MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII"

Transkrypt

1 MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Litertur. Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory.. Zbiory. Dziłni n zbiorch. Elementy lgebry liniowej 3.. Mcierze. Dziłni n mcierzch 3.. Wyznczniki. Mcierze odwrotne 4.3. Ukłdy równń liniowych 5 3. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Funkcje. Pojęci wstępne Wielominy. Funkcje wymierne 3.3. Funkcje trygonometryczne 3.4. Funkcj wykłdnicz. Funkcj potęgow Funkcj logrytmiczn Złożenie funkcji i funkcje i odwrotne Funkcje cyklometryczne Ciągi. Szereg geometryczny Liczb e 9 4. Elementy rchunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 4.. Grnic funkcji. Ciągłość funkcji 4.. Grnice niewłściwe. Grnice w nieskończoności. Asymptoty funkcji 4.3. Pochodn funkcji Ekstrem loklne i globlne Inne zstosowni pochodnej 8 5. Elementy teorii cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej Mir Jordn Cłk Riemnn funkcji jednej zmiennej Metody obliczni cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej Zstosowni cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej Funkcje dwóch zmiennych Zbiory n płszczyźnie i w przestrzeni Pochodne cząstkowe Ekstrem loklne i globlne funkcji dwóch zmiennych Elementy teorii cłki Riemnn funkcji dwóch zmiennych Cłk Riemnn funkcji dwóch zmiennych Metody obliczni cłki Riemnn funkcji dwóch zmiennych Zstosownie cłek Riemnn funkcji dwóch zmiennych 43 Litertur [] W. Krysicki, L. Włodrski Anliz Mtemtyczn w zdnich, PWN, Wrszw, 996. [] F. Lej, Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw, 978. [3] G. M. Fichtenholz Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw, 995. [4] P. Kjetnowicz, J. Wierzejewski Algebr z geometrią nlityczną, PWN, Wrszw, 8. [5] R. Leitner Zrys mtemtyki wyższej dl studentów, WNT, Wrszw 997. Dte: 7 styczni 6.

2 . Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory. Zwrot dl kżdego nzywmy kwntyfiktorem dużym i oznczmy (łc. ffirmo=potwierdzć). Zwrot istnieje tkie, że nzywmy kwntyfiktorem młym i oznczmy (łc. eisto=istnieć)... Zbiory. Dziłni n zbiorch. Zbiory oznczmy njczęściej dużymi litermi, np. A, B, C, zś elementy zbioru młymi litermi. Jeśli jest elementem zbioru A, piszemy Jeśli nie jest elementem zbioru A, piszemy A. / A. Zbiór nie posidjący żdnego elementu nzywmy zbiorem pustym i oznczmy. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (lub zbiór B zwier zbiór A), co zpisujemy A B, jeśli kżdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Relcj zwierni nzywn jest też inkluzją. Zuwżmy, że A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A B i B A. Jeśli A B i A B, to piszemy A B. Definicj... Dl dowolnych zbiorów A, B definiujemy ich sumę mnogościową iloczyn mnogościowy lub część wspólną orz różnicę mnogościową A B := { : A lub B}, A B := { : A i B} A \ B := { : A i / B}. Będziemy stosowć nstępujące oznczeni N := {,,... } zbiór liczb nturlnych; Z := {,,,,,... } zbiór liczb cłkowitych; Q := { p q : p, q Z, q } zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. Formln definicj wykrcz poz mterił tego kursu. Pierwsze ksjomtyczne definicje R pojwiły się w XIX wieku (Méry (869), Cntor (87), Dedekind 3 (87)). Dl dowolnego zbioru A R niech A + := { A : }. Uwg... Pomiędzy powyższymi zbiormi zchodzą nturlne inkluzje Pondto, np. Z + = {,,,... }. N Z Q R. Definicj..3. Dl dowolnych, b R, < b, definujemy przedziły domknięty [, b] := { R : b}, otwrty (, b) := { R : < < b}, jednostronnie otwrte (, b] := { R : < b}, [, b) := { R : < b}, nieogrniczone (, ) := { R : < }, (, b) := { R : < b} i (, ) := R. Przykłd..4. Niech A = (, ], B = [, ). Wtedy A B = [, ], A B = (, ), A \ B = {} i B \ A = [, ]. Zdnie..5. Wyznczyć A B, A B, A \ B i B \ A, jeśli () A = R, B = R, () A = Q, B =, (3) A = Z, B = [, ], (4) A = (, ), B = {, }, Hugues Chrles Robert Méry (ur. listopd 835 w Chlon-sur-Sône, Sône-et-Loire, zm. lutego 9 w Dijon) mtemtyk frncuski. Georg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor (ur. 3 mrc 845 w Snkt Petersburgu, zm. 6 styczni 98 w sntorium w Hlle) mtemtyk niemiecki. 3 Julius Wilhelm Richrd Dedekind (ur. 6 pździernik 83 w Brunszwiku, zm. lutego 96) mtemtyk niemiecki.

3 (5) A = {}, B = (, ). (6) A = [, 4), B = (, 6].. Elementy lgebry liniowej.. Mcierze. Dziłni n mcierzch. Jednym z podstwowych pojęć lgebry są mcierze. Definicj... Mcierzą wymiru m n nzywmy prostokątną tblicę liczb j,k R ułożonych w m wierszy i n kolumn.,,...,n A = [ j,k ] = [ j,k ] j=,...,m =,,...,n k=,...,n m, m,... m,n Zbiór mcierzy wymiru m n oznczmy przez R m n. Liczb j,k jest elementem mcierzy A stojącym w wierszu j i kolumnie k. Jeśli m = (odp. n = ) to mcierz A nzywmy wierszową (odp. kolumnową). Jeśli m = n, to mcierz nzywmy kwdrtową, n jej stopniem. Mcierz złożoną z smych zer oznczmy przez i nzywmy mcierzą zerową. Mcierz kwdrtową złożoną z jedynek n głównej przekątnej i smych zer poz nią I n := R n n nzywmy mcierzą jednostkową stopni n. Mówimy, że mcierze A = [ j,k ] R m n i B = [b j,k ] R p q są równe (co zpisujemy A = B), jeśli m = p, n = q i j,k = b j,k dl j =,..., m, k =,..., n. Definicj... Jeśli t R, A = [ j,k ] R m n, to określmy iloczyn ta liczby t przez mcierz A wzorem ta := [t j,k ] R m n. Przykłd..3. [ ] [ 3 6 = 4 ] 6 4. Definicj..4. Jeśli A = [ j,k ], B = [b j,k ] R m n, to określmy sumę A + B mcierzy A i B wzorem A + B := [ j,k + b j,k ] R m n, zś różnicę A B mcierzy A i B wzorem A B := A + ( )B. Przykłd..5. () Jeśli A, R m n, to A + = + A = A (mcierz zerow jest elementem neutrlnym ] dodwni ] mcierzy). [ ] () 3 =. [ [ 3 4 Zdnie..6. Obliczyć ([ ] () () [ 4 [ ] [ ] ]), Definicj..7. Jeśli A = [ j,k ] R m l, B = [b j,k ] R l n, to określmy iloczyn AB mcierzy A i B wzorem AB = [c j,k ] R m n, gdzie l c j,k := j,i b i,k. i= Przykłd..8. () Jeśli A R m n, to AI n = I m A = A (mcierz jednostkow jest elementem neutrlnym [ mnożeni mcierzy). ] [ () 3 4 ] [ ] = Zdnie..9. () [ 4 ]() [ Obliczyć 6 3 ] 4, 3

4 (b) ([ ] [ ]) [ ] 4 4, [ ] (c) 3 [ 3 4 ], 4 [ 56 ] (d) [ 3 4 ]. 7 8 () Znleźć dwie mcierze A, B R tkie, że AB BA. (3) Znleźć niezerowe mcierze A, B R tkie, że AB =. Czy możliwe jest znlezienie niezerowej mcierzy A R tkiej, że A =? Definicj... Jeśli A R m n, to określmy mcierz trnsponowną A T mcierzy A wzorem gdzie [ A T := [b j,k ] R n m, b j,k := k,j. Uwg... Zuwżmy, że opercj trnsponowni poleg n zminie wierszy n kolumny, zś kolumn n wiersze, przy czym kolejność wierszy i kolumn jest zchown. ] T [ Przykłd... = ]. Zdnie..3. () ( [ () Obliczyć ] T [ ] T ), (b) ( [ ] [ ]) T 4. () Niech A = [ ]. Obliczyć AA T, A T A i (A T A) T. (3) Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A T. (4) Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A T... Wyznczniki. Mcierze odwrotne. Kżdej mcierzy kwdrtowej A przyporządkowujemy liczbę zwną wyzncznikiem, oznczną det A lub A. Poniżej przedstwimy indukcyjną definicję tego pojęci. Definicj... Minorem mcierzy A R m n nzywmy kżdą mcierz kwdrtową powstłą z mcierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Definicj... Niech A = [ j,k ] R n n. Minorem odpowidjącym elementowi j,k mcierzy A nzywmy minor mcierzy A powstły przez skreślenie wiersz j i kolumny k. Oznczmy go symbolem M j,k. Zuwżmy, że M j,k R n n. Definicj..3 (Indukcyjn definicj wyzncznik). Niech A = [ j,k ] R n n. Jeśli A = [] R, to przyjmujemy det A :=. Nstępnie, począwszy od n =, dl kolejnych liczb nturlnych powtrzmy nstępujące kroki () definiujemy dopełnienie lgebriczne d j,k elementu j,k jko d j,k := ( ) j+k det M j,k ; () dowodzimy, że sum j, d j, + j, d j, + + j,n d j,n nie zleży od wyboru j =,..., n; (3) definiujemy wyzncznik mcierzy A jko gdzie j N jest dowolną liczbą, j n. det A := j, d j, + j, d j, + + j,n d j,n, Uwg..4. W prktyce, dl n = powyższ definicj sprowdz się do nstępującego wzoru b c d = d bc, dl n = 3, dzięki regule Srrus 4, b c b c 3 b 3 c 3 = b c 3 + b 3 c + 3 b c 3 b c b 3 c b c 3. 4 Pierre Frédéric Srrus (ur. mrc 798 w Sint-Affrique, zm. XI 86) mtemtyk frncuski. 4

5 Przykłd = 5, 4 = 3. 3 Zdnie..6. Obliczyć 5, sin cos cos sin, 3 i 3 Definicj..7. Njwyższy stopień minor o niezerowym wyznczniku niezerowej mcierzy A R m n nzywmy rzędem mcierzy A i oznczmy R(A). Pondto, przyjmujemy R() :=. Przykłd..8. Niech A = [ ] [ ] 3 6, B =. Wtedy R(A) = R(B) =. 4 Zdnie..9. Znleźć rzędy nstępujących mcierzy [ 5 ], [ 4 ], [ ] [, ] [ ] 3 4, 3,. [ ], 3 4 [ 3 ], [ ]. Definicj... Niech A = [ j,k ] R n n. Mcierz A D := [d j,k ] R n n, gdzie d j,k jest dopełnieniem lgebricznym elementu j,k nzywmy mcierzą dopełnień lgebricznych mcierzy A. Przykłd... [ 3 4 ]D = [ ] [ 4 3 ] D [ 4 ], = ] D. Zdnie... () Obliczyć [ 3 4 ]D, [ 3 4 () Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A D. Definicj..3. Niech A R n n. Jeśli istnieje mcierz B R n n tk, że BA = AB = I n, to mcierz A nzywmy odwrclną, zś mcierz B nzywmy mcierzą odwrotną do A i oznczmy A := B. Uwg..4. () Nie kżd mcierz kwdrtow jest odwrcln (np. A = nie jest odwrcln). () Jeśli mcierz odwrotn istnieje, to jest jedyn. Twierdzenie..5. Niech A R n n. Mcierz A jest odwrcln wtedy i tylko wtedy gdy det A. Pondto, jeśli A istnieje, to A = det A (AD ) T. [ Przykłd..6. Niech A = [ 3 4 ], B = 3 4 Zdnie..7. () Czy mcierze [ cos sin sin cos tk, wyznczyć ich mcierze odwrotne. () Obliczyć [ 4 ], [ 3 4 ]. ]. Wtedy A = ], [ cos sin sin cos [ ] [ /7 /7 3/ / i B = 3/4 /7 3/7 /7 ] ], [ (3) Wyznczyć wszystkie odwrclne mcierze A R tkie, że A = A D., [ ]. ] są odwrclne? Jeśli.3. Ukłdy równń liniowych. Pokżemy terz, jk pojęci mcierzy, wyzncznik i rzędu wykorzystć do rozwiązywni ukłdów równń liniowych. Definicj.3.. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych,..., n nzywmy, +, + +,n n = b, +, + +,n n = b (.).... m, + m, + + m,n n = b m Dl powyższego ukłdu definiujemy,,...,n,,...,n b A :=,,...,n , U :=,,...,n b m, m,... m,n m, m,... m,n b m Mcierz A nzywmy mcierzą główną, zś U nzywmy mcierzą uzupełnioną ukłdu (.). Rozwiązniem ukłdu (.) nzywmy kżdy ukłd n liczb,..., n R spełnijących równni (.). Ukłd równń (.) nzywmy 5

6 sprzecznym, jeśli nie m on rozwiązń, oznczonym, jeśli m on dokłdnie jedno rozwiąznie, nieoznczonym, jeśli m on nieskończenie wiele rozwiązń. Uwg.3.. Kżdy ukłd postci (.) jest sprzeczny, oznczony lub nieoznczony. Pondto, R(A) min{r(u), n} min{m, n + }. Twierdzenie.3.3 (Kronecker 5 Cpelli 6 ). Ukłd (.) jest () sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) < R(U); () oznczony wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U) = n; (3) nieoznczony wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U) < n. Uwg.3.4. Jeśli ukłd (.) nie jest sprzeczny, to istnieje liczb k Z + tk, że k = R(A) = R(U). Poniewż k min{m, n}, więc pomijjąc równni, których współczynniki nie były wykorzystne w obliczniu rzędów mcierzy A i U, trktując zmienne, których współczynniki nie były wykorzystne w obliczniu rzędów mcierzy A i U jko prmetry otrzymujemy, n mocy Twierdzeni Kronecker Cpellego, oznczony ukłd k równń liniowych z k zmiennymi. Twierdzenie.3.5 (Wzory Crmer 7 ). Jeśli R(A) = R(U) = n = m, to jedynym rozwiązniem ukłdu (.) są liczby j = det A j, j =,..., n, det A gdzie A j ozncz mcierz powstłą z mcierzy A przez zstąpienie w niej kolumny j przez kolumnę wyrzów wolnych (tj. przez kolumnę n + mcierzy U). Przykłd.3.6. (.) Łtwo sprwdzmy, że () Rozwiązć ukłd równń + y + z = y z = 3 y + z = A = 6, A = 6, A y =, A z = 6, skąd =, y =, z = jest jedynym rozwiązniem ukłdu (.). () Rozwiązć ukłd równń (.3) { 4y + 8z 6u = 7 5 y + z =, 5. (.4) (.5) Rząd mcierzy głównej A = [ 4 8 ] 6 5 wynosi R(A) =, gdyż np. minor utworzony ze współczynników przy i u 6 5 = 3, orz rząd mcierzy uzupełnionej U wynosi R(U) =, gdyż ten sm minor występuje w mcierzy U. Ztem r(a) = r(u) = < 4 = n, gdzie n jest liczbą zmiennych ukłdu równń. Ukłd jest więc nieoznczony, czyli m nieskończenie wiele rozwiązń. Przenosimy niewidome nie objęte minorem (.4), tj. niewidome y i z, n prwą stronę { 6u = 7 + 4y 8z. 5 =, 5 + y z. 5 Leopold Kronecker (ur. 7 XII 83 w Legnicy, zm. 9 XII 89 w Berlinie) mtemtyk niemiecki. 6 Alfredo Cpelli (ur. 5 VIII 855, zm. 8 I 9 w Mediolnie) mtemtyk włoski. 7 Gbriel Crmer (ur. 3 VII 74 w Genewie, zm. 4 I 75) szwjcrski mtemtyk i fizyk. 6

7 Ukłd (.5) jest oznczony, gdyż wyzncznik jego mcierzy głównej (.4) jest niezerowy. Zstosujemy wzory Crmer. Poniewż [ ] [ ] [ ] A 6 =, A 7 + 4y 8z 6 5 =, A 7 + 4y 8z, 5 + y z u =, 5, 5 + y z skąd A = 3, A = y z, A u = 5 + y 4z 35 y + 4z =, ztem rozwiąznie ukłdu (.5) m postć { A = A = 5 + y 4z u = A u A = 3. W konsekwencji, rozwiązniem ukłdu (.3) jest kżd czwórk liczb postci = 5 + y 4z y R z R u = 3 Zdnie.3.7. () Rozwiązć ukłdy równń + y + z = () + y + 3z =, y z = + 3y 4z = 4 (b) 3 + y z =, 4y + 7z = y 6z = 3 (c) y z =, + 3y 3z = + y + z = (d) + 3y 3z =, + 4y z = 4 y = 7 (e) 3 + y = 4, + 3y = { + y + 5z = 4 (f), 3 y + z = 5 { + y + z + u = (g), y z u = + y + z + u = (h) 3 + 4y z + u = y z + u = () Rozstrzygnąć, dl jkich wrtości prmetru R ukłd równń + y z = 9 (.6) + y z = 9 3 4y + z = 5 jest oznczony, nieoznczony, sprzeczny, nstępnie rozwiązć ukłd (.6) dl =. 7.

8 Definicj.3.8. Jeśli dl ukłdu (.) zdefiniujemy dodtkowo mcierze kolumnowe X :=. b Rn, B :=. Rm, n b m zwne, odpowiednio, mcierzą zmiennych orz mcierzą wyrzów wolnych ukłdu (.), to równnie nzywmy równniem mcierzowym ukłdu (.). AX = B Twierdzenie.3.9. Jeśli dl ukłdu (.) m = n orz det A, to X = A B. Przykłd.3.. Rozwiązć równnie mcierzowe y = 3. z Łtwo wyliczmy, że skąd 3 b 3 =, y = 3 = z 6 3 Zdnie.3.. Rozwiązć równni mcierzowe 3 4 y =, z 3.. Funkcje. Pojęci wstępne. y =. z 3. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Definicj 3... Niech X R będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcją f określoną n zbiorze X o wrtościch rzeczywistych (piszemy f : X R) nzywmy przyporządkownie, które kżdej liczbie X przypisuje dokłdnie jedną liczbę y R (piszemy f() = y lub f y). Zbiór X nzywmy dziedziną funkcji f, elementy dziedziny nzywmy rgumentmi funkcji f. Dl dowolnego zbioru A X zbiór f(a) := {y R : A : f() = y} nzywmy obrzem zbioru A przez funkcję f. Zbiór f(x) nzywmy obrzem funkcji f (lub zbiorem wrtości funkcji f), jego elementy nzywmy wrtościmi funkcji f. Wykresem funkcji f : X R nzywmy zbiór Γ(f) := {(, y) R : X, y = f()}. Przykłd 3... () Obrzem funkcji f() =, R, jest zbiór R +. Jej wykresem jest prbol. (b) Obrzem funkcji f() =,, jest zbiór R +. Jej wykresem jest lewe rmię prboli. Definicj Funkcję f : X R nzywmy różnowrtościową, jeśli dl dowolnych rgumentów, X,, mmy f( ) f( ). Uwg Funkcj f : X R jest różnowrtościow wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnych rgumentów, X zchodzi implikcj f( ) = f( ) = =. Przykłd () Funkcj f() =, R, nie jest różnowrtościow, bo f( ) = f(). (b) Funkcj f() =,, jest różnowrtościow. 8

9 Uwg Jeśli funkcję określmy wzorem nie podjąc jej dziedziny, to zkłdmy, że dziedziną jest zbiór tych rgumentów, dl których wzór m sens. Przykłd Dziedziną funkcji f() = 4 jest przedził [, ]. Jej wykresem jest górny półokrąg o środku w punkcie (, ) i promieniu. Uwg Niech f : X R będzie dowolną funkcją. () Funkcj f jest różnowrtościow wtedy i tylko wtedy, jeśli kżd prost poziom przecin wykres Γ(f) funkcji f w co njwyżej jednym punkcie. () Obrzem funkcji f jest zbiór tych punktów c R, dl których prost poziom o równniu y = c przecin wykres Γ(f) w co njmniej jednym punkcie. Przykłd () Funkcj f() = 4 nie jest różnowrtościow, jej zbiorem wrtości jest przedził [, ]. () Funkcj g() = := m{n Z : n } nie jest różnowrtościow, zbiorem jej wrtości jest Z. (3) Dziedziną funkcji h() = / jest zbiór R \ {}, jest to tkże jej zbiór wrtości, funkcj t jest różnowrtościow. Zdnie 3... () Dl poniższych funkcji wyznczyć dziedzinę, zbiór wrtości, nrysowć ich wykres orz sprwdzić, czy są różnowrtościowe. () f() =, (b) g() =, (c) h() =. () Sprwdzić, czy poniższe funkcje są różnowrtościowe () f() = + +, (b) g() =, (c) h() = /, { (d) i() =, gdy, gdy =, { (e) j() =, gdy, gdy =. Definicj 3.. (Funkcje monotoniczne). Niech I X. Funkcję f : X R, nzywmy rosnącą w zbiorze I, jeśli mlejącą w zbiorze I, jeśli, I < = f( ) f( );, I < = f( ) f( ). Funkcje tkie nzywmy monotonicznymi w zbiorze I. Jeśli I = X, to f nzwywmy funkcją rosnącą (odp. mlejącą). Funkcję rosnącą lub mlejącą nzywmy monotoniczną. Funkcję f : X R nzywmy silnie rosnącą w zbiorze I, jeśli silnie mlejącą w zbiorze I, jeśli, I < = f( ) < f( );, I < = f( ) > f( ). Funkcje tkie nzywmy silnie monotonicznymi w zbiorze I. Anlogicznie określmy funkcję silnie mlejącą, silnie rosnącą, czy silnie monotoniczną. Uwg 3... Funkcj stł jest rosnąc i mlejąc. Przykłd () Funkcj f() = 4 jest silnie rosnąc w przedzile [, ], silnie mlejąc w przedzile [, ], więc w kżdym z tych przedziłów jest silnie monotoniczn, ntomist w przedzile [, ] nie jest monotoniczn. () Funkcj g() = stł n przedziłch postci [n, n+), n N, jest więc n tych przedziłch zrówno rosnąc jk i mlejąc. 9

10 (3) Funkcj h() = / jest silnie mlejąc w kżdym z przedziłów (, ), (, ), nie jest jednk silnie mlejąc. Zdnie Sprwdzić monotoniczność funkcji z Zdni 3.. (). Definicj Funkcję f : X R, określoną w tkim zbiorze X, że X dl dowolnej liczby X, nzywmy przystą, jeśli f( ) = f(), X; nieprzystą, jeśli f( ) = f(), X. Przykłd () Funkcj f() = jest przyst, le nie jest nieprzyst. () Funkcj f() = 3 jest nieprzyst, le nie jest przyst. (3) Funkcj f() = + nie jest ni przyst, ni nieprzyst. Zdnie () Sprwdzić przystość i nieprzystość funkcji z Zdni 3... () Wykzć, że kżdą funkcję f : R R możn zpisć jko sumę funkcji przystej i nieprzystej. (3) Wyznczyć wszystkie funkcje f : R R, które są jednocześnie przyste i nieprzyste. Definicj Funkcję f : X R nzywmy okresową, gdy istnieje stł c > tk, że + c X orz c X dl dowolnej liczby X, przy czym f( + c) = f(). Liczbę c nzywmy okresem dnej funkcji. Njmniejszy okres (jeśli istnieje), nzywmy okresem podstwowym dnej funkcji. Przykłd () Funkcj stł f() = c, jest funkcją okresową, któr nie m okresu podstwowego. () Funkcj f() = jest funkcją okresową o okresie podstwowym. Definicj 3... Dl dnych funkcji f : X R, g : X R określmy ich () sumę f + g : X R, (f + g)() := f() + g(), () różnicę f g : X R, (f g)() := f() g(), (3) iloczyn fg : X R, (fg)() := f()g(), (4) ilorz f/g : X R, (f/g)() := f()/g(), gdzie X = { X : g() }. 3.. Wielominy. Funkcje wymierne. Definicj 3... Funkcję postci (3.) f() = n n + n n + + +, R, gdzie n,..., R, n, n N, nzywmy wielominmi. Liczbę n nzywmy stopniem wielominu (3.). Uwg 3... () Funkcje stłe f() = nzyw się czsem wielominmi stopni. Wtedy nie żądmy, by. () Kżdy wielomin stopni pierwszego f() = + nosi nzwę funkcji liniowej. Jego wykres jest linią prostą. (3) Wielomin stopni drugiego f() = + + nosi nzwę funkcji kwdrtowej lub trójminu kwdrtowego. Jego wykres jest prbolą o wierzchołku ( /, /4 ), gdzie wyrżenie := 4 nzywne jest wyróżnikiem dnej funkcji kwdrtowej. Ilość miejsc zerowych funkcji kwdrtowej zleży od znku. Jeśli <, to dn funkcj nie m miejsc zerowych. Mówimy wtedy, że trójmin kwdrtowy jest nierozkłdlny. Jeśli =, to dn funkcj m jedno podwójne miejsce zerowe := /. Mmy wtedy rozkłd y = ( ). Jeśli >, to dn funkcj m dw miejsc zerowe := ( )/, := ( + )/. Mmy wtedy rozkłd y = ( )( ). (4) Kżdy wielomin rozkłd się n czynniki będące wielominmi pierwszego stopni bądź nierozkłdlnymi trójminmi kwdrtowymi, np. f() = 3 + = ( + )( + ), g() = 4 + = ( + + )( + ). Przykłd () Rozwiązć nierówność 7 > 8. Równowżnie, ( 8)( ) >, skąd < lub > 8.

11 () W jkich przedziłch funkcj f() = ( + 4)( + )( ) jest () ujemn, (b) nie mniejsz od 4? Bezpośrednio z wykresu wnioskujemy, że f() < dl < 4 lub < <. Ntomist nierówność f() 4 równowżn jest skąd 5 lub + 5. ( + + 5)( + 5), Zdnie () Rozwiązć równni i nierówności () + <, (b) >, (c) 5 =, (d) =, (e) () W jkich przedziłch funkcj f() = ( + )( )( 3) jest () dodtni, (b) większ od 6? Definicj Funkcję f() = w () w (), R \ { R : w () }, gdzie w, w są wielominmi, nzywmy funkcją wymierną. Uwg Funkcjmi wymiernymi są np. Wykresem funkcji f() = f() =, g() = + 4. jest hiperbol o symptotch leżących n osich współrzędnych. Przykłd () Rozwiązć równnie = + 4. Zuwżmy, że i ±. Równowżnie, =, skąd = 4. 4 () Rozwiązć nierówność Zuwżmy, że i 3. Równowżnie, 3( /3)( ) ( )( 3). Poniewż sgn(/b) = sgn(b), więc równowżnie mmy skąd /3 lub < < 3. Zdnie Rozwiązć równni i nierówności () 3 + = 6 ( + ), 3 () =, (3) + > +, (4) + < Funkcje trygonometryczne. 3( /3)( )( )( 3),, 3, Definicj Mir łukow kąt jest to mir kąt wyrżon przez stosunek długości łuku okręgu oprtego n tym kącie do długości promieni okręgu. Jednostką tk zpisnego kąt jest rdin ( rd). Z definicji wynik, że wymirem rdin jest jedność. Uwg Mir łukow kąt mjącego α stopni wyrż się wzorem = π 8 α. W szczególności,

12 α π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π. Definicj Niech P = ( p, y p ) będzie punktem okręgu o środku w punkcie (, ) i promieniu. Jeśli jest mirą łukową kąt skierownego pomiędzy dodtnią półosią promieniem przechodzącym przez punkt P, to sin := y p, cos := p, R. Funkcję sin (odp. cos) nzywmy sinusem (odp. kosinusem). Uwg () Dziedziną funkcji sin i cos jest zbiór R, zś ich zbiorem wrtości przedził [, ]. () Funkcje sin i cos są okresowe, ich okresem podstwowym jest liczb π, czyli sin( + π) = sin, cos( + π) = cos. (3) Funkcj sin jest nieprzyst, tj. sin( ) = sin, ntomist funkcj cos jest przyst, tj. cos( ) = cos. (4) Funkcje sin i cos rozptrywne w dowolnym przedzile ogrniczonym są przedziłmi monotoniczne. (5) Zchodzą wzory () sin + cos =, (b) sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y (w szczególności, dl = y otrzymujemy sin = sin cos ), (c) cos( ± y) = cos cos y sin sin y (w szczególności, dl = y otrzymujemy cos = cos sin = cos = sin ). (6) Kwdrt, trójkąt równoboczny i symetri wykresów sinus i kosinus generują nstępującą tbelę Przykłd π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π sin / / 3/ cos. 3/ / / () Rozwiązć równnie sin = sin. Równowżnie, sin ( cos ) =, czyli sin = lub cos = /, skąd = kπ lub = π/3 + kπ lub = π/3 + kπ, k Z. () Rozwiązć nierówność 4 cos 3. Równowżnie, 3 3 cos lub cos, skąd π/6 + kπ π/6 + kπ, k Z. Zdnie Rozwiązć równnie i nierówność () cos = cos, () cos = cos, (3) sin > cos. Definicj Funkcję tg := sin, { R : cos }, cos nzywmy tngensem, zś funkcję ctg := cos, { R : sin }, sin nzywmy kotngensem. Uwg () Funkcj tg określon jest w przedziłch (k )π < < (k + )π, k Z, zś funkcj ctg określon jest w przedziłch () Ich zbiorem wrtości jest zbiór R. kπ < < (k + )π, k Z.

13 (3) Funkcje tg i ctg są okresowe. Ich okresem podstwowym jest liczb π, tj. (4) Funkcje tg i ctg są nieprzyste, tj. (5) Zchodzi związek tg( + π) = tg, ctg( + π) = ctg. tg( ) = tg, ctg( ) = ctg. tg = ctg, k π, k Z. (6) Definicje orz tbel wrtości sinus i kosinus generują nstępującą tbelę π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π tg / 3 3 ctg 3 / 3 Przykłd Rozwiązć nierówność tg( ). Poniewż π + kπ < π + kπ, k Z, 4 więc π 4 + k π < + π 8 + k π, k Z. Zdnie Rozwiązć równni i nierówność () tg = 3, () ctg = tg, (3) tg( + 3) > 3. Definicj Funkcje sin, cos, tg i ctg nzywmy funkcjmi trygonometrycznymi Funkcj wykłdnicz. Funkcj potęgow. Dowodzi się, że w obrębie liczb rzeczywistych dobrze zdefiniowne jest potęgownie,, R, >. Odnotujmy, że >, = = dl dowolnych, R, >. Pondto, dl dowolnych, b,, y R,, b >, zchodzą związki () y = +y, () = y, y (3) ( ) y = y, (4) =, (5) (b) = b, (6) (/b) = /b. Definicj Niech >,. Funkcję (3.), R, nzywmy funkcją wykłdniczą. Uwg () > dl R. () Funkcj (3.) jest różnowrtościow (tj. = wtedy i tylko wtedy, gdy = ). (3) Gdy >, funkcj (3.) jest silnie rosnąc (tj. > wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (4) Gdy <, funkcj (3.) jest silnie mlejąc (tj. < wtedy i tylko wtedy, gdy > ). Przykłd () Rozwiązć równnie =. Zuwżmy, że. Podstwijąc t = otrzymmy t t + 6 =, skąd t = lub t = 8, czyli = lub = 3. W konsekwencji, = 3 lub =. () Rozwiązć nierówność >. Rownowżnie, > 7, skąd > 7. Zdnie Rozwiązć równni i nierówności () 3 < ( () ( ) 4 ( 7 ) 9 8 3, (3) ( 6 + 9) +3 <, 3), 3.

14 (4) =, (5) >. Definicj Niech R \ {}. Funkcję (3.3), >, nzywmy funkcją potęgową. Uwg () Jeśli N, to funkcję (3.3) określmy dl R wzorem := } {{ }. rzy () Jeśli Z, <, to funkcję (3.3) określmy dl wzorem :=. (3) Zwyczjowo dl n N piszemy n := /n orz :=. Dodtkowo określmy n :=. (4) > dl >. (5) Funkcj (3.3) jest różnowrtościow (tj. = wtedy i tylko wtedy, gdy = ). (6) Gdy >, funkcj (3.3) jest silnie rosnąc (tj. > wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (7) Gdy <, funkcj (3.3) jest silnie mlejąc (tj. < wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (8) Jeśli Z jest liczbą przystą, to funkcj (3.3) z dziedziną rozszerzoną jk w uwgch () lub () jest przyst. (9) Jeśli Z jest liczbą nieprzystą, to funkcj (3.3) z dziedziną rozszerzoną jk w uwgch () lub () jest nieprzyst. Przykłd Rozwiązć nierówność. Zuwżmy, że. Wtedy, podnosząc stronmi nierówność do kwdrtu, otrzymmy. Równowżnie, ( ), skąd, po uwzględnieniu złożeni,. Zdnie () Rozwiązć równnie = +. () Rozwiązć nierówność Funkcj logrytmiczn. Dowodzi się, że równnie = b dl dowolnych, b >,, m dokłdnie jedno rozwiąznie względem, które oznczmy przez log b i nzywmy logrytmem liczby b o podstwie. Zwyczjowo piszemy log b := log b i nzywmy logrytmem dziesiętnym. Dl dowolnych, b, c >, c, p R, zchodzą związki () log c c p = p, () c log c =, (3) log c (b) = log c + log c b, (4) log c (/b) = log c log c b, (5) log c ( p ) = p log c, (6) log b = log c b log c,. Definicj Niech > i. Funkcję (3.4) log, >, nzywmy funkcją logrytmiczną. Uwg () Funkcj (3.4) jest różnowrtościow (tj. log = log wtedy i tylko wtedy, gdy = ). () Gdy >, funkcj (3.4) jest silnie rosnąc (tj. log > log wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (3) Gdy <, funkcj (3.4) jest silnie mlejąc (tj. log < log wtedy i tylko wtedy, gdy > ). Przykłd () Rozwiązć równnie log(log ) + log(log ) =. Zuwżmy, że >. Podstwijąc t = log otrzymmy t t =, skąd t = 5/ lub t =, czyli log = 5/ lub log =. W konsekwencji, po uwzględnieniu złożeń, =. 4

