Promieniowanie cia la doskonale czarnego
|
|
- Edward Piątkowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 2 Promieniowanie cia la doskonale czarnego 2.1 Wste ι p 1. Stosunek zdolności emisyjnej dowolnego cia la do jego zdolności absorpcyjnej jest sta ly i równy zdolności emisyjnej cia la doskonale czarnego prawo Kirchhoffa). Eλ, T) Aλ, T) = E Cλ, T) ; 2.1) z definicji cia la doskonale czarnego jego zdolność absorpcyjna A C = Wzór Plancka na rozk lad energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego Eλ, T) = 2πhc2 1 λ 5 hc ), 2.2) gdzie T jest temperatura ι cia la doskonale czarnego, λ - d lugość fali promieniowania, c - pre ι dkość fali elektromagnetycznej w próżni, k - sta la Boltzmanna. 21
2 22 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO Rys. 2-1 Wykres funkcji Eλ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego dla różnych temperatur cia la w zależności od d lugości λ emitowanej fali. 2.2 Zadania Znaleźć ilość energii wypromieniowanej przez S lońce, jaka przechodzi w cia ι gu jednej sekundy przez powierzchnie ι równa ι 1 m 2 ustawiona ι prostopadle do biegu promieni w odleg lości równej średniej odleg lości Ziemi od S lońca. Za lożyć, że powierzchnia S lońca emituje energie ι jak cia lo doskonale czarne. zanie: Za lóżmy, że energia E 11, która ι wypromieniowuje jednostka powierzchni S lońca w cia ι gu jednej sekundy jest jednakowa dla ca lej jego powierzchni. Jeśli przyja ι ć, że S lońce jest kula ι o promieniu R, to w cia ι gu jednej sekundy ca la powierzchnia S lońca emituje w pe lny ka ι t bry lowy energie ι E 1 = 4πR 2 E 11. 1) W jednostkowy ka ι t bry lowy emitowana jest w cia ι gu jednej sekundy energia E Ω1 = E 1 4π = E 11R 2. 2)
3 2.2. ZADANIA 23 Ka ι t bry lowy odpowiadaja ι cy elementowi powierzchni S umieszczonemu prostopadle do biegu promieni w odleg lości od S lońca Ω S = S 2. 3) Ca lkowita energia przechodza ι ca przez te ι powierzchnie ι w cia ι gu jednej sekundy E S = E Ω1 Ω S = E 1 S 4π 2. 4) Na jednostke ι tej powierzchni pada w cia ι gu jednej sekundy ilość energii E 11 = E S S = ) 2 R E 11. 5) Ponieważ za lożyliśmy, że S lońce promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne, wie ι c zwia ι zek mie ι dzy ca lkowita ι ilościa ι energii wypromieniowanej w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni S lońca i jej temperatura ι T otrzymamy ca lkuja ι c wyrażenie na rozk lad energii w widmie cia la doskonale czarnego Eλ, T) wzgle ι dem λ po ca lym zakresie widma E 11 = lub Eλ, T)dλ = 2πhc 2 1 hc ) dλ λ 5 = 2π5 15 k 4 h 3 c 2 T 4 ; 6) E 11 = σt 4, 7) gdzie σ = 5, W/m 2 )K 4 jest sta la ι Stefana. Korzystaja ι c z 5) i 7) - prawo Stefana-Boltzmanna) mamy E 11 = σ ) 2 R T 4. 8) Podstawiaja ι c dane liczbowe R = 6, m i = 1, m) otrzymujemy przyjmuja ι c T = 576 K E 11 = 1374 W/m 2. 9) Wyliczona wielkość nosi nazwe ι sta lej s lonecznej, S Obliczyć o ile zmienia sie ι w cia ι gu jednej sekundy masa S lońca w wyniku emisji promieniowania. Za lożyć, że S lońce promieniuje jak cia lo doskonale czarne. zanie: Powierzchnia S lońca w cia ι gu jednej sekundy wysy la energie ι E 1 = 4πr 2 E 11, 1)
4 24 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO gdzie r jest promieniem S lońca, E 11 zaś ilościa ι energii emitowanej przez 1 m 2 powierzchni S lońca w cia ι gu jednej sekundy, przy czym E 11 = σt 4. 2) W wyrażeniu 2) T oznacza temperature ι powierzchni S lońca, σ zaś jest sta la ι równa ι 5, W/m) 2 )K 4. Po podstawieniu 2) do 1) otrzymujemy E 1 = 4πr 2 σt 4. 3) Korzystaja ι c ze zwia ι zku: E = mc 2 mamy Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy m 1 = E 1 c 2 = 4πσ c 2 r2 T 4. 4) m 1 = 4,5 1 9 kg/s, co w porównaniu z masa ι S lońca, która jest równa kg, jest wartościa ι bardzo ma la ι Kulke ι o promieniu R zawieszono na nici be ι da ι cej z lym przewodnikiem ciep la. Ca lość umieszczono w naczyniu, z którego odpompowano powietrze. Kulka promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne nie poch laniaja ι c przy tym żadnej energii. Po jakim czasie temperatura kulki obniży sie ι od temperatury pocza ι tkowej T 1 do temperatury T 2? Ge ι stość materia lu, z którego wykonana jest kulka wynosi ρ. zanie: Ca lkowita ilość energii wypromieniowanej w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni cia la doskonale czarnego o temperaturze T jest równa wzór 7) z zadania 2.2.1) E 11 = σt 4. 1) W cia ι gu jednej sekundy ca la powierzchnia kulki wypromieniowuje energie ι E 1 = 4πR 2 σt 4. 2) W cia ι gu czasu dt temperatura kulki obniży sie ι o wartość dt, przy czym kulka straci energie ι E 1 dt = mc k dt, 3) gdzie m jest masa ι kulki, c k - ciep lo w laściwe materia lu kulki. Z 2) i 3) mamy dt = mc k dt 4πR 2 σ T 4, 4) a zatem t = mc T2 k dt 4πR 2 σ T 1 T 4 = mc k 1 12πR 2 σ T2 3 ) T1 3. 5)
5 2.2. ZADANIA 25 Ale m = 4 3 πρr3, 6) wie ι c t = c kρr 9σ 1 T 3 2 ) [ T1 3 = ρc kr 9σT2 3 1 T2 T 1 ) 3 ]. 7) Dla T 1 T 2 wyrażenie 7) można uprościć i otrzymujemy t = ρc kr 9σ 1 T ) Dla kulki żelaznej ρ = 7,9 1 3 kg/m 3, c k = 4,6 1 2 J/kg K)) o promieniu R =,1 m, dla temperatur T 1 = 15 K i T 2 = 3 K otrzymujemy czas ostygania t = 7,3 godz. Jeśli powierzchnia kulki jest szara zdolność absorpcyjna A nie jest funkcja ι d lugości fali absorbowanego promieniowania: zdolność emisyjna ǫ jest równa zdolności absorpcyjnej A) to t = ρc kr 9ǫσT 3 2 [ 1 T2 T 1 ) 3 ]. 9) Średnia temperatura cia la ludzkiego wynosi 31 K. Określić d lugość fali promieniowania λ max wysy lanego przez cz lowieka, odpowiadaja ι ca ι maksimum funkcji rozk ladu emitowanej przez niego energii. Przyja ι ć, że cia lo ludzkie promieniuje jak cia lo doskonale czarne. Rys. 2-2 Zależność funkcji Eλ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego, λ max jest wartościa ι d lugości fali, przy której funkcja Eλ, T ) osia ι ga maksimum.
6 26 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO zanie: Zależność mie ι dzy λ max i T znajdujemy z równania gdzie deλ, T) dλ Eλ, T) = 2πhc2 1 λ 5 hc =, 1) ) jest wzorem Plancka daja ι cym rozk lad energii w widmie cia la doskonale czarnego. Podstawiaja ι c 2) do 1) i wykonuja ι c różniczkowanie otrzymujemy równanie ) hc hc 5 ) + hc λ 6 kt λ 7 [ hc Po podstawieniu do 3) zmiennej pomocniczej i uporza ι dkowaniu równania otrzymamy ) 2) ] 2 =. 3) hc = x 4) xe x e x = 5. 5) Równanie przeste ι pne 5) można rozwia ι zać na przyk lad metoda ι graficzna ι przyk lad rozwia ι zania równania przeste ι pnego w zadaniu 6.2.7)), ska ι d otrzymuje sie ι wartość x max = 4,965, a wie ι c λ max = hc 4,965 kt 2,9 mm K ; prawowiena). 6) T Podstawiaja ι c T = 31 K dostajemy d lugość fali λ max = 9,5 1 6 m leża ι ca ι w bliskiej podczerwieni Ca lkowita ilość energii promieniowania o d lugościach fali zawartych w przedziale λ, ) emitowanego w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni cia la promieniuja ι cego energie ι jak cia lo doskonale czarne, wynosi P. Znaleźć temperature ι tego cia la wiedza ι c, że λ jest znacznie wie ι ksze od d lugości fali λ max odpowiadaja ι cej maksimum funkcji rozk ladu energii Eλ, T) w widmie cia la doskonale czarnego. zanie: Ze wzoru Plancka na zdolność emisyjna ι cia la doskonale czarnego mamy εν, T) = 2πh ν 3 c 2 hν kt ), ν = c λ. 1)
7 2.2. ZADANIA 27 Ca lkowita moc promieniowania o cze ι stościach z przedzia lu,ν ), odpowiadaja ι cego przedzia lowi λ, ), wysy lanego przez jednostke ι powierzchni cia la doskonale czarnego = 2πh c 2 P = ν ν εν, T)dν = 2) ν 3 hν kt ) dν. 3) Dla λ λ max co odpowiada niskim cze ι stościom, takim że hν kt) możemy rozwina ι ć w szereg funkcje ι wyste ι puja ι ca ι w mianowniku wyrażenia podca lkowego. Dostajemy wówczas ) hν 1 + hν kt kt hν kt. 4) Podstawiaja ι c 4) do 3) otrzymamy a zatem P = 2πh c 2 ν kt h ν2 dν = 2 3 πkt c 2 ν3 = 2 3 πckt λ 3, 5) T = 3 λ 3 P 2π ck. 6) Zak ladaja ι c, że mierzymy emitowana ι energie ι w przedziale d lugości fali powyżej λ = m i że P =,313 W/m 2, otrzymujemy temperature ι źród la T = 289 K λ max dla cia la o tej temperaturze be ι dzie równe 1 6 m, to znaczy, że relacja λ λ max warunkuja ι ca s luszność stosowania wzoru 6) nie jest spe lniona i znaleziona ι wartość temperatury należy traktować jako orientacyjna ι, co w przypadku tak wysokich temperatur może być wystarczaja ι ce) Określić temperature ι powierzchni Ziemi zak ladaja ι c, że S lońce promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne o temperaturze T S i że temperatura Ziemi jest jednakowa na ca lej powierzchni. Rozpatrzyć dwa przypadki: 1. Ziemia jest cia lem szarym. 2. Ziemia poch lania tylko promieniowanie o cze ι stościach z wa ι skiego przedzia lu cze ι stości. zanie: Moc promieniowania S lońca poch laniana przez Ziemie ι jest równa zad ) ) 2 P a = AπRZσ 2 RS TS 4, 1)
8 28 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO gdzie jest średnia ι odleg lościa ι Ziemi od S lońca, R S jest promieniem S lońca, a R Z - promieniem Ziemi; dla cia la szarego zdolność absorpcyjna A nie jest funkcja ι d lugości absorbowanego promieniowania. Moc wypromieniowana przez Ziemie ι P e = A 4πR 2 ZσT 4 Z, 2) dla cia la szarego zdolność absorpcyjna, A, jest równa jego zdolności emisyjnej ε). Warunek równowagi termodynamicznej ma postać ska ι d T Z = P a = P e, 3) RS 2 T S. 4) Po podstawieniu danych liczbowych: R S = m, = 1, m i T S = 6 K otrzymamy temperature ι powierzchni Ziemi T Z 29 K. 5) Wartość ta jest bliska średniej rzeczywistej temperaturze powierzchni Ziemi. W przypadku gdy Ziemia poch lania promieniowanie selektywnie P a = πrz 2 2πhc 2 λ 5 λ hc S ) moc zaś wypromieniowana przez powierzchnie ι Ziemi P e = 4πRZ 2 2πhc 2 λ 5 λ hc Z Jak poprzednio, warunek równowagi ma postać ska ι d RS ) 2 1 hc S ) 2 RS, 6) ). 7) P a = P e, 8) ) = zuja ι c 9) wzgle ι dem T Z otrzymujemy T Z = hc λk 1 { ) 2 [ 2 hc ln R S S 4 hc Z ). 9) ) ] }. 1) + 1
9 2.3. ĆWICZENIA 29 Podstawienie w miejsce λ d lugości fali λ max odpowiadaja ι cej maksimum funkcji rozk ladu energii Eλ, T) w widmie promieniowania S lońca, pozwala znacznie uprościć wyrażenie 1). Ponieważ ) hc = 4,965) 1, λ max kt S wie ι c jedynke ι w wyrażeniu ) hc S można zaniedbać. Ponieważ również 2/R S ) 2 1, to można także zaniedbać jedynke ι w mianowniku wyrażenia 1) wyste ι puja ι ca ι poza nawiasem kwadratowym. Uproszczone wyrażenie 1) ma postać 4,965 T Z = T S ),29 T S. 11) 2 2 ln + 4,965 R S Podstawiaja ι c T S = 6 K otrzymujemy T Z = 1743 K. Widać, że za lożenie iż Ziemia jest cia lem szarym jest bardziej poprawne. 2.3 Ćwiczenia W bańce opróżnionej z powietrza umieszczono drucik wolframowy o średnicy d =,1 mm. Jakie powinno być nate ι żenie pra ι du elektrycznego p lyna ι cego przez drucik, aby jego temperatura T = 2 K by la sta la? Zak ladamy, że w lókno wypromieniowuje energie ι jak cia lo doskonale czarne i że straty cieplne spowodowane przewodnictwem ciep la można pomina ι ć. Opór w laściwy drutu ρ = 5,5 1 8 Ωm. Odpowiedź: i = πdt 2 dσ 6,4 A. 2 ρ Temperatura cia la doskonale czarnego wynosi t 1 = 127 C. Po podwyższeniu temperatury ca lkowita moc wypromieniowywana przez cia lo wzros la n - krotnie. O ile stopni wzros la przy tym temperatura cia la? Odpowiedź: T = T 1 4 n ) 75,6 K dla n = Sta la s loneczna, to znaczy ilość energii promieniowania s lonecznego, która przechodzi w cia ι gu jednej sekundy przez powierzchnie ι 1 m 2 ustawiona ι prostopadle do kierunku biegu promieni w pobliżu powierzchni Ziemi na
FUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski 12 październik 2009 r. Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 1/21 Plan wykładu Promieniowanie ciała doskonale czarnego Związek temperatury
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE STAŁEJ STEFANA - BOLTZMANNA
ĆWICZENIE 32 WYZNACZENIE STAŁEJ STEFANA - BOLTZMANNA Cel ćwiczenia: Wyznaczenie stałej Stefana-Boltzmanna metodami jednakowej temperatury i jednakowej mocy. Zagadnienia: ciało doskonale czarne, zdolność
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, shortinst Wstęp do astrofizyki I,
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoFunkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu
Bardziej szczegółowoZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE
ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE Źródła światła Prawo promieniowania Kirchhoffa Ciało doskonale czarne Promieniowanie ciała doskonale czarnego Prawo promieniowania Plancka Prawo Stefana-Boltzmanna Prawo przesunięć
Bardziej szczegółowoMatematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoFizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła
W- (Jaroszewicz) 19 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne kwantyzacja światła efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy
Bardziej szczegółowoBADANIE PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO
ZADANIE 9 BADANIE PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO Wstęp KaŜde ciało o temperaturze wyŝszej niŝ K promieniuje energię w postaci fal elektromagnetycznych. Widmowa zdolność emisyjną ciała o temperaturze
Bardziej szczegółowoNIEPEWNOŚCI POMIAROWE
Krzysztof Sacha Kraków, 2014 r. NIEPEWNOŚCI POMIAROWE Każdy wynik pomiaru jest obarczony pewna. Wynik pomiaru bez informacji o niepewności pomiarowej jest bezwartościowy. 1 Niepewności systematyczne Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA NA PODSTAWIE PRAWA PLANCKA PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO
ĆWICZENIE 107 WYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA NA PODSTAWIE PRAWA PLANCKA PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO Cel ćwiczenia: pomiary zdolności emisyjnej ciała jako funkcji jego temperatury, wyznaczenie stałej
Bardziej szczegółowoZastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia
Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia 1 Metoda ι Grama Schmidta zortogonalizować uk lad funkcji {x n } n= a) na odcinku 1; 1 z waga ι ρx) = 1, b) na prostej ; ) z waga ι ρx)
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoI. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowowymiana energii ciepła
wymiana energii ciepła Karolina Kurtz-Orecka dr inż., arch. Wydział Budownictwa i Architektury Katedra Dróg, Mostów i Materiałów Budowlanych 1 rodzaje energii magnetyczna kinetyczna cieplna światło dźwięk
Bardziej szczegółowoi elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij
Notatki do wyk ladu IX Rozdzielenie ruchu jader i elektronów w czasteczkach W dowolnym uk ladzie wspó lrzednych (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra a i b)ma postać: Ĥ
Bardziej szczegółowo= (3x 2)(2x 3). Sta d wnioskujemy, że 6x 3 x 2 20x + 12 = =(x + 2)(3x 2)(2x 3), co kończy zadanie.
. Roz lożyć na czynniki 6 0 +. Rozwia zanie. Szukać możemy ca lkowitych lub ogólniej wymiernych pierwiastków tego wielomianu. Jedynymi kandydatami sa u lamki postaci p q przy czym q musi być dzielnikiem
Bardziej szczegółowoAnaliza spektralna widma gwiezdnego
Analiza spektralna widma gwiezdnego JG &WJ 13 kwietnia 2007 Wprowadzenie Wprowadzenie- światło- podstawowe źródło informacji Wprowadzenie- światło- podstawowe źródło informacji Wprowadzenie- światło- podstawowe
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoKwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.
Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale
Bardziej szczegółowoWydajność konwersji energii słonecznej:
Wykład II E we Wydajność konwersji energii słonecznej: η = E wy E we η całkowite = η absorpcja η kreacja η dryft/dyf η separ η zbierania E wy Jednostki fotometryczne i energetyczne promieniowania elektromagnetycznego
Bardziej szczegółowoKlimat na planetach. Szkoła Podstawowa Klasy VII-VIII Gimnazjum Klasa III Doświadczenie konkursowe 2
Szkoła Podstawowa Klasy VII-VIII Gimnazjum Klasa III Doświadczenie konkursowe Rok 019 1. Wstęp teoretyczny Podstawowym źródłem ciepła na powierzchni planet Układu Słonecznego, w tym Ziemi, jest dochodzące
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki kwantowej
Podstawy fizyki kwantowej Fizyka kwantowa - co to jest? Światło to fala czy cząstka? promieniowanie termiczne efekt fotoelektryczny efekt Comptona fale materii de Broglie a równanie Schrodingera podstawa
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki kwantowej i budowy materii
Podstawy fizyki kwantowej i budowy materii prof. dr hab. Aleksander Filip Żarnecki Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Instytut Fizyki Doświadczalnej Wykład 3 17 października 2016 A.F.Żarnecki
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003. Typeset by AMS-TEX
MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003 Typeset by AMS-TEX MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) 1 LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPE LNIAJA CA V Bryant, Aspekty kombinatoryki, WNT - Warszawa, 1997
Bardziej szczegółowoKondensacja Bosego-Einsteina
Kondensacja Bosego-Einsteina W opisie kwantowo-mechanicznym stan konkretnego uk ladu fizycznego jest określony poprzez funkcje falowa ψ r, r 2,...), gdzie r i oznaczaja po lożenia poszczególnych cza stek.
Bardziej szczegółowoZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS
ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS LABORATORIUM - MBS 1. ROZWIĄZYWANIE WIDM kolokwium NMR 25 kwietnia 2016 IR 30 maja 2016 złożone 13 czerwca 2016 wtorek 6.04 13.04 20.04 11.05 18.05 1.06 8.06 coll coll
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe drugiego rze
Przyk lad 14.1 Omówimy jeszcze jeden przyk lad zagadnienia prowadza cego do równania pierwszego rze. Za lóżmy, że spadochroniarz wyskoczy l z samolotu na wysokości 1500 m i że spada swobodnie aż do wysokości
Bardziej szczegółowoZestaw 1cR. Dane: t = 6 s czas spadania ciała, g = 10 m/s 2 przyspieszenie ziemskie. Szukane: H wysokość, z której rzucono ciało poziomo, Rozwiązanie
Zestaw 1cR Zadanie 1 Sterowiec wisi nieruchomo na wysokości H nad punktem A położonym bezpośrednio pod nim na poziomej powierzchni lotniska. Ze sterowca wyrzucono poziomo ciało, nadając mu prędkość początkową
Bardziej szczegółowoPoczątek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy
Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 1 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 1 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoSprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna
Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna Wprowadzenie. Prawo Stefana Boltzmanna Φ λ nm Rys.1. Prawo Plancka. Pole pod każdą krzywą to całkowity strumień: Φ c = σs T 4
Bardziej szczegółowoI.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego
I. Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 CIAŁO DOSKONALE CZARNE (CDCz) CDCz jest to takie iało, którego zdolność absorpyjna a(, T) nie zależy od długośi fali i wynosi 100%.
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoFizyka środowiska Moduł 1. Promieniowanie słoneczne i atmosfera Ziemi Instytut Fizyki PŁ 2018 Fotografia z:
Fizyka środowiska Moduł 1. Promieniowanie słoneczne i atmosfera Ziemi Instytut Fizyki PŁ 018 Fotografia z: http://oze.gep.com.pl/energia-sloneczna/ 1.1. Opis ilości promieniowania Strumień promieniowania
Bardziej szczegółowodkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba
1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R
Bardziej szczegółowoTechniczne podstawy promienników
Techniczne podstawy promienników podczerwieni Technical Information,, 17.02.2009, Seite/Page 1 Podstawy techniczne Rozdz. 1 1 Rozdział 1 Zasady promieniowania podczerwonego - Podstawy fizyczne - Widmo,
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania
Kwantowa natura promieniowania Promieniowanie ciała doskonale czarnego Ciało doskonale czarne ciało, które absorbuje całe padające na nie promieniowanie bez względu na częstotliwość. Promieniowanie ciała
Bardziej szczegółowoZadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.
kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoLXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
ZAWODY III STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie. Dane są jednakowe oporniki i o stałym cieple właściwym oraz oporze zależnym od temperatury T według
Bardziej szczegółowoWyznaczanie stałej Stefana-Boltzmanna [27B]
yznaczanie stałej Stefana-Boltzmanna [27B] Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 25 lutego 2008 Streszczenie Celem wykonanego doświadczenia było wyznaczenie stałej Stefana-Boltzmanna. 1 stęp teoretyczny
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoTransformacja Lorentza - Wyprowadzenie
Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie Rozważmy obserwatorów zwiazanych z różnymi inercjalnymi uk ladami odniesienia, S i S. Odpowiednie osie uk ladów S i S sa równoleg le, przy czym uk lad S porusza sie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 375. Badanie zależności mocy promieniowania cieplnego od temperatury. U [V] I [ma] R [ ] R/R 0 T [K] P [W] ln(t) ln(p)
1 Nazwisko... Data... Wydział... Imię... Dzień tyg.... Godzina... Ćwiczenie 375 Badanie zależności mocy promieniowania cieplnego od temperatury = U [V] I [ma] [] / T [K] P [W] ln(t) ln(p) 1.. 3. 4. 5.
Bardziej szczegółowo1 + c. : c(1+c) b. b c 1+c. ab, b) a, b > 0 ( 1 a + 1 b
1 Kurs wste ι pny wersja podstawowa Materia ly dla prowadza ι cych przygotowa l Piotr Stachura Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) moga ι być pominie ι te/omówione pobieżnie/zostawione na koniec w zależności
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoWykład 7 Kwantowe własności promieniowania
Wykład 7 Kwantowe własności promieniowania zdolność absorpcyjna, zdolność emisyjna, prawo Kirchhoffa, prawo Stefana-Boltzmana, prawo Wiena, postulaty Plancka, zjawisko fotoelektryczne, efekt Comptona W7.
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rze
Ostatnie zmiany wprowadzono 5 lutego 017, godz 17:45 Podstawowe definicje i twierdzenia W wielu przypadkach dochodzi do obliczania pochodnej funkcji, która sama jest pochodna Przydatne jest to np wtedy,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoKondensat Bosego-Einsteina okiem teoretyka
Kondensat Bosego-Einsteina okiem teoretyka Krzysztof Sacha Instytut Fizyki im. M. Smoluchowskiego, Uniwersytet Jagielloński Plan: Kondensacja Bosego-Einsteina. Teoretyczny opis kondensatu. Przyk lady.
Bardziej szczegółowoBudowa i ewolucja Wszechświata poziom podstawowy
Budowa i ewolucja Wszechświata poziom podstawowy Zadanie 1. (1 pkt) Źródło: CKE 2005 (PP), zad. 2. Zadanie 2. (4 pkt) Źródło: CKE 2005 (PP), zad. 23. Zadanie 3. 2. (1 pkt) (1 pkt) Źródło: CKE 01.2006 (PP),
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoP 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6
XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem
Bardziej szczegółowo13 Zastosowania Lematu Szemerédiego
13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowoUwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione
1 Kurs wste ι pny wersja zaawansowana Materia ly dla prowadza ι cych przygotowa l Piotr Stachura Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione pobieżnie
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowo14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY
14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoLVI OLIMPIADA FIZYCZNA 2006/2007 Zawody II stopnia
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA 2006/2007 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Energia elektronów w półprzewodniku może przybierać wartości należące do dwóch przedziałów: dolnego (tzw. pasmo walencyjne) i górnego
Bardziej szczegółowoPromieniowanie cieplne ciał.
Wypromieniowanie fal elektromagnetycznych przez ciała Promieniowanie cieplne (termiczne) Luminescencja Chemiluminescencja Elektroluminescencja Katodoluminescencja Fotoluminescencja Emitowanie fal elektromagnetycznych
Bardziej szczegółowoXXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne Rozwiąż dowolnie przez siebie wybrane dwa zadania spośród poniższych trzech: Nazwa zadania: ZADANIE T A. Oblicz moment bezwładności jednorodnego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 87. W lasności promieniowania lasera pó lprzewodnikowego
Ćwiczenie 87. W lasności promieniowania lasera pó lprzewodnikowego Z.Sanok 15 października 2003 1 Cel ćwiczenia Zapoznanie sie z zasada dzia lania laserów. Pomiary podstawowych w lasności promieniowania
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki kwantowej
Podstawy fizyki kwantowej Światło to fala czy cząstka? promieniowanie termiczne efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fizyka kwantowa - po co? Jeśli chcemy badać zjawiska, które zachodzą w skali mikro -
Bardziej szczegółowocie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia
8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoTesty Która kombinacja jednostek odpowiada paskalowi? N/m, N/m s 2, kg/m s 2,N/s, kg m/s 2
Testy 3 40. Która kombinacja jednostek odpowiada paskalowi? N/m, N/m s 2, kg/m s 2,N/s, kg m/s 2 41. Balonik o masie 10 g spada ze stałą prędkością w powietrzu. Jaka jest siła wyporu? Jaka jest średnica
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoPaństwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu Ć wiczenia laboratoryjne z fizyki Ćwiczenie Wyznaczanie parametrów ruchu obrotowego bryły sztywnej Kalisz, luty 005 r. Opracował: Ryszard Maciejewski Natura jest
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowo