Matematyka I. De nicje, twierdzenia. 13 października 2012

Mtemtyk I De nicje, twierdzeni 3 pździernik 202 Litertur K. Dobrowolsk, W. Dyczk, H. Jkuszenkow, Mtemtyk dl studentów studiów technicznych, cz.,2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn I, O cyn Wydwnicz GiS, Wroc w 2000 T. Jurlewicz, Z. Skoczyls, Algebr liniow, O cyn Wydwnicz GiS, Wroc w 2000 A. Just, Mtemtyk dl studentów politechnik, Wydwnictwo P, ódź 202 K. Kurtowski, Rchunek ró zniczkowy i c kowy, PWN, Wrszw 964 F. Lej, Rchunek ró zniczkowy i c kowy, PWN, Wrszw 963 Liczby zespolone. Podstwowe de nicje De nicj. Zbiorem liczb zespolonych nzywmy zbiór C = R 2 wrz z wyró znionymi elementmi 0 = (0; 0) i = (; 0) orz dzi nimi + i zde niownymi jk poni zej: dl (; b); (x; y) 2 R 2. (; b) + (x; y) def = ( + x; b + y) ; (; b) (x; y) def = (x by; y + bx) Bez trudu mo zn sprwdzić czność i przemienność dodwni i mno zeni orz rozdzielność mno zeni wzgl edem dodwni. Liczb przeciwn do (x; y) jest (x; y) = ( x; y) ; zś odwrotn do (x; y) 6= 0 jest (x; y) x = x 2 + y 2 ; y x 2 + y 2 : W dlszym cigu zero 0 i jedynke zespolon b edziemy oznczć po prostu przez 0 i. Przyjmujemy te z oznczenie: i def = (0; ) :

. LICZBY ZESPOLONE Uwg.2 Zuw zmy, ze i 2 = (0; ) (0; ) = (0 ; 0 + 0) = ( ; 0) = (; 0) = ; co ozncz, ze w zbiorze liczb zespolonych równnie z 2 = liczb i. posid rozwiznie i jest nim Uwg.3 Liczb e zespolon (x; 0) b edziemy uto zsmić z liczb rzeczywist x. W konsekwencji zbiór liczb rzeczywistych R mo zn trktowć jko podzbiór zbioru C. Jeśli z = (x; y) jest liczb zespolon, to (x; y) = (x; 0) + (0; y) = = (x; 0) + (0; ) (y; 0) = = x + iy: K zd liczb e zespolon z = (x; y), gdzie x; y 2 R, mo zn jednozncznie przedstwić w postci z = x + iy, zwnej postci krtezjńsk liczby zespolonej. Liczb e zespolon z = x+iy, gdzie x; y 2 R, mo zn gr cznie trktowć jko punkt (x; y) lub jko wektor [x; y] zczepiony w punkcie (0; 0). Std zbiór liczb zespolonych nzywmy te z p szczyzn zespolon (p szczyzn Guss, p szczyzn Argnd). Z tego równie z powodu dodwnie (odejmownie) liczb zespolonych mo zn interpretowć jko dodwnie (odejmownie) wektorów. Uwg.4 Liczb zespolonych nie porównujemy ze sob w relcji mniejszości <. Mówic dok dniej, nie istnieje tk relcj w zbiorze C, któr by zchowyw w śności relcji < ze zbioru R. De nicj.5 Niech z = x + iy, gdzie x; y 2 R. Wówczs liczb e x nzywmy cz e sci rzeczywist liczby z i oznczmy przez Re z, ztem Re z def = x; liczb e y nzywmy cz e sci urojon liczby z i oznczmy przez Im z, czyli Im z def = y: Liczb e postci z = iy, y 2 R r f0g, nzywmy liczb czysto urojon. Uwg.6 Niech z; w 2 C. Wówczs z = w, (Re z = Re w ^ Im z = Im w) :.2 Sprz e zenie i modu liczby zespolonej De nicj.7 Sprz e zeniem liczby zespolonej z = x + iy, x; y 2 R, nzywmy liczb e Twierdzenie.8 Niech z; w 2 C. Wówczs z def = x iy: 2

. LICZBY ZESPOLONE. z w = z w; 2. z w = z w; 3. z w 4. (z) = z; = z w ; o ile w 6= 0; 5. z + z = 2 Re z; 6. z z = 2i Im z: De nicj.9 Modu em liczby zespolonej z = x+iy, x; y 2 R, nzywmy liczb e rzeczywist jzj def = p x 2 + y 2 : Zuw zmy, ze je zeli z = x = x + 0 i jest liczb rzeczywist, to jzj = p x 2 = jxj ; gdzie jxj ozncz wrtość bezwzgl edn liczby rzeczywistej x. Geometrycznie modu liczby z = x + iy ozncz odleg ość punktu (x; y) od pocztku uk du wspó rz ednych (0; 0). Twierdzenie.0 Niech z; w 2 C. Wówczs. jzj = j zj = jzj ; 2. jz wj = jzj jwj ; 3. z w = jzj jwj, o ile w 6= 0; 4. jz + wj jzj + jwj (tzw. nierówno sć trójkt); 5. jjzj jwjj jz wj ; 6. jre zj jzj ; jim zj jzj ; 7. z z = jzj 2..3 Argument i postć trygonometryczn liczby zespolonej Niech z = x + iy, gdzie x; y 2 R i z 6= 0. Zuw zmy, ze ( x jzj )2 + ( y jzj )2 = x2 jzj 2 + y2 jzj 2 = x2 + y 2 x 2 + y 2 = : Istnieje ztem nieskończenie wiele liczb ' 2 R tkich, ze ( cos ' = x jzj ; sin ' = y jzj : (.) De nicj. Je zeli z = x + iy, gdzie x; y 2 R i z 6= 0, to k zd liczb e ' 2 R tk, ze zchodz równo sci (.) nzywmy rgumentem liczby zespolonej z. Zbiór wszystkich rgumentów liczby z oznczmy przez rg z. 3

. LICZBY ZESPOLONE Spo sród wszystkich rgumentów liczby z 6= 0 dok dnie jeden nle zy do przedzi u [0; 2) nzywmy go rgumentem g ównym liczby z i oznczmy symbolem Arg z. Przyjmujemy dodtkowo, ze rgumentem liczby 0 jest k zd liczb ' 2 R orz ze Arg 0 = 0. Uwg.2. Zuw zmy, ze rg z = farg z + 2k : k 2 Zg: 2. Niekiedy przyjmuje sie, ze Arg z 2 ( ; ]. Je zeli z = x + iy jest dowoln liczb zespolon, to z (.) wynik, ze x = jzj cos '; y = jzj sin '; gdzie ' 2 R jest rgumentem liczby z. Std dostjemy z = x + iy = jzj cos ' + i jzj sin ' = = jzj (cos ' + i sin ') : Wniosek.3 (postć trygonometryczn liczby zespolonej) K zd liczb e zespolon z mo zn przedstwíc w postci z = jzj (cos ' + i sin ') ; gdzie ' 2 rg z; (.2) gdzie ' 2 rg z, zwnej postci geometryczn liczby zespolonej z. Twierdzenie.4 Je zeli z = jzj (cos ' + i sin ') orz w = jwj (cos + i sin ), to. z w = jzj jwj (cos (' + ) + i sin (' + )) ; z 2. w = jzj jwj (cos (' ) + i sin (' )) ; o ile w 6= 0: Wniosek.5 Je zeli z = jzj (cos ' + i sin '), to W szczególno sci, je sli jzj =, to z n = jzj n (cos (n') + i sin (n')) ; n 2 Z: z n = cos (n') + i sin (n') ; n 2 N: (wzór de Moivre ).4 Pierwistkownie liczb zespolonych De nicj.6 Niech dn b edzie liczb zespolon z i n 2 N. Mówimy, ze liczb zespolon w jest pierwistkiem stopni n z liczby z, gdy w n = z. Zbiór pierwistków stopni n z liczby z oznczmy przez np z. Przyk d.7 p = f i; ig; 4p = f ; ; i; ig: Twierdzenie.8 Je zeli z = jzj (cos ' + i sin ') jest liczb zespolon ró zn od zer, to dl k zdego n 2 N istnieje dok dnie n ró znych pierwistków stopni n z liczby z. Pierwistki te mj postć w k = np jzj cos ' + 2k + i sin ' + 2k ; k = 0; ; :::; n : (.3) n n 4

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI.5 Zsdnicze twierdzenie lgebry Twierdzenie.9 (Zsdnicze twierdzenie lgebry) K zdy wielomin stopni dodtniego n o wspó czynnikch zespolonych m w zbiorze C dok dnie n (niekoniecznie ró znych) pierwistków. Wniosek.20 K zdy wielomin W stopni dodtniego n o wspó czynnikch zespolonych rozk d si e n czynniki liniowe, tzn. gdzie n ; z ; :::; z n 2 C. W (z) = n (z z ) (z z 2 ) ::: (z z n ) ; Twierdzenie.2 Je zeli W jest wielominem o wspó czynnikch rzeczywistych i z 0 2 C jest jego pierwistkiem, to liczb z 0 jest równie z pierwistkiem W orz krotno sci pierwistków z 0 i z 0 s sobie równe. Wniosek.22 K zdy wielomin stopni dodtniego o wspó czynnikch rzeczywistych rozk d si e w ciele R n czynniki liniowe (x ) bd z kwdrtowe x 2 + px + q, gdzie = p 2 4q < 0. Wniosek.23 K zdy wielomin stopni dodtniego n o wspó czynnikch rzeczywistych m co njwy zej n pierwistków rzeczywistych. Wniosek.24 K zdy wielomin stopni nieprzystego o wspó czynnikch rzeczywistych m pierwistek rzeczywisty. 2 Mcierze i wyznczniki 2. Mcierze i ich rodzje De nicj 2. Niech X b edzie dowolnym niepustym zbiorem orz m; n 2 N. Mcierz o m wierszch i n kolumnch (m n mcierz, mcierz wymiru m n) o wyrzch w zbiorze X nzywmy dowoln funkcj e A : f; :::; mg f; :::; ng! X: Je zeli X = R (X = C), to mówimy wtedy o mcierzy rzeczywistej (zespolonej). Liczby m i n nzywmy wymirmi mcierzy A. Zbiór wszystkich mcierzy wymiru m n o wyrzch ze zbioru X oznczmy symbolem M m;n (X) (w szczególno sci M m;n (R) ozncz zbiór wszystkich mn mcierzy rzeczywistych). Przyjmujemy nst epujce oznczenie ij def = A (i; j) : Wówczs piszemy A = [ ij ] i=;:::;m j=;:::;n lub A = [ ij ] 5

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI i mcierz A reprezentujemy w postci tblicy 2 2 : : : j ::: n 2 22 : : : 2j : : : 2n A =.... i i2 : : : ij : : : in 6 4.... m m2 : : : mj : : : mn " j-t kolumn 3 7 5 i-ty wiersz Uwg 2.2 Mówimy, ze mcierze A = [ ij ] ; B = [b ij ] 2 M m;n (X) s równe, gdy Piszemy wtedy A = B. Rodzje mcierzy ij = b ij dl i = ; :::; m; j = ; :::; n: Mcierz A = [ ij ] 2 M m;n (X), gdzie X = R (X = C) nzywmy mcierz zerow, je zeli ij = 0 dl wszystkich i = ; :::; m, j = ; :::; n. Oznczmy j przez 0 m;n lub po prostu przez 0, gdy znne s wymiry. Je zeli A = [ ij ] 2 M m;n (X) i m = n, to A nzywmy mcierz kwdrtow. Wyrzy ; 22 ; :::; nn nzywmy g ówn przektn mcierzy A. n. Zk dmy dlej, ze A = [ ij ] jest rzeczywist (zespolon) mcierz kwdrtow stopni Mcierz A, n 2, nzywmy mcierz trójktn górn (doln), gdy ij = 0 dl i > j (i < j); czyli gdy pod (nd) g ówn przektn s sme zer, tzn. A jest postci 2 A = 6 4 2 3 : : : n 0 22 23 : : : 2n 0 0 33 : : : 3n....... 0 0 0 0 nn 3 : 7 5 lub 2 A = 6 4 0 0 : : : 0 2 22 0 : : : 0 3 32 33 : : : 0....... n n2 n3 : : : nn 3 7 5 6

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI Mcierz A nzywmy mcierz digonln, gdy ij = 0 dl i 6= j; czyli gdy poz g ówn przektn s sme zer 2 0 0 : : : 0 0 22 0 : : : 0 A = 0 0 33 : : : 0 6... 4....... 0 0 0 0 nn 3 : 7 5 Jeśli przy tym ii = dl i = ; 2; :::; n, to A nzywmy mcierz jednostkow stopni n i oznczmy symbolem I n 2 3 0 0 : : : 0 0 0 : : : 0 I n = 0 0 : : : 0 : 6... 4....... 7. 5 0 0 0 : : : Mcierz A nzywmy mcierz symetryczn, gdy ij = ji dl i > j; czyli gdy wyrzy mcierzy A le z symetrycznie wzgl edem g ównej przektnej 2 3 2 3 : : : n 2 22 23 : : : 2n A = 3 23 33 : : : 3n : 6 4...... 7. 5 n 2n 3n : : : nn 2.2 Opercje n mcierzch W tym prgr e mówimy o mcierzch rzeczywistych (zespolonych). De nicj 2.3 Niech A; B 2 M m;n, A = [ ij ], B = [b ij ]. Sum mcierzy A i B nzywmy mcierz A + B 2 M m;n tk, ze A + B def = [ ij + b ij ] : ze Je zeli jest dowoln liczb, to ilocznem A przez nzywmy mcierz A 2 M m;n tk, A def = [ ij ] : Stwierdzenie 2.4 Je sli A; B; C s mcierzmi rzeczywistymi (zespolonymi) tego smego wymiru, orz ; dowolnymi liczbmi, to. A + B = B + A; 7

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A + ( A) = 0, gdzie A = [ ij ], je sli A = [ ij ] ; 5. ( + ) A = A + A; 6. (A + B) = A + B; 7. (B) = () B; 8. A = A: De nicj 2.5 Je zeli A 2 M m;r i B 2 M r;n, A = [ ij ], B = [b ij ], to iloczynem mcierzy A i B nzywmy mcierz AB = [c ij ] 2 M m;n, gdzie c ij = rx ik b kj = i b j + i2 b 2j + ::: + ir b rj : k= Uwg 2.6 Zmist A {z ::: A } piszemy A n. n rzy Uwg 2.7 Je zeli u = [u ; u 2 ; :::; u n ] i w = [w ; w 2 ; :::; w n ], to iloczynem sklrnym u i w nzywmy liczb e u w = u w + u 2 w 2 + ::: + u n w n : Iloczyn mcierzy A i B powstje ztem w ten sposób, ze wyrz c ij jest równy iloczynowi sklrnemu wektor [ i ; :::; ir ] przez wektor [b j ; :::; b rj ]. Twierdzenie 2.8 Przy z o zeniu, ze poni zsze dzi ni n mcierzch s wykonlne, zchodz równo sci. A (B + C) = AB + AC; 2. (A + B) C = AC + BC; 3. (AB) = (A) B = A (B) dl dowolnej liczby ; 4. A (BC) = (AB) C; 5. I m A = AI n = A, gdy A 2 M m;n : Uwg 2.9 N ogó mno zenie mcierzy nie jest przemienne! De nicj 2.0 Je zeli A 2 M m;n, to mcierz trnsponown do A nzywmy mcierz A T = [b ij ] 2 M n;m, gdzie b ij = ji ; i = ; :::; n; j = ; :::; m: Trnsponownie mcierzy poleg n zminie kolejnych wierszy n kolumny. Twierdzenie 2. Je sli poni zsze dzi ni s wykonlne, to:. (A + B) T = A T + B T ; 8

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI 2. (A) T = A T ; 3. A T T = A; 4. (AB) T = B T A T ; 5. mcierz kwdrtow A jest symetryczn wtedy i tylko wtedy, gdy A T = A. 2.3 Wyzncznik mcierzy De nicj 2.2 Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej A stopni n, rzeczywistej lub zespolonej, nzywmy liczb e det A okre slon nst epujco: gdy n =, A = [ ], gdy n = 2, A = 2 ; 2 22 det A def = ; det A def = 22 2 2 ; gdy n 3, to det A def = ( ) + W + ( ) +2 2 W 2 + ::: + ( ) +n n W n ; gdzie W j ozncz wyzncznik mcierzy kwdrtowej stopni n skre slenie pierwszego wiersz i j-tej kolumny., powst ej z A przez Uwg 2.3 Je zeli A = [ ij ], to zpisujemy 2 : : : n 2 22 : : : 2n det A =...... n n2 : : : nn Uwg 2.4 Do obliczni wyzncznik mcierzy stopni 3 mo zn u zyć tzw. Srrus: 2 3 &. 2 22 23 &. &. 3 32 33. &. &. & 2 3 +. &. &. & 2 22 23 +. & + metody = ( 22 33 + 2 32 3 + 3 2 23 ) ( 3 22 3 + 23 32 + 33 2 2 ) 9

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI Je zeli A 2 M 2;2 (R), to jdet Aj jest równe polu powierzchni równoleg oboku rozpietego n wierszch (kolumnch) mcierzy A: W szczególności, jeśli det A = 0, to wiersze (kolumny) s równoleg e. u = [ ; 2 ] ; v = [ 2 ; 22 ] jdj = det 2 2 22 Je zeli A 2 M 3;3 (R), to jdet Aj jest równe objetości równoleg ościnu rozpietego n wierszch (kolumnch) mcierzy A. W szczególności, jeśli det A = 0, to wiersze (kolumny) le z w jednej p szczyźnie. u = [ ; 2 ; 3 ] ; v = [ 2 ; 22 ; 23 ] ; w = [ 3 ; 32 ; 33 ] 2 3 2 3 jv j = det 4 2 22 23 5 3 32 33 Twierdzenie 2.5 (W sności wyzncznik mcierzy) det A = det A T, tzn. 2 : : : n 2 : : : n 2 22 : : : 2n 2 22 : : : n2..... =....... n n2 : : : nn n 2n : : : nn Je zeli pewien wiersz (kolumn) mcierzy A sk d sie z smych zer, to det A = 0: 2 : : : 0 : : : n 2 22 : : : 0 : : : 2n = 0.... n n2 : : : 0 : : : nn Je zeli mcierz A m dw tkie sme wiersze (kolumny), to det A = 0: : : : : : : : : : : : : 2 : : : n... = 0 2 : : : n : : : : : : : : : : : : Je zeli mcierz A m dw proporcjonlne wiersze (kolumny), to det A = 0: : : : : : : : : : : : : 2 : : : n... 2 : : : n : : : : : : : : : : : : = 0 0

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI Je zeli mcierz A jest trójktn (doln lub górn), to wyzncznik A jest równy iloczynowi elementów z g ównej przektnej, czyli det A = ::: nn ; w szczególności det I n = : 0 0 : : : 0 2 22 0 : : : 0 3 32 33 : : : 0....... n n2 n3 : : : nn = 22 ::: nn ; 0 : : : 0 0 : : : 0...... 0 0 : : : = Je zeli mcierz B powstje z A przez przestwienie dwóch dowolnych wierszy (kolumn), to det B = det A: : : : : : : : : : : : : 2 : : : n... 2 : : : n : : : : : : : : : : : : = : : : : : : : : : : : : 2 : : : n... 2 : : : n : : : : : : : : : : : : Je zeli mcierz B powstje z A przez przemno zenie pewnego wiersz (kolumny) mcierzy A przez liczb e, to det B = det A: W szczególności, jeśli A m stopień n, to det (A) = n det A: 2 : : : n 2 : : : n 2 22 : : : 2n 2 22 : : : 2n... i i2 : : : in =... i i2 : : : in...... n n2 : : : nn n n2 : : : nn 2 : : : n 2 : : : n 2 22 : : : 2n = n 2 22 : : : 2n...... n n2 : : : nn n n2 : : : nn Wyzncznik mcierzy nie ulegnie zminie, jeśli do pwenego wiersz (kolumny) dodmy

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI inny wiersz (kolumn e) pomno zony przez dowoln liczb e. : : : i : : : j : : : n 2 : : : 2i : : : 2j : : : 2n.... n : : : ni : : : nj : : : nn = : : : i : : : i + j : : : n 2 : : : 2i : : : 2i + 2j : : : 2n.... n : : : ni : : : ni + nj : : : nn De nicj 2.6 Niech A = [ ij ] b edzie mcierz kwdrtow stopni n 2. Dope nieniem lgebricznym elementu ij nzywmy liczb e ij = ( ) i+j W ij ; gdzie W ij jest wyzncznikiem mcierzy powst ej z A przez skre slenie i-tego wiersz i j-tej kolumny. Twierdzenie 2.7 (Lplce o rozwijniu wyzncznik wzgl edem wiersz lub kolumny) Je zeli A jest mcierz kwdrtow stopni n, n 2, to dl dowolnych i 0 ; j 0 2 f; :::; ng zchodzi równo sć det A = nx i0j i 0j = i0 i 0 + i02 i 02 + ::: + i0n i 0n j= (rozwini ecie wzgl edem wiersz i 0 ), det A = nx ij0 ij 0 = j0 j 0 + 2j0 2j 0 + ::: + nj0 nj 0 i= (rozwini ecie wzgl edem kolumny j 0 ). Twierdzenie 2.8 (Cuchy ego) Je zeli A i B s mcierzmi kwdrtowymi tego smego stopni, to det (AB) = det A det B 2.4 Mcierz odwrotn De nicj 2.9 Mówimy, ze mcierz kwdrtow A stopni n jest odwrcln, je zeli istnieje tk mcierz B, ze AB = BA = I n : Tk mcierz B jest jednozncznie wyznczon. Nzywmy j mcierz odwrotn do A i oznczmy symbolem A. Ztem AA = A A = I n : 2

3. UK ADY RÓWNAŃ LINIOWYCH De nicj 2.20 Mcierz kwdrtow A nzywmy nieosobliw, je zeli det A 6= 0; w przeciwnym wypdku A nzywmy mcierz osobliw. Zuw zmy, ze jeśli A jest odwrcln, to jest nieosobliw, przy czym det A = det A. Istotnie i std = det I n = det AA = det A det A det A = det A : Zchodzi te z fkt odwrotny: jeśli mcierz A jest nieosobliw, to jest odwrcln. Dostjemy wiec Twierdzenie 2.2 Mcierz kwdrtow A jest nieosobliw wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwrcln. Je sli det A 6= 0, to A = T det A ij ; gdzie ij ozncz mcierz dope nień lgebricznych wyrzów mcierzy A. b Przyk d 2.22 Niech A = c d A = T d c d b = det A b d bc c b edzie mcierz nieosobliw. Wówczs Twierdzenie 2.23 (W sności mcierzy odwrotnej) Je zeli A i B s mcierzmi nieosobliwymi tego smego wymiru, to. det A = (det A) ; 2. A T = A T ; 3. (AB) = B A ; 4. A = A; 5. (A) = A dl dowolnej liczby 6= 0: 3 Uk dy równń liniowych 3. Podstwowe de nicje De nicj 3. Uk dem m równń liniowych z n niewidomymi x ; :::; x n, gdzie m; n 2 N, nzywmy k zdy uk d równń postci 8 x + 2 x 2 + ::: + n x n = b >< 2 x + 22 x 2 + ::: + 2n x n = b 2 (*).. >: m x + m2 x 2 + ::: + mn x n = b m : 3

3. UK ADY RÓWNAŃ LINIOWYCH gdzie ij (i = ; :::; m, j = ; :::; n) orz b i (i = ; :::; m) s ustlonymi liczbmi rzeczywistymi (zespolonymi). Rozwizniem uk du równń liniowych (*) nzywmy k zdy cig (x ; :::; x n ) liczb rzeczywistych (zespolonych) spe nijcy ten uk d. Mcierz uk du (*) nzywmy mcierz 2 A = 6 4 2 ::: n 2 22 ::: 2n... m m2 ::: mn Zuw zmy, ze uk d równń (*) mo zn zpisć w tzw. postci mcierzowej 3 7 5 : AX = B; (**) gdzie 2 X = 6 4 x x 2. x n 3 2 7 5 ; B = 6 4 Mcierz B nzywmy kolumn wyrzów wolnych. b b 2. b m 3 7 5 : De nicj 3.2 Mówimy, ze uk d równń (*) jest sprzeczny, gdy nie m rozwizń; oznczony, gdy m dok dnie jedno rozwiznie; nieoznczony, gdy m nieskończenie wiele rozwizń. De nicj 3.3 Uk d równń liniowych postci nzywmy uk dem jednorodnym. AX = 0 Uwg 3.4 Jednym z rozwizń uk du jednorodnego jest rozwiznie zerowe 2 3 0 0 X = 6 7 4. 5 : 0 3.2 Twierdzenie Crmer De nicj 3.5 Uk dem równń Crmer nzywmy uk d AX = B; w którym A jest (kwdrtow) mcierz nieosobliw. 4

3. UK ADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Twierdzenie 3.6 (Crmer) Uk d równń Crmer m dok dnie jedno rozwiznie 2 X = 6 W 4 gdzie W = det A orz W j (j = ; :::; n) ozncz wyzncznik mcierzy, któr powstje przez zstpienie j-tej kolumny A kolumn wyrzów wolnych. W j = W W 2. W n 3 7 5 ; 2 ::: j b j+ ::: n 2 22 ::: 2j b 2 2j+ ::: 2n...... n n2 ::: nj b n nj+ ::: nn Wniosek 3.7 Jedynym rozwizniem jednorodnego uk du Crmer jest rozwiznie zerowe. Uwg 3.8 Je zeli jest uk dem Crmer, to AX = B X = A B: 3.3 Rz d mcierzy i twierdzenie Kronecker-Cpellego De nicj 3.9 Minorem stopni r (r 2 N) mcierzy A nzywmy wyzncznik mcierzy powst ej przez skre slenie pewnej ilo sci wierszy lub kolumn mcierzy A. W szczególno sci, je sli A jest mcierz kwdrtow stopni n, to det A jest jej minorem stopni n. De nicj 3.0 Rz edem mcierzy A nzywmy njwy zszy ze stopni niezerowych minorów mcierzy A. Rzd mcierzy A oznczmy przez R (A). Twierdzenie 3. (W sności rz edu mcierzy) Je zeli A jest mcierz wymiru m n, to 0 R (A) minfm; ng: R (A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest mcierz zerow Je zeli A jest mcierz kwdrtow stopni n, to R (A) = n, det A 6= 0: Dl dowolnej mcierzy A zchodzi równo sć Je zeli mcierz B powstje poprzez R A T = R (A) : skre slenie zerowego wiersz (kolumny) mcierzy A 5

4. CIAGI LICZBOWE skre slenie jednego z dwóch identycznych wierszy (kolumn) mcierzy A skre slenie jednego z dwóch proporcjonlnych wierszy (kolumn) mcierzy A zmin e dwóch dowolnych wierszy (kolumn) mcierzy A dodnie do pewnego wiersz (kolumny) mcierzy A innego wiersz (kolumny) pomno zonego przez pewn liczb e to R (B) = R (A) : De nicj 3.2 Mcierz uzupe nion uk du AX = B nzywmy mcierz U def = [AjB] ; czyli 2 U = 6 4 2 ::: n b 2 22 ::: 2n b 2........ 3 7 5 : m m2 ::: mn b m Twierdzenie 3.3 (Kronecker-Cpelli) Uk d m równń z n niewidomymi m rozwiznie wtedy i tylko wtedy, gdy AX = B R (A) = R (U) : Wówczs rozwizni uk du zle z od n r prmetrów, gdzie r = R (A) = R (U). 4 Ci gi liczbowe De nicj 4. Cigiem (nieskończonym) o wyrzch w zbiorze A nzywmy k zd funkcj e : N! A. Wrto sć funkcji dl liczby nturlnej n oznczmy przez n = (n) 2 A: Element n 2 A nzywmy n-tym wyrzem cigu. Cig o wyrzch n oznczmy symbolem ( n ) n2n. Zbiór jego wyrzów oznczmy przez f n g n2n, tzn. f n g n2n = f n 2 A : n 2 Ng. De nicj 4.2 Niech : N!A. Je zeli A R, to cig nzywmy cigiem liczbowym. Je zeli A jest zbiorem funkcji, to cig nzywmy cigiem funkcyjnym. De nicj 4.3 Niech ( n ) b edzie cigiem liczbowym. Cig ( n ) nzywmy rosncym, gdy V n < n+ n2n 6

4. CIAGI LICZBOWE niemlejcym, gdy V n n+ n2n mlejcym, gdy V n > n+ n2n nierosncym, gdy V n n+ n2n Cigi te nzywmy cigmi monotonicznymi. Cigi mlejce i rosnce nzywmy scísle monotonicznymi, z s niemlejce i nierosnce monotonicznymi w szerszym sensie. Twierdzenie 4.4 Je sli n > 0, to cig ( n ) jest rosncy wtedy i tylko wtedy, gdy ^ n2n n+ n > : De nicj 4.5 Mówimy, ze cig ( n ) jest ogrniczony z do u, gdy zbiór jego wyrzów f n g jest ogrniczony z do u, tzn _ ^ m n : m2r n2n Mówimy, ze cig ( n ) jest ogrniczony z góry, gdy zbiór jego wyrzów f n g jest ogrniczony z góry, tzn. _ ^ n M M2R n2n Mówimy, ze cig ( n ) jest ogrniczony, gdy jest ogrniczony z góry i z do u, czyli _ ^ m n M: m;m2r n2n Stwierdzenie 4.6 Cig ( n ) jest ogrniczony wtedy i tylko wtedy, gdy _ ^ j n j M: M>0 n2n De nicj 4.7 Liczb e nzywmy grnic (w sciw) cigu ( n ), gdy ^ _ ^ j n j < "; ">0 k2n n>k czyli w dowolnym przedzile ( "; + "), " > 0; le z prwie wszystkie wyrzy cigu ( n ) (prwie wszystkie = wszystkie poz skończon ilo sci). Cig ( n ) nzywmy zbie znym, gdy m grnic e. Grnic e cigu ( n ) oznczmy przez lim n; n! lim n = : n! Twierdzenie 4.8 K zdy cig zbie zny m dok dnie jedn grnic e. De nicj 4.9 Mówimy, ze cig ( n ) jest 7

4. CIAGI LICZBOWE rozbie zny do + (m grnic e niew sciw +), gdy ^ _ ^ n > M; piszemy wtedy lim n! n = +; rozbie zny do piszemy wtedy lim n! n = ; M2R k2n n>k (m grnic e niew sciw ), gdy ^ _ ^ n < m; m2r k2n n>k rozbie zny, gdy nie posid grnicy (w sciwej lub niew sciwej) Twierdzenie 4.0 Je zeli lim n! n = i lim n! b n = b, ; b 2 R, to. lim n! ( n + b n ) = + b; 2. lim n! ( n b n ) = b; 3. lim n! ( nb n ) = b; 4. lim n n! bn = b o ile b 6= 0 i b n 6= 0. Uwg 4. Skreślenie lub dodnie do cigu skończonej ilości wyrzów nie wp yw n jego zbie zność. Twierdzenie 4.2 lim n = 0, lim j nj = 0: n! n! Twierdzenie 4.3 Je zeli lim n = + orz lim b n = b > lub lim b n = +, to n! n! n! lim ( n + b n ) = + i std przyjmujemy umow e n! + b = ; b 2 R; + = : Twierdzenie 4.4 Je zeli lim n = + orz lim b n > 0, to lim ( nb n ) = +; je zeli n! n! n! lim b n < 0, to lim ( nb n ) = i std przyjmujemy umow e n! n! = ; b = ; b > 0; ( ) = ; b = ; b < 0: Twierdzenie 4.5 Je zeli lim n = + ( ), to lim n! n! n = 0. Std umow = 0: 8

4. CIAGI LICZBOWE Twierdzenie 4.6 Je zeli lim n! n = 0, to lim n! +; = n Std przyjmujemy umow e gdy n > 0 dl prwie wszystkich n ; gdy n < 0 dl prwie wszystkich n: 0 = +; + 0 = : Twierdzenie 4.7 Twierdzenie 4.8 lim n! qn = 8 >< >: lim n! n = + q > q = 0 jqj < nie istnieje q 8 < : 0 < 0 = 0 + > 0 Twierdzenie 4.9 Z ó zmy, ze lim n! n = +. Je zeli 0 < lim n! b n +, to lim n! ( n) bn = +. Je zeli lim n! b n < 0, to lim n! ( n) bn = 0: Std przyjmujemy umow e = b = ; b > 0; = 0 b = 0; b < 0: De nicj 4.20 Poni zsze wyr zeni nzywmy symbolmi nieoznczonymi 0 0 0 0 0 0 Twierdzenie 4.2 Je zeli cigi ( n ) i (b n ) s zbie zne orz n < b n lub n b n dl prwie wszystkich n, to lim n lim b n: n! n! Twierdzenie 4.22 Z ó zmy, ze dl prwie wszystkich wryzów cigów ( n ) i (b n ) zchodzi nierówno sć n b n : Je sli lim n! n = +, to lim n! b n = +: Je sli lim n! b n =, to lim n! n = : 9

4. CIAGI LICZBOWE Twierdzenie 4.23 (o trzech cigch) Je zeli dl cigów ( n ), (b n ) i (c n ) zchodzi nierówno sć n b n c n orz lim n! n = lim n! c n =, to wówczs lim n! b n =. Wniosek 4.24 Je zeli lim n = 0 i cig (b n ) jest ogrniczony, to lim nb n = 0. n! n! Twierdzenie 4.25. lim np n = : n! 2. lim np = ; > 0: n! 3. Je zeli n 0 i lim n = > 0, to lim np n =. n! n! Twierdzenie 4.26 K zdy cig zbie zny jest ogrniczony. Twierdzenie 4.27 K zdy cig monotoniczny i ogrniczony jest zbie zny. De nicj 4.28 Mo zn wykzć, ze cig + n n jest monotoniczny i ogrniczony, wi ec jest zbie zny. Jego grnic e oznczmy przez e e def = lim + n : n! n Liczb e jest liczb niewymiern e = 2; 78288284::: De nicj 4.29 Logrytm przy podstwie e nzywmy logrytmem nturlnym i oznczmy symbolem ln ln x def = log e x; x > 0: Twierdzenie 4.30 Je zeli lim n = + ( ), to lim + n n! n! n = e. De nicj 4.3 Niech b edzie dny cig ( n ). Podcigiem cigu ( n ) nzywmy k zdy cig postci ( nk ) ; gdzie (n k ) jest rosncym cigiem liczb nturlnych. Twierdzenie 4.32 Je zeli cig ( n ) jest zbie zny do, to wszystkie podcigi cigu ( n ) s zbie zne do. Twierdzenie 4.33 (Bolzno-Weierstrss) Z k zdego cigu ogrniczonego mo zn wybrć podcig zbie zny. Z k zdego cigu nieogrniczonego mo zn wybrć podcig rozbie zny do M + lub. 20

5. GRANICE FUNKCJI 5 Grnice funkcji 5. Podstwowe de nicje De nicj 5. Otoczeniem punktu x 0 2 R nzywmy k zdy przedzi postci U (x 0 ) = (x 0 ; x 0 + ) ; gdzie > 0: Ssiedztwem punktu x 0 nzywmy k zdy zbiór postci S (x 0 ) = (x 0 ; x 0 ) [ (x 0 ; x 0 + ) = (x 0 ; x 0 + ) fx 0 g; gdzie > 0: Ssiedztwem prwostronnym punktu x 0 nzywmy k zdy przedzi z s lewostronnym k zdy przedzi S + (x 0 ) = (x 0 ; x 0 + ) ; S (x 0 ) = (x 0 ; x 0 ) : De nicj 5.2 Niech X R b edzie zbiorem niepustym. Mówimy, ze x 0 2 R jest punktem skupieni zbioru X, je zeli istnieje cig (x n ) tki, ze fx n g X fx 0 g orz lim n! x n = x 0 : Zbiór wszystkich punktów skupieni zbioru X oznczmy symbolem X d. Je zeli dodtkowo jest spe niony wrunek x 0 < x n ; (x n < x 0 ) dl wszystkich n, to x 0 nzywmy prwostronnym (lewostronnym) punktem skupieni. Zbiór prwostronnych (lewostronnych) punktów skupieni zbioru X oznczmy przez X+ d (X d ). Punkty x 2 X, które nie s punktmi skupieni zbioru X nzywmy punktmi izolownymi. Uwg 5.3 two widć, ze x 0 2 S (x 0 ) d ; x 0 2 S + (x 0 ) d + ; x 0 2 S (x 0 ) d : De nicj 5.4 (grnicy funkcji w punkcie) Niech f : X! R orz niech x 0 2 X d. Mówimy, ze liczb g jest grnic w sciw funkcji f w punkcie x 0, je zeli lim f (x n) = g n! dl k zdego cigu (x n ) tkiego, ze fx n g X fx 0 g i lim n! x n = x 0. Piszemy wtedy lim f (x) = g: 2

5. GRANICE FUNKCJI Mówimy, ze funkcj f m grnic e niew sciw + ( ) w punkcie x 0, je zeli dl k zdego cigu (x n ) tkiego, ze fx n g X lim f (x n) = + ( ) n! lim f (x) = + fx 0 g i lim n! x n = x 0. Piszemy wtedy lim f (x) = : De nicj 5.5 (grnicy funkcji w +) Niech f : X! R i z ó zmy, ze zbiór X nie jest ogrniczony z góry. Mówimy, ze liczb g jest grnic w sciw funkcji f w +, je zeli lim f (x n) = g n! dl k zdego cigu (x n ) tkiego, ze fx n g X orz lim x n = +. Piszemy wtedy lim f (x) = g: x!+ Mówimy, ze funkcj f m grnic e niew sciw + ( ) w +, je zeli lim f (x n) = + ( ) n! dl k zdego cigu (x n ) tkiego, ze fx n g X i lim x n = +: Piszemy wtedy lim f (x) = + lim f (x) = : x!+ x!+ Anlogicznie de niujemy grnice funkcji w ogrniczonym z do u) (przy z o zeniu, ze X nie jest zbiorem De nicj 5.6 (grnicy prwostronnej) Niech f : X! R i x 0 2 X+. d Mówimy, ze g (g 2 R, g = ) jest grnic prwostronn (w sciw lub nie) funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy przez lim f (x) = g; x!x + 0 je sli jest spe niony wrunek lim f (x n) = g n! dl k zdego cigu (x n ) tkiego, ze fx n g X, lim x n = x 0 orz x n > x 0. n! De nicj 5.7 (grnicy lewostronnej) Niech f : X! R i x 0 2 X_ d. Mówimy, ze g (g 2 R, g = ) jest grnic lewostronn (w sciw lub nie) funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy przez lim f (x) = g; je sli jest spe niony wrunek lim f (x n) = g n! dl k zdego cigu (x n ) tkiego, ze fx n g X, lim x n = x 0 orz x n < x 0. n! 22

5. GRANICE FUNKCJI Twierdzenie 5.8 Niech f : X! R orz x 0 2 X+ d \ X d. Wówczs grnic funkcji f w punkcie x 0 jest równ g wtedy i tylko wtedy, gdy istniej grnice jednostronne w x 0 i s równe g, tzn. lim f (x) = g, lim f (x) = g = lim f (x) x!x + 0 Twierdzenie 5.9 (o rytmetyce grnic w ściwych) Je zeli f; g : X! R, x 0 orz lim f (x) =, lim g (x) = b, przy czym ; b 2 R, to 2 X d. lim (f (x) g (x)) = b; 2. lim (f (x) g (x)) = b; f(x) 3. lim x!x g(x) = b ; o ile b 6= 0; 0 4. lim (f (x)) g(x) = b, o ile 0; je sli = 0, to zk dmy, ze b 6= 0. Twierdzenie 5.0 (o rytmetyce grnic niew ściwych) + = ; + = ; 2 R; = ; = ; > 0 ( ) = ; = ; < 0 = 0; 2 R; 0 = +; > 0; + 0 = ; > 0; b = 0; 0 b < ; +; < b = 0; < 0; +; 0 < +: Twierdzenie 5. (o grnicy funkcji z o zonej) Niech f : X! Y R i g : Y! R. Je sli spe nione s wrunki:. lim f (x) = y 0 2 Y d ; 2. lim y!y 0 g (y) = ; to lim g (f (x)) =. Twierdzenie 5.2 (o trzech funkcjch) Je zeli funkcje f; g; h : X! R spe nij wrunki: 23

5. GRANICE FUNKCJI. V x2s(x 0) f (x) g (x) h (x) dl pewnego ssiedztw S (x 0 ) ; 2. istniej grnice lim f (x) = = lim h (x) ; to lim g (x) =. Twierdzenie 5.3 (o dwóch funkcjch) Niech funkcje f; g : X! R spe nij wrunek ^ f (x) g (x) : Wówczs x2s(x 0) je zeli lim f (x) = +, to lim g (x) = +; je zeli lim g (x) =, to lim f (x) =. Uwg 5.4 Powy zsze twierdzeni pozostj prwdziwe, je zeli zmist grnicy w punkcie x 0 wystepuj grnice jednostronne lub grnice w. Twierdzenie 5.5 sin x lim x!0 x = 5.2 Asymptoty funkcji lim ( + x!0 x)=x = e: De nicj 5.6 Niech f : X! R i x 0 2 X d. Prost o równniu x = x 0 nzywmy prwostronn symptot pionow wykresu funkcji f, je zeli lim f (x) = lbo lim f (x) = +: x!x + 0 x!x + 0 Prost o równniu x = x 0 nzywmy lewostronn symptot pionow wykresu funkcji f, je zeli lim f (x) = lbo lim f (x) = +: Prost o równniu x = x 0 nzywmy obustronn symptot pionow wykresu funkcji f, je zeli jest symptot prwostronn i lewostronn. De nicj 5.7 Niech f : X! R. Je zeli X nie jest zbiorem ogrniczonym z góry, to prost o równniu y = x + b nzywmy symptot uko sn wykresu funkcji f w +, gdy lim (f (x) (x + b)) = 0: x!+ Je zeli X nie jest zbiorem ogrniczonym z do u, to prost o równniu y = x + b nzywmy symptot uko sn wykresu funkcji f w, gdy lim (f (x) (x + b)) = 0: x! Je zeli = 0, to odpowiedni symptot e uko sn nzywmy symptot poziom. 24

6. CIAG OŚĆ FUNKCJI Uwg 5.8 Prost y = b jest sympot poziom wykresu funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = b. lim x!+ Twierdzenie 5.9 Prost o równniu y = Ax + B jest symptot uko sn wykresu funkcji f w + wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) lim = A i lim (f (x) x!+ x Ax) x!+ = B (o ile te grnice istniej i s skończone). Prost o równniu y = x + b jest symptot uko sn wykresu funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy 6 Ci g ość funkcji f (x) lim = i lim (f (x) x) = b: x! x x! De nicj 6. (Heine) Niech f : X! R, x 0 2 X i z ó zmy, ze U (x 0 ) X. Mówimy, ze funkcj f jest cig w punkcie x 0, je zeli lim f (x) = f (x 0 ) : Je zeli funkcj f jest cig w k zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ze jest cig. Uwg 6.2 Podobnie mo zn zde oniowć cig ość funkcji w punktch zbioru X, które s punktmi skupieni X. Przyjmujemy wtedy dodtkowo, ze funkcj f jest cig w punktch izolownych. De nicj 6.3 Niech f : X! R, x 0 2 X i z ó zmy, ze U + (x 0 ) 2 X. Mówimy, ze funkcj f jest cig prwostronnie w punkcie x 0, je zeli lim f (x) = f (x 0 ) : x!x + 0 Anlogiczne de niujemy lewostronn cig o sć funkcji w punkcie. Uwg 6.4 Powiemy, ze funkcj f jest cig n przedzile [; b], je zeli jest cig n przedzile (; b) orz jest prwostonnie cig w i jest lewostronnie cig w b. Twierdzenie 6.5 Niech f : X! R, x 0 2 X i U (x 0 ) X. Funkcj f jest cig w x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest prwostronnie i lewostronnie cig w x 0. De nicj 6.6 Niech f : X! R, x 0 2 X i U (x 0 ) X. Z ó zmy, ze funkcj f nie jest cig w x 0. Mówimy, ze funkcj f m w punkcie x 0 niecig o sć pierwszego rodzju, je zeli istniej skończone grnice lim f (x) i x!x + 0 lim f (x) 6= f (x 0 ) lub lim f (x) 6= f (x 0 ) ; x!x + 0 lim f (x) orz 25

6. CIAG OŚĆ FUNKCJI drugiego rodzju, je zeli jedn z grnic jednostronnych lim f (x) ; x!x + 0 lim f (x) jest niew sciw lub nie istnieje. Twierdzenie 6.7 Je zeli funkcje f i g s cig e w x 0, to. funkcje f g s cig e w x 0 ; 2. funkcj fg jest cig w x 0 ; 3. funkcj f g jest ci g w x 0, o ile g(x 0 ) 6= 0. Twierdzenie 6.8 Je zeli funkcj f jest cig w x 0 i g jest cig w f (x 0 ), to g f jest cig w x 0. De nicj 6.9 Funkcjmi elementrnymi podstwowymi nzywmy funkcje st e, pot egowe, wyk dnicze, logrytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Funkcje, które mo zn z nich otrzymć z pomoc skończonej ilo sci dzi ń rytmetycznych orz z o zeni funkcji, nzywmy funkcjmi elementrnymi. Twierdzenie 6.0 Funkcje elementrne s cig e n swoich dziedzinch. Twierdzenie 6. Z ó zmy, ze funkcj f : [; b]! R jest ró znowrto sciow i cig. Wówczs f jest monotoniczn orz funkcj odwrotn f : f [[; b]]! R jest te z cig i monotoniczn. Twierdzenie 6.2 (Weierstrss) Je zeli funkcj f : [; b]! R jest cig, to jest ogrniczon, co wi ecej osig swoj wrto sć njwi eksz i njmniejsz n przedzile [; b], tzn. _ f (c) = mx f (x) ; _ f (d) = min f (x) : x2[;b] x2[;b] c2[;b] d2[;b] Twierdzenie 6.3 (Drboux) Je zeli funkcj f : [; b]! R jest cig orz f () < f (b), to ^ _ f (x) = y. y2(f();f(b)) x2(;b) Uwg 6.4 Je zeli w powy zszym twierdzeniu z o zymy, ze f (b) < f (), to ^ _ f (x) = y. y2(f(b);f()) x2(;b) Wniosek 6.5 Je zeli f : [; b]! R jest funkcj cig i f ()f (b) < 0, to istnieje x 2 (; b), ze f (x) = 0. 26

7. POCHODNA FUNKCJI 7 Pochodn funkcji 7. Podstwowe poj eci i w sności De nicj 7. Niech f b edzie funkcj rzeczywist okre slon n pewnym otoczeniu U (x 0 ; r) = (x 0 r; x 0 + r) punktu x 0. Ilorzem ró znicowym odpowidjcym przyrostowi h tkiemu, ze 0 < jhj < r, nzywmy f (x 0 + h) f (x 0 ) : h Geometrycznie jest to wspó czynnik kierunkowy prostej przechodzcej przez punkty (x 0 ; f (x 0 )), (x 0 + h; f (x 0 + h)). De nicj 7.2 Niech f b edzie funkcj rzeczywist okre slon n pewnym otoczeniu U (x 0 ; r). Pochodn (w sciw) funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnic e o ile t grnic istnieje i jest skończon. f 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim ; h!0 h De nicj 7.3 Mówimy, ze funkcj f : X! R jest ró zniczkowln, je zeli jest ró zniczkowln w k zdym punkcie swojej dziedziny. Funkcj e X! R x 7! f 0 (x) nzywmy pochodn funkcji f i oznczmy przez f 0. Twierdzenie 7.4 (Pochodne podstwowych funkcji elementrnych). (c) 0 = 0 dl dowolnej funkcji st ej f (x) = c, gdzie c 2 R jest ustlone; 2. (x n ) 0 = nx n dl x 2 R i n 2 N; 3. (x ) 0 = x ; 6= 0; 4. (e x ) 0 = e x ; 5. ( x ) 0 = x ln, > 0, 6= ; 6. (ln x) 0 = x, x > 0; 7. (log x) 0 = x ln, x > 0, > 0, 6= ; 8. (sin x) 0 = cos x; 9. (cos x) 0 = sin x; 0. (tg x) 0 = cos 2 x ;. (ctg x) 0 = sin 2 x ; 2. (rcsin x) 0 = p x, x 2 ( ; ) ; 2 3. (rccos x) 0 = p x, x 2 ( ; ) ; 2 27

7. POCHODNA FUNKCJI 4. (rctg x) 0 = +x 2 ; x 2 R; 5. (rcctg x) 0 = +x 2, x 2 R. Twierdzenie 7.5 (Wrunek konieczny ró zniczkowlności) Je zeli funkcj f jest ró zniczkowln w punkcie x 0, to jest cig w x 0. De nicj 7.6 (Pochodne jednostronne) Z ó zmy, ze funkcj f jest okre slon n zbiorze U + (x 0 ; r) = [x 0 ; x 0 + r), gdzie r > 0. Pochodn prwostronn funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnic e f+ 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim ; h!0 + h o ile t grnic istnieje i jest skończon. Anlogicznie, je zeli f jest okre slon n zbiorze U (x 0 ; r) = (x 0 r; x 0 ], gdzie r > 0, to pochodn lewostronn funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnic e f 0 (x 0 ) = lim h!0 o ile t grnic istnieje i jest skończon. f (x 0 + h) f (x 0 ) ; h Ró zniczkowlność funkcji f : [; b]! R ozncz, ze f m pochodn n przedzile (; b) orz m pochodn prwostronn w i lewostronn w b. Twierdzenie 7.7 Funkcj f m pochodn w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 (x 0 ) = f 0 + (x 0 ). Je zeli spe niony jest powy zszy wrunek, to pochodn f w punkcie x 0 jest równ tej wspólnej wrto sci. De nicj 7.8 Niech f : X! R b edzie cig n pewnym otoczeniu punktu x 0 2 X. Mówimy, ze prost l jest styczn do wykresu funkcji f w punkcie x 0, je zeli przy h! 0 prost przechodzc przez punkty (x 0 ; f (x 0 )) i (x 0 + h; f (x 0 + h)) m po o zenie grniczne równe l. Twierdzenie 7.9 Je zeli funkcj f jest ró zniczkowln w punkcie x 0, to równnie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 m postć y = f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) ; czyli geometrycznie f 0 (x 0 ) jest wspó czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu f w punkcie x 0. Twierdzenie 7.0 (o rytmetyce pochodnych) Je zeli funkcje f i g s ró zniczkowlne w punkcie x 0, to. (f g) 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ) ; 2. (fg) 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g 0 (x 0 ), w szczególno sci (cf) 0 (x 0 ) = cf 0 (x 0 ) ; 3. f g 0 (x0 ) = f 0 (x 0)g(x 0) f(x 0)g 0 (x 0) (g(x 0)) 2, o ile g (x 0 ) 6= 0. 28

7. POCHODNA FUNKCJI Twierdzenie 7. (o pochodnej funkcji z o zonej) Je zeli funkcj f jest ró zniczkowln w punkcie x 0 orz g jest ró zniczkowln w punkcie f (x 0 ), to z o zenie gf jest ró zniczkowlne w x 0 przy czym (g f) 0 (x 0 ) = g 0 (f (x 0 )) f 0 (x 0 ). Twierdzenie 7.2 (Rolle ) Je zeli funkcj f jest cig n przedzile [; b], ró zniczkowln n (; b) orz f () = f (b), to istnieje tki punkt x 0 2 (; b), ze f 0 (x 0 ) = 0. Twierdzenie 7.3 (Lgrnge o przyrostch) Je zeli funkcj f jest cig n przedzile [; b] i ró zniczkowln n (; b), to istnieje tki punkt x 0 2 (; b), ze f 0 (x 0 ) = f (b) b f () : Wniosek 7.4 Niech f b edzie ró zniczkowln n przedzile (; b). Wówczs je zeli f 0 (x) = 0 dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest st n (; b); je zeli f 0 (x) > 0 (f 0 (x) 0) dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest rosnc (niemlejc) n (; b) ; je zeli f 0 (x) < 0 (f 0 (x) 0) dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest mlejc (nierosnc) n (; b): Twierdzenie 7.5 (Cuchy ego o przyrostch) Je zeli funkcje f i g s cig e n przedzile [; b], ró zniczkowlne n (; b) i g 0 (x) 6= 0 dl k zdego x 2 (; b), to istnieje x 0 2 (; b), ze f (b) f () g (b) g () = f 0 (x 0 ) g 0 (x 0 ) : Uwg 7.6 Twierdzenie Lgrnge o przyrostch jest szczególnym przypdkiem twierdzeni Cuchy ego, gdy g (x) = x, x 2 [; b]. Twierdzenie 7.7 Je zeli funkcj f. jest ró zniczkowln n przedzile (; b) V 2. f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0); x2(;b) to istnieje funkcj odwrotn f orz f 0 (f (x)) = f 0 (x) dl k zdego x 2 (; b). Twierdzenie 7.8 (regu de l Hospitl) Je zeli funkcje f i g spe nij wrunki:. lim f (x) = lim g (x) = 0 lub lim f (x) = lim g (x) = +; f 2. istnieje grnic lim 0 (x) x!x g 0 (x) 0 (w sciw lub nie) to f (x) lim g (x) = lim f 0 (x) g 0 (x) : 29

7. POCHODNA FUNKCJI Uwg 7.9 Powy zsze twierdzenie jest prwdziwe tk ze dl grnic jednostronnych i grnic w + lub w. Uwg 7.20 Zmin symboli nieoznczonych 0,, 0 0,, 0 n 0 0 lub. Je zeli lim f (x) = 0 i lim g (x) =, to wówczs lim g(x) = 0 i lim f(x) = ; std Je zeli lim f (x) = lim g (x) = +, to lim f (x) g (x) = [0 ] = f (x) 0 = lim x!x = 0 0 g(x) g (x) h = lim x!x = ; 0 i f(x) lim (f (x) g (x)) = [ ] = lim x!x 0 f(x) = lim g(x) f(x) f(x)g(x)! g(x) = 0 ; 0 W przypdku, gdy lim f (x) g(x) dje jeden z symboli nieoznczonych ; 0 0 ; 0 stosujemy przekszt cenie 7.2 Bdnie funkcji f (x) g(x) = e ln f(x)g(x) = e g(x) ln(x) ; De nicj 7.2 (Ekstrem loklne) Niech f : X! R, X R orz x 0 2 X. Mówimy, ze funkcj f m w punkcie x 0 minimum loklne, je zeli mksimum loklne, je zeli _ ^ r>0 x2s(x 0;r) _ ^ r>0 x2s(x 0;r) f (x) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) : Je zeli w powy zszych wrunkch zchodz nierówno sci ostre f (x) > f (x 0 ) (f (x) < f (x 0 )), to mówimy o minimum (mksimum) loklnym w sciwym. 30

7. POCHODNA FUNKCJI De nicj 7.22 Niech f : X! R. Mówimy, ze funkcj f m wrto sć njmniejsz m n zbiorze A X, je zeli _ x 02A f (x 0 ) = m i ^ f (x) m; x2a wrto sć njwi eksz M n zbiorze A X, je zeli _ x 02A f (x 0 ) = M i ^ f (x) M: x2a Twierdzenie 7.23 (Fermt wrunek konieczny istnieni ekstremum loklnego) Je zeli funkcj f m ekstermum loklne w punkcie x 0 orz f jest ró zniczkowln w x 0, to f 0 (x 0 ) = 0. Uwg 7.24 Wrunek f 0 (x 0 ) = 0 nie jest wrunkiem wystrczjcym do istnieni ekstremum loklnego w x 0, np. niech f (x) = x 3 ; wtedy f 0 (x) = 3x 2 orz f 0 (0) = 0, le w x 0 = 0 funkcj f nie m ekstremum loklnego. Twierdzenie 7.25 (I wrunek wystrczjcy istnieni mksimum loklnego) Niech f : (; b)! R b edzie funkcj ró zniczkowln n (; b) orz x 0 2 (; b). Je zeli f 0 (x 0 ) = 0 i 0 _ @ ^ f 0 (x) > 0 ^ ^ f 0 (x) < 0A ; r>0 x2(x 0 r;x 0) x2(x 0;x 0+r) to funkcj f m mksimum loklne w sciwe w punkcie x 0. Uwg 7.26 Anlogicznie formu ujemy wrunek wystrczjcy istnieni minimum loklnego w ściwego. Twierdzenie 7.27 (II wrunek wystrczjcy istnieni ekstremum) Je zeli istnieje liczb przyst n 2 tk, ze. f 0 (x 0 ) = f 00 (x 0 ) = ::: = f (n ) (x 0 ) = 0; 2. f (n) (x 0 ) < 0 f (n) (x 0 ) > 0, to funkcj f m w punkcie x 0 mksimum (minimum) loklne w sciwe. De nicj 7.28 Mówimy, ze funkcj f jest wypuk n przedzile (; b), je zeli ^ ^ f (tx + ( t) x 2 ) tf (x ) + ( t) f (x 2 ) : x ;x 22(;b) t2(0;) Mówimy, ze funkcj f jest wkl es n przedzile (; b), je zeli ^ ^ f (tx + ( t) x 2 ) tf (x ) + ( t) f (x 2 ) : x ;x 22(;b) t2(0;) Je zeli w powy zszych wrunkch zchodz nierówno sci ostre, to mówimy o scis ej wypuk o sci (wkl es o sci). 3

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Twierdzenie 7.29 Z ó zmy, ze f jest funkcj ró zniczkowln n przedzile (; b). Funkcj f jest wypuk (wkl es ) n (; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego punktu x 0 2 (; b) f (x) f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) ; x 2 (; b) (f (x) f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) ; x 2 (; b)) tzn. wykres funkcji f n przedzile (; b) le zy "powy zej"("poni zej") stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x 0 ). Twierdzenie 7.30 Je zeli f 00 (x) > 0 dl k zdego x 2 (; b), to funkcj f jest wypuk n (; b). Je zeli f 00 (x) < 0 dl k zdego x 2 (; b), to f jest wkl es n (; b). De nicj 7.3 Z ó zmy, ze funkcj f jest okre slon n pewnym otoczeniu U (x 0 ) punktu x 0 i f jest cig w x 0. Mówimy, ze funkcj f m pochodn niew sciw w x 0 je zeli f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = + lub lim =. h!0 h h!0 h De nicj 7.32 Z ó zmy, ze funkcj f jest okre slon n pewnym otoczeniu U (x 0 ) punktu x 0 i ze m pochodn w x 0 (w sciw lub nie). Punkt (x 0 ; f (x 0 )) nzywmy punktem przegi eci wykresu funkcji, je zeli dl pewnego > 0 funkcj f jest scísle wypuk n (x 0 ; x 0 ) i scísle wkl es n (x 0 ; x 0 + ) lub odwrotnie. Twierdzenie 7.33 (Wrunek konieczny istnieni punktu przegi eci) Je zeli (x 0 ; f (x 0 )) jest punktem przegi eci funkcji f orz istnieje f 00 (x 0 ), to f 00 (x 0 ) = 0. Uwg 7.34 Wrunek f 00 (x 0 ) = 0 nie jest wrunkiem wystrczjcym istnieni punktu przegieci w x 0. Je zeli f (x) = x 4, to f 00 (x) = 2x 2, f 00 (0) = 0, le funkcj f nie m punktu przegieci w (0; 0); f jest wypuk. Twierdzenie 7.35 (wrunek wystrczjcy istnieni punktu przegi eci) Je zeli funkcj f m w punkcie x 0 pochodn (w sciw lub nie) orz 0 _ @ ^ f 00 (x) > 0 ^ ^ f 00 (x) < 0A ; >0 x2(x 0 ;x 0) x2(x 0;x 0+) to punkt (x 0 ; f (x 0 )) jest punktem przegi eci wykresu funkcji f. Uwg 7.36 Powy zsze twierdzenie jest prwdziwe, gdy n zbiorch (x 0 ; x 0 ), (x 0 ; x 0 + ) s nierówności odwrotne. 8 C k nieoznczon i oznczon 8. C k nieoznczon De nicj 8. Funkcj e F nzywmy funkcj pierwotn funkcji f n przedzile I, je zeli F jest ró zniczkowln i dl k zdego x 2 I. F 0 (x) = f (x) 32

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Twierdzenie 8.2 Je zeli F jest funkcj pierwotn funkcji f n przedzile I, to. G (x) = F (x) + c, gdzie c 2 R, jest funkcj pierwotn f n I; 2. k zd funkcj pierwotn funkcji f n przedzile I jest postci F (x) + c dl pewnej st ej c. Twierdzenie 8.3 K zd funkcj cig n przedzile I m funkcj e pierwotn. De nicj 8.4 Niech f : I! R b edzie ustlon funkcj. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nzywmy c k nieoznczon funkcji f i oznczmy przez Z f (x) dx: Je sli F jest funkcj pierwotn f n przedzile I, to Z f (x) dx = ff (x) + c : c 2 Rg: Uwg 8.5 Ogólniej, powiemy, ze F jest funkcj pierwotn funkcji f : X! R je zeli F jest ró zniczkowln n X orz F 0 (x) = f (x) dl k zdego x 2 X (nie wymgmy terz, zeby dziedzin funkcji f by jednym przedzi em). Je zeli f (x) = 0 dl x 6= 0, to funkcj pierwotn funkcji f jest k zd funkcj postci C ; x < 0; F (x) = C 2 ; x > 0; gdzie C i C 2 s dowolnymi st ymi. C ki nieoznczone pewnych funkcji elementrnych. R 0dx = C; x 2 R, 2. R x n dx = n+ xn+ + C; x 2 R, n 2 N [ f0g, w szczególności R dx = x + C; 3. R x p dx = p+ xp+ + C, gdzie p 2 f 2; 3; 4; :::g, x 2 ( ; 0) lub x 2 (0; +), 4. R x dx = + x+ + C, 2 R Z, 5. R xdx = ln jxj + C, gdzie x 2 ( ; 0) lub x 2 (0; +), 6. R e x dx = e x + C 7. R x dx = ln x + C; 8. R sin xdx = cos x + C; 9. R cos xdx = sin x + C; 0. R dx cos 2 x = tg x + C, gdzie x 2. R dx = ctg x + C; sin 2 x 2. R dx +x 2 = rctg x + C; 2 + k; 2 + k i k 2 Z jest ustlone, 33

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA 3. R p dx x = rcsin x + C, jxj < : 2 Twierdzenie 8.6 Je zeli f i g mj funkcje pierwotne n przedzile I, to. R (f (x) g (x)) dx = R f (x) dx R g (x) dx; 2. R f (x) dx = R f (x) dx dl dowolnej liczby 2 R f0g. Twierdzenie 8.7 (o c kowniu przez cz eści) Je zeli funkcje f i g s ró zniczkowlne i jedn z funkcji fg 0 lub f 0 g m funkcj e pierwotn, to drug z nich te z m, przy czym Z Z f (x) g 0 (x) dx = f (x) g (x) f 0 (x) g (x) dx: Twierdzenie 8.8 (o c kowniu przez podstwienie) Je zeli:. f : I! J jest ró zniczkowln, 2. g : J! R m funkcj e pierwotn G, to wówczs funkcj (g f) f 0 jest c kowln przy czym Z (g (f (t))) f 0 (t) dt = G (f (t)) + C: Twierdzenie 8.9. R f 0 (x) f(x) dx = ln jf (x)j + C; 2. R f 0 (x) p dx = 2 p f (x) + C: f(x) 8.2 C k oznczon De nicj 8.0 Podzi em przedzi u [; b] nzywmy zbiór P = fx i 2 [; b] : i = 0; ; :::; ng tki, ze = x 0 < x < ::: < x n = b: Zbiór wszystkich podzi ów przedzi u [; b] oznczmy przez P [; b]. Wrto sciowniem podzi u P nzywmy zbiór T = ft i 2 [; b] : i = ; :::; ng tki, ze t i 2 [x i ; x i ] ; i = ; :::; n: Zbiór wszystkich wrto sciowń podzi u P oznczmy przez T (P ). Średnic podzi u P nzywmy liczb e (P ) = mxfx i x i : i = ; :::; ng: De nicj 8. Niech f : [; b]! R. Sum Riemnn dl funkcji f, podzi u P = fx i : i = 0; :::; ng przedzi u [; b] i jego wrto sciowni T = ft i : i = ; :::; ng nzywmy liczb e S (f; P; T ) = nx f (t i ) (x i x i ) : i= 34

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA De nicj 8.2 Cig podzi ów (P k ), k 7! P k 2 P [; b] nzywmy normlnym, je zeli lim (P k) = 0. k! De nicj 8.3 Liczb e S (f) nzywmy c k Riemnn z funkcji f n przedzile [; b], je zeli dl dowolnego normlnego cigu podzi ów (P k ) przedzi u [; b] i dowolnego cigu wrto sciowń (T k ) (T k 2 T (P k )) S (f) = lim k! S (f; P k; T k ) : Liczb e S (f) w dlszym cigu oznczć b edziemy przez S (f) = f (x) dx: De nicj 8.4 Funkcj e f, dl której istnieje c k Riemnn n przedzile [; b] nzywmy funkcj c kowln n [; b]. Przyjmujemy dodtkowo, ze i dl funkcji c kowlnej f n [; b] to Z b Z f (x) dx = f (x) dx = 0 f (x) dx: Interpretcj geometryczn c ki oznczonej. Niech f b edzie c kowln n [; b]. Je zeli f (x) 0 dl x 2 [; b] orz D = f(x; y) 2 R 2 : x 2 [; b] ^ 0 y f (x)g; je zeli f (x) 0 dl x 2 [; b] i f (x) dx = jdj ; D = f(x; y) 2 R 2 : x 2 [; b] ^ f (x) y 0g; to f (x) dx = jdj : Twierdzenie 8.5 Je zeli funkcje f i g s c kowlne n [; b], to wówczs f +g i f, 2 R, s c kowlne, przy czym. R b (f (x) + g (x)) dx = R b f (x) dx + R b 2. R b f (x) dx = R b f (x) dx: g (x) dx; 35

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Twierdzenie 8.6 Je zeli funkcj f jest c kowln n przedzile [; b] i c 2 (; b), to f (x) dx = Z c f (x) dx + c f (x) dx: Twierdzenie 8.7 Je zeli funkcj f jest c kowln n [; b], to wówczs jfj jest te z c kowln n [; b] i f (x) dx jf (x)j dx: Twierdzenie 8.8 Je zeli f i g s c kowlne n [; b] i f (x) g (x) dl k zdego x 2 [; b], to f (x) dx g (x) dx: Twierdzenie 8.9 K zd funkcj cig f : [; b]! R jest c kowln n [; b]. Uwg 8.20 Zchodzi fkt ogólniejszy: je zeli f : [; b]! R jest ogrniczon i m skończon liczb e punktów niecig ości pierwszego rodzju, to f jest c kowln. Twierdzenie 8.2 Je zeli funkcj f jest c kowln n [; b], to jest ogrniczon. Przyk d 8.22 Funkcj Dirichlet f : [0; ]! R ; x 2 Q; f (x) = 0; x =2 Q jest ogrniczon, le nie jest c kowln w sensie Riemnn. Twierdzenie 8.23 Je zeli funkcj f jest c kowln n [; b] i istniej liczby m; M tkie, ze ^ m f (x) M; to wówczs m (b x2[;b] ) f (x) dx M (b ) : Twierdzenie 8.24 Niech f b edzie funkcj c kowln n przedzile [; b] i niech x 0 2 [; b] b edzie dowolnym punktem. Wówczs funkcj F (x) = Z x x 0 f (t) dt jest cig. Je zeli funkcj f jest cig w x, to F jest ró zniczkowln w x, przy czym F 0 (x) = f (x) : Twierdzenie 8.25 (Newton-Leibniz, zsdnicze tw. rchunku c kowego) Je zeli f : [; b]! R jest funkcj cig, to f (x) dx = F (b) F () ; gdzie F jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f. 36

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Uwg 8.26 Przyjmujemy nst epujce oznczenie F (x) j b = F (b) F () : Uwg 8.27 Z ó zmy, ze > 0 i f jest c kowln n przedzile [ Je zeli f jest przyst, to R f (x) dx = 2 R f (x) dx: 0 Je zeli f jest nieprzyst, to R f (x) dx = 0: ; ]. Twierdzenie 8.28 (o c kowniu przez cz eści) Je zeli funkcje f i g mj cig e pochodne n [; b], to f 0 (x) g (x) dx = [f (x) g (x)] b f (x) g 0 (x) dx: Twierdzenie 8.29 (o c kowniu przez podstwienie) Je zeli ' : [; ] cig pochodn, ' () =, ' () = b orz f jest cig n [; b], to! [; b] m f (x) dx = Z f (' (t)) ' 0 (t) dt: Twierdzenie 8.30 (o wrtości średniej) Je zeli f : [; b]! R jest cig, to istnieje tki punkt c 2 (; b), ze Zstosowni geometryczne c ek f (x) dx = f (c) (b ) : Niech dne b ed funkcje cig e f; g : [; b]! R. Wówczs pole obszru ogrniczonego wykresmi funkcji f i g n przedzile [; b] wyr z sie wzorem jf (x) g (x)j dx Niech (t) = (x (t) ; y (t)), t 2 [; b] b edzie prmetryzcj krzywej. Powiemy, ze jest ukiem zwyk ym, gdy funkcje x i y s cig e i krzyw nie m punktów wielokrotnych, tzn. (t ) 6= (t 2 ) dl t 6= t 2. Mówimy, ze jest krzyw zmkniet, gdy () = (b). Je zeli jest (zmkni etym) ukiem zwyk ym, przy czym pochodne funkcji x i y s cig e, to d ugość krzywej jest równ l = q (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 dt: Z ó zmy, ze f : [; b]! R jest funkcj nieujemn. Niech V ozncz obj etość bry y powst ej przez obrót trpezu krzywoliniowego f(x; y) 2 R 2 : x 2 [; b] ^ 0 y f (x)g wokó osi OX. Wówczs obj etość V jest równ jv j = 37 f 2 (x) dx:

8. CA KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA Pole powierzchni bocznej otrzymnej bry y jest równe 8.3 C ki niew ściwe jsj = 2 q f (x) + (f 0 (x)) 2 dx: De nicj 8.3 Z ó zmy, ze funkcj f jest c kowln n k zdym przedzile [; ] dl k zdej liczby >. Je zeli istnieje grnic w sciw Z lim f (x) dx;!+ to nzywmy j c k niew sciw funkcji f n przedzile [; +) i oznczmy symbolem Std Z + Z + f (x) dx: Z f (x) dx def = lim f (x) dx:!+ Je zeli powy zsz grnic istnieje i jest w sciw, to mówimy, ze c k funkcji f n przedzile [; +) jest zbie zn. Je zeli grnic t nie istnieje lub jest niew sciw, to mówimy, ze c k niew sciw jest rozbie zn. C k e niew sciw n przedzile nieogrniczonym nzywmy c k niew sciw pierwszego rodzju. W podobny sposób określmy c ke niew ściw funkcji f n przedzile ( ; ]: Z f (x) dx def = lim! Z f (x) dx: De nicj 8.32 Je zeli funkcj f jest c kowln n k zdym przedzile [; b], to c k e funkcji f n przedzile ( ; +) de niujemy jko sum e Z f (x) dx def = lim! Z 0 Mówimy, ze c k funkcji f n przedzile ( R 0 f (x) dx i R + f (x) dx. 0 f (x) dx + lim!+ Z 0 f (x) dx: ; +) jest zbie zn, gdy zbie zne s c ki Przyk d 8.33 C k Z jest rozbie zn dl i zbie zn dl >. Twierdzenie 8.34 (Kryterium porównwcze) Z ó zmy, ze funkcje f; g : [; +)! R s c kowlne n k zdym przedzile [; ] dl > orz ^ 0 f (x) g (x) : x Je zeli c k R + g (x) dx jest zbie zn, to zbie zn jest c k R + f (x) dx. 38 dx x

9. SZEREGI Je zeli c k R + f (x) dx jest rozbie zn, to c k R + g (x) dx jest rozbie zn. De nicj 8.35 Mówimy, ze c k R + f (x) dx jest bezwzgl ednie zbie zn, gdy zbie zn jest c k R + jf (x)j dx. Je zeli c k R + f (x) dx jest zbie zn, le nie bezwgl ednie, to mówimy, ze jest wrunkowo zbie zn. Twierdzenie 8.36 Je zeli dl k zdego > funkcj f jest c kowln n przedzile [; ] i c k R + jf (x)j jest zbie zn, to c k R + f (x) dx jest zbie zn, przy czym Z + Z + f (x) dx jf (x)j : De nicj 8.37 Niech f : [; b)! R b edzie funkcj nieogrniczon i c kowln n k zdym przedzile [; ],gdzie < < b. Je zeli istnieje grnic w sciw lim!b Z f (x) dx; to nzywmy j c k niew sciw funkcji f n przedzile [; b]. Oznczmy j symbolem f (x) dx i st d R b f (x) dx = lim!b Z f (x) dx: Podobnie, je zeli f : (; b]! R jest funkcj nieogrniczon i c kowln n k zdym przedzile [; b], gdzie < < b, to c k niew ściw funkcji f n przedzile [; b] nzywmy grnic e f (x) dx def = lim!+ f (x) dx; przy z o zeniu, ze powy zsz grnic istnieje i jest skończon. C ke niew ściw z funkcji nieogrniczonej n przedzile ogrniczonym nzywmy c k niew ściw drugiego rodzju. Je zeli c k t istnieje, to mówimy, ze jest zbie zn, w przeciwnym wypdku mówimy, ze jest rozbie zn. Przyk d 8.38 C k R 0 dx x jest zbie zn dl < i rozbie zn dl. Je zli istniej c ki niew ściwe drugiego rodzju funkcji f n przedzi ch [ 0 ; ], [ ; 2 ],:::,[ n ; n ], to przyjmujemy Z n nx Z i f (x) dx = f (x) dx: 0 i 9 Szeregi i= De nicj 9. Niech b edzie dny cig ( n ) liczb rzeczywistych. Cigiem sum cz e sciowych odpowidjcych cigowi ( n ) nzywmy cig (s n ), gdzie s n = + ::: + n : Szeregiem o wyrzie ogólnym n nzywmy pr e uporzdkown (( n ) ; (s n )) i oznczmy przez X n : 39