Promieniowanie cia la doskonale czarnego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Promieniowanie cia la doskonale czarnego"

Transkrypt

1 Rozdzia l 2 Promieniowanie cia la doskonale czarnego 2.1 Wste ι p 1. Stosunek zdolności emisyjnej dowolnego cia la do jego zdolności absorpcyjnej jest sta ly i równy zdolności emisyjnej cia la doskonale czarnego prawo Kirchhoffa). Eλ, T) Aλ, T) = E Cλ, T) ; 2.1) z definicji cia la doskonale czarnego jego zdolność absorpcyjna A C = Wzór Plancka na rozk lad energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego Eλ, T) = 2πhc2 1 λ 5 hc ), 2.2) gdzie T jest temperatura ι cia la doskonale czarnego, λ - d lugość fali promieniowania, c - pre ι dkość fali elektromagnetycznej w próżni, k - sta la Boltzmanna. 21

2 22 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO Rys. 2-1 Wykres funkcji Eλ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego dla różnych temperatur cia la w zależności od d lugości λ emitowanej fali. 2.2 Zadania Znaleźć ilość energii wypromieniowanej przez S lońce, jaka przechodzi w cia ι gu jednej sekundy przez powierzchnie ι równa ι 1 m 2 ustawiona ι prostopadle do biegu promieni w odleg lości równej średniej odleg lości Ziemi od S lońca. Za lożyć, że powierzchnia S lońca emituje energie ι jak cia lo doskonale czarne. zanie: Za lóżmy, że energia E 11, która ι wypromieniowuje jednostka powierzchni S lońca w cia ι gu jednej sekundy jest jednakowa dla ca lej jego powierzchni. Jeśli przyja ι ć, że S lońce jest kula ι o promieniu R, to w cia ι gu jednej sekundy ca la powierzchnia S lońca emituje w pe lny ka ι t bry lowy energie ι E 1 = 4πR 2 E 11. 1) W jednostkowy ka ι t bry lowy emitowana jest w cia ι gu jednej sekundy energia E Ω1 = E 1 4π = E 11R 2. 2)

3 2.2. ZADANIA 23 Ka ι t bry lowy odpowiadaja ι cy elementowi powierzchni S umieszczonemu prostopadle do biegu promieni w odleg lości od S lońca Ω S = S 2. 3) Ca lkowita energia przechodza ι ca przez te ι powierzchnie ι w cia ι gu jednej sekundy E S = E Ω1 Ω S = E 1 S 4π 2. 4) Na jednostke ι tej powierzchni pada w cia ι gu jednej sekundy ilość energii E 11 = E S S = ) 2 R E 11. 5) Ponieważ za lożyliśmy, że S lońce promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne, wie ι c zwia ι zek mie ι dzy ca lkowita ι ilościa ι energii wypromieniowanej w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni S lońca i jej temperatura ι T otrzymamy ca lkuja ι c wyrażenie na rozk lad energii w widmie cia la doskonale czarnego Eλ, T) wzgle ι dem λ po ca lym zakresie widma E 11 = lub Eλ, T)dλ = 2πhc 2 1 hc ) dλ λ 5 = 2π5 15 k 4 h 3 c 2 T 4 ; 6) E 11 = σt 4, 7) gdzie σ = 5, W/m 2 )K 4 jest sta la ι Stefana. Korzystaja ι c z 5) i 7) - prawo Stefana-Boltzmanna) mamy E 11 = σ ) 2 R T 4. 8) Podstawiaja ι c dane liczbowe R = 6, m i = 1, m) otrzymujemy przyjmuja ι c T = 576 K E 11 = 1374 W/m 2. 9) Wyliczona wielkość nosi nazwe ι sta lej s lonecznej, S Obliczyć o ile zmienia sie ι w cia ι gu jednej sekundy masa S lońca w wyniku emisji promieniowania. Za lożyć, że S lońce promieniuje jak cia lo doskonale czarne. zanie: Powierzchnia S lońca w cia ι gu jednej sekundy wysy la energie ι E 1 = 4πr 2 E 11, 1)

4 24 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO gdzie r jest promieniem S lońca, E 11 zaś ilościa ι energii emitowanej przez 1 m 2 powierzchni S lońca w cia ι gu jednej sekundy, przy czym E 11 = σt 4. 2) W wyrażeniu 2) T oznacza temperature ι powierzchni S lońca, σ zaś jest sta la ι równa ι 5, W/m) 2 )K 4. Po podstawieniu 2) do 1) otrzymujemy E 1 = 4πr 2 σt 4. 3) Korzystaja ι c ze zwia ι zku: E = mc 2 mamy Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy m 1 = E 1 c 2 = 4πσ c 2 r2 T 4. 4) m 1 = 4,5 1 9 kg/s, co w porównaniu z masa ι S lońca, która jest równa kg, jest wartościa ι bardzo ma la ι Kulke ι o promieniu R zawieszono na nici be ι da ι cej z lym przewodnikiem ciep la. Ca lość umieszczono w naczyniu, z którego odpompowano powietrze. Kulka promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne nie poch laniaja ι c przy tym żadnej energii. Po jakim czasie temperatura kulki obniży sie ι od temperatury pocza ι tkowej T 1 do temperatury T 2? Ge ι stość materia lu, z którego wykonana jest kulka wynosi ρ. zanie: Ca lkowita ilość energii wypromieniowanej w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni cia la doskonale czarnego o temperaturze T jest równa wzór 7) z zadania 2.2.1) E 11 = σt 4. 1) W cia ι gu jednej sekundy ca la powierzchnia kulki wypromieniowuje energie ι E 1 = 4πR 2 σt 4. 2) W cia ι gu czasu dt temperatura kulki obniży sie ι o wartość dt, przy czym kulka straci energie ι E 1 dt = mc k dt, 3) gdzie m jest masa ι kulki, c k - ciep lo w laściwe materia lu kulki. Z 2) i 3) mamy dt = mc k dt 4πR 2 σ T 4, 4) a zatem t = mc T2 k dt 4πR 2 σ T 1 T 4 = mc k 1 12πR 2 σ T2 3 ) T1 3. 5)

5 2.2. ZADANIA 25 Ale m = 4 3 πρr3, 6) wie ι c t = c kρr 9σ 1 T 3 2 ) [ T1 3 = ρc kr 9σT2 3 1 T2 T 1 ) 3 ]. 7) Dla T 1 T 2 wyrażenie 7) można uprościć i otrzymujemy t = ρc kr 9σ 1 T ) Dla kulki żelaznej ρ = 7,9 1 3 kg/m 3, c k = 4,6 1 2 J/kg K)) o promieniu R =,1 m, dla temperatur T 1 = 15 K i T 2 = 3 K otrzymujemy czas ostygania t = 7,3 godz. Jeśli powierzchnia kulki jest szara zdolność absorpcyjna A nie jest funkcja ι d lugości fali absorbowanego promieniowania: zdolność emisyjna ǫ jest równa zdolności absorpcyjnej A) to t = ρc kr 9ǫσT 3 2 [ 1 T2 T 1 ) 3 ]. 9) Średnia temperatura cia la ludzkiego wynosi 31 K. Określić d lugość fali promieniowania λ max wysy lanego przez cz lowieka, odpowiadaja ι ca ι maksimum funkcji rozk ladu emitowanej przez niego energii. Przyja ι ć, że cia lo ludzkie promieniuje jak cia lo doskonale czarne. Rys. 2-2 Zależność funkcji Eλ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego, λ max jest wartościa ι d lugości fali, przy której funkcja Eλ, T ) osia ι ga maksimum.

6 26 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO zanie: Zależność mie ι dzy λ max i T znajdujemy z równania gdzie deλ, T) dλ Eλ, T) = 2πhc2 1 λ 5 hc =, 1) ) jest wzorem Plancka daja ι cym rozk lad energii w widmie cia la doskonale czarnego. Podstawiaja ι c 2) do 1) i wykonuja ι c różniczkowanie otrzymujemy równanie ) hc hc 5 ) + hc λ 6 kt λ 7 [ hc Po podstawieniu do 3) zmiennej pomocniczej i uporza ι dkowaniu równania otrzymamy ) 2) ] 2 =. 3) hc = x 4) xe x e x = 5. 5) Równanie przeste ι pne 5) można rozwia ι zać na przyk lad metoda ι graficzna ι przyk lad rozwia ι zania równania przeste ι pnego w zadaniu 6.2.7)), ska ι d otrzymuje sie ι wartość x max = 4,965, a wie ι c λ max = hc 4,965 kt 2,9 mm K ; prawowiena). 6) T Podstawiaja ι c T = 31 K dostajemy d lugość fali λ max = 9,5 1 6 m leża ι ca ι w bliskiej podczerwieni Ca lkowita ilość energii promieniowania o d lugościach fali zawartych w przedziale λ, ) emitowanego w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni cia la promieniuja ι cego energie ι jak cia lo doskonale czarne, wynosi P. Znaleźć temperature ι tego cia la wiedza ι c, że λ jest znacznie wie ι ksze od d lugości fali λ max odpowiadaja ι cej maksimum funkcji rozk ladu energii Eλ, T) w widmie cia la doskonale czarnego. zanie: Ze wzoru Plancka na zdolność emisyjna ι cia la doskonale czarnego mamy εν, T) = 2πh ν 3 c 2 hν kt ), ν = c λ. 1)

7 2.2. ZADANIA 27 Ca lkowita moc promieniowania o cze ι stościach z przedzia lu,ν ), odpowiadaja ι cego przedzia lowi λ, ), wysy lanego przez jednostke ι powierzchni cia la doskonale czarnego = 2πh c 2 P = ν ν εν, T)dν = 2) ν 3 hν kt ) dν. 3) Dla λ λ max co odpowiada niskim cze ι stościom, takim że hν kt) możemy rozwina ι ć w szereg funkcje ι wyste ι puja ι ca ι w mianowniku wyrażenia podca lkowego. Dostajemy wówczas ) hν 1 + hν kt kt hν kt. 4) Podstawiaja ι c 4) do 3) otrzymamy a zatem P = 2πh c 2 ν kt h ν2 dν = 2 3 πkt c 2 ν3 = 2 3 πckt λ 3, 5) T = 3 λ 3 P 2π ck. 6) Zak ladaja ι c, że mierzymy emitowana ι energie ι w przedziale d lugości fali powyżej λ = m i że P =,313 W/m 2, otrzymujemy temperature ι źród la T = 289 K λ max dla cia la o tej temperaturze be ι dzie równe 1 6 m, to znaczy, że relacja λ λ max warunkuja ι ca s luszność stosowania wzoru 6) nie jest spe lniona i znaleziona ι wartość temperatury należy traktować jako orientacyjna ι, co w przypadku tak wysokich temperatur może być wystarczaja ι ce) Określić temperature ι powierzchni Ziemi zak ladaja ι c, że S lońce promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne o temperaturze T S i że temperatura Ziemi jest jednakowa na ca lej powierzchni. Rozpatrzyć dwa przypadki: 1. Ziemia jest cia lem szarym. 2. Ziemia poch lania tylko promieniowanie o cze ι stościach z wa ι skiego przedzia lu cze ι stości. zanie: Moc promieniowania S lońca poch laniana przez Ziemie ι jest równa zad ) ) 2 P a = AπRZσ 2 RS TS 4, 1)

8 28 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO gdzie jest średnia ι odleg lościa ι Ziemi od S lońca, R S jest promieniem S lońca, a R Z - promieniem Ziemi; dla cia la szarego zdolność absorpcyjna A nie jest funkcja ι d lugości absorbowanego promieniowania. Moc wypromieniowana przez Ziemie ι P e = A 4πR 2 ZσT 4 Z, 2) dla cia la szarego zdolność absorpcyjna, A, jest równa jego zdolności emisyjnej ε). Warunek równowagi termodynamicznej ma postać ska ι d T Z = P a = P e, 3) RS 2 T S. 4) Po podstawieniu danych liczbowych: R S = m, = 1, m i T S = 6 K otrzymamy temperature ι powierzchni Ziemi T Z 29 K. 5) Wartość ta jest bliska średniej rzeczywistej temperaturze powierzchni Ziemi. W przypadku gdy Ziemia poch lania promieniowanie selektywnie P a = πrz 2 2πhc 2 λ 5 λ hc S ) moc zaś wypromieniowana przez powierzchnie ι Ziemi P e = 4πRZ 2 2πhc 2 λ 5 λ hc Z Jak poprzednio, warunek równowagi ma postać ska ι d RS ) 2 1 hc S ) 2 RS, 6) ). 7) P a = P e, 8) ) = zuja ι c 9) wzgle ι dem T Z otrzymujemy T Z = hc λk 1 { ) 2 [ 2 hc ln R S S 4 hc Z ). 9) ) ] }. 1) + 1

9 2.3. ĆWICZENIA 29 Podstawienie w miejsce λ d lugości fali λ max odpowiadaja ι cej maksimum funkcji rozk ladu energii Eλ, T) w widmie promieniowania S lońca, pozwala znacznie uprościć wyrażenie 1). Ponieważ ) hc = 4,965) 1, λ max kt S wie ι c jedynke ι w wyrażeniu ) hc S można zaniedbać. Ponieważ również 2/R S ) 2 1, to można także zaniedbać jedynke ι w mianowniku wyrażenia 1) wyste ι puja ι ca ι poza nawiasem kwadratowym. Uproszczone wyrażenie 1) ma postać 4,965 T Z = T S ),29 T S. 11) 2 2 ln + 4,965 R S Podstawiaja ι c T S = 6 K otrzymujemy T Z = 1743 K. Widać, że za lożenie iż Ziemia jest cia lem szarym jest bardziej poprawne. 2.3 Ćwiczenia W bańce opróżnionej z powietrza umieszczono drucik wolframowy o średnicy d =,1 mm. Jakie powinno być nate ι żenie pra ι du elektrycznego p lyna ι cego przez drucik, aby jego temperatura T = 2 K by la sta la? Zak ladamy, że w lókno wypromieniowuje energie ι jak cia lo doskonale czarne i że straty cieplne spowodowane przewodnictwem ciep la można pomina ι ć. Opór w laściwy drutu ρ = 5,5 1 8 Ωm. Odpowiedź: i = πdt 2 dσ 6,4 A. 2 ρ Temperatura cia la doskonale czarnego wynosi t 1 = 127 C. Po podwyższeniu temperatury ca lkowita moc wypromieniowywana przez cia lo wzros la n - krotnie. O ile stopni wzros la przy tym temperatura cia la? Odpowiedź: T = T 1 4 n ) 75,6 K dla n = Sta la s loneczna, to znaczy ilość energii promieniowania s lonecznego, która przechodzi w cia ι gu jednej sekundy przez powierzchnie ι 1 m 2 ustawiona ι prostopadle do kierunku biegu promieni w pobliżu powierzchni Ziemi na

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

FUNKCJE LICZBOWE. x 1 FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do astrofizyki I

Wstęp do astrofizyki I Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski 12 październik 2009 r. Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 1/21 Plan wykładu Promieniowanie ciała doskonale czarnego Związek temperatury

Bardziej szczegółowo

2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias

2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE STAŁEJ STEFANA - BOLTZMANNA

WYZNACZENIE STAŁEJ STEFANA - BOLTZMANNA ĆWICZENIE 32 WYZNACZENIE STAŁEJ STEFANA - BOLTZMANNA Cel ćwiczenia: Wyznaczenie stałej Stefana-Boltzmanna metodami jednakowej temperatury i jednakowej mocy. Zagadnienia: ciało doskonale czarne, zdolność

Bardziej szczegółowo

Wstęp do astrofizyki I

Wstęp do astrofizyki I Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, shortinst Wstęp do astrofizyki I,

Bardziej szczegółowo

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca

Bardziej szczegółowo

Funkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f

Funkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu

Bardziej szczegółowo

ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE

ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE Źródła światła Prawo promieniowania Kirchhoffa Ciało doskonale czarne Promieniowanie ciała doskonale czarnego Prawo promieniowania Plancka Prawo Stefana-Boltzmanna Prawo przesunięć

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania

Matematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki

Bardziej szczegółowo

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu. y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c

Bardziej szczegółowo

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest

Bardziej szczegółowo

Fizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła

Fizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła W- (Jaroszewicz) 19 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne kwantyzacja światła efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy

Bardziej szczegółowo

BADANIE PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

BADANIE PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO ZADANIE 9 BADANIE PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO Wstęp KaŜde ciało o temperaturze wyŝszej niŝ K promieniuje energię w postaci fal elektromagnetycznych. Widmowa zdolność emisyjną ciała o temperaturze

Bardziej szczegółowo

NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

NIEPEWNOŚCI POMIAROWE Krzysztof Sacha Kraków, 2014 r. NIEPEWNOŚCI POMIAROWE Każdy wynik pomiaru jest obarczony pewna. Wynik pomiaru bez informacji o niepewności pomiarowej jest bezwartościowy. 1 Niepewności systematyczne Przypuśćmy,

Bardziej szczegółowo

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA NA PODSTAWIE PRAWA PLANCKA PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

WYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA NA PODSTAWIE PRAWA PLANCKA PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO ĆWICZENIE 107 WYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA NA PODSTAWIE PRAWA PLANCKA PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO Cel ćwiczenia: pomiary zdolności emisyjnej ciała jako funkcji jego temperatury, wyznaczenie stałej

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia

Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia 1 Metoda ι Grama Schmidta zortogonalizować uk lad funkcji {x n } n= a) na odcinku 1; 1 z waga ι ρx) = 1, b) na prostej ; ) z waga ι ρx)

Bardziej szczegółowo

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek . Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;

Bardziej szczegółowo

wymiana energii ciepła

wymiana energii ciepła wymiana energii ciepła Karolina Kurtz-Orecka dr inż., arch. Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Dróg, Mostów i Materiałów Budowlanych 1 rodzaje energii magnetyczna kinetyczna cieplna światło dźwięk

Bardziej szczegółowo

i elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij

i elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij Notatki do wyk ladu IX Rozdzielenie ruchu jader i elektronów w czasteczkach W dowolnym uk ladzie wspó lrzednych (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra a i b)ma postać: Ĥ

Bardziej szczegółowo

= (3x 2)(2x 3). Sta d wnioskujemy, że 6x 3 x 2 20x + 12 = =(x + 2)(3x 2)(2x 3), co kończy zadanie.

= (3x 2)(2x 3). Sta d wnioskujemy, że 6x 3 x 2 20x + 12 = =(x + 2)(3x 2)(2x 3), co kończy zadanie. . Roz lożyć na czynniki 6 0 +. Rozwia zanie. Szukać możemy ca lkowitych lub ogólniej wymiernych pierwiastków tego wielomianu. Jedynymi kandydatami sa u lamki postaci p q przy czym q musi być dzielnikiem

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna widma gwiezdnego

Analiza spektralna widma gwiezdnego Analiza spektralna widma gwiezdnego JG &WJ 13 kwietnia 2007 Wprowadzenie Wprowadzenie- światło- podstawowe źródło informacji Wprowadzenie- światło- podstawowe źródło informacji Wprowadzenie- światło- podstawowe

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, 3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +

Bardziej szczegółowo

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale

Bardziej szczegółowo

Wydajność konwersji energii słonecznej:

Wydajność konwersji energii słonecznej: Wykład II E we Wydajność konwersji energii słonecznej: η = E wy E we η całkowite = η absorpcja η kreacja η dryft/dyf η separ η zbierania E wy Jednostki fotometryczne i energetyczne promieniowania elektromagnetycznego

Bardziej szczegółowo

Klimat na planetach. Szkoła Podstawowa Klasy VII-VIII Gimnazjum Klasa III Doświadczenie konkursowe 2

Klimat na planetach. Szkoła Podstawowa Klasy VII-VIII Gimnazjum Klasa III Doświadczenie konkursowe 2 Szkoła Podstawowa Klasy VII-VIII Gimnazjum Klasa III Doświadczenie konkursowe Rok 019 1. Wstęp teoretyczny Podstawowym źródłem ciepła na powierzchni planet Układu Słonecznego, w tym Ziemi, jest dochodzące

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki kwantowej

Podstawy fizyki kwantowej Podstawy fizyki kwantowej Fizyka kwantowa - co to jest? Światło to fala czy cząstka? promieniowanie termiczne efekt fotoelektryczny efekt Comptona fale materii de Broglie a równanie Schrodingera podstawa

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki kwantowej i budowy materii

Podstawy fizyki kwantowej i budowy materii Podstawy fizyki kwantowej i budowy materii prof. dr hab. Aleksander Filip Żarnecki Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Instytut Fizyki Doświadczalnej Wykład 3 17 października 2016 A.F.Żarnecki

Bardziej szczegółowo

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003. Typeset by AMS-TEX

MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003. Typeset by AMS-TEX MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003 Typeset by AMS-TEX MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) 1 LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPE LNIAJA CA V Bryant, Aspekty kombinatoryki, WNT - Warszawa, 1997

Bardziej szczegółowo

Kondensacja Bosego-Einsteina

Kondensacja Bosego-Einsteina Kondensacja Bosego-Einsteina W opisie kwantowo-mechanicznym stan konkretnego uk ladu fizycznego jest określony poprzez funkcje falowa ψ r, r 2,...), gdzie r i oznaczaja po lożenia poszczególnych cza stek.

Bardziej szczegółowo

ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS

ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS LABORATORIUM - MBS 1. ROZWIĄZYWANIE WIDM kolokwium NMR 25 kwietnia 2016 IR 30 maja 2016 złożone 13 czerwca 2016 wtorek 6.04 13.04 20.04 11.05 18.05 1.06 8.06 coll coll

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe drugiego rze

Równania różniczkowe liniowe drugiego rze Przyk lad 14.1 Omówimy jeszcze jeden przyk lad zagadnienia prowadza cego do równania pierwszego rze. Za lóżmy, że spadochroniarz wyskoczy l z samolotu na wysokości 1500 m i że spada swobodnie aż do wysokości

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1cR. Dane: t = 6 s czas spadania ciała, g = 10 m/s 2 przyspieszenie ziemskie. Szukane: H wysokość, z której rzucono ciało poziomo, Rozwiązanie

Zestaw 1cR. Dane: t = 6 s czas spadania ciała, g = 10 m/s 2 przyspieszenie ziemskie. Szukane: H wysokość, z której rzucono ciało poziomo, Rozwiązanie Zestaw 1cR Zadanie 1 Sterowiec wisi nieruchomo na wysokości H nad punktem A położonym bezpośrednio pod nim na poziomej powierzchni lotniska. Ze sterowca wyrzucono poziomo ciało, nadając mu prędkość początkową

Bardziej szczegółowo

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 1 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 1 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych

Bardziej szczegółowo

Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna

Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna Wprowadzenie. Prawo Stefana Boltzmanna Φ λ nm Rys.1. Prawo Plancka. Pole pod każdą krzywą to całkowity strumień: Φ c = σs T 4

Bardziej szczegółowo

I.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego

I.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego I. Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 CIAŁO DOSKONALE CZARNE (CDCz) CDCz jest to takie iało, którego zdolność absorpyjna a(, T) nie zależy od długośi fali i wynosi 100%.

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Fizyka środowiska Moduł 1. Promieniowanie słoneczne i atmosfera Ziemi Instytut Fizyki PŁ 2018 Fotografia z:

Fizyka środowiska Moduł 1. Promieniowanie słoneczne i atmosfera Ziemi Instytut Fizyki PŁ 2018 Fotografia z: Fizyka środowiska Moduł 1. Promieniowanie słoneczne i atmosfera Ziemi Instytut Fizyki PŁ 018 Fotografia z: http://oze.gep.com.pl/energia-sloneczna/ 1.1. Opis ilości promieniowania Strumień promieniowania

Bardziej szczegółowo

dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba

dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba 1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R

Bardziej szczegółowo

Techniczne podstawy promienników

Techniczne podstawy promienników Techniczne podstawy promienników podczerwieni Technical Information,, 17.02.2009, Seite/Page 1 Podstawy techniczne Rozdz. 1 1 Rozdział 1 Zasady promieniowania podczerwonego - Podstawy fizyczne - Widmo,

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania

Kwantowa natura promieniowania Kwantowa natura promieniowania Promieniowanie ciała doskonale czarnego Ciało doskonale czarne ciało, które absorbuje całe padające na nie promieniowanie bez względu na częstotliwość. Promieniowanie ciała

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B. kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk

Bardziej szczegółowo

Wersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?

Wersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta

Pierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu

Bardziej szczegółowo

LXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA

LXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA ZAWODY III STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie. Dane są jednakowe oporniki i o stałym cieple właściwym oraz oporze zależnym od temperatury T według

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stałej Stefana-Boltzmanna [27B]

Wyznaczanie stałej Stefana-Boltzmanna [27B] yznaczanie stałej Stefana-Boltzmanna [27B] Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 25 lutego 2008 Streszczenie Celem wykonanego doświadczenia było wyznaczenie stałej Stefana-Boltzmanna. 1 stęp teoretyczny

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie

Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie Rozważmy obserwatorów zwiazanych z różnymi inercjalnymi uk ladami odniesienia, S i S. Odpowiednie osie uk ladów S i S sa równoleg le, przy czym uk lad S porusza sie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 375. Badanie zależności mocy promieniowania cieplnego od temperatury. U [V] I [ma] R [ ] R/R 0 T [K] P [W] ln(t) ln(p)

Ćwiczenie 375. Badanie zależności mocy promieniowania cieplnego od temperatury. U [V] I [ma] R [ ] R/R 0 T [K] P [W] ln(t) ln(p) 1 Nazwisko... Data... Wydział... Imię... Dzień tyg.... Godzina... Ćwiczenie 375 Badanie zależności mocy promieniowania cieplnego od temperatury = U [V] I [ma] [] / T [K] P [W] ln(t) ln(p) 1.. 3. 4. 5.

Bardziej szczegółowo

1 + c. : c(1+c) b. b c 1+c. ab, b) a, b > 0 ( 1 a + 1 b

1 + c. : c(1+c) b. b c 1+c. ab, b) a, b > 0 ( 1 a + 1 b 1 Kurs wste ι pny wersja podstawowa Materia ly dla prowadza ι cych przygotowa l Piotr Stachura Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) moga ι być pominie ι te/omówione pobieżnie/zostawione na koniec w zależności

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Kwantowe własności promieniowania

Wykład 7 Kwantowe własności promieniowania Wykład 7 Kwantowe własności promieniowania zdolność absorpcyjna, zdolność emisyjna, prawo Kirchhoffa, prawo Stefana-Boltzmana, prawo Wiena, postulaty Plancka, zjawisko fotoelektryczne, efekt Comptona W7.

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rze

Pochodne wyższych rze Ostatnie zmiany wprowadzono 5 lutego 017, godz 17:45 Podstawowe definicje i twierdzenia W wielu przypadkach dochodzi do obliczania pochodnej funkcji, która sama jest pochodna Przydatne jest to np wtedy,

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki

Bardziej szczegółowo

4. Dzia lanie grupy na zbiorze

4. Dzia lanie grupy na zbiorze 17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa

Bardziej szczegółowo

Kondensat Bosego-Einsteina okiem teoretyka

Kondensat Bosego-Einsteina okiem teoretyka Kondensat Bosego-Einsteina okiem teoretyka Krzysztof Sacha Instytut Fizyki im. M. Smoluchowskiego, Uniwersytet Jagielloński Plan: Kondensacja Bosego-Einsteina. Teoretyczny opis kondensatu. Przyk lady.

Bardziej szczegółowo

Budowa i ewolucja Wszechświata poziom podstawowy

Budowa i ewolucja Wszechświata poziom podstawowy Budowa i ewolucja Wszechświata poziom podstawowy Zadanie 1. (1 pkt) Źródło: CKE 2005 (PP), zad. 2. Zadanie 2. (4 pkt) Źródło: CKE 2005 (PP), zad. 23. Zadanie 3. 2. (1 pkt) (1 pkt) Źródło: CKE 01.2006 (PP),

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

1. Zadania z Algebry I

1. Zadania z Algebry I 1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe

5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe 22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x

Bardziej szczegółowo

Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione

Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione 1 Kurs wste ι pny wersja zaawansowana Materia ly dla prowadza ι cych przygotowa l Piotr Stachura Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione pobieżnie

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"

Ćwiczenie: Ruch harmoniczny i fale Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Udowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k

Udowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy

Bardziej szczegółowo

Dziedziny Euklidesowe

Dziedziny Euklidesowe Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla

Bardziej szczegółowo

LVI OLIMPIADA FIZYCZNA 2006/2007 Zawody II stopnia

LVI OLIMPIADA FIZYCZNA 2006/2007 Zawody II stopnia LVI OLIMPIADA FIZYCZNA 2006/2007 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Energia elektronów w półprzewodniku może przybierać wartości należące do dwóch przedziałów: dolnego (tzw. pasmo walencyjne) i górnego

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie cieplne ciał.

Promieniowanie cieplne ciał. Wypromieniowanie fal elektromagnetycznych przez ciała Promieniowanie cieplne (termiczne) Luminescencja Chemiluminescencja Elektroluminescencja Katodoluminescencja Fotoluminescencja Emitowanie fal elektromagnetycznych

Bardziej szczegółowo

XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne Rozwiąż dowolnie przez siebie wybrane dwa zadania spośród poniższych trzech: Nazwa zadania: ZADANIE T A. Oblicz moment bezwładności jednorodnego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 87. W lasności promieniowania lasera pó lprzewodnikowego

Ćwiczenie 87. W lasności promieniowania lasera pó lprzewodnikowego Ćwiczenie 87. W lasności promieniowania lasera pó lprzewodnikowego Z.Sanok 15 października 2003 1 Cel ćwiczenia Zapoznanie sie z zasada dzia lania laserów. Pomiary podstawowych w lasności promieniowania

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki kwantowej

Podstawy fizyki kwantowej Podstawy fizyki kwantowej Światło to fala czy cząstka? promieniowanie termiczne efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fizyka kwantowa - po co? Jeśli chcemy badać zjawiska, które zachodzą w skali mikro -

Bardziej szczegółowo

cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia

cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia 8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Testy Która kombinacja jednostek odpowiada paskalowi? N/m, N/m s 2, kg/m s 2,N/s, kg m/s 2

Testy Która kombinacja jednostek odpowiada paskalowi? N/m, N/m s 2, kg/m s 2,N/s, kg m/s 2 Testy 3 40. Która kombinacja jednostek odpowiada paskalowi? N/m, N/m s 2, kg/m s 2,N/s, kg m/s 2 41. Balonik o masie 10 g spada ze stałą prędkością w powietrzu. Jaka jest siła wyporu? Jaka jest średnica

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu Ć wiczenia laboratoryjne z fizyki Ćwiczenie Wyznaczanie parametrów ruchu obrotowego bryły sztywnej Kalisz, luty 005 r. Opracował: Ryszard Maciejewski Natura jest

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo