5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Transkrypt

1 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X X Y Y 500. Skªadka pobierana od szkody S jest postaci (1+θ)ES, dla pewnej staªej θ > 0. Wylicz warto± tej staªej, aby szansa,»e zebrana skªadka od wszystkich 1000 szkód pokryje szkode wynosiªa Wiedz c,»e µ [0]+t = t, oblicz e 0. W celu walki z pewnym szczepem bakterii wdro»ono procedur leczenia polegaj c na wykorzystaniu dwóch rodzajów antybiotyków. Pierwszy antybiotyk z prawdopodobie«stwem α zabija te bakterie. Je»eli pierwszy antybiotyk nie zadziaªa to stosuje si drugi z antybiotyków, który z prawdopodobie«stwem α jest w stanie zabi bakterie. Prawdopodobie«stwo α jest nieznane. Przeprowadzono 100 niezale»nych eksperymentów, w wyniku których 40 prób zako«czyªo si zabiciem bakterii ju» po zastosowaniu pierwszego antybiotyku, a 0 eksperymentów po zastosowaniu dwóch antybiotyków. (a) Podaj wzór na estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru α. (b) Oblicz jego warto± dla danych z zadania.

2 Nauczycielska Dany jest trójk t ABC i punkt D który jest ±rodkiem boku BC. Udowodni,»e AB + AC = AD + BC. Niech n b dzie dan liczb naturaln. Rozwi» równanie ( 1) n = x x 1. Uzasadnij,»e x jest liczb naturaln. W celu walki z pewnym szczepem bakterii wdro»ono procedur leczenia polegaj c na wykorzystaniu dwóch rodzajów antybiotyków. Pierwszy antybiotyk z prawdopodobie«stwem α zabija te bakterie. Je»eli pierwszy antybiotyk nie zadziaªa to stosuje si drugi z antybiotyków, który z prawdopodobie«stwem α jest w stanie zabi bakterie. Prawdopodobie«stwo α jest nieznane. Przeprowadzono 100 niezale»nych eksperymentów, w wyniku których 40 prób zako«czyªo si zabiciem bakterii ju» po zastosowaniu pierwszego antybiotyku, a 0 eksperymentów po zastosowaniu dwóch antybiotyków. (a) Podaj wzór na estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru α. (b) Oblicz jego warto± dla danych z zadania.

3 Zastosowania Dane s niezale»ne zmienne losowe o tym samym rozkªadzie X, X 1, X,... i EX = 0, 0 < VarX = σ <. Poda granic (liczb ) w zale»no±ci od α R ( ) lim IP X X n > σ. n n α Uzasadni wynik. W zaª czeniu tablica dystrybuanty standardowego rozkªadu normlanego. Zaªó»my,»e proces X t = t db 0 s, gdzie B t jest ruchem Browna, opisuje stan naszego konta. Oblicz jaki b dzie ±redni stan konta w chwili t = 4 przy zaªo»eniu,»e wiemy ile byªo na koncie w chwili t =. Niech U 1, U, U 3 beda niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Obserwujemy zmienna losowa X. Testujemy hipoteze H 0 : X ma taki sam rozkªad jak min{u 1, U, U 3 } przeciwko H 1 : X ma taki sam rozkªad jak min{u 1, U }. Wyznaczy moc testu jednostajnie najmocniejszego na poziomie istotno±ci α = 0.15.

4

5 Matematyka stosowana Zaªó»my,»e populacja w obecno±ci drapie»ników rozwija si zgodnie z równaniem dn = N (1 N) an, a, b > 0. dt 1 + bn (a) Wyznacz stany stacjonarne. (b) Okre±l stabilno± wyznaczonych stanów stacjonarnych. Rozpatrzmy nast puj cy model mutacji nici DNA. Ka»dy nukleotydy podlega mutacji w sposób niezale»ny od pozostaªych nukleotydów. Przy ka»dej replikacji nici DNA, ka»dy z czterech nukleotydów A,C,G,T mo»e zosta zast piony przez nukleotyd innego typu z tym samym ustalonym prawdopodobie«stwem α. (a) Zaproponuj model matematyczny opisuj cy tak opisany proces mutacji. (b) Zaªó»my,»e w wybranym miejscu nici DNA znajduje si pocz tkowo nukleotyd C. Jaka jest ±rednia liczba replikacji do momentu pojawienia si nukleotydu G w tym ustalonym miejscu nici DNA? (c) Zakªadamy,»e ni DNA podlegaªa bardzo du»ej liczbie replikacji. Jakiej cz sto±ci poszczególnych nukleotydów mo»emy si wtedy spodziewa w jej skªadzie? W celu walki z pewnym szczepem bakterii wdro»ono procedur leczenia polegaj c na wykorzystaniu dwóch rodzajów antybiotyków. Pierwszy antybiotyk z prawdopodobie«stwem α zabija te bakterie. Je»eli pierwszy antybiotyk nie zadziaªa to stosuje si drugi z antybiotyków, który z prawdopodobie«stwem

6 α jest w stanie zabi bakterie. Prawdopodobie«stwo α jest nieznane. Przeprowadzono 100 niezale»nych eksperymentów, w wyniku których 40 prób zako«czyªo si zabiciem bakterii ju» po zastosowaniu pierwszego antybiotyku, a 0 eksperymentów po zastosowaniu dwóch antybiotyków. (a) Podaj wzór na estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru α. (b) Oblicz jego warto± dla danych z zadania.

7 Analiza danych Przeprowadzono badania liczby kilokalorii spo»ywanych dziennie przez niemowleta w zale»no±ci od kraju. Pomiary podsumowano w tabeli z lewej strony. ródªo df SS MS kraj n ±rednia s Egipt Kenia Meksyk Pomiedzy grupami Wewnatrz grup Caªkowite 1. Oblicz i wypeªnij powy»sza tabele ANOVY:. Oblicz odpowiednia statystyke testowa F : 3. Podaj warto± krytyczna na poziomie istotno±ci 0.05: 4. Zinterpretuj uzyskane wyniki w profesjonalny i komunikatywny sposób: Niech X 1,..., X 10 beda niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach N(µ i, 1), i = 1,..., 10, odpowiednio. Rozwa»amy problem testowania zbioru hipotez {H 0i : µ i = 0, H 1i : µ i > 0, i = 1,..., 10}. Zaobserwowano: 1.374,.184, 1.164, 3.595,.330, 1.180,.487,.738,.576, Które z hipotez mo»na odrzuci : (i) aby kontrolowa bªad I-ego rodzaju dla ka»dego z testów na poziomie istotno±ci α = 0.1? (ii) aby kontrolowa F W ER na poziomie 0.1? (iii) aby kontrolowa F DR na poziomie 0.1?

8 Kwantyle Rozkªad N(0, 1) W celu walki z pewnym szczepem bakterii wdro»ono procedur leczenia polegaj c na wykorzystaniu dwóch rodzajów antybiotyków. Pierwszy antybiotyk z prawdopodobie«stwem α zabija te bakterie. Je»eli pierwszy antybiotyk nie zadziaªa to stosuje si drugi z antybiotyków, który z prawdopodobie«stwem α jest w stanie zabi bakterie. Prawdopodobie«stwo α jest nieznane. Przeprowadzono 100 niezale»nych eksperymentów, w wyniku których 40 prób zako«czyªo si zabiciem bakterii ju» po zastosowaniu pierwszego antybiotyku, a 0 eksperymentów po zastosowaniu dwóch antybiotyków. (a) Podaj wzór na estymator najwi kszej wiarogodno±ci parametru α. (b) Oblicz jego warto± dla danych z zadania.