1 Wnioskowanie statystyczne podstawowe poj cia
|
|
- Mieczysław Orzechowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Wioskowaie statystycze podstawowe poj cia 1.1 arametry rozkªadu, próba losowa We wioskowaiu statystyczym próbujemy a podstawie losowej próbki z pewej populacji wioskowa a temat caªej populacji. Mo»emy a przykªad zmierzy wzrost 50 losowo wybraych studetów i a podstawie otrzymaych wyików wioskowa a temat warto±ci ±rediej czy wariacji tego wzrostu w±ród wszystkich studetów. Do modelowaia takiej sytuacji u»ywa si zazwyczaj ast puj cego formalizmu. Zakªadamy,»e cecha, któr badamy ma pewie iezay rozkªad pochodz cy ze zaej rodziy rozkªadów D {θ Θ : θ }, gdzie θ Ω, F, θ } parametryzowaej przez parametr θ. Chocia» ie zamy θ, a zatem tak»e rozkªadu θ, to jedak co± o im wiemy. Zamy miaowicie warto±ci ci gu zmieych losowych X 1,..., X o rozkªadzie θ. Taki ci g azywamy prób losow. Je±li zmiee te s iezale»e, to mówimy o próbie prostej. rzykªad: W przykªadzie ze wzrostem studetów mogliby±my zaªo»y,»e wzrost ma rozkªad ormaly o iezaej warto±ci ±rediej µ i wariacji σ co oczywi±cie z wielu powodów ie ma szasy by prawd, ale zapewe jest iezªym przybli»eiem. Mogliby±my wtedy przyj Θ 0, [0, i D {µ, σ Θ : N µ, σ }. Wyiki pomiaru wzrostu 50 studetów mo»emy modelowa zmieymi losowymi X 1,..., X 50. Wszystkie X i maj te sam rozkªad N µ, σ, przy czym warto±ci µ ai σ ie zamy. Ci g X 1,..., X 50 jest w tym przypadku prób losow. O ile ie losujemy studetów ze zwracaiem próba ta w ogólym przypadku ie jest prosta dlaczego?, ale te» ie popeªimy z reguªy du»ego bª du zakªadaj c,»e jest. 1. odstawowe problemy Naszym celem jest wioskowaie a temat parametru θ a podstawie warto±ci zmieych X 1,..., X 50. Zajmiemy si m.i. ast puj cymi trzema problemami: Estymacja puktowa: oda warto± parametru θ. Estymacja przedziaªowa: oda maªy przedziaª, który zawiera parametr θ. Testowaie hipotez: Odpowiedzie a pytaie w rodzaju: Czy θ > a?. Oczywi±cie rozwi zaie pierwszego z tych problemów w prosty sposób prowadzi do rozwi zaia pozostaªych dwóch. Nie ma to jedak wi kszego zaczeia, poiewa»»adego z tych problemów w ogólym przypadku rozwi za si ie da. Mo»a je jedak rozwi zywa w przybli»eiu, tz. opracowa metody, które: podaj dobre oszacowaia warto±ci parametru θ, podaj maªy przedziaª, który z du»ym prawdopodobie«stwem zawiera parametr θ, pozwalaj w sesowy sposób odpowiada a pytaia w rodzaju: Czy θ > a?. sªowa dobre i sesowy zosta sprecyzowae w dalszej cz ±ci wykªadu. Omówieiem takich wªa±ie metod zajmiemy si w kilku kolejych wykªadach. 1.3 Statystyki i estymatory Zaim przejdziemy do estymacji puktowej, zdeiujemy dwa fudametale poj cia: statystyk i estymator. Statystyk azywamy dowol fukcj SX 1,..., X próby losowej. Statystykami s a przykªad mix 1,..., X, maxx 1,..., X,, ale te» X 1 + 5X3 oraz X 1 X X 5. Statystyki s oczywi±cie zmieymi losowymi, okre±loymi a tej samej przestrzei co X 1,..., X. 1
2 Estymatorem parametru θ Θ azywamy dowol statystyk przyjmuj c warto±ci w Θ. Ta deicja ie iesie zbyt wiele tre±ci. Ituicyjie, estymator parametru θ to taka statystyka, której rzeczywi±cie u»ywamy do szacowaia warto±ci θ wielu autorów u»ywa tego sformuªowaia jako deicji estymatora, ale trudo azwa je deicj. Uwaga: Mo»e si zdarzy,»e iteresuje as ie caªy parametr θ, a jedyie iektóre jego skªadowe. Mo»e as, a przykªad, iteresowa ±redi wzrost studetów, ale ie wariacja wzrostu. oj cia estymatora w oczywisty sposób przeosi si a t sytuacj. Mo»a te» mowi o estymacji puktowej, przedziaªowej i testowaiu hipotez. Estymacja puktowa W tym rozdziale postaramy si u±ci±li poj cie "dobrego oszacowaia", które pojawiªo si we wcze±iejszych rozwa»aiach. W ogólym przypadku rozkªad, z którego pochodzi próba losowa jest zale»y od pewego parametru θ, i te wªa±ie parametr staramy si "dobrze oszacowa ". W tym rozdziale, dla uproszczeia, ograiczymy si do estymacji warto±ci oczekiwaej i wariacji, ale podobe rozwa»aia mo»a przeprowadza tak»e w iych przypadkach patrz wiczeia..1 Estymacja warto±ci oczekiwaej W jaki sposób oszacowa ieza warto± ±redi populacji µ, je±li mamy da prób losow X 1,..., X. Naturalym pomysªem jest u»ycie ast puj cego estymatora ˆµ 1 X 1,..., X, ale ka»dy z poi»szych pomysªów te» wydaje si dziaªa ieajgorzej ˆµ X 1,..., X X 1, ˆµ 3 X 1,..., X / /, ˆµ 4 X 1,..., X α ix i, gdzie α i > 0 i α i 1, ˆµ 5 X 1,..., X ˆµ 6 X 1,..., X 1, + 1. Ka»dy z estymatorów ˆµ ˆµ 6 ituicyjie wydaje si gorszy od ˆµ 1, ale dla wi kszo±ci z ich trudo powiedzie dlaczego. Uwaga: rzyj li±my tu i b dziemy przyjmowa w dalszej cz ±ci tego wykªadu do± popular w literaturze umow polegaj c a ozaczaiu estymatorów parametru θ symbolem ˆθ, w tym przypadku estymatorów warto±ci oczekiwaej µ symbolem ˆµ z odpowiedim ideksem. Uwaga: Ka»da z deicji ˆµ 1 ˆµ 6 opisuje tak aprawd caªy ci g estymatorów parametryzowa rozmiarem próby. Dla uproszczeia, ie b dziemy tego faktu z reguªy zazacza explicite. Warto o tym jedak pami ta..1.1 Estymatory ieobci»oe Obliczmy warto± oczekiwa estymatora ˆµ 1. E ˆµ 1 X 1,..., X E X i EX i µ µ,
3 a zatem warto±ci oczekiwa tego estymatora jest warto± estymowaej wielko±ci t.j. µ. Mówimy,»e ˆµ 1 jest ieobci»oym estymatorem µ. W ogólym przypadku mówimy,»e ˆθ jest ieobci»oym ag. ubiased estymatorem θ, je±li E ˆθ θ. Ró»ic E ˆθ θ azywamy obci»eiem ag. bias estymatora, w przypadku estymatorów ieobci»oych jest oa rówa 0. Nieobci»oo± wydaje si bardzo atural i po» da wªaso±ci estymatora. Zwró my uwag,»e estymatory ˆµ 5 i ˆµ 6 ie s ieobci»oe i z tego wªa±ie powodu uwa»amy je za gorsze od ˆµ 1. W praktyce poj cie ieobci»oo±ci okazuje si jedak iejedokrotie zbyt rygorystycze co mo»a zobaczy a ast puj cym przykªadzie. Zadaie rzeprowadzamy s badaia rozkªadu liczby telefoów a miut w helpdesku. Zakªadamy,»e rozkªad liczby telefoów a miut jest rozkªadem oissoa o iezaym parametrze λ. rzypu±my,»e iteresuje as estymacja prawdopodobie«stwa p tego,»e w ci gu dwóch kolejych miut ie odbierzemy»adego telefou. oka»,»e dla próby jedoelemetowej, jedyy estymator ieobci»oy tego prawdopodobie«stwa to ˆpX 1 1 X1. rzykªad te pokazuje,»e estymatory ieobci»oe iekoieczie s lepsze od obci»oych. W sytuacji z zadaia du»o sesowiejszy jest a przykªad estymator otrzymay metod ajwi kszej wiarygodo±ci omówio w dalszej cz ±ci wykªadu ˆpX 1 e X1. Dobrym osªabieiem poj cia ieobci»oo±ci jest tzw. asymptotycza ieobci»oo±. Mówimy,»e estymator θ ˆ X 1,..., X a wªa±ciwie ci g estymatorów zobacz uwaga w poprzedim podrozdziale jest asymptotyczie ieobci»oy, je±li lim E ˆθ X 1,..., X θ. Zwró my uwag,»e estymator ˆµ 5 jest asymptotyczie ieobci»oy chocia» ie jest ieobci -»oy..1. Estymatory zgode W deicji asymptotyczej ieobci»oo±ci dla estymatora ˆθ obserwowali±my zachowaie E ˆθ X 1,..., X dla. Naturale wydaje si jedak wymagaie, aby ie tylko E ˆθ X 1,..., X θ, ale tak»e ˆθ X 1,..., X θ dla. Estymator ˆθ parametru θ azywamy estymatorem sªabo zgodym je±li dla dowolego ε > 0 lim ˆθ X 1,..., X θ < ε 1. Uwaga: Deicja ta zapewe przypomia czytelikowi jak si za chwil oka»e sªuszie sªabe prawo wielkich liczb. Mo»a te» wprowadzi moc wersj tej deicji» daj c aby lim ˆθ X 1,..., X θ 1. Sprawd¹my, czy asze estymatory warto±ci oczekiwaej ˆµ 1 ˆµ 6 s zgode. Zaczijmy od ˆµ 1. Musimy sprawdzi, czy dla dowolego ε > 0 zachodzi lim X i µ < ε 1, ale to jest dokªadie teza sªabego prawa wielkich liczb z mocego prawa wielkich liczb wyika w aalogiczy sposób,»e ˆµ 1 jest zgody w mocym sesie. odobie mo»a pokaza,»e zgode s estymatory ˆµ 3, ˆµ 4 i ˆµ 5. Nie jest zgody estymator ˆµ i to jest jego gªówa wada poiewa» estymator te korzysta jedyie z warto±ci X 1 jako± estymacji ie poprawia si wraz ze wzrostem rozmiaru próby. Zadaie Z aszych rozwa»a«wyika,»e estymator ieobci»oy mo»e ie by zgody estymator ˆµ. odaj przykªad estymatora zgodego, który ie jest awet asymptotyczie ieobci»oy. 3
4 .1.3 Efektywo± Nasz dotychczasowe rozwa»aia ie pozwalaj porówa estymatorów ˆµ 1, ˆµ 3 i ˆµ 4. Ituicyjie wydaje si,»e estymator ˆµ 1 ajefektywiej wykorzystuje warto±ci zmieych X 1,..., X sumuj c wszystkie z jedakowymi wspóªczyikami. Jak za chwil zobaczymy, ma dzi ki temu ajmiejsz wariacj. Zaczijmy od obliczeia wariacji ˆµ 1. Niech σ b dzie wariacj rozkªadu, z którego pochodzi asza próba X 1,..., X. Wtedy Varˆµ 1 Var X i Var X i σ σ. Aalogicze obliczeia dla pozostaªych dwóch estymatorów daj oraz Varˆµ 3 σ / Varˆµ 4 αi σ. Zadaie oka»,»e wyra»eie opisuj ce wariacj estymatora ˆµ 4 przyjmuje warto± ajmiejsz, gdy wszystkie α i 1/, tz. gdy ˆµ 4 ˆµ 1. Je±li ˆθ 1 i ˆθ s dwoma ieobci»oymi estymatorami pewego parametru θ i Varˆθ 1 < Varˆθ, to mówimy,»e ˆθ 1 jest efektywiejszy od ˆθ. A zatem estymator ˆµ 1 ie tylko ituicyjie efektywiej wykorzystuje warto±ci zmieych X 1,..., X ale te» jest jest efektywiejszy od ˆµ 3 i ˆµ 4 w sesie powy»szej deicji. Warto w tym miejscu zwróci uwag,»e porówywaie wariacji estymatorów o ró»ym obci»eiu iekoieczie ma ses. Dlatego poj cie efektywo±ci deiujemy tylko dla estymatorów ieobci»oych. Czasem rozszerza si je a estymatory asymptotyczie ieobci»oe. W ogólym przypadku wygodie jest bada tzw. ±redi bª d kwadratowy estymatora ag. mea square error, w skrócie MSE zdeioway ast puj co MSEˆθ EˆθX 1,..., X θ. Ozaczaj c dla uproszczeia rachuków ˆθX 1,..., X przez ˆθ mamy MSEˆθ Eˆθ θ Eˆθ Eˆθ+Eˆθ θ Eˆθ Eˆθ +Eˆθ EˆθEˆθ θ+eeˆθ θ. ierwszy z wyrazów tej sumy jest wariacj ˆθ, ostati jest rówy kwadratowi obci»eia ˆθ, a ±rodkowy, jak ªatwo zauwa»y, jest rówy zeru. A zatem MSEˆθ Varˆθ + E ˆθ θ. odsumujmy asze rozwa»aia dotycz ce estymatorów warto±ci oczekiwaej przypomiaj c list rozwa»aych estymatorów wraz z ich wªaso±ciami: ˆµ 1 X 1,..., X, ieobci»oy, zgody, efektywy, ˆµ X 1,..., X X 1, ieobci»oy, ie zgody, ˆµ 3 X 1,..., X / /, ieobci»oy, zgody, miej efektywy i» ˆµ 1, ˆµ 4 X 1,..., X α ix i, ieobci»oy, zgody, miej efektywy i» ˆµ 1 chyba,»e wszystkie α i 1/, wtedy ˆµ 4 ˆµ 1, 4
5 ˆµ 5 X 1,..., X, obci»oy, ale asymptotyczie ieobci»oy, zgody, ˆµ 6 X 1,..., X 1 + 1, obci»oy, awet asymptotyczie, ie zgody. Uwaga: W statystyce deiuje si te» formalie tzw. efektywo± ieobci»oego estymatora ˆθ parametru θ. Jest to iloraz Varˆθ 0, gdzie ˆθ Varˆθ 0 jest ajefektywiejszym tz. o ajmiejszej wariacji ieobci»oym estymatorem θ. Tak zdeiowaa efektywo± jest liczb z przedziaªu [0, 1]. Deicja ta wygl da a iezbyt przydat, bo iby sk d mo»emy za ajefektywiejszy estymator θ? Okazuje si,»e da si poda ograiczeie dole a wariacj dowolego ieobci»oego estymatora parametru θ. Je±li asz estymator ma tak wªa±ie wariacj, to wiemy,»e jest ajefektywiejszy. Osobom zaiteresowaym tym w tkiem polecam zalazieie w dowolym podr cziku statystyki lub w Wikipedii iformacji a temat twierdzeia Rao-Cramera. Twierdzeie to iestety wykracza poza zakres tego wykªadu.. Estymacja wariacji Uzbrojei w kryteria ocey estymatorów spróbujmy zale¹ dobry tz. ieobci»oy, zgody i efektywy estymator dla wariacji. Naturalym kadydatem wydaje si ˆσ X 1,..., X X i µ, gdzie µ jest warto±ci oczekiwa. Oczywi±cie wzoru tego mo»emy u»y tylko w przypadku, gdy warto± oczekiwaa µ jest z góry zaa, a estymujemy jedyie wariacj. Sprawd¹my, czy ˆσ jest w tym przypadku dobrym estymatorem wariacji. Mamy E ˆσ X 1,..., X E X i µ EX i µ σ σ, a zatem tak zdeioway estymator ˆσ jest ieobci»oy. Zadaie oka»,»e ˆσ jest zgodym estymatorem wariacji. W tym celu oblicz wariacj estymatora i u»yj ierówo±ci Czebyszewa. Aaliza efektywo±ci tego estymatora w ogólym przypadku ie jest ªatwa. Mo»a pokaza,»e je±li rodzia rozkªadów z któr mamy do czyieia jest rodzi rozkªadów ormalych, to powy»szy estymator ma efektywo± 1. A co je±li ie zamy warto±ci oczekiwaej? Naturalym pomysªem jest u»ycie zamiast iezaej warto±ci µ warto±ci estymatora ˆµX 1,..., X, tj. ˆσ X 1,..., X X i ˆµX 1,..., X. Nie jest jedak jase, czy tak zdeioway estymator jest ieobci»oy. Aby to sprawdzi obliczmy jego warto± oczekiwa dla uproszczeia rachuków zamiast ˆµX 1,..., X b dziemy pisa po prostu ˆµ. E X i ˆµ EX i ˆµ EX i EX i ˆµ + Eˆµ. rzede wszystkim zauwa»my,»e ±rodkowy wyraz tej sumy mo»a, korzystaj c z liiowo±ci warto±ci oczekiwaej, przeksztaªci ast puj co EX i ˆµ Eˆµ, 5
6 a ostati wyraz jest rówy po prostu Eˆµ. o uproszczeiu dostajemy ast puj ce wyra»eie a warto± oczekiwa ˆσ EX i Eˆµ. Do obliczeia warto±ci tego wyra»eia u»yjemy zaej am to»samo±ci a raczej jej przeksztaªcoej wersji VarX EX EX, EX VarX + EX. Aby obliczy warto± pierwszego wyrazu aszego wyra»eia wstawiamy do to»samo±ci X i i dostajemy EX i i 1 σ + µ σ + µ. Wstawiaj c do tej samej to»samo±ci ˆµ za X dostajemy warto± drugiego wyrazu Eˆµ Varˆµ + E ˆµ σ + µ warto± Varˆµ obliczyli±my w poprzedim rozdziale. Ostateczie otrzymujemy E ˆσ σ + µ σ µ 1 σ, a zatem asz estymator oblicza wariacj prawie dobrze, wyik jest o czyik 1 za maªy. Ituicyjie przyczy tego bª du estymacji jest to,»e warto± ˆµ u»ywaa w tym estymatorze jest bli»ej próby i» prawdziwa warto± µ. Nasz obliczeia sugeruj przy okazji sposób a otrzymaie ieobci»oego estymatora wariacji, wystarczy zast pi w miaowiku przez 1: X i ˆµX 1,..., X. 1 Taki estymator jest ieobci»oy, zgody udowodieie tego faktu pozostawiamy czytelikowi jako proste, ale»mude, wiczeie i w wielu sytuacjach do± efektywy tz. jego efektywo± jest bliska 1, szczegóªowe rozwa»aia a te temat wykraczaj poza zakres tego wykªadu..3 Estymacja odchyleia stadardowego Estymacja odchyleia stadardowego ie jest ªatwa. Mogªoby si wydawa,»e dobrym estymatorem odchyleia stadardowego σ jest ˆσ ˆσ, gdzie ˆσ jest estymatorem wariacji a przykªad tym z poprzediego podrozdziaªu. roblem w tym,»e awet je±li ˆσ jest ieobci»oym estymatorem wariacji, to ˆσ zdeiowae jak powy»ej ie musi by ieobci»oym estymatorem odchyleia stadardowego. Mo»a pokaza,»e w takim przypadku tj. gdy ˆσ jest ieobci»oy zachodzi Eˆσ σ. Zadaie Udowodij to korzystaj c z tzw. ierówo±ci Jesea, która mówi,»e dla dowolej fukcji f wypukªej do góry i dowolej zmieej losowej X, zachodzi fex EfX. 6
7 dowód tej ierówo±ci w przypadku zmieych dyskretych w prosty sposób wyika z ierówo±ci Jesea omawiaej a aalizie, to samo dotyczy przypadku zmieych ci gªych cho dowód jest ieco bardziej skomplikoway. Niestety, ajcz ±ciej Eˆσ jest miejsze i» σ, tj. ˆσ jest estymatorem obci»oym. Mo»a temu zaradzi dodaj c do ˆσ specjale poprawki, które pozwalaj uzyska ieobci»oo±. W praktyce u»ywa si tego estymatora bez zmia. Mimo,»e jest o obci»oy, obci»eie to ie jest du»e, jest te» asymptotyczie ieobci»oy i zgody..4 Metoda ajwi kszej wiarygodo±ci Jak dot d omawiali±my estymatory dla ajbardziej aturalych parametrów: warto±ci oczekiwaej, wariacji, odchyleia stadardowego. Wzory, których u»ywali±my, te» byªy aturale starali±my si po prostu a±ladowa deicje odpowiedich poj. Mo»a zapyta czy istiej metody, które pozwalaj w miej lub bardziej automatyczy sposób kostruowa dobre estymatory w ogólym przypadku. Okazuje si,»e tak, a ajbardziej popular metod tego rodzaju jest tzw. metoda ajwi kszej wiarygodo±ci. Idea metody ajwi kszej wiarygodo±ci jest bardzo prosta. atrzymy a warto±ci zmieych X 1,..., X i staramy si zale¹ tak warto± estymowaego parametru θ, dla której prawdopodobie«stwo uzyskaia tych wªa±ie warto±ci jest ajwi ksze mo»liwe. Takie podej±cie dziaªa w przypadku zmieych o rozkªadzie dyskretym. Je±li mamy do czyieia ze zmieymi ci gªymi, to prawdopodobie«stwo uzyskaia dowolych ustaloych warto±ci jest rówe 0, dlatego metoda wymaga pewych drobych modykacji, ale idea pozostaje ta sama. odamy teraz formal deicj fukcji wiarygodo±ci oraz estymatora ajwi kszej wiarygodo±ci ag. Maximum Likelihood Estimator MLE. B dziemy u»ywa otacji z poprzedich podrozdziaªów, przy czym w sytuacji, gdy D jest rodzi rozkªadów ci gªych, b dziemy dodatkowo u»ywa symbolu f θ a ozaczeie fukcji g sto±ci rozkªadu odpowiadaj cego parametrowi θ. Fukcj wiarygodo±ci dla rodziy rozkªadów parametryzowaej przez θ azywamy: Lθ; x 1,..., x θ X 1 x 1... θ X x dla rozkªadów dyskretych, Lθ; x 1,..., x f θ x 1... f θ x dla rozkªadów ci gªych. Uwaga: W deicji tej zakªadamy, tak jak si to z reguªy robi,»e mamy do czyieia z prób prost. Je±li tak ie jest, ale»y u»y ª czego prawdopodobie«stwa oraz ª czej fukcji g sto±ci. Uwaga: U»ycie symbolu θ w deicji fukcji L jest pewego rodzaju adu»yciem otacyjym, θ jest ju» przecie» kokret warto±ci parametru, któr próbujemy zale¹. W praktyce u»ycie w tym miejscu tego samego symbolu ie prowadzi do iejaso±ci i dla uproszczeia zapisu tak wªa±ie b dziemy post powa w dalszej cz ±ci tego podrozdziaªu. Estymatorem ajwi kszej wiarygodo±ci MLE dla parametru θ azywamy estymator ˆθ, dla którego ˆθx 1,..., x jest rówy takiej warto±ci parametru θ, dla której Lθ; x 1,..., x przyjmuje warto± ajwi ksz. Uwaga: W ogólym przypadku mo»e si zdarzy,»e warto± ajwi ksza ie jest przyjmowaa. Wtedy MLE ie jest okre±loy. Mo»e si te» zdarzy,»e warto± ajwi ksza jest przyjmowaa w wielu puktach. Wtedy MLE jest okre±loy iejedozaczie. Zobaczymy teraz dwa proste przykªady metody ajwi kszej wiarygodo±ci w akcji jede przykªad dyskrety i jede ci gªy. 7
8 .4.1 Metoda ajwi kszej wiarygodo±ci przykªad dyskrety Rozwa»my bardzo prosty przykªad: D jest rodzi rozkªadów Beroulliego z iezaym prawdopodobie«stwem sukcesu s wyj tkowo ie u»ywamy zwyczajowego symbolu p w celu uiki cia problemów otacyjych, które chcemy estymowa. W tym przypadku fukcja wiarygodo±ci przyjmuje posta Ls; x 1,..., x s X 1 x 1... s X x s k 1 s k, gdzie k jest liczb jedyek w ci gu x 1,..., x. Musimy teraz zale¹ warto± s dla której L przyjmuje warto± ajwi ksz. Je±li k 0 to warto± ajwi ksz L przyjmuje dla s 0, podobie gdy k, warto± ajwi ksz L przyjmuje dla s 1. W pozostaªych przypadkach mo»emy obliczy pochod L s; x 1,..., x ks k 1 1 s k ks k 1 s k 1. ochoda ta zeruje si dla k1 s ks, czyli s k/ uzasadieie,»e jest to globale maksimum pomiiemy. A zatem warto±ci estymatora MLE prawdopodobie«stwa sukcesu s jest wªa±ie k/. Warto zwróci uwag,»e k/, a zatem w tym przypadku estymator MLE jest po prostu ieobci»oym estymatorem warto±ci oczekiwaej. Nie jest to specjalie zaskakuj ce, skoro warto±ci oczekiwa rozkªadu Berouliego z prawdopodobie«stwem sukcesu s jest wªa±ie s. Nale»y to raczej traktowa jako potwierdzeie skuteczo±ci metody ajwi kszej wiarygodo±ci..4. Metoda ajwi kszej wiarygodo±ci przykªad ci gªy W drugim przykªadzie zajmiemy si sytuacj, w której D jest rodzi rozkªadów ormalych N µ, σ o iezaej warto±ci oczekiwaej µ i wariacji σ. Zamy estymatory ieobci»oe dla µ i σ. Iteresuj cym pytaiem jest wi c: czy metoda ajwi kszej wiarygodo±ci potra wygeerowa te wªa±ie estymatory? Fukcja wiarygodo±ci wygl da w tym przypadku ast puj co 1 Lµ, σ ; x 1,..., x e x i µ 1 x i µ σ πσ π / σ e σ. Chcemy zale¹ warto±ci µ i σ dla których L jest ajwi ksze. Zauwa»my,»e iezale»ie od warto±ci σ, ajlepsz warto±ci µ jest taka warto±, dla której wyra»eie x i µ przyjmuje warto± ajmiejsz. Ró»iczkuj c po µ dostajemy x i µ, xi a przyrówuj c t pochod do zera otrzymujemy µ i t wªa±ie warto± µ zwróci estymator MLE warto±ci oczekiwaej. W dalszej cz ±ci rachuków zakªadamy,»e µ ma warto± obliczo przed chwil. Zajdziemy teraz warto± wariacji zwraca przez estymator MLE. Dla uproszczeia oblicze«zamiast fukcji L b dziemy rozpatrywa jej logarytm aturaly log L mo»emy to zrobi, poiewa» L i log L przyjmuj warto± ajwi ksz dla tych samych warto±ci µ i σ. Jest to bardzo cz sty zabieg w tego typu sytuacji, w omeklaturze agielskiej ta zlogarytmowaa fukcja awet ma swoj azw : log-likelihood. W aszym przypadku dostajemy: log Lµ, σ ; x 1,..., x log π log σ x i µ σ. 8
9 Ró»iczkuj c to wyra»eie po σ dostajemy σ + x i µ σ 3, a przyrówuj c pochod do zera otrzymujemy σ x i µ, i t wªa±ie warto± wariacji zwróci estymator ale»y pami ta,»e µ jest tu ±redi z próby. A zatem odpowied¹ a pytaie zadae a pocz tku tego podrozdziaªu brzmi: prawie. Metoda ajwi kszej wiarygodo±ci daje zay am ieobci»oy estymator warto±ci oczekiwaej, ale w przypadku wariacji dostajemy estymator obci»oy ale asymptotyczie ieobci»oy..4.3 Wªaso±ci estymatorów ajwi kszej wiarygodo±ci Niech D b dzie, jak zwykle, rodzi rozkªadów prawdopodobie«stwa parametryzowa przez θ i iech γ fθ dla pewej bijekcji f : Θ Γ. Wtedy mo»emy traktowa D jako rodzi rozkªadów parametryzowa przez γ. rzykªad: W przykªadzie z rodzi rozkªadów ormalych parametryzowaych przez warto± oczekiwa µ i wariacj σ mogliby±my rówie dobrze przyj,»e aszymi parametrami s warto± oczekiwaa i odchyleie stadardowe. Wtedy fµ, σ µ, σ. Otó» w powy»ej opisaej sytuacji, je±li ˆθ jest estymatorem MLE dla parametru θ, to fˆθ jest estymatorem MLE dla γ fθ. Wyika to atychmiast z deicji estymatora MLE. rzykªad: Je±li zamy estymator MLE dla wariacji, iech to b dzie ˆσ, to estymatorem dla odchyleia stadardowego jest ˆσ. Estymatory MLE, pomimo,»e ie musz by ieobci»oe, maj wiele iteresuj cych i po» - daych wªaso±ci. Wiadomo a przykªad,»e przy do± sªabych zaªo»eiach które s jedak do± skomplikowae i ie mo»emy ich tu przytoczy, zaªo»y ale»y m.i. zgodo± estymatory MLE s m.i. asymptotyczie ieobci»oe i asymptotyczie efektywe. Ta ostatia wªaso± ozacza,»e ich wariacja dla jest rówa wariacji ajefektywiejszego estymatora ieobci»oego. Zadaie W rozdziale dotycz cym estymatorów ieobci»oych pokazali±my w przykªadzie z helpdeskiem sytuacj, w której jedyy estymator ieobci»oy przyjmowaª warto±ci pozbawioe sesu. Zajd¹ estymator MLE dla tego przykªadu. 3 Estymacja przedziaªowa W tym rozdziale zajmiemy si tzw. estymacj przedziaªow. rzy zaªo»eiach jak w poprzedim rozdziale, b dziemy szuka ie pojedyczego estymatora ˆθ iezaego parametru θ, ale pary statystyk θ L i θ R tak skostruowaych, aby z du»ym prawdopodobie«stwem θ [θ L, θ R ]. Je±li prawdopodobie«stwo to jest 1 α, to przedziaª [θ L, θ R ] azywamy przedziaªem ufo±ci dla θ a poziomie ufo±ci 1 α. Uwaga: Mo»e zastaawia u»ycie w powy»szej deicji 1 α, a ie po prostu α. Jest to stadardowa otacja i, jak zobaczymy, prowadzi oa do ieco prostszych wzorów. Uwaga: Warto w tym miejscu zwróci uwag a populary bª d w rozumieiu powy»szej deicji. A miaowicie, pomimo tego,»e θ [θ L, θ R ] to po obliczeiu [θ L x 1,..., x,..., θ R x 1,..., x ] 9
10 dla kokretych warto±ci x 1,..., x ie mo»emy twierdzi,»e przedziaª te zawiera z prawdopodobie«stwem 1 α prawdziw warto± θ. Warto± ta bowiem albo ale»y do aszego przedziaªu albo ie, ie ma tu»adej losowo±ci. rawdopodobie«stwo sukcesu 1 α dotyczy sytuacji przed wylosowaiem próby i wykoaiem oblicze«, dla frakcji 1 α wszystkich mo»liwych prób odiesiemy sukces. odaa przez as deicja przedziaªu ufo±ci w»ade sposób ie ograicza warto±c θ L i θ R. Jase jest jedak,»e chcieliby±my, aby przedziaª [θ L, θ R ] byª mo»liwie krótki. Czasem iteresuje as tak»e zalezieie jak ajlepszego trudo tu mówi o dlugo±ci przedziaªu postaci [θ L, ifty lub, θ R ]. S to tzw. jedostroe przedziaªy ufo±ci. Omówimy teraz estymacj przedziaªow warto±ci oczekiwaej i wariacji w 4 typowych sytuacjach. Techiki, których u»yjemy s jedak do± ogóle i przeosz si a du» cz ± sytuacji spotykaych w praktyce. 3.1 Sytuacja 1 Estymacja warto±ci oczekiwaej rozkªadu ormalego o zaej wariacji Sytuacja ta jest do pewego stopia sztucza, rzadko bowiem chcemy estymowa warto± oczekiwa zaj c wariacj. Jest tak a przykªad wtedy gdy dokoujemy jakiego± pomiaru, którego dokªado± z góry zamy. Mo»emy a przykªad wa»y pewie przedmiot za pomoc wagi, której bª d ma rozkªad ormaly o zaej wariacji co jest do± mocym, ale ie absurdalym zaªo»eiem : rzede wszystkim jedak, omawiay przypadek ma charakter teoretyczy rozwa»aia s w im szczególie proste i staowi dobry model sposobu post powaia w zbli»oych, ale ie co trudiejszych sytuacjach. Niech X 1,..., X b dzie prób losow. Wiemy,»e ˆµX 1,..., X jest ieobci»oym estymatorem µ i aturale byªoby skostruowaie przedziaªu ufo±ci wokóª ˆµ. Jak dªugi powiie by te przedziaª? oiewa» wszystkie X i maj rozkªad ormaly N µ, σ, to ˆµ ma rozkªad N µ, σ. W takim µ µ razie zmiea Z ˆ σ ma rozkªad N 0, 1. Niech Φ b dzie dystrybuat stadardowego rozkªadu ormalego N 0, 1. Wtedy Φ 1 α Z Φ 1 1 α 1 α. Korzystaj c z symetrii rozkªadu ormalego mamy Φ 1 α Φ 1 1 α, a wstawiaj c deicj Z dostajemy Φ 1 1 α ˆµ µ Φ 1 1 α 1 α. σ rzeksztaªcamy ierówo±ci, aby uzyska przedziaª ufo±ci dla µ σφ 1 1 α + µ ˆµ σφ 1 1 α + µ 1 α, i ostateczie ˆµ σφ 1 1 α µ ˆµ + σφ 1 1 α 1 α, a zatem szukaym przedziaªem ufo±ci a poziomie 1 α jest [ ˆµ σφ 1 1 α, ˆµ + σφ 1 1 α ]. Šatwo sprawdzi,»e jedostroymi ] [ przedziaªami ufo±ci a poziomie ufo±ci odpowiedio 1 α s, ˆµ + σφ 1 1 α oraz ˆµ σφ 1 1 α,. W kolejych przykªadach b dziemy pomija wzory a przedziaªy jedostroe. Czytelik mo»e je jedak ªatwo wyprowadzi. 10
11 Uwaga: Nie jest by mo»e do ko«ca jase po co ormalizujemy zmie ˆµ deiuj c zmie Z. Korzystaj c z dowolego programu statystyczego p. R mo»a bowiem odczyta warto±ci odwroto±ci dystrybuaty czyli po prostu kwatyle rozkªadu N µ, σ dla dowolych µ i σ. Normalizacja ma w du»ej mierze charakter historyczy w tablicach matematyczych, których kiedy± u»ywao w tego typu obliczeiach, zajduj si jedyie kwatyle stadardowego rozkªadu ormalego. 3. Sytuacja Estymacja warto±ci oczekiwaej rozkªadu ormalego o iezaej wariacji Sytuacja, któr teraz omówimy ale»y do ajwa»iejszych i ajbardziej typowych w praktyce. Nie mo»emy powtórzy bez zmia rozwa»a«z poprzediego podrozdziaªu, poiewa» ie zamy warto±ci σ wyst puj cej w deicji zmieej Z. Narzuca si u»ycie zamiast σ warto±ci ˆσ, gdzie ˆσ jest ieobci»oym estymatorem wariacji zdeiowaym w poprzedim rozdziale, a zatem µ Z ˆ µ. ˆσ Nie jest jedak jase, czy tak zdeiowaa zmiea Z ma tak jak poprzedio rozkªad ormaly. Okazuje si,»e ie. Z ma rozkªad zway rozkªadem t Studeta o ν 1 stopiach swobody rozkªad ma stopie swobody, a ie Studet. Rozkªad te jest bardzo podoby do ormalego i dla ν zbiega do rozkªadu ormalego, ale jego fukcja g sto±ci ma ieco grubsze ogoy i i»sze cetrum dlaczego?. Nie b dziemy podawa wzoru a g sto± tego rozkªadu, ie jest o prosty. Warto zazaczy,»e rozkªad Studeta jest jedym z ajwa»iejszych rozkªadów w statystyce i ka»dy sesowy pakiet statystyczy pozwala oblicza jego kwatyle, próbkowa z iego itp. Uwaga: Statystyk Z cz sto ozacza si symbolem t, ze wzgl du a jej rozkªad. Dalsza cz ± rozwa»a«w tym podrozdziale jest aalogicza do podrozdziaªu poprzediego. Je±li przez F 1 ozaczymy dystrybuat rozkªadu Studeta o 1 stopiach swobody, to dostajemy ast puj cy przedziaª ufo±ci a poziomie ufo±ci 1 α [ ] 1 σf 1 1 α 1 σf 1 1 α ˆµ, ˆµ Sytuacja 3 Estymacja warto±ci oczekiwaej dowolego rozkªadu, du»y rozmiar próby Tym razem rodzia rozkªadów z któr mamy do czyieie iekoieczie jest rodzi rozkªadów ormalych, a wariacja, tak jak w poprzediej sytuacji, ie jest zaa. Zakªadamy jedak,»e mamy do czyieia z du» prób, p W tej sytuacji, ze wzgl du a du»y rozmiar próby, mo»emy przyj,»e: ˆµX 1,..., X ma rozkªad ormaly a mocy Cetralego Twierdzeia Graiczego zmiea ta ma rozkªad bardzo bliski ormalemu, ˆσ σ. Je±li przyjmiemy powy»sze zaªo»eia, to zmiea Z ˆµ µ ma rozkªad N 0, 1 i mo»emy σ ˆ skorzysta z rozumowaia z sytuacji 1. Dostajemy w te sposób ast puj cy przedziaª ufo±ci a poziomie ufo±ci 1 α ˆσ Φ ˆµ 1 1 α ˆσ Φ 1 1 α, ˆµ + 11
12 3.4 Sytuacja 4 Estymacja wariacji rozkªadu ormalego, warto± oczekiwaa iezaa Zaim przejdziemy do kostruowaia przedziaªu ufo±ci dla wariacji zdeiujemy kolejy rozkªad prawdopodobie«stwa. Rozkªadem χ chi-kwadrat o stopiach swobody azywamy rozkªad sumy X X, gdzie X i iezale»e o rozkªadzie N 0, 1. odobie jak w przypadku rozkªadu Studeta pomiiemy szczegóªowe wzory opisuj ce te rozkªad. B dziemy atomiast korzysta z ast puj cego twierdzeia które podajemy bez dowodu Twierdzeie Je±li X 1,..., X s iezale»ymi zmieymi o rozkªadzie N µ, 1 µ jest tu dowole, a X jest ich ±redi arytmetycz, to zmiea X i X ma rozkªad χ 1. opatrzmy teraz a zdeioway w rozdziale o estymacji puktowej ieobci»oy estymator wariacji ˆσ X 1,..., X X i ˆµX 1,..., X. 1 Šatwo zauwa»y,»e Z ˆσ X 1,..., X 1 σ σ ˆµX 1,..., X σ ma a mocy twierdzeia rozkªad χ 1 zmiee σ maj rozkªad ormaly o wariacji 1. Dalej post pujemy aalogiczie jak poprzedio, ale poiewa» obliczeia maj tym razem ieco i posta to podamy je w caªo±ci. Niech G 1 b dzie dystrybuat rozkªadu χ 1. Wtedy, podobie jak poprzedio, mamy α G 1 1 Z G α 1 α. Wstawiaj c deicj zmieej Z dostajemy α 1 ˆσ G 1 1 σ G α 1 α, a przeksztaªcaj c i wreszcie G 1 α 1 1 ˆσ 1 σ G 1 ˆσ 1 α G α 1 ˆσ α, σ 1 ˆσ G 1 α 1 α, 1 co daje am szukay przedziaª ufo±ci a poziomie ufo±ci 1 α [ 1 ˆσ ] 1 ˆσ G 1, 1 1 α G 1 α. 1 Warto zwróci uwag a to,»e rozkªad χ 1 ie jest symetryczy, w zwi zku z czym potrzebujemy dwóch ró»ych kwatyli we wzorach a przedziaª ufo±ci. 4 Testowaie hipotez 1
Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.
Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoA.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )
A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,
Bardziej szczegółowoMarek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa
Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki nansowej
Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoPrzedziaªy ufno±ci a testowanie hipotez statystycznych Konspekt do zaj : Statystyczne metody analizy danych
Przedziaªy ufo±ci a testowaie hipotez statystyczych Kospekt do zaj : Statystycze metody aalizy daych Agieszka Nowak-Brzezi«ska 26 listopada 2009 1 Wprowadzeie Celem zaj ma by omówieie podstawowych zagadie«i
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoNotatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.
Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo 2 1.1 Ozaczeia i poj cia...........................................
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocªawska Instytut Matematyki i Informatyki. Statystyka w liceum. Paweª Sztonyk
Politechika Wrocªawska Istytut Matematyki i Iformatyki Statystyka w liceum Paweª Sztoyk Waªbrzych, 5 listopada 2014 1 Aaliza daych liczbowych 1.1 Histogram czyli prezetacja gracza Histogramem azywamy jede
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY
GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Estymacja puktowa i przedziałowa Marta Zalewska Zakład Profilaktyki Zagrożeń Środowiskowych i Alergologii Populacja Próba losowa (próbka) Parametry rozkładu Estymatory (statystyki) Własości estymatorów
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja rzedziałowa - rzedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej arametrami ( x, s, s ). SłuŜą oe do ocey wartości iezaych arametrów oulacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami uktowymi iezaych
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki
Aaliza matematycza 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 1 Idukcja matematycza Przykªad 1. Pewego popoªudia Kubu± Puchatek kupiª pust beczk, która mie±ci 20 sªoików miodu, i wlaª do iej wszystkie swoje
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)
Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 16 kwietnia 2016 Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) 16 kwietnia 2016 1 /
Bardziej szczegółowo