Zadanie Pocisk w kszta lcie stożka o polu podstawy S i kacie ozwacia 2α pousza sie z pedkości a v wzd luż swojej osi w stone wiezcho lka) w badzo ozzedzonym jednoatomowym gazie. Tempeatua gazu jest na tyle niska, a pedkość v na tyle duża, że można pzyjać, że atomy gazu sa nieuchome. Gestość gazu jest ówna ρ. Zak ladajac, że atomy gazu zdezaja sie z powiezchnia pocisku doskonale speżyście i nie zdezaja sie ze soba, obliczyć si l e opou, jaka dzia la na pocisk. Powiezchnia pocisku jest idealnie g ladka. Podaj watość liczbowa dla ρ = 0 kg/m, v = 7 km/s, α = 5, S = 0, 0 m 2. Rozwiazanie zadania. Zagadnienie bedziemy ozpatywali w uk ladzie, w któym stożek jest nieuchomy. a) Ponieważ zdezenie jest doskonale speżyste, a powiezchnia stożka nieuchoma, atom gazu po zdezeniu bedzie mia l pedkość v skieowana pod katem 2α w stosunku do poczatkowej pedkości. Zatem zmiana ównoleg lej do osi stożka sk ladowej pedu atomu o masie m jest ówna p = mv cos 2α ). ) W czasie t ze stożkiem zdeza si e N atomów gazu, pzy czym Zatem ca lkowita si la opou dzia lajaca na stożek jest ówna F opou = N p t Jej watość liczbowa dla podanych danych wynosi N = ρ vs t. 2) m = cos 2α) ρv 2 S = 2 sin 2 α ρv 2 S. ) F opou 90 N. )
Zadanie 2 Waska wiazka fulleenów czasteczek wegla C 60 w kszta lcie pi lki futbolowej pada postopadle na siatke dyfakcyjna o sta lej sieci d = 00 nm siatka dyfakcyjna jest p lytka z azotku kzemu z wycietymi ównoleg lymi waskimi szczelinami). Za siatka znajduja sie detektoy zliczajace czasteczki docieajace do poszczególnych punktów p laszczyzny ekanu ) znajdujacej sie w dużej odleg lości od siatki i ównoleg lej do niej. Wskazania detektoów s luża do wyznaczenia powsta lego obazu intefeencyjnego. a) Pzyjmujac, że ozk lad pedkości czasteczek v) w wiazce jest ozk ladem jednoodnym w zakesie v v 0 v, v 0 + v, wyznacz kat ugiecia wiazki α n odpowiadajacy po lożeniu śodka pażka intefeencyjnego n-tego zedu oaz kat α n odpowiadajacy szeokości tego pażka pażek jest obszaem, do któego dolatuja czasteczki). Podaj watości liczbowe dla n =, v 0 = 7 m/s, v = 0, 7v 0. Rozważ tylko te pażki, dla któych sin α n α n. b) Jaki jest dopuszczalny ozzut v pedkości czasteczek w wiazce pzy ustalonym v 0 ), aby pażek n-tego zedu by l dobze ozóżnialny, tzn. aby po obu jego stonach by ly miejsca, do któych nie docieaja czasteczki? Zak ladamy, że każda z czasteczek ma dok ladnie okeślony ped. Masa atomu wegla jest ówna 2, 0 0 26 kg, sta la Plancka h = 6, 6 0 Js. Rozwiazanie zadania 2 Pażki intefeencyjne pojawiaja sie, gdy óżnica faz fal de Boglie a) wychodzacych z sasiednich szczelin siatki jest ówna wielokotności 2π, czyli gdy kat ugiecia wiazki α spe lnia waunek d sin α = nλ, ) gdzie n jest liczba ca lkowita, a λ d lugościa fali de Boglie a czasteczki o masie m i pedkości v λ = h mv, 2) h jest sta l a Plancka). Dla wiazki czasteczek o jednakowych pedkościach i idealnej siatki dyfakcyjnej, o dużej liczbie szczelin) każdy pażek jest nieskończenie cienki. Jednak w naszym pzypadku, ze wzgledu na óżne pedkości czasteczek wiazce, pażek n-tego zedu bedziemy obsewować dla katów ugiecia α od α = α n + do α = αn, gdzie d sin α n + h = n m v 0 + v) dα+ n d sin αn h = n m v 0 v) dα n Zatem kat odpowiadajacy po lożeniu śodka pażka n-tego zedu jest dany wzoem α n = 2 n h md v 0 v + v 0 + v a kat odpowiadajacy szeokości tego pażka wzoem α n = n h md v 0 v v 0 + v Dla podanych watości liczbowych otzymamy w adianach) ) = n h v 0 md v0 2 v) 2, ) ) = n h 2 v md v0 2 v) 2. ) α, 8 0 5, 5) α, 6 0 5. 6)
b) Na ekanie, miedzy n-tym a n + pażkiem bed a miejsca, do któych nie dolatuja czasteczki, jeśli αn < α n+ + 7) czyli n h md v 0 v < n + ) h md v 0 + v co daje v < v 0 2n +. 8) Jeśli powyższa nieówność bedzie spe lniona, to ównież miedzy n a n-tym pażkiem bedzie obsza, do któego nie dolatuja czasteczki. Zatem wzó 8) jest szukanym waunkiem na dopuszczalny ozzut pedkości.
Zadanie Rozważmy gumowy balonik, któy po nadmuchaniu powietzem ma kszta lt kuli. a) Gdy pomień balonika wynosi l = 0, m, to wewnatz panowa lo ciśnienie p =, 0 5 Pa. Jakie ciśnienie panuje wewnatz balonika, po nadmuchaniu go tak, by mia l pomień 2 = /2)? W obu pzypadkach tempeatua powietza wewnatz balonika jest ówna tempeatuze otoczenia i wynosi T 0 = 00 K. Ciśnienie powietza otaczajacego balonik jest ówne p 0 =, 0 0 5 Pa. b) Balonik o pomieniu 2 czyli po nadmuchaniu zgodnie z pkt. a)) zanuzono powoli w wodzie na taka g l ebokość, by jego pomień zmala l do =. Ile wynosi ta g l ebokość? Jakie sa tempeatua i ciśnienie wewnatz balonika po zanuzeniu? Zak ladamy, że pow loka balonika nie pzepuszcza ciep la. Poczatkowa tempeatua wewnatz balonika by la ówna T 0. Balonik pzed zanuzeniem znajdowa l sie tuż nad powiezchnia wody. c) Jaka pace wykonano w takcie zanuzania zgodnie z pkt. b)? Enegia speżysta gumy, z któej jest wykonany balonik, jest ówna E s = /2)αS 2, gdzie α jest pewna sta l a, a S powiezchnia balonika. Balonik jest na tyle ma ly, że ównież po zanuzeniu w wodzie ma kszta lt kuli. Pzyjmij, że powietze zachowuje sie jak gaz doskona ly o molowym cieple w laściwym pzy sta lej objetości c V = 5/2)R, gdzie R jest uniwesalna sta l a gazowa. Guma z któej jest wykonany balonik ma zaniedbywalna mase oaz zaniedbywalna pojemność cieplna. Zaniedbaj ównież gestość powietza w poównaniu z gestości a wody d w = 000 kg/m. Pzyspieszenie ziemskie g = 9, 8 m/s 2. Rozwiazanie zadania. a) W stanie ównowagi, pzy infinitezymalnej zmianie pomienia o d, suma pac wykonanych pzez si ly ciśnienia zewnetznego i wewnatznego jest ówna zmianie enegii speżystej balonika p p 0 ) V = E s, czyli p p 0 )π 2 d = 2 α π)2 d, co daje Dla pomieni i 2 dostajemy p p 0 = 8πα. ) stad Ostatecznie p p 0 = 8πα, p 0 = 8πα 2, p 0 p p 0 = 2. = 2 p p 0 ) + p 0 =, 5 0 5 Pa. 2) b) Ponieważ w tym pocesie nie ma pzep lywu ciep la, a zanuzanie odbywa sie powoli, z ównania adiabaty pv γ = const mamy ) γ ) γ π 2 = p π,
gdzie p jest ciśnieniem w baloniku po zanuzeniu go w wodzie tak by mia l pomień ), a γ = c V + R)/c V = 7/5. Stad ) γ 2 p = 6, 0 5 Pa ) zatem ciśnienie wody na zewnatz balonika jest ówne p w = p 8πα = p p p 0 ) 6, 2 0 5 Pa. ) W wodzie, na g l ebokości h, ciśnienie jest ówne p 0 + d w gh, zatem h = p w p 0 d w g 5 m. 5) Tempeatue wewnatz balonika po zanuzeniu wyznaczymy kozystajac z ównania stanu gazu doskona lego pv = NRT : T = p V NR = p V = p ) ) γ 2 T 0 = T 0 88 K. 6) V 2 /T 0 2 c) I sposób Paca wykonana w tym pocesie jest ówna zmianie enegii uk ladu ównej sumie zmian enegii wewnetznej gazu E g, enegii speżystości gumy balonika E S i enegii objetościowej otoczenia E o E g = Nc V T T 0 ), 7) E S = 8π 2 α ) 2 8) Enegia obj etościowa jest ówna pacy potzebnej do ozepchni ecia wody lub innego ośodka), tak by w nim zmieści lo si e dane cia lo i wynosi E o = pv. Latwo spawdzić, że dla cia la o sta lej obj etości zmiana enegii obj etościowej pzy zanuzeniu cia la jest ówna pacy wykonanej w tym pocesie.) W naszym pzypadku E o = πp 0 2 + πp w, 9) zatem W = Nc V T T 0 ) + 8π 2 α ) 2 + π ) p 0 2 + p w. 0) Ilość gazu liczba moli) gazu jest ówna N = V 2 /RT 0 ), sta la α = p p 0 )/8π ). Pozosta le paamety już wyznaczyliśmy, zatem W = π c V 2 T T 0 ) + π p p 0 R T 0 = π c 2 ) γ V R 2 π + ) γ π 2 πp 02 = π c V + R R 2 = π c V + R R 2 ) + πp w πp 0 2 ) p p 0 π p p 0 2 2 ) γ π p p 0 ) 2 p 0 + p ) 2 ) γ p 0 2 π p p 0 ) 2
Ostatecznie wynik można zapisać w postaci W = π c V + R p 0 + p ) 2 ) γ p 0 2 2 π R Podstawiajac watości liczbowe otzymujemy, że szukana paca jest ówna c) II sposób Si la wypou dzia lajaca na zanuzony balonik jest ówna p p 0 ) 2. 2) W, 6 0 J. ) F w = π d w g, gdzie jest pomieniem balonika znajdujacego sie na g lebokości z. Zgodnie z wzoami ) i ) zwiazek miedzy pomieniem balonika a g l ebokości a jest dany wzoem 2 ) γ p 0 + d w gz = p p 0 ) stad paca jest ówna h W = F w dz = 0 2 π γ) 2) γ p γ+ p 0 ) d = ) = π γ) 2) γ 2 p γ 2 p 0 ) d = π γ 2 ) γ γ γ p p 0 ) 2 = π c V + R 2 ) γ c V + R R γ R 2 p p 0 ) + p p 0 ) 2 { = 2 ) } γ π c V + R R 2 p p 0 ) + p p 0 ) 2 co jest zgodne z 2).