa warto sć oczekiwana E (Xj G) posiada nast epujace w asno sci: (a) E (Xj G) jest mierzalna wzgl edem -cia a G. (b) Je zeli B 2 G, to Z Z XdP = E (Xj G) dp: (48) B B 9
10 Powy zsze twierdzenie umo zliwia uogólnienie de nicji warunkowej wartości oczekiwanej na przypadek dowolnego -cia a G. Warunkowa wartościa oczekiwana zmiennej losowej X pod warunkiem -cia a G nazywamy dowolna zmienna E (Xj G) spe niajac a warunki (a) i (b) Twierdzenia 12. Twierdzenie 13. Niech G b edzie dowolnym -cia em zawartym w F i niech X :! R b edzie zmienna posiadajac a warto sć oczekiwana. Wówczas: (a) Istnieje warunkowa warto sć oczekiwana dla X pod warunkiem G i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dok adno scia do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero: je zeli Y 1 i Y 2 sa takimi warto sciami oczekiwanymi dla X, to P (Y 1 6= Y 2 ) = 0. (b) Zachodzi równo sć EX = E(E (Xj G)): (49) Je zeli X :! R jest zmienna posiadajac a wartość oczekiwana, a Y :! R n dowolnym wektorem losowym, to mo zemy zde niować warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X przy warunku zmiennej losowej Y : E (Xj Y ) := E (Xj (Y )) ; (50) gdzie (Y ) oznacza najmniejsze -cia o, przy którym zmienna losowa Y jest mierzalna. Wówczas z wzoru (49) otrzymujemy EX = E(E (Xj Y )): (51) Dla dowolnego zdarzenia B 2 F i dowolnego -cia a G F, prawdopodobieństwem warunkowym B wzgl edem G nazywamy zmienna P (Bj G) określona P (Bj G) := E (1 B j G) : (52) Analogicznie do (50), określamy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B wzgl edem zmiennej losowej Y : P (Bj Y ) := P (Bj (Y )) = E (1 B j (Y )) : (53) Funkcje h : R n! R m nazywamy borelowska, je zeli h 1 (B) 2 B(R n ) dla ka zdego B 2 B(R m ). Twierdzenie 14. Je zeli X :! R jest zmienna posiadajac a warto sć oczekiwana, a Y :! R n dowolnym wektorem losowym, to istnieje funkcja borelowska h : R n! R taka, ze E (Xj Y ) = h(y ): (54) 10
Ryzyko inwestycji nansowych
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr zimowy 2010/11) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr zimowy 2017/18) Uwaga Niniejszy materia nie stanowi ca ości wyk adu i nie wystarcza do przygotowania
Bardziej szczegółowo1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowoRyzyko inwestycji nansowych
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr zimowy 2012/13) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowoRyzyko inwestycji nansowych
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr letni 2015/16) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja
Bardziej szczegółowoWyk ady z analizy portfelowej, cz¾eść I
Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cześć I (semestr letni 2007/08) Wyk ady sa udost epniane na stronie: http://math.uni.lodz.pl/marstud/ Pytania prosz e kierować na adres: marstud@math.uni.lodz.pl
Bardziej szczegółowo1 Poj ¾ecie szeregu czasowego
Studia podyplomowe w zakresie przetwarzania, zarz¾adzania i statystycznej analizy danych Analiza szeregów czasowych 24.11.2013-2 godziny konwersatorium autor: Adam Kiersztyn 1 Poj ¾ecie szeregu czasowego
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo1 Regresja liniowa cz. I
Regresja liniowa cz. I. Model statystyczny Model statystyczny to zbiór za o zeń. Wprowadzamy model, który mo zliwie najlepiej opisuje ineresujacy ¾ nas fragment rzeczywistość. B ¾edy modelu wynikaja¾ z
Bardziej szczegółowoMarcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2018/19.
Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I semestr letni 2018/19 http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowow ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I
Prezentacja wspó nansowana przez Uni ¾e Europejsk ¾a w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa
Bardziej szczegółowo1 Wieloczynnikowa analiza wariancji
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoProste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania.
Proste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania. Pawe J. Szab owski March 27 Pawe J. Szab owski () Wyk ad 1 March 27 1 / 17 Plan wyk adu: 1-3. Wst ¾ep i preliminaria- przyk ady szeregów czasowych.. Zagadnienie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoMarcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2011/12.
Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I semestr letni 2011/12 http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystyczne Podczas sprawdzania hipotez statystycznych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ na odrzuceniu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest ona prawdziwa,
Bardziej szczegółowo1 Próba a populacja. Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj ¾eć statystycznych,
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.04 - godziny konwersatorium autor Adam Kiersztyn Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowo1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach
1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Bardziej szczegółowo1 Analiza wariancji H 1 : 1 6= 2 _ 1 6= 3 _ 1 6= 4 _ 2 6= 3 _ 2 6= 4 _ 3 6= 4
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Analiza wariancji Na wst¾epie zapoznamy
Bardziej szczegółowo1 Miary asymetrii i koncentracji
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji
Bardziej szczegółowoBardzo silnie z poj ¾eciem populacji statystycznej zwiazane ¾ jest poj ¾ecie próby statystycznej.
Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj eć statystycznych, poszczególne de nicje zostana wzbogacone o obrazowe przyk ady. Jednym z najistotniejszych poj eć jest
Bardziej szczegółowoO zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym
O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyki SGGW Wis a 2010 Plan referatu 1. Modele liniowe
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.2014-3 godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoMatematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011
Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoWyk ady z algorytmów genetycznych Cz¾eść 2: Model algorytmu genetycznego przy dowolnej reprezentacji rozwi azań ¾
Wyk ady z algorytmów genetycznych Cz¾eść 2: Model algorytmu genetycznego przy dowolnej reprezentacji rozwi azań ¾ Marcin Studniarski Wydzia Matematyki i Informatyki Uniwersytetu ódzkiego Algorytm RHS i
Bardziej szczegółowo1 Przygotowanie ankiety
1 Przygotowanie ankiety Na dzisiejszych zaj ¾eciach skupimy si ¾e na zasadach tworzenia, wprowadzania oraz wst ¾epnej analizie danych zawartych w ankietach. Za ó zmy, ze ankieta sk ada si ¾e nast¾epujacych
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPowtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.
Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa
Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania procesów Markowa Adam Kiersztyn 28 czerwca 20 Streszczenie W tej pracy przedstawimy najwa zniejsze rezultaty zawarte w przygotowywanej rozprawie
Bardziej szczegółowoTeoria algorytmów ewolucyjnych
Marcin Studniarski Teoria algorytmów ewolucyjnych Wyk ad dla doktorantów Semestr letni 0/3 Klasyczny algorytm genetyczny Rozwa zamy funkcj e określona na przestrzeni euklidesowej: f : R n! R. Za- ó zmy,
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na
Bardziej szczegółowo1 Wieloczynnikowa analiza wariancji ciag ¾ dalszy
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Wielowymiarowa analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-03-18 08.20-12.30 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoRozkłady dwóch zmiennych losowych
Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoObligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy.
Obligacje De nicja Obligacj nazywamy papier warto sciowy maj acy, charakter wierzycielski. Obligacj jest zaci agni, eciem, po_zyczki przez instytucj e, sprzedaj ac, obligacj e, u jej nabywcy. Sprzedaj
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok
Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem pakietów SPSS i Statistica Skrypt dla studentów 2012 rok Adam Kiersztyn Katedra Teorii Prawdopodobieństwa Wydzia Matematyczno - Przyrodniczy Katolicki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo