Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

Transkrypt

1 Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo, że zdarzy się zerowa liczba (A) ( N = ) Pr = (B) ( N = ) Pr = (C) ( N = ) Pr = (D) ( N = ) Pr = 7 (E) ( N = ) Pr = 8 4

2 Zadanie. Rozkład wartości pojedynczej szkody Y określony jest na nieujemnych liczbach całkowitych. W poniższej tabeli zawarte są informacje o wartości oczekiwanej szkody uciętej: M E min Y, M ( { }) Z informacji tych wynika, że Pr ( Y = 5) wynosi: (A).8 (B). (C). (D).4 (E).6

3 Zadanie. Łączna wartość szkód z pewnego ryzyka miała w roku ubiegłym rozkład złożony: = Y + Y Y N, z rozkładem wartości pojedynczej szkody danym na półosi dodatniej gęstością: f Y ( x) =. ( + x) 4 O ile procent wzrośnie składka netto za pokrycie nadwyżki każdej szkody z tego ryzyka ponad kwotę d, jeśli kwota ta jest niezmienna i wynosi d = 5, natomiast ceny, w których wyrażone są szkody wzrosną o 5% (tzn. teraz ceny równe są 5/4 cen poprzednich)? (A) składka netto wzrośnie o 5% (B) składka netto wzrośnie o % (C) składka netto wzrośnie o 5% (D) składka netto wzrośnie o 6% (E) składka netto wzrośnie o 8%

4 Zadanie 4. Zmienne oraz reprezentują łączną wartość szkód z pewnego portfela ryzyk odpowiednio w roku ubiegłym oraz roku nadchodzącym. Zmienne te są (przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ ) zmiennymi losowymi warunkowo niezależnymi, o rozkładach złożonych Poissona o takiej samej oczekiwanej liczbie szkód λ i takim samym rozkładzie wartości pojedynczej szkody Y, z parametrami E ( Y ) = µ i wariancją Var ( Y ) = σ. Parametr ryzyka Λ ma rozkład, o którym wiemy, że: E ( Λ) = Λ, Var ( Λ) = L. Rozważamy predykcję łącznej wartości szkód w roku nadchodzącym przy założeniu, że znamy wartości parametrów µ, σ, Λ oraz L, a także iż zaobserwowaliśmy liczbę szkód N oraz łączną wartość szkód w roku ubiegłym. Dwa alternatywne predyktory są postaci: pred = µ [ N z N + Λ ( z N )], pred = z + µ Λ ( z ). Wartości każdego ze współczynników z N oraz z dobrane są tak, aby zminimalizować błędy średniokwadratowe predyktorów. Różnica błędów średniokwadratowych: E{ ( ) } {( ) } pred E pred wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 4 Λ L µ ( Λ ( + σ µ ) + L ) ( Λ + L ) 4 Λ L σ ( Λ ( + σ µ ) + L ) ( Λ + L ) 4 Λ L σ ( Λ ( + σ µ ) + L ) Λ L σ ( Λ ( + σ µ ) + L ) Λ L µ ( Λ ( + σ µ ) + L ) 4

5 Zadanie 5. oraz to dwa ryzyka (zmienne losowe) niezależne o tym samym rozkładzie danym dystrybuantą: gdy x < F ( x) =.6 +. x gdy x [, ) gdy x Prawdopodobieństwo zdarzenia, iż ich suma nie przekroczy liczby wynosi: (A) F (.5). 485 = + (B) F (.5). 495 = + (C) F (.5). 5 = + (D) F (.5). 49 = + (E) F (.5). 48 = + 5

6 Zadanie 6. Dana jest rodzina zmiennych losowych { M } M (,] parametrem M o dystrybuantach: y gdy y < M F M ( y) = gdy y M, M (, ] Y indeksowana oraz rodzina zmiennych { W M } ( ] o rozkładach złożonych Poissona o parametrach M, ( λ, F M () ). Niech V ) oznacza dla dowolnego M (, ] kwadrat współczynnika ( WM zmienności (stosunek wariancji do kwadratu wartości oczekiwanej) zmiennej W. Pochodną logarytmiczną współczynnika ( W M ) ( ( )) M ( M ) ln V W =, (, ) V można wyrazić wzorem: M M. M ( a M )( b M ) Parametry ( a,b) powyższego wzoru są równe (kolejność podania parametrów jest oczywiście obojętna): (A) (, ) 5 (B) (, ) (C) ( 4, ) (D) (, ) (E) (, ) M 6

7 Zadanie 7. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem ciągłym: skumulowana wartość szkód S ( t) jest procesem złożonym Poissona, w którym intensywność pojawiania się szkód wynosi λ =, zaś rozkład wartości pojedynczej szkody jest mieszaniną dwóch rozkładów wykładniczych, i jego gęstość jest na półosi dodatniej dana wzorem: fy ( x ) = exp x + exp x 4 4 intensywność składki (napływającej w sposób ciągły) wynosi c =, Wiadomo, że przy takich założeniach funkcja prawdopodobieństwa ruiny (jako funkcja wysokości nadwyżki początkowej u) jest postaci: ( ) = a exp( r u) + a ( r u) Ψ, u exp Suma parametrów tego wzoru ( a + a ) wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 7

8 Zadanie 8. W modelu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym: nadwyżka początkowa wynosi.5, składka roczna wynosi, a łączna wartość szkód w każdym roku (niezależnie od łącznej wartości szkód w innych latach): wynosi z prawdopodobieństwem dwie trzecie, wynosi z prawdopodobieństwem jedna trzecia. Prawdopodobieństwo ruiny (pojawienia się ujemnej nadwyżki na koniec któregokolwiek z lat) wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 4 4 8

9 Zadanie 9. Modelujemy przebiegający w czasie proces ściągania należności regresowych przez ubezpieczyciela. Niech T oznacza zmienną losową o rozkładzie: ciągłym na przedziale (,+ ) z pewną masą prawdopodobieństwa w punkcie +, reprezentującą czas ściągnięcia należności regresowej (liczony od momentu powstania prawa do regresu). Niech ft, FT oraz ht oznaczają odpowiednio funkcję gęstości, dystrybuantę oraz funkcję hazardu zmiennej T. Dystrybuancie oraz funkcji hazardu nadajemy następującą interpretację: t () ( ) F t = f s ds to wskaźnik ściągalności do czasu t (oczywiście = ) T T () ( ) ft () t F () t lim t = Pr T < to wskaźnik ściągalności ostatecznej, F T t h () t T T F T ( ) = dla t > to natężenie procesu ściągania (gęstość ściągania należności, które do momentu t pozostają jeszcze nie ściągnięte) Załóżmy, że natężenie procesu ściągania maleje z czasem wykładniczo, a dokładniej, dane jest funkcją hazardu określoną na półosi dodatniej postaci: h T () t = α exp ( β t), o parametrach α, β >. Wtedy wskaźnik ściągalności ostatecznej wyraża się wzorem: (A) Pr ( T < ) = (B) Pr( T < ) = exp( α ) (C) Pr( T < ) = exp( α / β ) (D) Pr( T < ) = exp( α ) (E) Pr ( T < ) = exp( α / β ) Wskazówka: możesz wykorzystać znaną tożsamość: h() t = ln ( F() t ) t 9

10 Zadanie. Mamy dwie zmienne losowe: czas zajścia szkody w ciągu roku kalendarzowego, oraz czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji. Załóżmy, że zmienne te są niezależne, a więc iż upływ czasu od momentu zajścia do momentu likwidacji szkody nie zależy od tego, w którym momencie czasu kalendarzowego do szkody doszło. Przyjmujemy, że jednostką pomiaru czasu (dla obu zmiennych) jest rok. Czas zajścia szkody w ciągu roku kalendarzowego ma rozkład jednostajny na odcinku (, ). Czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej β. Prawdopodobieństwo, iż szkoda zostanie zlikwidowana w ciągu tego samego roku kalendarzowego, w którym do niej doszło, wynosi: (A) exp β ( β ) (B) ( ) ( exp( β ) ) exp β β (C) (D) (E) exp β ( β ) ( ) β exp β β ( ) β exp β β

11 Egzamin dla Aktuariuszy z października r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja A B E 4 B 5 A 6 E 7 C 8 D 9 C A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.