Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{ k : Pr( N k) Pr( N k + ) } Liczba * k (A) (C) (D) 5 6 wyosi:.5 k, k 0,,,...
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. Pewie system bous-malus składa się tylko z dwóch klas. Wędrówka kierowcy charakteryzującego się wartością q parametru ryzyka Q po przestrzei klas {, } tworzy jedorody łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach przejść: : Pr X ( t + ) j X ( t) i, Q q i, j, ( ) p q i, j W klasie pierwszej przebywają kierowcy którzy w poprzedim roku zgłosili szkody (jedą lub więcej), zaś w klasie drugiej (bousowej) ci, którzy szkód ie zgłosili. Wobec tego postać macierzy prawdopodobieństw przejść jest dla Q q astępująca: p p q, q, p p q, q, q q p p, gdzie p q Rozkład parametru ryzyka Q w populacji kierowców jest dwupuktowy: Pr ( Q 0.) 0. 6 (podpopulacja dobrych kierowców) Pr Q 0. 0. (podpopulacja złych kierowców) ( ) Rozważmy bezwarukowe (ze względu a Q) prawdopodobieństwa przejść: ( t) : Pr X ( t + ) j X ( t) i i, j,, t 0,,,... ( ) p i, j Oczywiście wartości p i, j (0) zależą od tego, w jakich proporcjach dobrzy i źli kierowcy rozlokowai zostali pomiędzy klasy pierwszą i drugą. Okazuje się jedak, że dla t,,,... macierz prawdopodobieństw jest już taka sama. Oblicz wartość jej lewego-górego elemetu, a więc: p ) dla t,,,...,( t (A) dla t,,,... p,( t) 5 dla t,,,... p (, t) (C) dla t,,,... p (, t) (D) dla t,,,... p (, t) 5 dla t,,,... p (, t)
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. Wartość oczekiwaa szkód X z ryzyka jest fukcją parametru Θ który charakteryzuje podmiot a to ryzyko arażoy, i wyosi E( X Θ ) Θ. Rozkład parametru Θ w populacji day jest a półosi dodatiej gęstością: f Θ( θ ) { exp( θ ) exp( θ )} Ubezpieczyciel ie rozróżia ryzyk lepszych od gorszych, ustalić więc musi składkę rówą dla wszystkich. Musi się jedak liczyć ze skutkami egatywej selekcji. Ozaczmy przez: U zmieą losową przyjmującą wartość jeśli podmiot abędzie ubezpieczeie, zaś 0 jeśli ie abędzie; Π składkę zaoferowaą przez ubezpieczyciela. Załóżmy, że egatywa selekcja przejawia się w tym, że: θ Pr(U Θ θ ) exp dla θ > 0 Π Jeśli ubezpieczyciel ustalił składkę a poziomie Π, to oczekiwaa wartość szkód dla przeciętego podmiotu (spośród tych podmiotów które zawrą ubezpieczeie), a więc: E ( X U ), wyiesie: (A) (C) (D) 9 5 6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. Liczba szkód N przy daej wartości λ parametru Λ charakteryzującej kierowcę ma rozkład Poissoa: k λ Pr( N k Λ λ) exp( λ), k 0,,,... k! Rozkład parametru Λ w populacji kierowców day jest a półosi dodatiej gęstością: f Λ ( λ) 8 λ exp( 9λ) Mowa jedak o szkodach w których sprawca i poszkodoway to ta sama osoba, a więc ubezpieczeie (AC) jest w tym wypadku dobrowole. Niech: U ozacza zmieą losową przyjmującą wartość jeśli kierowca abędzie ubezpieczeie, zaś 0 jeśli ie abędzie; Załóżmy, że: Pr( U 0 Λ λ) exp( λ) dla λ > 0 Iformacja o kierowcy z poprzediego roku może brzmieć tak, że: Nie abył ubezpieczeia Nabył ubezpieczeie, i miał zero szkód, jedą szkodę, dwie szkody, Stosuek warukowych wartości oczekiwaych: Ε( ΛU, N 0) Ε( ΛU 0) wyosi: (A) (C) (D) 0 0 9 60
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie 5. Rozważamy klasyczy proces adwyżki: U t u + ct, gdzie: () S N () t ct jest sumą składek zgromadzoych do mometu t, N t jest procesem Poissoa z parametrem itesywości λ, () S Y i jest sumą wartości pierwszych szkód i wartości szkód, Y, Y,... są i.i.d, iezależe od procesu N t Wartość pojedyczej szkody ma rozkład Pareto day a półosi dodatiej gęstością: f Y ( y) ( + y) zaś adwyżka początkowa i parametr itesywości składki wyoszą: u, c., λ Prawdopodobieństwo, że do ruiy dojdzie w pierwszym z tych mometów czasu, kiedy adwyżka spadie poiżej wartości początkowej, wyosi: Y ( ) (A) (C) (D) 0 5 5 6 5 5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie 6. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretym postaci: U u + c S, 0,,,..., S W + W +... + W W, W, W, gdzie zmiee,... są iezależe i mają te sam rozkład day a odciku ( 0, ) gęstością: f W ( x) 6x( x) Jeśli parametry procesu wyoszą: u 0, c to prawdopodobieństwo ruiy w horyzocie dwóch okresów czasu (a więc prawdopodobieństwo zdarzeia, iż U 0 lub U 0 ) wyosi: < < (A) (C) (D) 5 8 8 9 5 6 6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. W procesie adwyżki U(t) c ozacza itesywość składki a jedostkę czasu, U (0) ozacza adwyżkę początkową, zaś para T, ozacza momet zajścia i u ( ) wartość -tej szkody. Ozaczmy przez ΔT T T czas oczekiwaia a -tą szkodę (oczywiście ΔT T ). Przyjmujemy, że: ΔT Y, ΔT, Y, ΔT,,... są iezależe,, Y T, ΔT, ΔT,..., Y, Y,... Δ mają te sam rozkład (mówić będziemy o rozkładzie ΔT ), Y mają te sam rozkład (mówić będziemy o rozkładzie Y). Rozważmy model, gdzie: ΔT ma rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej λ, Y ma rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej β ; oraz model, gdzie: T ma rozkład Gamma z parametrami,λ o wartości oczekiwaej λ, Δ ( ) Y ma rozkład Gamma z parametrami (, β ) o wartości oczekiwaej β ; Ozaczmy współczyik dopasowaia oraz fukcję prawdopodobieństwa ruiy w pierwszym modelu przez R oraz Ψ ( ), zaś w drugim przez R oraz Ψ ( u). u Załóżmy, że c > λβ. Spośród poiższych zdań wybierz zdaie prawdziwe: Y (A) (C) (D) R oraz Ψ u) < Ψ ( u) R u 0 ( R R oraz Ψ( u) > Ψ ( u) u 0 R > R oraz Ψ( u) < Ψ ( u) u 0 R < R oraz Ψ( u) > Ψ ( u) u 0 Żade z powyższych zdań ie jest prawdziwe
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie 8. Łącza wartość szkód X Y + K+ YN ma złożoy rozkład Poissoa, gdzie rozkład wartości pojedyczej szkody Y jest określoy a półosi ieujemej, i ma dodatie i skończoe momety zwykłe pierwszych trzech rzędów. Przy powyższych założeiach iloraz współczyika skośości i współczyika zmieości zmieej X daje się ograiczyć od dołu. Efektywe ograiczeie to * ajmiejsza liczba c spośród takich liczb c, że dla dowolego rozkładu zmieej X spełiającego założeia zachodzi: γ c V XX gdzie γ X to współczyik skośości (stosuek trzeciego mometu cetralego do sześciau odchyleia stadardowego) a V X to stosuek odchyleia stadardowego do wartości oczekiwaej. (A) c * c * (C) c* (D) c* c * 8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie 9. Nadwyżka ubezpieczyciela w wyiku roczej działalości wyosi: U ( c + u)( + i) W, gdzie: W - ozacza łączą wartość szkód wypłacaych a koiec roku c - to zagregowaa składka za portfel ryzyk W, pobieraa a początku roku u - to kapitał początkowy, zabezpieczający ryzyko portfela W i - to stopa zwrotu z bezryzykowych papierów wartościowych, w które zaiwestoway jest przez okres roku kapitał zabezpieczający u i składka c Załóżmy, że W ma rozkład ciągły, day dystrybuatą F W. Ubezpieczyciel podejmuje decyzję łączą o wysokości potrzebego kapitału początkowego u oraz składki c, kierując się astępującymi przesłakami: ( U ) ( + r)u E Pr U < u ε gdzie: r > i, tz. oczekiwaa stopa zwrotu jest większa od stopy zwrotu bez ryzyka, prawdopodobieństwo ε utraty więcej iż ćwierci wyłożoego kapitału u jest małe. W rezultacie składka c daa jest astępującym wzorem: + i r i r + ( ) (A) c E( W ) + FW ( ε ) E( W ) + i c E( W ) + FW ( ε ) E( W ) r i r + + i + r i r + ( ) ( ) (C) c E( W ) + FW ( ε ) E( W ) + i (D) c E( W ) + FW ( ε ) E( W ) + r i r + + i r i r + ( ) ( ) c E( W ) + FW ( ε ) E( W ) 9
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie 0. Mamy trzy zmiee losowe dotyczące szkody, do której doszło w ciągu daego roku: T - czas zajścia szkody w ciągu tego roku kaledarzowego, o rozkładzie jedostajym a odciku ( 0, ), D - czas, jaki upływa od mometu zajścia szkody do mometu jej likwidacji, o rozkładzie daym a odciku ( 0, ) gęstością: f D ( x) 0. 5x, Y wartość szkody. Jedostką pomiaru czasu (tak dla zmieej T, jak i dla zmieej D) jest rok. Zmiee T oraz D są awzajem iezależe. Wartość szkody ie zależy od tego, kiedy do iej dojdzie, atomiast występuje tedecja do szybkiej likwidacji małych szkód i dłużej trwającej likwidacji dużych szkód, co wyraża astępujące założeie: E Y D, T E Y D 0 + ( ) ( ) D Warukowa oczekiwaa wartość szkody pod warukiem, że szkoda ta została zlikwidowaa w roku zajścia, a więc: E Y T + D wyosi: (A) 0. 0 (C) 0. (D) 0 0. ( ) 0
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Egzami dla Aktuariuszy z marca 008 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko...k L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja A D E E 5 D 6 A B 8 C 9 B 0 C * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.