15 () Rozwiązć nierówność ( ) log + ( 5 > 5 ) log 3 4. Zuwżmy, że >. Podstwijąc t = log otrzymmy ( ) t + ( ) 6t 4 >, 5 5 skąd t 6t + 5 <, czyli < t < 5. W konsekwencji, < <. Zdnie Rozwiązć równni i nierówności +3 () log log 5 >, ( ) () log log 8 3, +3 (3) log >, (4) log = log 5, (5) log ( + 4) + log ( + ) Złożenie funkcji i funkcje i odwrotne. Definicj 3.6. (Złożenie funkcji). Niech X, Y R będą dowolnymi niepustymi zbiormi. Niech będą dne funkcje (3.5) f : X R, g : Y R, tkie, że f(x) Y. Funkcję g f : X R określoną wzorem (3.6) (g f)() := g(f()), X, nzywmy funkcją złożoną lub złożeniem funkcji (3.5). Funkcję f nzywmy funkcją wewnętrzną, g funkcją zewnętrzną złożeni (3.6). Przykłd () h() = 4 jest złożeniem funkcji g(y) = y i f() = 4. () h() = 3 jest złożeniem funkcji g(y) = y i f() = 3. (3) Wyznczyć f f, f g, g f i g g orz dziedziny tych funkcji, jeśli f() = sin, g() =. () (f f)() = sin sin, R. (b) (f g)() = sin,. (c) (g f)() = sin, kπ + kπ, k Z. (d) (g g)() =, R. Zdnie () Wyznczyć f f, f g, g f i g g orz dziedziny tych funkcji, jeśli () f() =, g() =, (b) f() = log 3, g() = tg, (c) f() = 3, g() = +. () Zpisć, jko złożenie dwóch lub więcej funkcji, nstępujące funkcje złożone () f() = log +, sin + (b) f() = sin, (c) f() = sin ( ), (d) f() = 33 +, (e) f() = log 3 (cos( 3)). Definicj (Funkcj odwrotn). Niech funkcj (3.7) f : X R będzie funkcją różnowrtościową. Funkcję (3.8) g : f(x) R nzywmy odwrotną względem funkcji (3.7), jeśli i oznczmy f := g. (g f)() =, X, (f g)(y) = y, y f(x). Uwg Funkcją odwrotną względem funkcji (3.8) jest funkcj (3.7). Twierdzenie Kżd funkcj f silnie rosnąc (lub silnie mlejąc) w przedzile I jest różnowrtościow. W szczególności, m funkcję odwrotną określoną n zbiorze f(i). 5

16 Przykłd () Funkcj f() = n dl n N jest silnie rosnąc w przedzile [, ) i przybier wszystkie wrtości nieujemne; funkcją względem niej odwrotną jest f () = n dl. () Gdy n jest nieprzyste, funkcj f() = n jest silnie rosnąc w przedzile (, ) i przybier wszystkie wrtości rzeczywiste; funkcj do niej odwrotn to { n, gdy f () = n., gdy < (3) Funkcj f() =, gdzie >, jest silnie rosnąc i dodtni w R i przybier wszystkie wrtości dodtnie; funkcją odwrotną jest f () = log, >. Zdnie Wyznczyć funkcje odwrotne fo funkcji () f() = +, <, () f() = log 3 ( ) + 3, >, (3) f() =, >. Uwg Niech f będzie funkcją posidjącą funkcję odwrotną. Jeśli dziedziny obu tych funkcji umieścimy w prostokątnym ukłdzie współrzędnych n jednej osi (np. osi ), to wykresy Γ(f) i Γ(f ) będą wzjemnie symetryczne w symetrii względem prostej y = Funkcje cyklometryczne. Funkcje trygonometryczne (3.9) sin, cos, tg, ctg są silnie monotoniczne odpowiednio w przedziłch [ (3.) π, π ], [, π], ( π, π ), (, π), przy czym funkcje sin i tg są silnie rosnące, cos i ctg silnie mlejące. Wobec tego istnieją funkcje względem nich odwrotne. Definicj Funkcje odwrotne względem funkcji (3.9) zwężonych odpowiednio do przedziłów (3.) nzywmy funkcjmi cyklometrycznymi lub (kołowymi) i oznczmy je odpowiednio (3.) rc sin, rc cos, rc tg, rc ctg. Wrtości dwóch pierwszych funkcji (3.9) wypełniją przedził [, ], dwóch osttnich przedził (, + ), ztem funkcje cyklometryczne (3.) są określone odpowiednio n przedziłch Przykłd () Wykzć, że [, ], [, ], (, + ), (, + ). () rc sin / = π/6, rc cos( / ) = 3π/4, rc ctg( 3) = 5π/6. rc sin + rc cos = π, [, ]. Istotnie, ustlmy [, ] i oznczmy α := rc sin, β := rc cos. Wtedy α [ π/, π/], β [, π], skąd π/ β [ π/, π/]. Pondto, ( π ) sin α = = cos β = sin β, skąd, dzięki różnowrtościowości funkcji sin w przedzile [ π/, π/], wnioskujemy, że co było do okzni. α = π β, Zdnie () Obliczyć rc sin( 3/), rc cos( /), rc tg 3, rc ctg( ). () Wykzć nstępujące związki () rc tg + rc ctg = π/, [, ]; (b) rc ctg = rc tg(/), > ; (c) rc ctg = π + rc tg(/), <, (d) rc tg + rc tg + rc tg 3 = π. 6

17 3.8. Ciągi. Szereg geometryczny. Definicj () Ciąg jest to funkcj f : N R. Wrtość f(n) dl rgumentu n nzywmy n-tym wyrzem ciągu i oznczmy przez n, zś sm ciąg przez ( n ) lub ( n ) n= lub ( n ) n N. () Liczbę S n := + + n nzywmy sumą n początkowych wyrzów ciągu liczbowego ( n ). Przykłd () Ciąg ( n ) n= nzywmy ciągiem hrmonicznym. () Ciąg (n) n= nzywmy ciągiem nturlnym. (3) Ciąg (( ) n ) n= jest przykłdem ciągu nprzemiennego. (4) Ciąg ( + (n )d) n=,, d R, nzywmy ciągiem rytmetycznym o różnicy d. (5) Ciąg (q n ) n=,, q R, nzywmy ciągiem geometrycznym o ilorzie q. (6) Ciąg ( n ) n= określony rekurencyjnie =, =, n = n + n, n 3, nzywmy ciągiem Fiboncciego 8. Ciąg ten pojwi się w wielu modelch przyrodniczych, np. w drzewie pszczół. Rozwżmy rodowód smc pszczoły. Kżdy smiec (znny tkże jko truteń) jest spłodzony bezpłciowo z smicy (znnej również jko królow). Jednk kżd smic m dwoje rodziców, smc i smicę. Truteń m jednego dzidk i jedną bbcię, jednego prdzidk i dwie prbbcie. M dwóch prprdzidków i trzy prprbbcie. W ogólności, łtwo sprwdzić przez indukcję, że m dokłdnie n+ pr n -dzidków i n+3 pr n -bbć. Twierdzenie Niech ( n ) będzie ciągiem rytmetycznym o różnicy d. Wtedy S n = + (n )d n, n N. Twierdzenie Niech ( n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q. Wtedy { n, gdy q = S n = q n, n N. q, gdy q Definicj (Grnic ciągu). Mówimy, że ciąg ( n ) m grnicę g R, jeśli ε> n N n>n n g < ε (wyrzy n ze wzrostem wskźnik n zbliżją się do liczby g), co zpisujemy n g gdy n lub lim n = g. n Czsem dl wygody piszemy n g lub lim n = g. Przykłd () lim n n =. () lim n ( n ) =. (3) Ciągi ( n) n= i (( ) n ) n= nie mją grnicy. Definicj Rozszerzonym systemem liczb rzeczywistych nzywmy zbiór R {, }. Zchowując nturlny porządek w zbiorze R przyjmujemy < <, R. Uwg () Przyjmujemy nstępującą konwencję () jeśli R, to + = + =, = + =, / = /( ) = ; (b) jeśli >, to = =, ( ) = ( ) = ; (c) jeśli <, to = =, ( ) = ( ) = ; (d) = ( ) ( ) = ; ( ) = ( ) =. () Opercje, +, (± ), (± ) i ± / nie są określone. Definicj (Grnic niewłściw ciągu). Mówimy, że ciąg ( n ) m grnicę niewłściwą (odp. ), jeśli M> n N n>n n > M (odp. M> n N n>n n < M) 8 Fiboncci (Leonrdo z Pizy; ur. około 75 r., zm. 5 r.) włoski mtemtyk. Znny jko: Leonrdo Fiboncci, Filius Boncci (syn Boncciego), Leonrdo Pisno (z Pizy). 7

18 (wyrzy n ze wzrostem wskźnik n zbliżją się do (odp. )), co zpisujemy n gdy n lub lim n = n (odp. n gdy n lub lim n = ). n Czsem dl wygody piszemy n ± lub lim n = ±. Przykłd () lim n n =. () lim n n =. (3) lim n n =. (4) Ciąg (( n) n ) n= nie m grnicy (nwet niewłściwej). Twierdzenie () Jeśli k N, to lim n k n =. () Ogólniej, jeśli >, to lim n n =, jeśli <, to lim n n =. (3) Jeśli >, to lim n n =, jeśli < <, to lim n n =. Twierdzenie Jeśli n i b n b, gdzie, b R {, }, to () n ± b n ± b, () n b n b, (3) jeśli dodtkowo b n, n N, to n /b n /b, o ile tylko dziłni ± b, b i /b są określone. Przykłd () Poniewż c c i n, więc c n c =. Podobnie, n n = n n =. Ogólnie dl k N. n k () n n 5 + = 5. (3) n 3 n + n = n 3 ( n + n n ) = ( + ) =. 3 (4) Ogólnie, jeśli p, to p n p + p n p + + n + sgn( p ). (5) n 7 3n+ n 7 3, bo 3n+ = 7/n 3+/n orz 7 n i 3 + n 3. 3n (6) lim 3 n+4 n 5n 3 n = lim n 3 /n +4/n 3 5 /n = 3 5. (7) lim n n n = lim n n /n /n =. (8) lim n n 3n 5 = lim n n 5 (/n 3 3) = lim n n 5 /n 3 3 =. (9) Ogólnie, jeśli p b q, to lim n pn p + p n p + + n+ b qn q +b q n q + +b n+b = lim n ( n + n) = lim n ( n + n) n++ n n++ n = lim n 4 lim n +5 n (4/3) n 3 n + = lim n +(5/3) n n n +(/3) =. n 4 lim n 5 n (4/3) n 3 n + = lim n (5/3) n (5/3) n n +(/3) = lim n ((4/5) n ) n n +(/3) =. n Zdnie Obliczyć grnice ciągów 3 () lim n n n, n () lim n 3, (3) lim n (n 3 3n + n ), (4) lim n ( n + n 3n 3 + 4n 4 5n 5 ), 4n 3 (5) lim n 6 5n, n (6) lim 3 4n n 6n+3n n, 3 (n ) (7) lim n (4n )(3n+), (8) lim n ( n 3 3n+ ), 5n n (9) lim n 3n+5, n () lim 3 n ( n), n () lim 3 n ( n ), n () lim +5n 6 n n 4 +5n 6, ( (3) lim n+3) n n+, (4) lim n n n+, n 8, bo, gdy p < q p b q, gdy p < q. sgn( p b q ), gdy p > q n++ n =.

19 (5) lim n n+ 3 n ( n ), (6) lim n ( n + n n + ), (7) lim n ( 3 n + 3 n), (8) lim n n 3 n 5 n + n, (9) lim n n 5 n 3 n + n, () lim n 3n+ 5 8 n +3, () lim n 3n+ 5 8 n +3, () lim n 3 n n +, (3) lim n 3 n n 3 n, Twierdzenie Niech ( n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q i. Wtedy ciąg (S n ) m grnicę S wtedy i tylko wtedy gdy q <. W tkim przypdku nzywmy sumą nieskończoną ciągu ( n ). S = q Przykłd Obliczyć sumę Jest to sum nieskończon S ciągu geometrycznego o wyrzie pierwszym = i ilorzie q =. Ztem S = =. Zdnie () Obliczyć sumę () , (b) () W trójkąt równoboczny o boku długości wpisujemy okrąg, kolejne okręgi wpisujemy w trzech wierzchołkch trójkąt w ten sposób, że są one styczne do dówch boków trójkąt i okręgu. Procedurę kontynuujemy w nieskończoność. Obliczyć sumę pól powstłch kół. (3) Odcinek długości d podzielono n n równych części. N kżdej z nich, z pominęciem pierszej i osttniej, zbudowno trójkąty równoboczne. Obliczyć grnicę pól S n i obwodów P n otrzymnej figury przy n Liczb e. Twierdzenie Ciąg (( + n )n ) n= jest zbieżny. Definicj ( e := lim + n. n n) Liczb e nzywn jest tkże liczbą Npier 9, oznczenie e wprowdził w 736 roku Euler, który wykzł, że e jest liczbą niewymierną. W 873 roku Hermite pokzł, że e jest przestępn. W przybliżeniu, e, Dowodzi się, że e = n! = n= Im większe weźmiemy n, tym dokłdniejsze przybliżenie otrzymmy. Wzór ten brdzo szybko dje dobre przybliżeni, dl n = otrzymujemy dokłdną wrtość liczby e do piątej cyfry po przecinku. Definicj ln := log e nzywmy logrytmem nturlnym. Twierdzenie Jeśli lim n n = i n, to lim n ( + n ) /n = e. Przykłd Obliczyć lim n ( 3/n) n. Zuwżmy, że ( ( lim 3 n ( = lim + n n) 3 ) ) n/3 3 = e 3 n n n podstwie powyższego twierdzeni dl n = 3/n. 9 John Npier Lord of Merchiston (ur. 55, zm. 4 kwietni 67) szkocki włściciel ziemski, ntyppist, mtemtyk, odkrywc logrytmów. Leonhrd Euler (ur. 5 kwietni 77 w Bzylei, zm. 8 wrześni 783 w Petersburgu) szwjcrski mtemtyk i fizyk. Chrles Hermite (ur. 4 grudni 8, zm. 4 styczni 9) mtemtyk frncuski. 9

20 Zdnie Obliczyć grnice ( () lim n+5 n n ( () lim n +n n ) n, ) n, (3) lim n ( 5 n) n. 4. Elementy rchunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 4.. Grnic funkcji. Ciągłość funkcji. Definicj 4.. (Otoczenie, sąsiedztwo). Niech R. Otoczeniem punktu R nzywmy kżdy przedził otwrty zwierjący punkt. Sąsiedztwem lewostronnym (odp. prwostronnym) punktu nzywmy przedził otwrty (, ), gdzie < (odp. (, b), gdzie < b). Sąsiedztwem punktu nzywmy zbiór postci gdzie < < b. (, b) \ {} = (, ) (, b), Definicj 4.. (Grnice jednostronne). Funkcj f, określon w sąsiedztwie lewostronnym (odp. prwostronnym) punktu R, m w punkcie grnicę lewostronną g R (odp. prwostronną), co zpisujemy lim f() = g (odp. lim f() = g), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu g istnieje sąsiedztwo lewostronne (odp. prwostronne) V punktu tkie, że f(v ) U (wrtość f() zbliż się do g, gdy rgument zbliż się do z lewej (odp. prwej) strony). Grnice lewo- i prwostronn noszą wspólną nzwę grnic jednostronnych. Przykłd () Jeśli f() = c jest określon w sąsiedztwie punktu R, to lim f() = lim + f() = c. () Jeśli >, to lim + =. (3) Jeśli f() =, to lim f() =, lim + f() =. (4) Jeśli f() =, to lim + f() nie istnieje. (5) Jeśli f() = sin, to lim + nie istnieje. Zdnie Wyznczyć grnice jednostronne funkcji () f() = w punktch Z, () f() = w punktch Z. Definicj 4..5 (Grnic funkcji). Funkcj f, określon w sąsiedztwie punktu R, m w punkcie grnicę g R, co zpisujemy lim f() = g, jeśli funkcj f m w punkcie grnice jednostronne orz lim f() = lim f() = g. + Przykłd Funkcj z Przykłdu 4..3 () m grnicę w punkcie, zś funkcj z Przykłdu 4..3 (3) nie m grnicy w punkcie. Twierdzenie Jeśli lim f() = orz lim g() = b, to () lim (f() ± g()) = ± b, () lim f()g() = b, (3) lim f() g() = b o ile g() w sąsiedztwie i b. Definicj 4..8 (Ciągłość funkcji). Funkcję f, określoną w otoczeniu punktu, nzywmy ciągłą w punkcie, jeśli f m w grnicę orz lim f() = f( ). Funkcję nzywmy ciągłą, jeśli jest on ciągł w kżdym punkcie dziedziny. Funkcję ciągłą określoną n przedzile nzywmy krzywą.

21 Przykłd () Funkcj () Funkcj f() =, R \ {}, jest ciągł. f() = {, gdy, gdy = nie jest ciągł, poniewż nie jest ciągł w punkcie =. Istotnie, funkcj f nie m grnicy w punkcie = (grnice lewo- i prwostronne są różne). (3) Funkcj f() = {, gdy, gdy = nie jest ciągł, poniewż nie jest ciągł w punkcie =. Istotnie, funkcj f m grnicę w punkcie =, le jest on różn od wrtości funkcji w tym punkcie. Twierdzenie 4... () Funkcje wielominowe, wykłdnicze i trygonometryczne są ciągłe. () Funkcj odwrotn do funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą. W szczególności, funkcje potęgowe, logrytmiczne i cyklometryczne są ciągłe. (3) Sum, różnic, iloczyn, ilorz orz złożenie funkcji ciągłych są ciągłe. W szczególności, funkcje wymierne są ciągłe. Uwg 4... Sklejenie funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Istotnie, funkcj {, gdy < f() =, gdy jest ciągł w kżdym punkcie, le nie jest cigł w punkcie =. Przykłd 4... określon). Istotnie, zuwżmy, że () Funkcj f() = 3 f() = ( )( + + ) m w punkcie grnicę 3 (choć nie jest w tym punkcie = ( + + ). Funkcj g() = + + jest ciągł (jko wielomin), więc lim ( + + ) = + + = 3. Funkcj h() = jest funkcją stłą (równą ) określoną w sąsiedztwie punktu =, więc, =. Poniewż f jest iloczynem funkcji g i h, więc, n mocy Twierdzeni 4.., lim 3 lim t = lim ( + + ) lim = 3 = 3. () Funkcj g() = sin, określon z obu stron punktu, nie m w = grnicy. Zdnie () Obliczyć grnice 6 () lim , 3+ (b) lim +, (c) lim , (d) lim 4 (e) lim, 4 +, (f) lim , (g) lim +, (h) lim () Zbdć ciągłość funkcji () f() =, (b) f() =, R \ Z, (c) f() = {, (d) f() =,, gdy gdy =.

22 4.. Grnice niewłściwe. Grnice w nieskończoności. Asymptoty funkcji. Definicj 4.. (Otoczeni nieskończoności). Otoczeniem nzywmy kżdy przedził (, ), gdzie R { }. Otoczeniem nzywmy kżdy przedził (, b), gdzie b R { }. Definicj 4.. (Grnic niewłściw, symptot pionow). Funkcj f, określon w sąsiedztwie punktu R, m w punkcie grnicę niewłściwą (odp. ), co zpisujemy lim f() =, (odp. lim f() = ), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu (odp. ) istnieje sąsiedztwo V punktu tkie, że f(u) V (wrtość f() dąży do (odp. ), gdy rgument zbliż się do ). Jk przy grnicch zwykłych, możn mówić o grnicy niewłściwej prwostronnej lim + f() i lewostronnej lim f(). Jeśli funkcj f m w punkcie grnicę niewłściwą (odp. jednostronną), to prostą o równniu = nzywmy symptotą pionową (odp. jednostronną) funkcji f. Twierdzenie Jeśli lim f() =, lim g() = b, gdzie, b R {, }, to, jeśli tylko poniższe dziłni są określone, () lim (f() ± g()) = ± b, () lim f()g() = b, (3) lim f() g() = b o ile g w sąsiedztwie. Przykłd () Jeśli <, to lim + =. W szczególności, prost o równniu = jest symptotą pionową prwostronną funkcji, <. () lim (π/+kπ) tg =, lim (π/+kπ) + tg =, k Z. W szczególności, prost o równniu = π/ + kπ, k Z, jest symptotą pionową funkcji tg. (3) Jeśli >, to lim + log =. Jeśli < <, to lim + log =. W szczególności, prost o równniu = jest symptotą pionową prwostronną funkcji log. Uwg Aby obliczyć grnicę funkcji wymiernej gdy, wstwimy do licznik i minownik wrtość = i, jeśli dziłnie m sens, wynik jest szukną grnicą. Jeśli punkt jest miejscem zerowym licznik i minownik, rozkłdmy licznik i minownik n czynniki i skrcmy w ułmku czynnik ( ). Jeśli punkt jest miejscem zerowym tylko minownik, to wynik jest nieskończonością ze znkiem zdeterminownym znkmi licznik i minownik. Przykłd () lim + (+) + = lim 3 (+)( +) = lim + = 3. () lim (+) +3+ = lim ( ) (+)(+) =. (3) lim nie istnieje, bo lim 3 lim = lim 3 ( 3)(+4) ( 3) = lim +4 3 ( 3) = lim 3 ( 3)(+4) + ( 3) = lim ( 3) 7 =, 7 + = +. (4) Wyznczyć symptoty pionowe funkcji f() = +. Zuwżmy, że + = dl = lub = /. Poniewż f, będąc funkcją wymierną, jest funkcją ciągłą, ztem funkcj f może posidć grnice niewłściwe tylko w punktch leżących poz dziedziną, tj. w punktch = i = /. Bez trudu sprwdzmy, że lim + = lim ( )(+) = lim + = 3, lim / ( )(+) = lim / + =, lim / + ( )(+) = lim / =. Stąd prost o równniu = / jest jedyną symptotą pionową funkcji f. Zdnie () Obliczyć grnice () lim 4 ( ), , (b) lim + 7 (c) lim 3 3 (d) lim , (+), 3

23 (e) lim () Wyznczyć symptoty pionowe funkcji () f() =, (b) f() = (c) f() = 4 (d) f() =,, ++. Definicj 4..8 (Grnic w nieskończoności, symptot poziom). Mówimy, że funkcj f, określon w otoczeniu (odp. ), m w (odp. ) grnicę g R {, }, co zpisujemy lim f() = g (odp. lim f() = g), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu g istnieje otoczenie V punktu (odp. ) tkie, że f(v ) U (wrtość f() dąży do g, gdy rgument dąży do (odp. )). Jeśli grnic g jest włściw, to mówimy, że prost o równniu y = g jest symptotą poziomą prwostronną (odp. lewostronną) funkcji f. Asymptotę poziomą lewo- i prwostronną nzywmy symptotą poziomą. Przykłd () Jeśli <, to lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji, <. Jeśli dodtkowo Z, to tkże lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji, Z, <. () lim ± = lim ± ( ) =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji. (3) Jeśli >, to lim =, lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą lewostronną funkcji, >. (4) Jeśli < <, to lim =, lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą prwostronną funkcji, < <. (5) lim rc tg = π/. W szczególności, prost o równniu y = π/ jest symptotą poziomą lewostronną funkcji rc tg. (6) lim rc tg = π/. W szczególności, prost o równniu y = π/ jest symptotą poziomą prwostronną funkcji rc tg. (7) lim rc ctg = π. W szczególności, prost o równniu y = π jest symptotą poziomą lewostronną funkcji rc ctg. (8) lim rc ctg =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą prwostronną funkcji rc ctg. (9) lim sin nie istnieje, bo np. nπ, ntomist sin nπ = dl n przystych i sin nπ = dl n nieprzystych. Uwg 4... Aby obliczyć grnicę funkcji wymiernej gdy ±, dzielimy licznik i minownik przez w njwyższej potędze minownik. 4 Przykłd 4... () lim 3 / = lim / 4 5/ +6/ 7 =. () lim +7 4 = lim / /+7 4 / = 7 4. (3) lim ++ ( 3 +) = lim /4 +/ 3 +/ +/ 3 =. Zdnie 4... Obliczyć grnice () lim 4 3, () lim 3 3 ( )(+). Definicj 4..3 (Asymptot ukośn). Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu (odp. ). Jeśli lim (f() ( + b)) = (odp. lim (f() ( + b)) = ), to prostą o równniu y = + b nzywmy symptotą ukośną prwostronną (odp. lewostronną) funkcji f. Uwg Asymptot poziom jest szczególnym przypdkiem symptoty ukośnej ( = ). 3

24 Twierdzenie Jeśli y = + b jest równniem symptoty ukośnej prwostronnej (odp. lewostronnej) dl f, to (odp. = f() = lim lim, b = lim (f() ), f(), b = lim (f() )). Funkcj nie m symptoty ukośnej prwostronnej (odp. lewostronnej), jeśli choć jedn z tych grnic nie istnieje. Przykłd () Funkcj f() = 3 +3 m symptotę ukośną o równniu y =, f() poniewż lim ± = orz lim ± (f() ) =. () Funkcj f() = 3 3 f() nie m symptoty ukośnej, poniewż lim ± = ±. Zdnie Wyznczyć symptoty funkcji () f() =, () f() = +, (3) f() = Pochodn funkcji. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu. Definicj Pochodną funkcji f w punkcie nzywmy grnicę (4.) lim h f( + h) f() h i oznczmy f () lub df d (). Funkcj nie m pochodnej w punkcie, jeśli grnic (4.) nie istnieje. Funkcję mjącą pochodną w kżdym punkcie dziedziny nzywmy różniczkowlną. Twierdzenie Fukcj różniczkowln jest ciągł. Przykłd () f() =. Mmy f ( + h) h + h () = lim = lim = lim ( + h) =, h h h h h ztem funkcj f m w kżdym punkcie pochodną f () =. () f() =. Mmy f ( + h) h () = lim = lim h h h h =, ztem funkcj f m w kżdym punkcie pochodną równą f () =. (3) Funkcj f() = nie m pochodnej w punkcie, bo grnic + h h lim = lim h h h h nie istnieje. Istotnie, lim h h + h =, lim h h h =. Jest to przykłd funkcji ciągłej, któr nie jest różniczkowln (por. Twierdzenie 4.3.). Uwg (Interpretcj geometryczn pochodnej). Pochodn funkcji f w punkcie równ jest tngensowi kąt, jki tworzy styczn do wykresu funkcji f w punkcie o równniu (4.) y f( ) = f ( )( ) z dodtnim zwrotem osi O. Przykłd Wyznczyć styczną do prboli y = w punkcie o współrzędnej =. Zuwżmy, że dl f() = mmy f () =, skąd f () =. Pondto, f() =, skąd równnie szuknej stycznej m postć czyli y =. y = ( ) +, 4

25 Twierdzenie (Pochodne funkcji elementrnych). Funkcje elementrne są różniczkowlne orz ( ) =, R, ( ) = ln, (log ) =, >,, ln (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos, (ctg ) = sin, (rc sin ) =, (rc cos ) =, (rc tg ) = +, (rc ctg ) = +. Wniosek W szczególności, ( ) () =, =, ( ) =, (e ) = e, (ln ) =. Twierdzenie (Pochodne sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu). Sum, różnic, iloczyn i ilorz funkcji różniczkowlnych u i v są różniczkowlne orz ( u ) (u ± v) = u ± v, (uv) = u v + uv u v uv, = v v. W przypdku ilorzu zkłdmy, że v(). Przykłd () Jeśli f() = const, to f () =. () Jeśli c R, to (cu()) = cu (). (3) ( 3 + ) = 3 +. (4) ( ) = (5) (sin cos ) = cos sin = cos. (6) ( ) = ( ) ( ) (7) ( = ( ). rc sin ) = ln rc sin /. rc sin Twierdzenie 4.3. (Pochodn funkcji złożonej). Niech funkcj f m pochodną w punkcie, funkcj g m pochodną w punkcie f(). Wtedy funkcj złożon g f m pochodną w punkcie wyrżoną wzorem (4.3) (g f) () = g (f())f (). Przykłd (4.3), () h() = ( ) 5. Oznczjąc f() = otrzymujemy, n mocy wzoru h () = 5(f()) 4 = ( ) 4. () h() = +. Oznczjąc f() = + otrzymujemy (3) Dl h() = ln sin mmy h () = f() =. + h () = cos = ctg. sin Wniosek Pochodn złożeni dowolnej skończonej liczby funkcji różniczkowlnych równ jest iloczynowi pochodnych poszczególnych funkcji. Przykłd Niech f() = rc tg +. Funkcj f jest złożeniem czterech funkcji g + tzn. f = j i h g, gdzie h + i rc tg + j rc tg +, g() = +, h() =, i() = rc tg, j() =. W konsekwencji, f () = j (i(h(g()))) i (h(g())) h (g()) g (), czyli f () = rc tg rc tg + = + ( + ) +. Zdnie Obliczyć pochodne funkcji 5

26 () f() = , () f() = e, (3) f() = sin(5 3), (4) f() = ( 3 ), (5) f() = e 4, (6) f() = sin cos, (7) f() = ( ) 3, (8) f() = ln( 4), (9) f() = ln(sin ), () f() = +, () f() = / + /3, () f() = (ln ), (3) f() = 4 + 3, (4) f() = ln +, (5) f() =, (6) f() = ln(ln ) Ekstrem loklne i globlne. Jednym z zstosowń pochodnej jest wyzncznie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie 4.4. (Monotoniczność funkcji). Funkcj o pochodnej w dnym przedzile równej zero jest w tym przedzile stł; nieujemnej (przy czym liczb punktów, w którch pochodn może się zerowć, jest co njwyżej skończon) jest w tym przedzile silnie rosnąc; niedodtniej (przy czym liczb punktów, w którch pochodn może się zerowć, jest co njwyżej skończon) jest w tym przedzile silnie mlejąc. Przykłd Wyznczyć przedziły monotoniczności funkcji () f() = 3 3. f () = 3 6 = 3( ). Mmy tu f () >, gdy < lub >, ntomist f () <, gdy < <. Funkcj f() = 3 3 jest więc silnie rosnąc w przedziłch (, ) i (, ), silnie mlejąc w przedzile (, ). () f() =. f () = ( )(+), skąd f () > dl < <, zś f () < dl < < lub < <. Funkcj f jest więc silnie rosnąc w przedzile (, ), silnie mlejąc w przedziłch (, ) i (, ). Zdnie Wyznczyć przedziły monotoniczności funkcji () f() = (3 ), () f() = , (3) f() = e. Definicj (Ekstrem loklne). Mówimy, że funkcj f określon w otoczeniu punktu m w punkcie mksimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) f() dl dowolnego punktu U; włściwe (silne) mksimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) > f() dl dowolnego punktu U \ { }; minimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) f() dl dowolnego punktu U; włściwe (silne) minimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) < f() dl dowolnego punktu U \ { }. Mksimum i minimum loklne, włściwe lub nie, nzywmy ekstremum loklnym. Twierdzenie (Wrunek konieczny istnieni ekstremum loklnego). Jeśli funkcj różniczkowln f m ekstremum loklne w punkcie, to (4.4) f ( ) =. Uwg Wrunek (4.4) nie jest wystrczjący. Istotnie, funkcj f() = 3 jest różniczkowln, bo f () = 3. Pondto, f () =, le funkcj f nie m ekstremum loklnego w punkcie. 6

27 Twierdzenie (Wrunek dostteczny istnieni ekstremum loklnego). Jeśli funkcj różniczkowln f spełni wrunek (4.4) orz pochodn f jest, w pewnym otoczeniu punktu, dodtni z jednej strony i ujemn z drugiej strony punktu, to funkcj f m ekstremum loklne w punkcie. Chrkter ekstremum określ Twierdzenie Przykłd Wyznczyć ekstrem loklne funkcji () f() = Poniewż f () = = ( 3), ekstrem loklne mogą być w punktch, w których f () =, więc = lub = 3/. Ze znku pochodnej (Przykłd 4.4.) wnioskujemy, że w punkcie = funkcj nie m ekstremum loklnego, w punkcie = 3/ m minimum loklne. () f() = 5 3. Poniewż f () = (3 )( 3) (+) ( ), więc ekstrem loklne mogą być w punktch = /3 i = 3. Ze znku pochodnej wnioskujemy, że w punkcie = /3 funkcj m mksimum loklne, w punkcie = 3 minimum loklne. Zdnie Wyznczyć ekstrem loklne funkcji () f() = , () f() = , (3) f() = 4, (4) f() = 3 ln, (5) f() = e, (6) f() = e 4, (7) f() = ( ) e + /. Uwg () Mksimum loklne nie musi być njwiększą wrtością funkcji w dnym przedzile. Podobnie, minimum loklne nie musi być njmniejszą wrtością. Co więcej, funkcj może nie posidć wrtości njwiększej czy njmniejszej. Istotnie, wystrczy rozptrzyć funkcję f() = 3 3 w przedzile (, 3). () Dowodzi się, że funkcj ciągł przyjmuje w przedzile domkniętm wrtość njwiększą i njmniejszą. (3) Aby znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość ciągłej funkcji f w domkniętym przedzile [, b], stosujemy nstępujący lgorytm. () Notujemy rozwiązni równni f () = leżące wewnątrz przedziłu [, b]. (b) Obliczmy wrtość funkcji f w punkch, b i wszystkich wynotownych wcześniej punktch. (c) Wybiermy te punkty, w których wrtość funkcji f jest njwiększ i njmniejsz. Przykłd () Znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość funkcji f() = e +7 ( + ) w przedzile [ 4, ]. Poniewż f () = e +7 ( + 3), więc ekstrem loklne funkcj może mieć tylko w punktch 3 i. Poniewż f( 3) = e, f() = e 7 zś f( 4) = 7e i f() = e 9, ztem funkcj f przyjmuje wrtość nwiększą równą e 9 w punkcie = i wrtość njmniejszą równą e 7 w punkcie =. () N rogch kwdrtowego rkusz blchy o boku 36 cm wyciąć tkie kwdrty, by po zgięciu blchy otrzymć pudełko o njwiększej objętości. Jeśli przez oznczymy długość boku wycinnych kwdrtów wyrżoną w cm, to objętość V pudełk wyrż się wzorem V () = 4( 8), [, 8]. Poniewż V () = V (8) = orz V >, więc funkcj V przyjmuje wrtość njwiększą w przedzile otwrtym (, 8). Zuwżmy, że V () = ( 8)( 6), skąd wnioskujemy, że funkcj V m mksimum globlne w punkcie = 6, czyli nleży wyciąć kwdrty o bokch długości 6 cm. Zdnie () Znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość funkcji () f() = 3 3 w przedzile [, 3], (b) f() = w przedzile [6, 8], (c) f() = e w przedzile [ 3, ], (d) f() = sin w przedzile [ π/, π/], (e) f() = ln w przedzile [, e 8/3 ], (f) f() = e w przedzile [ /, ]. 7

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco: Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,

Bardziej szczegółowo

szkicuje wykresy funkcji: f ( x)

szkicuje wykresy funkcji: f ( x) Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208 Spis treści Mcierze i

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY . LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7. Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe

Bardziej szczegółowo

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw. FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

współrzędne wierzchołka A oraz oblicz pole trójkąta ABC. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zadanie 3. Ciąg ( a

współrzędne wierzchołka A oraz oblicz pole trójkąta ABC. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zadanie 3. Ciąg ( a STARA MATURA 00 Województwo Śląskie Mtemtyk - rozwiązni zdń. mj 00 Pisemny egzmin dojrzłości obowiązujący w licech ogólnoksztłcących (z wyjątkiem profilu mtemtyczno fizycznego), technikch pięcioletnich

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6 Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019 Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element MATEMATYKA Wykłd 4 (Funkcje) Pisząc f : (,b) R rozumiemy Ŝe kŝdemu (, b) przyporządkowny zostł dokłdnie jeden element y R. Wykresem funkcji nzywmy zbiór pr (,f()) n płszczyźnie skłdjącej się ze wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo