Politechika Wrocªawska Istytut Matematyki i Iformatyki Statystyka w liceum Paweª Sztoyk Waªbrzych, 5 listopada 2014
1 Aaliza daych liczbowych 1.1 Histogram czyli prezetacja gracza Histogramem azywamy jede z graczych sposobów przedstawiaia rozkªadu empiryczego cechy. Skªada si z szeregu prostok tów umieszczoych a osi wspóªrz dych. Prostok ty te s z jedej stroy wyzaczoe przez przedziaªy klasowe warto±ci cechy, atomiast ich wysoko± jest okre±loa przez liczebo±ci (lub cz sto±ci) elemetów wpadaj cych do okre±loego przedziaªu klasowego. Ilo± przedziaªów klasowych mo»a ustali a ró»e sposoby. Jedym z mo»liwych wyborów jest p. k gdzie jest ilo±ci otrzymaych wyików w próbie. Po ustaleiu ilo±ci przedziaªów k dzielimy przedziaª D = max x i mi x i a k rówych cz ±ci o dªugo±ci oczywi±cie D. Rysujemy prostok ty o wysko±ci proporcjoalej do i gdzie k i jest ilo±ci obserwacji wpadaj cych do i-tego przedziaªu. Zadaia 1. Wykoa histrogramy dla daych zebraych a lekcji (wzrost, waga, urodziy, rodze«stwo). 1.2 redie Defiicja 1 redi arytmetycz liczb x 1, x 2,..., x azywamy liczb x = x 1 + x 2 +... + x = 1 x k k=1 Defiicja 2 redi wa»o arytmetycz liczb x 1, x 2,..., x z wagami w 1, w 2,..., w azywamy liczb x w = w 1x 1 + w 2 x 2 +... + w x w 1 + w 2 +... + w. Defiicja 3 redi geometrycz ieujemych liczb x 1, x 2,..., x azywamy liczb x g = x 1 x 2... x. Twierdzeie 1 Dla dowolych ieujemych liczb x 1, x 2,..., x mamy x 1 + x 2 +... + x x 1 x 2... x, przy czym rówo± zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x 1 = x 2 =... = x. Zadaia 1. Obliczy ±redi wag wszystkich osób w klasie a podstawie daych zebraych a lekcji. 2. W pierwszej rmie 4 pracowików zarabia 2000 zª. miesi czie ka»dy, a jej prezes 10000 zª. miesi czie. W drugiej rmie 4 pracowików zarabia 3250 zª. ka»dy, a ich prezes 5000 zª. Obliczy ±redie zarobki w obu rmach. Co mo»a o ich powiedzie? 3. Wkªad piei»y oprocetoway byª w pierwszym roku oprocetowaiem 5%, w drugim 4% i w trzecim 3%. Jakie staªe oprocetowaie daªoby w tym czasie te sam zysk?
4. Udowodij ierówo± mi dzy ±redimi w przypadku = 2, tz. udowodij,»e x 1 + x 2 2 dla dowolych ieujemych liczb x 1, x 2. x 1 x 2, 1.3 Wariacja, odchyleie stadardowe, mediaa Defiicja 4 Wariacj z próby x 1, x 2,..., x azywamy liczb s 2 = (x 1 x) 2 + (x 2 x) 2 +... + (x x) 2 = 1 (x k x) 2 k=1 Mo»a sprawdzi,»e zachodzi wªaso± s 2 = 1 x 2 k (x) 2, k=1 a poiewa» s 2 > 0, to wyika st d,»e ±redia kwadratów jest wi ksza iz kwadrat ±rediej. Odchyleiem stadardowym azywamy liczb s = s 2. Defiicja 5 Media uporz dkowaego ros co ci gu liczb x 1 x 2... x azywamy m e = x +x 2 2 +1 dla parzystego, 2 m e = x +1 dla ieparzystego. 2 Iymi sªowy, mediaa dla parzystego jest ±redi arytmetycz dwóch ±rodkowych wyrazów ci gu, a dla ieparzystego jest ±rodkowym wyrazem ci gu. Zadaia 1. Zajd¹ ±redi, wariacj, odchyleie stadardowe i media dla ast puj cych zestawów liczb (a) 2, 5, 1, 1, 8, 2, 3, 2, 12 (b) 25, 32, 33, 25, 21, 31 (c) 30, 40, 10, 10, 20, 10, 30, 20, 40, 20, 30 (d) 140, 100, 145, 121 2. Ucze«uzyskaª ocey 5, 3, 6, x, 3. redia arytmetycza tych oce jest rówa 4. Zajd¹ x i wyzacz media tych oce. 3. Zbada osiagi cia wybraego przez siebie sportowca - ilo± zdobytych goli /rzucoych koszy/ zdobytych puktów a podstawie przyajmiej 50 jego ostatich meczów (korzystaj c p. z portalu worldfootball albo stats.ba, itp.). Narysowa histogram, obliczy ±redi, wariacj i odchyleie stadardowe. Mo»a te» porówa z iym zawodikiem.
2 Rachuek prawdopodobie«stwa 2.1 Deicja prawdopodobie«stwa Rozwa»amy sko«czoy zbiór Ω, który bedziemy azywa dalej przestrzei probabilistycz, jego podzbiory zdarzeiami, a podzbiory zªo»oe z jedego elemetu zdarzeiami elemetarymi. Na tym zbiorze okre±lamy prawdopodobie«stwo w ast puj cy sposób. Defiicja 6 Fukcj P okre±lo a wszystkich podzbiorach sko«czoego zbioru Ω azywamy prawdopodobie«stwem gdy: 1. 0 P (A) 1, dla ka»dego A Ω, 2. P (Ω) = 1, P ( ) = 0, 3. P (A B) = P (A) + P (B), dla wszystkich A, B Ω takich,»e A B =. Rówowa»ie, mo»a powiedzie,»e P jest prawdopodobie«stwem a zbiorze sko«- czoym Ω, gdy dla ka»dego zdarzeia elemetarego ω i Ω mamy okre±lo liczb p i = P ({ω i }) dla i = 1, 2,..., N oraz p 1 + p 2 +... + p N = 1. 1. Ω = {O, R} oraz P ({O}) = P ({R}) = 1 2. 2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) =... = P ({6}) = 1 6. 3. Ω = {(O, R), (R, O), (O, O), (R, R)} oraz P ({(O, O)}) = P ({(O, R)}) = P ({(O, O)}) = P ({(R, R)}) = 1 4. 4. Ω = {{k 1, k 2,..., k 6 } : k i {1, 2,..., 49} dla i = 1, 2,..., 6} oraz P ({ω}) = 1 N dla ka»dego ω Ω gdzie N = Ω ozacza ilo± elemetów w zbiorze Ω. 5. Ω = {O, R} oraz P ({O}) = 1 4, P ({R}) = 3 4. W przykªadach 1-4 widzimy,»e wszystkie zdarzeia elemetare s jedakowo prawdopodobe. Mówimy wtedy,»e P jest prawdopodobie«stwem klasyczym. Zadaia 1. Obliczy prawdopodobie«stwo otrzymaia 3 orªów w 5 rzutach symetrycz moet. 2. Obliczy prawdopodobie«stwo otrzmaia przyajmiej jedej reszki w trzech rzutach symetrycz moet. 3. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e w 3 rzutach sze±cie kostk do gry otrzymamy dwie szóstki. 4. Niech Ω = {1, 2,..., 5} i iech P ({i}) = p/i dla i = 1, 2,..., 5. Dla jakiej warto±ci parametru p fukcja P jest prawdopodobie«stwem? 5. Niech Ω = {1, 2,..., 10} i iech P ({i}) = i p dla i = 1, 2,..., 10. Dla jakiej warto±ci parametru p fukcja P jest prawdopodobie«stwem?
2.2 Zmiee losowe Defiicja 7 Zmie losow azywamy fukcj okre±lo a przestrzei probabilistyczej Ω o warto±ciach w zbiorze liczb rzeczywistych. Ozaczamy j ajcz ±ciej X, Y,... 1. Ω = {O, R}, X(O) = 1, X(R) = 0. 2. Ω = {wyiki dwóch rzutów kostk }, X = suma wyrzucoych oczek. 3. Ω = {wyiki 10 rzutów moet }, X = ilo± orªów. Defiicja 8 Rozkªadem zmieej losowej X azywamy prawdopodobie«stwo okre±loe a zbiorze warto±ci zmieej X. 1. Ω = {O, R}, X(O) = 1, X(R) = 0, P (X = 1) = 1 2, P (X = 0) = 1 2. Zadaia 1. Wyzacz rozkªad zmieej okre±loej w przykªadzie 2 (suma oczek w dwóch rzutach kostk ). 2.3 Warto± oczekiwaa, wariacja Defiicja 9 Warto±ci oczekiwa zmieej losowej X o rozkªadzie daym przez p x = P (X = x) azywamy liczb EX = x p x = xp (X = x). Defiicja 10 Wariacj zmieej losowej X o rozkªadzie daym przez p x = P (X = x) azywamy liczb Twierdzeie 2 D 2 X = (x EX) 2 p x = (x EX) 2 P (X = x). E(X + Y ) = EX + EY. D 2 X = EX 2 (EX) 2. Defiicja 11 Mówimy,»e zmiee losowe X, Y s iezale»e gdy dla wszystkich x, y R. P ({X = x} {Y = y}) = P (X = x) P (Y = y), Twierdzeie 3 Je»eli zmiee losowe X, Y s iezale»e, to E(XY ) = EX EY oraz D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y. 1. Zamierzasz rzuca moet tak dªugo, a» wyrzucisz reszk, ale ie wi cej i» 6 razy. Liczba wykoaych rzutów jest zmie losow. Okre±l jej rozkªad i zajd¹ warto± oczekiwa oraz wariacj. Zadaia 1. Oblicz warto± oczekiwa i wariacj dla sumy oczek w dwóch rzutach kostk do gry. 2. Oblicz warto± oczekiwa i wariacj dla ilo±ci orªów w 4 rzutach moet.
2.4 Prawo Wielkich Liczb Twierdzeie 4 Je»eli zmiee losowe X 1, X 2, X 3... s (parami) iezale»e i maj jedakowy rozkªad oraz EX k = m, to P ( lim 1 ) X k = m = 1. k=1 1. W urie zajduje si 5 kul biaªych i jeda czara. Z tej ury gracz losuje jedocze±ie dwie kule. Za ka»d wylosowa kule biaª bakier wypªaca mu 1zª., za czar za± 10zª. Zajd¹ rozkªad wygraej tego gracza. Przy jakiej opªacie za udziaª w grze bakier mo»e liczy a zyski? Jakich zysków b dzie si mógª spodziewa po 300 grach? 2. Artek i Bartek b d rzuca rówocze±ie kostk. Je±li a obu kostkach wypadie jedakowa liczba oczek, to Artek daje Bartkowi 5zª. Ile powiie dostawa Artek od Bartka w przypadku wyrzuceia ró»ych liczb oczek a tych kostkach, aby gra byªa sprawiedliwa? 3. Po opªacie za wst p do gry otrzymujesz 3 zªotówki, którymi b dziesz ast pie rzucaª. Moety, a których wypadie reszka, sta si Twoj wªaso±ci. Przy jakiej opªacie taka hazardowa gra losowa jest sprawiedliwa? 2.5 Symbol Newtoa i rozkªad dwumiaowy Defiicja 12 Symbolem Newtoa azywamy wyra»eie ( ) = k! ( k)!k!, okre±loe dla liczb caªkowitych ieujemych i k takich,»e k. Liczba ( ) k jest ilo±ci tzw. kombiacji k-elemetowych ze zbioru - elemetowego, tz. ilo±ci wszystkich mo»liwych podzbiorów k elemetowych ze zbioru elemetów. Pojawia si te» we wzorze a tzw. dwumia Newtoa. Liczby te mo»a wygodie odczyta z Trójk ta Pascala. Jest te» ±ci±le zwi zaa z tzw. rozkªadem dwumiaowym. Defiicja 13 Mówimy,»e zmiea losowa X ma rozkªad dwumiaowy o parametrach, p (0, 1) gdy gdzie q = 1 p. P (X = k) = b(k; p, ) := ( ) p k q k, k Je»eli X k s iezale»ymi zmieymi losowymi zero-jedykowymi, tz P (X k = 1) = p (prawdopodobie«stwo sukcesu), P (X k = 0) = q (prawdopodobie«stwo pora»ki), to zmiea Y = k=1 X k ma rozkªad dwumiaowy z parametrami, p. Iterpretujemy j jako ilo± sukcesów w iezale»ych tzw. próbach Beroulliego. Korzystaj c z iezale»o±ci zmieych X k ªatwo otrzyma EY = p oraz D 2 Y = pq.
1. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w 8 rzutach stadardow sze±cie kostk do gry (±ciay poumerowae od 1 do 6) przyajmiej dwa razy wypadie liczba wi ksza i» 4? 2. Studet zdaj cy egzami ma odpowiedzie a 10 pyta«testowych poprzez wybraie dla ka»dego z ich jedej z czterech odpowiedzi. Przy ka»dym pytaiu dokªadie jeda odpowied¹ jest prawidªowa. Studet zdaje egzami je±li odpowiedziaª poprawie a przyajmiej 3 pytaia. Jakie jest prawdopodobie«stwo zdaia egzamiu je»eli studet wybiera losowo odpowiedzi? Zadaia 1. Oblicz prawdopodobie«stwo uzyskaia 5 szóstek w sze±ciu rzutach kostk do gry. 2. Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymaia wi cej i» 7 orªów w 10 rzutach moet. 3. Na egzamiie studet odpowiada a 5 pyta«testowych, w ka»dym mo»e wybra jed z czterech odpowiedzi, tylko jeda z ich jest prawdziwa. Egzami uzaje si za zday je»eli studet wybraª przyajmiej 3 prawidªowe odpowiedzi. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e studet zda egzami je»eli wybiera o odpowiedzi losowo. 4. Co jest bardziej prawdopodobe, wygra z róworz dym przeciwikiem przyajmiej dwie partie z trzech, czy przyajmiej cztery partie z sze±ciu? 5. Dziesi ciu aboetów mo»e poª czy si z sieci telefoicz za pomoc lokalej cetrali dyspouj cej pew liczb liii. Ka»dy z aboetów zajmuj lii ±redio 12 miut a godzi. Zakªadaj c,»e zamówieia s dokoywae iezale»ie od siebie, obliczy, jaka jest miimala liczba liii wystarczaj ca a to, by w losowo wybraej chwili z prawdopodobie«stwem 0.99 obsªu»y wszystkie zgªoszeia. 6. Towarzystwo ubezpiecze«wzajemych ma rezerw 1000 zª z poprzediego roku. W bie» cym roku stu klietów wpªaca po 100 zª ubezpieczeia. W przypadku smierci ubezpieczoego rma wypªaca 4000zª. Prawdopodobie«stwo ±mierci ka»dego z klietów jest jedakowe i rówe p = 1/100. Zaªó»my,»e przypadki zgoów s iezale»e od siebie. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e rma ie b dzie wypªacala w bie» cym roku? 2.6 Przybli»eia Twierdzeie 5 (de Moivre-Laplace'a) Dla du»ych warto±ci oraz k w s - siedztwie p mo»emy u»ywa przybli»eia ( ) p k q k k 1 2πpq e (k p)2 2pq, p + q = 1, p, q > 0. Formalie: ( k ) p k q k lim 1 2πpq e (k p)2 2pq = 1. Gdzie e jest tzw. liczb Eulera. Jest to liczba iewymiera, deiowaa jako graica ( e := lim 1 + 1. ) ( Mamy rówie» e = lim 1 + 1 + 1 +... + ) 1 1! 2!!, oraz e 2, 718281828459045235...
3 Cetrale Twierdzeie Graicze Uogólieiem twierdzeia de Moivre'a - Laplace'a jest Twierdzeie 6 (Cetrale Twierdzeie Graicze) Je»eli X 1, X 2,... s iezale»ymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkªadzie, EX k = m, D 2 X k = σ 2, oraz S = X 1 + X 2 +... + X, to dla odpowiedio du»ych mamy P ( S m σ z ) Φ(z). Formalie, to zaczy,»e ( lim P S m σ z ) = Φ(z), gdzie Φ jest tzw. dystrybuat rozkªadu ormalego. Defiicja 14 Dystrybuat (rozkªadu) zmieej losowej X azywamy fukcj F (x) = P (X < x). Dystrybuat rozkªadu ormalego jest fukcja Φ(x) = x 1 2π e t2 2 Jej warto±ci podawae s w tablicach matematyczych, przy czym korzysta si z faktu,»e Φ( x) = 1 Φ(x) podaj c w tablicach tylko warto±ci dla dodatich x. Oczywi±cie, obecie jeszcze ie zamy rachuku ró»iczkowego ai caªkowego. Niemiej jedak, wystarczy umie odczyta z tablic lub z odpowiediego programu (p. pakiet R) odpowiedie warto±ci. Iym wa»ym rozkªadem, z którego tablic b dziemy korzysta jest tzw. rozkªad chi - kwadrat. 1. Rzucamy 500 razy stadardow sze±cie kostk do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e suma wyrzucoych oczek b dzie wi ksza i» 1640 i miejsza i» 1860. 2. W 2005 roku co 10-ta kobieta w wieku 30-35lat urodziªa dziecko. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e a 1000 wylosowaych kobiet z tej grupy wiekowej co ajmiej 100 i ie wi cej i» 130 urodziªo dziecko w 2005 roku. Zadaia 1. Korzystaj c z CTG zajd¹ przybli»eie prawdopodobie«stwa,»e w 100 rzutach moet otrzymamy wi cej i» 40 orªów. 2. Korzystaj c z CTG zajd¹ przybli»eie prawdopodobie«stwa,»e w 210 rzutach symetrycz kostk do gry otrzymamy miej i» 20 szóstek. 3. redia waga Amerykaia wyosi 80, 7 kg przy odchyleiu stadardowym σ = 5 kg. Obliczy prawdopodobie«stwo, ze ª cza waga 120 pasa»erów ameryka«skiego samolotu przekroczy 9, 8 toy. dt.
4 Statystyka 4.1 Wst p - przykªad oszacowaia liczebo±ci populacji Przypu± my,»e 1000 ryb zªowioych w jeziorze ozaczoo czerwoymi plamami i wypuszczoo. Po pewym czasie dokoao owego poªowu 1000 ryb i stwierdzoo,»e w±ród ich jest 100 ryb z czerwoymi plamami. Jaki st d mozemy wyci g wiosek co do liczby ryb w jeziorze? Oczywi±cie przyjmujemy,»e liczba ryb ie zmieiªa si mi dzy poªowami. Uogólimy to zagadieie dopuszczaj c dowole liczebosci próbek. Ozaczamy przez - iezaa liczb ryb w jeziorze, m - liczb ryb zªowioych przy pierwszym poªowie, r - liczb ryb zªowioych przy drugim poªowie, k - liczba ryb ze zakami czerwoymi przy drugim poªowie, q k () - prawdopodobie«stwo,»e drugi poªów zawiera dokªadie k ryb ozaczoych. Warto± tego prawdopodobie«stwa jest daa wzorem (jest to rozkªad hipergeometryczy): q k () = ( )( ) m m k r k (. r) Z caª pewo±ci mo»emy powiedzie tylko tyle,»e w jeziorze jest przyajmiej m + r k czyli m + r k. W aszym przykªadzie wiemy,»e jezioro zawiera przyajmiej 1900 ryb. Jedak przyjmuj c,»e w jeziorze jest ich 1900 otrzymujemy prawdopodobie«stwo,»e wyªowioych zostaie przy drugim poªowie 100 ozaczoych ryb: ( )( ) 1000 900 100 900 ( 1900 1000 ) = (1000!)2 100!1900!. U»ywaj c odpowiedich wzorów przybli»oych (wzór Stirliga) otrzymujemy warto± tego prawdopodobie«stwa rz du 10 430, a zatem jest oo fatastyczie maªe. Odrzucamy zatem asz hipotez, jako ierozs d. Podobe rachuki doprowadziªyby as do odrzuceia hipotezy,»e bardzo wielkie, p. wyosi milio. To prowadzi as do szukaia szczególej warto±ci, przy której q k () osi ga warto± ajwi ksz, gdy» przy tej warto±ci obserwacja asza b dzie miaªa ajwi ksze prawdopodobie«stwo. T warto±, przy której q k () jest ajwi ksze przyj to ozacza ˆ i azywa estymatorem o ajwi kszej wiarygodo±ci wielko±ci. Aby zale¹ ˆ rozpatrujemy stosuek q k ( + 1) q k+1 () = ( m)( r) ( m r + k). Prosty rachuek pokazuje,»e stosuek te jest wi kszy od 1 dla k < mr oraz miejszy od 1 dla k > mr. Ozacza to,»e gdy ro±ie liczby q k () ajpierw ros, a potem malej. Najwieksz warto± otrzymujemy gdy jest ajwi ksz liczb caªkowit ie przekraczaj c mr, tak»e k ˆ mr k. W aszym przykªadzie otrzymujemy ˆ 10000. Prawdziwa liczba mo»e by ieco miejsza lub wi ksza i mo»emy pyta o graice mi dzy którymi roztropie jest oczekiwa zajdowaia si liczby. Najpierw poddajemy próbie hipotez,»e jest miejsze od 8500. Podstawiaj c do wzoru a q k () warto±ci = 8500, m = r = 1000 otrzymujemy prawdopodobie«stwo,»e w drugim poªowie zajduje si 100 lub miej ryb ze zakiem czerwoym x = q 0 + q 1 + q 2 +... + q 100 0, 04. Podobie, je±li = 12000, to prawdopodobie«stwo tego,»e w drugim poªowie jest 100 lub wi cej ozaczoych czerwoo ryb wyosi okoªo 0, 03. Liczby te usprawiedliwiaj przypuszczeie,»e prawdziwa liczba ryb le»y gdzie± mi dzy 8500 a 12000.
4.2 Podstawowe poj cia statystycze Populacja geerala - zbiorowo± statystycza, tz. zbiór dowolych elemetów, ieidetyczych z puktu widzeia badaej cechy X. Próba losowa - cz ± populacji, dost pa bezpo±rediej obserwacji ze wzgl du a ustaloa cech X. Elemet i-ty w próbie ma cech X i, czyli prób - elemetow mo»a traktowa jako ci g (X 1, X 2,..., X ) zmieych losowych. Próba prosta - próba losowa, w której cechy elemetów X i s iezale»e i o tym samym rozkªadzie co cecha X w populacji geeralej. Statystyka - zmiea losowa b d ca dowol fukcj wyików próby losowej, tz. dowol fukcj Z = f(x 1, X 2,..., X ). Estymator - dowola statystyka Z sªu» ca do oszacowaia iezaej warto±ci parametru θ populacji geeralej lub iezaego rozkªadu populacji. Hipoteza statystycza - dowole przypuszczeie dotycz ce rozkªadu populacji geeralej lub parametrów rozkªadu tej populacji. Test statystyczy - reguªa post powaia, która a podstawie wyików próby ma doprowadzi do decyzji przyj cia lub odrzuceia postawioej hipotezy statystyczej. 4.3 Momety empirycze Defiicja 15 redi empirycz azywamy statystyk (zwa potoczie statystyk X z kresk ). X = 1 X i, i=1 Defiicja 16 Wariacj empirycz azywamy statystyk zwa te» statystyk S kwadrat. S 2 = 1 ( Xi X ) 2, Z Cetralego Twierdzeia Graiczego ªatwo wida,»e statystyki i=1 U = X m, σ X m t =, S gdzie m = EX, σ 2 = D 2 X, maj rozkªad asymptotyczie (w przybli»eiu) ormaly dla du»ych warto±ci. 4.4 Estymacja puktowa metod mometów Je»eli (iezay) parametr θ rozkªadu cechy X jest jedozaczie okre±loy przez warto± mometów teoretyczych cechy: θ = f(ex, D 2 X), to jego estymator ˆθ = f( X, S 2 ), azywamy estymatorem otrzymaym metod mometów. W rozkªadzie dwumiaowym mamy dwa parametry: p (prawdopodobie«stwo sukcesu w jedej próbie) i (ilo± prób). Poiewa» EX = p, D 2 X = pq = p(1 p), to estymatorami s : ˆp = X,
gdy ie zamy p i zamy, gdy zamy p i ie zamy, ˆ = X p, gdy ie zamy ai p ai. Zadaia ˆp = 1 S2 2 ( X), ˆ = X X S, 2 1. Wyzaczy estymator prawdopodobie«stwa otrzymaia orªa w rzucie (by mo»e iesymetrycz ) moet je»eli w 200 rzutach otrzymao 140 orªów. 2. Zaªó»my,»e wywiad wojskowy ie za liczby wszystkich czoªgów przeciwika. Wie jedak,»e s oe umerowae kolejymi liczbami od 1 do N (N jest oczywi±cie iezae). Dyspoujemy kilkoma umerami seryjymi przechwycoych (lub ziszczoych) czoªgów: 20, 31, 43, 78 i 92. Wyzaczy metod mometów estymator liczby wszystkich czoªgów N. 4.5 Estymacja przedziaªowa Idea estymacji przedziaªowej polega a tym,»eby zamiast szacowaia parametru θ za pomoca jedej liczby zale¹ przedziaª (Z 1, Z 2 ) zway przedziaªem ufo±ci, w którym iezay parametr zajduje si z zadowalajacym as prawdopodobie«stwem. Ko«- ce tego przedziaªu musz by wobec tego zmieymi losowymi, b d cymi statystykami Z 1 = u 1 (X 1, X 2,..., X ) oraz Z 2 = u 2 (X 1, X 2,..., X ) takimi,»e P (θ (Z 1, Z 2 )) byªo bliskie 1. Blisko± jedyki okre±la si liczb 1 α i azywa si poziomem ufo±ci. Zazwyczaj α przybiera warto±ci 0.01, 0.05, 0.01, przy czym warto± 0.05 jest ajcz ±ciej u»ywaa - mówimy wtedy o 95 procetowym przedziale ufo±ci. Tutaj omówimy tylko przedziaªy ufo±ci dla ±rediej. Je»eli populacja geerala ma dowoly rozkªad i jest du»e (co ajmiej kilkadziesi t), to przedziaª ufo±ci otrzymujemy ze wzorów Z 1 = X u α S, Z 2 = X + u α S, gdzie u α jest takie,»e P ( U > u α ) = α oraz U ma rozkªad ormaly N(0, 1), tz. Φ(u α ) = 1 α, gdzie Φ jest dystrybuat rozkªadu ormalego. Wtedy 2 P (Z 1 < EX < Z 2 ) = 1 α. Szczególym przypadkiem przedziaªu ufo±ci dla ±rediej jest przedziaª ufo±ci dla tzw. wska¹ika struktury. Je»eli w populacji geeralej daa cecha (p. gªosowaie a da parti, posiadaie samochodu, uko«czeie wy»szej uczeli, usterka itp) wyst puje u 100p procet tej populacji, to wybieraj c losowo jej przedstawiciela z prawdopodobie«stwem p otrzymamy t cech. Je»eli X = 1 gdy elemet ma t cech i X = 0 w przeciwym przypadku, to EX = p, D 2 X = p(1 p). Zatem przedziaª (Z 1, Z 2 ) otrzymay jak powy»ej jest przedziaªem ufo±ci dla ±rediej rówej p. Mo»emy si zastaowi jak du»e powio by (jak du»a próba)»eby otrzyma 95 procetowy przedziaª ufo±ci (α = 0.05) ie dªu»szy i» p. 0.06 (iymi sªowy:»eby prawdopodobie«stwo bª du wi kszego i» 0.03 byªo miejsze i» 0.05). Staie si tak, je±li speªioy b dzie waruek u α S < 0.03.
Ozaczmy przez m ilo± elemetów próby, które maj bada cech. Wtedy oczywi±cie X = m. Poiewa» to otrzymujemy S 2 = 1 (X i X) 2 = i=1 Poiewa» x(1 x) 1 4 je±li tylko czyli mi=1 ( 1 m ( ) 2 0 m ) 2 + m i=1 ) 2 ( ) 2 + ( m) m = m ( 1 m = ( m)(m( m) + m2 ) = 3 ( m)m 2, ( m)m u α < 0.03. 3 dla ka»dego x R, to powy»sza ierówo± b dzie speªioa u α 2 < 0.03, > u2 α 0.0036. Dla α = 0.05 otrzymujemy u α 1.96, wi c speªia asze waruki. > 3.8416 0.0036 1067, 1. W 100 losowo wybraych gospodarstwach domowych ±redia miesi cza opªata za eergi elektrycz wyiosªa 68 zªotych, a odchyleie stadardowe 14 zªotych. Oszacuj za pomoc przedziaªu ufo±ci ±redie miesi cze wydatki a eergi elektrycz w caªej populacji przyjmuj c poziom ufo±ci 0.95. 2. Zapytao grup 1024 osób o ch udziaªu w ajbli»szych wyborach parlametarych. Udziaª w wyborach zadeklarowaªo 410 z ich. Oszacowa metod przedziaªow a poziomie ufo±ci 0.95 deklarowa frekwecj w wyborach w caªej populacji. Zadaia 1. Miesi czy wydatek a»ywo± w rodziie losowo wybraej z pewej populacji jest zmie losow o iezaej warto±ci oczekiwaej i wariacji. Wyzaczy przedziaª ufo±ci dla ±rediej a poziomie ufo±ci 0.95, je±li po pobraiu próby prostej zªo»oej z tysi ca rodzi i obliczeiu ±rediej i wariacji z próby otrzymao wyiki x = 450 zª, s 2 = 8464 zª. 2. W pewej przychodi w±ród losowo wybraych 980 osób poddaych prze±wietleiu pªuc stwierdzoo zmiay chorobowe u 10 osób. Wyzaczy a poziomie ufo±ci 0.95 przedziaª ufo±ci dla frakcji osób chorych w±ród wszystkich pacjetów obsªugiwaych przez t przychodi. 3. Jeda z agecji ogªosiªa,»e przebadaªa grup 1111 dorosªych obywateli polskich, z których 64% stwierdziªo,»e jest przeciwko przyj ciu przez Polsk wspólej waluty euro. Skostruowa przedziaª ufo±ci a poziomie 0.95 dla proporcji dorosªych obywateli b d cych przeciwko wprowadzeiu euro.
4.6 Testowaie hipotez - testy parametrycze Test statystyczy ma za zadaie werykacj pewej hipotezy a podstawie daych statystyczych. Testy parametrycze sªu» do werykacji hipotez o warto±ciach parametrów w rozkªadach badaych cech. Testy ieparametrycze b d sprawdza prawdziwo± hipotez, w których ie s, b d¹ ie musz by, sprecyzowae warto±ci parametrów rozkªadów populacji. Hipoteza ma posta rówo±ci θ = θ 0, gdzie θ jest prawdziw, a am ieza warto±ci parametru rozkªadu, atomiast θ 0 jest hipotetycz warto±ci tego parametru. Tak rówo± mo»a przyj (cho raczej si tego ie robi) albo odrzuci i przyj i (a przykªad θ θ 0 ), albo postaowi,»e ie ma podstaw do jej odrzuceia - ie ozacza to przyj cia hipotezy, mo»e jedak ozacza koieczo± przeprowadzeia dalszych bada«. Kiedy jeste±my skªoi hipotez odrzuci? Ituicyjie zrobimy to wtedy, gdyby jej przyj cie ozaczaªo,»e zaszªo zdarzeie bardzo maªo prawdopodobe. Oczywi±cie, ryzykujemy tutaj popeªieie bª du. Bª d polegaj cy a odrzuceiu hipotezy zerowej gdy ta jest prwadziwa azywamy bª dem pierwszego rodzaju. Prawdopodobie«stwo popeªieia bª du pierwszego rodzaju azywamy poziomem istoto±ci testu α. Tutaj pozamy test dla ±rediej. Testujemy zatem hipotez przeciwko jedej z hipotez H 0 : m = m 0, H 1 : m m 0 H 1 : m > m 0 H 1 : m < m 0 Je»eli populacja geerala ma rozkªad dowoly i próba jest du»a ( co ajmiej kilkadziesi t), to do werykacji hipotezy u»ywamy statystyki U = X m 0, S która przy zaªo»eiu prawdziwo±ci H 0 ma rozkªad ormaly N(0, 1). Dla hipotezy alteratywej H 1 : m 0 obszar krytyczy jest dwustroy, symetryczy i dla poziomu istoto±ci α ma posta Q = (, u α ) (u α, ), gdzie P ( U > u α ) = α, czyli Φ(u α ) = 1 α 2. Dla hipotezy alteratywej H 1 : m < m 0 obszar krytyczy jest lewostroy i ma posta Q = (, u α ), a dla H 1 : m > m 0 obszar krytyczy jest prawostroy i ma posta Q = (u α, ), gdzie u α jest wyzaczoe z zale»o±ci P (U > u α ) = α, czyli Φ(u α ) = 1 α. Je»eli warto± statystyki U obliczoa z otrzymaej próby prostej le»y w obszarze krytyczym, to odrzucamy hipotez H 0, a przyjumjemy (odpowiedi ) hipotez H 1, w przeciwym wypadku stwierdzamy,»e ie ma podstaw do odrzuceia H 0 a wybraym poziomie istoto±ci. Najmiejszym poziomem istoto±ci, przy którym zaobserwowa warto± statystyki testowej prowadzi do odrzuceia hipotezy zerowej azywamy p - warto±ci przeprowadzoego testu. Je»eli otrzymali±my warto± u, to p - warto± jest rówa dla hipotezy alteratywej H 1 : m m 0, P (U u ) = 2(1 Φ( u )) P (U u) = 1 Φ(u),
dla hipotezy alteratywej H 1 : m > m 0, oraz P (U u) = Φ(u) = 1 Φ( u), dla hipotezy alteratywej H 1 : m < m 0. W praktyce ajpierw wykouje si test, otrzymuje warto± statystyki testowej, wyzacza p - warto± i ast pie sprawdza si dla jakiego poziomu istoto±ci zaobserwowaa warto± tej statystyki jest warto±ci krytycz testu, czyli warto±ci le» c a brzegu zbioru krytyczego. Im miejsza jest p - warto±, tym mociejsze staje si przekoaie o faszywo±ci hipotezy zerowej i prawdziwo±ci hipotezy alteratywej. Mówi c ajogóliej, ikt ie odrzuci hipotezy zerowej otrzymawszy p - warto± rz du 0.4. Je»eli zale»y am a bardzo pewym speªieiu hipotezy zerowej, mo»emy j odrzuci otrzymawszy warto± rów p. 0.12 - je»eli p. hipoteza zerowa ozacza,»e owy koserwat ie zagra»a zdrowiu. W iych problemach mo»emy stawa si skªoi do odrzuceia hipotezy zerowej dopiero gdy p - warto± osi gie warto± kilku setych. Praktyczie zawsze odrzucamy hipotez zerow otrzymawszy p - warto± rz du 0.001. 1. Ruletka (europejska) ma 37 pól poumerowaych od 0 do 36. Przy rzucie ka»de z ich powio wypada z jedakowym prawdopodobie«stwem. Czy mo»a zarzuci kasyu ieuczciwo± je»eli w 200 próbach zaobserwowao 10 zer (przetestowa hipotez m = 1/37 przeciw m > 1/37 a poziomie istoto±ci α = 0.05)? 2. W 500 rzutach moet zaobserwowao 290 orªów. Czy a poziomie istoto±ci 0, 01 mo»a stwierdzi,»e moeta jest ¹le wywa»oa, tz. prawdopodobie«stwa otrzymaia orªa i reszki s dla tej moety ró»e? Zadaia 1. Na pudeªkach zapaªek apisae jest: ±redio 64 zapaªki. Celem zwerykowaia hipotezy H 0 : m = 64 przeliczoo zapaªki w = 100 przypadkowo wybraych pudeªkach i okazaªo si,»e jest x = 63, a s 2 = 25. Zwerykowa t hipotez a poziomie istoto±ci α = 0.05 gdy hipoteza alteratywa jest postaci (a) H 1 : m < 64, (b) H 1 : m 64? 2. W 200 rzutach moet otrzymao 120 orªów. Zwerykowa a poziomie istoto±ci hipotez mówiac o tym,»e moeta jest symetrycza (tz. prawdopodobie«stwo otrzymaia orªa i reszki jest jedakowe). 3. Zbadao przebiegi 200 opo samochodowych pewego typu wycofaych z eksploatacji i otrzymao wyiki Przebieg opo (tys. km) 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 Liczba opo 20 40 95 25 15 5 Na poziomie istoto±ci α = 0.05 zwerykowa hipotez,»e warto± przeci ta przebiegu opo tego typu jest rówa m = 35 tys. km wobec hipotezy alteratywej H 1 : m < 35. 4.7 Testowaie hipotez - test iezale»o±ci Populacj geeral badamy ze wzgl du a dwie cechy X i Y. Testujemy hipotez zerow H 0 : X i Y s iezale»e. czyli H 0 : P (X < x, Y < y) = P (X < x)p (Y < y) przeciwko hipotezie alteratywej H 1 : P (X < x, Y < y) P (X < x)p (Y < y). Ozaczmy przez liczebo± próby. Warto±ci cechy X dzielimy a r klas, a warto±ci cechy Y a s klas. W te sposób wszystkie elemety z próby dzielimy a rs klas otrzymuj c tablic wielodzielcz. Przez N ij ozaczamy liczb elemetów, które ze wzgl du
a cech X s w klasie i-tej, a ze wzgl du a cech Y s w klasie j - tej. Okre±lamy poadto liczebo±ci brzegowe s r N i = N ij, N j = N ij. Z liczebo±ci brzegowych szacuje si prawdopodobie«stwa brzegowe j=1 p i = N i, p j = N j. Zakªadaj c prawdziwo± hipotezy H 0, to zaczy iezale»o± cech X i Y, oblicza si prawdopodobie«stwo hipotetycze p ij = p i p j. Nast pie kostruuje si statystyk χ 2 = r s i=1 j=1 i=1 (N ij p ij ) 2 p ij. Jej rozkªad jest zbie»y do rozkªadu chi-kwadrat Pearsoa o (r 1)(s 1) stopiach swobody. Obszarem krytyczym jest tutaj Q = (χ 2 α, ), gdzie P (χ 2 > χ 2 α) = α. Hipotez H 0 odrzucamy gdy χ 2 obs > χ 2 α. Liczba powia by du»a ( > 100) a wszystkie ij 8. 1. Badao zale»o± wyst powaia problemów w auce czytaia w pierwszej klasie od pªci dziecka. Wybrao prost prób 200 dzieci i otrzymao dla ich wyiki podae w tabeli. Sprawdzi a poziomie istoto±ci α = 0.05 czy wyst powaie problemów w auce czytaia zale»y od pªci uczia. Problemy z czytaiem Brak problemów dziewczyki 46 44 chªopcy 32 78 Zadaia 1. W celu zbadaia hipotezy,»e m ska mªodzie» osz ca dªugie wªosy ma gorsze wyiki w auce, wylosowao prób 492 ucziów i otrzymao ast puj ce dae: Mªodzie» m ska Wyiki zªe Wyiki dobre Wªosy dªugie 51 43 Wªosy krótkie 195 203 Na poziomie istoto±ci α = 0.05 zwerykowa hipotez o iezale»o±ci wyików w auce od dªugo±ci wªosów mªodzie»y m skiej. 2. W celu stwierdzeia czy podaie chorym a pew chorob owego leku przyosi popraw ich zdrowia, wylosowao dwie grupy pacjetów w jedakowym stopiu chorych. Jedej grupie licz cej 120 pacjetów podao owy lek, a drugiej grupie licz cej 80 pacjetów podao tradycyjy lek. Po pewym czasie zbadao obie grupy, a wyiki przedstawioo w tabeli: Leczei bez poprawy wyra¹a poprawa caªkowite wyleczeie Nowym lekiem 20 40 60 Tradycyjym lekiem 45 20 15 Na poziomie istoto±ci α = 0.001 zwerykowa hipotez,»e owy lek istotie poprawia sta zdrowia pacjetów. Paweª Sztoyk (www.im.pwr.wroc.pl/~sztoyk)