LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III

Transkrypt

1 Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 maja 200 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 00 minut Komisja Nadzoru Finansowego, Warszawa r.

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Pewien podmiot posiada wyjściowy majątek o wartości w, i narażony jest na stratę X. Strata X jest zmienną losową o złożonym rozkładzie Poissona: X = I; +Y; +"'+Y N z oczekiwaną liczbą szkód równą E(N) = A, oraz: z wartością pojedynczej szkody o rozkładzie wykładniczym i wartości oczekiwanej równej E(I;) = p-l. Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty z pokryciem nadwyżki każdej szkody ponad kwotę d, a więc pokrywa: X d = (I; -dt + (Y; -d)+ +"'+(Y N -dt W zamian za składkę w wysokości: (l+b)e(x d ), gdzie parametr B ma wartość mniejszą od 00%. Podmiot ten postępuje racjonalnie, a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności, przy czym jego funkcja użyteczności jest postaci: u(x) = -exp( - p x). 2 Maksimum oczekiwanej użyteczności podmiot ten osiągnie wybierając kontrakt z udziałem własnym w każdej szkodzie d równym: 2In( +B) p 2AIn(+B) p Aln(+B) 2p In(+ B) 2p In(+B) p l

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 2. Liczba szkód N z pojedynczej umowy w pewnym ubezpieczeniu jest zmienną losową o rozkładzie danym wzorem: Pr(N = O) = PO' Pr(N = k) = (- Po)(l- q)qk-l, k =,2,3,..., z nieznanymi parametrami Po E [0,), q E (0,). Mamy próbkę N p N 2,,N loo obserwacji ze 00 takich umów ubezpieczeniowych. Zakładamy niezależność tych obserwacji. Niech (Po,q) oznaczają estymatory parametrów (Po,q) uzyskane metodą największej wiarygodności. Jeśli wiadomo, że w próbce zaobserwowaliśmy łącznie 60 szkód z 5 umów (pozostałe 85 umów okazało się bezszkodowe), to wartość estymatora q z dobrym przybliżeniem wynosi:

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 3. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki U(t) = u + et - SN(t)' u to nadwyżka początkowa et to suma składek zgromadzonych do momentu t, n Sn = LI; to łączna wartość szkód zaszłych do momentu t, gdzie: ;= proces liczący N(t) oraz wartości szkód ~,r;,';,... są niezależne, przy czym: N(t) jest procesem Poissona z parametrem intensywności A, wartości szkód ~,r;,';,...mają taki sam rozkład c = ( +O) A' E(~), O> O Wiadomo, że zmienna losowa: L := sup{u - U(t)} >0 daje się przedstawić jako zmienna o rozkładzie złożonym: L =/ +/ I N, (L = O gdy N = O), gdzie II jest zmienną określoną, gdy nadwyżka spadnie poniżej u, i równa jest wtedy: II = u - U (li), gdzie t to moment czasu, kiedy po raz pierwszy do takiego spadku doszło. Wiadomo, że jeśli doszło do ruiny, wtedy istnieje taka liczba K E {,2,..., N} że: II +/ I K >u oraz II +/ I K - <u Innymi słowy, K oznacza kolejny numer tego spadku, przy którym nastąpiła ruina, zaś liczba (N - K) oznacza liczbę spadków, do których doszło już po zajściu ruiny. Wzór na oczekiwaną liczbę spadków po zajściu ruiny: E(N -KIL >u) ma postać: l+u O O +0 O O(+u) bez informacji o rozkładzie zmiennej ~ (lub ) nie można wskazać żadnej z powyższych odpowiedzi 3

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 4. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki U(t) = u + et - SN(I)' u to nadwyżka początkowa et to suma składek zgromadzonych do momentu t, n Sn = l)~to łączna wartość szkód zaszłych do momentu t, gdzie: i=) proces liczący N(t) oraz wartości poszczególnych szkód ~,Y;,J;,... są niezależne, przy czym: N(t) jest procesem Poissona z parametrem intensywności A., wartości poszczególnych szkód ~, r;, ;,... mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej p-l e = ( + O). A., O > O Wiadomo, że zmienna losowa: L:= sup{u -Ue!)} >0 daje się przedstawić jako zmienna o rozkładzie złożonym: L=I) N' (L=O gdyn=o), gdzie l( jest zmienną określoną, gdy nadwyżka spadnie poniżej u, i równa jest wtedy: l) =u-u(t)), gdzie t) to moment czasu, kiedy po raz pierwszy do takiego spadku doszło. Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia ruiny w pierwszym momencie, w którym doszło do spadku nadwyżki początkowej, pod warunkiem, że do ruiny doszło, a więc: Pr(N > 0,) > ull > u) Dane jest wzorem: exp(- PBu) +0 exj-~) ~ +0 exp(- pu) exp(- pu) +0 Oexp(- pu) +0 4

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 5. Przyjmijmy dla pewnego jednorodnego portfela ubezpieczeń następujące oznaczenia: Nt,j to liczba szkód, które zaszły w roku t i zostały zgłoszone w roku (t + j) n t to liczba jednostek ryzyka (exposure) w roku t. Zakładamy, że Nt,j jest dla każdej pary (t,j) zmienną losową o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną równą n/"trj, gdzie At to oczekiwana liczba szkód na jednostkę ryzyka w roku t, zaś współczynniki udziałowe ro,r"" co r j ~ O, j = 0,,2,..., oraz Ir j =. j=o Zakładamy także niezależność wszystkich zmiennych Nt,j' całkowitych t orazj. spełniają: dla wszystkich Zaobserwowaliśmy w ostatnich 3 latach następujące realizacje zmiennej Nt,j: ~ O 2 O Wiemy także, że liczby jednostek ryzyka w tych latach wyniosły: no = 550, ' = 600, n 2 = 700 Jeśli przyjmiemy dodatkowe założenia, że: ro + li + r 2 = l, oraz lo = ~ = ~, i przy tych założeniach wyestymujemy parametry (ro'r l, r 2, lo) metodą największej wiarygodności, to estymator parametru lo wyniesie (z dobrym przybliżeniem): Wskazówka: możesz ułatwić sobie zadanie estymując bezpośrednio MNW parametry Co :=loro' CI := loli oraz c 2 :=lor 2, i otrzymując estymator MNW parametru lo jako sumę uzyskanych ocen. 5

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 6. Wartość oczekiwana szkódx z ryzykajest funkcją parametru A który charakteryzuje podmiot na to ryzyko narażony, i wynosi E(XIA) = 3A. Rozkład parametru A w populacji ryzyk danyjest na półosi dodatniej gęstością: fa(x) =looxexp(-lox) Ubezpieczyciel nie odróżnia ryzyk lepszych od gorszych, ustalić więc musi składkę równą dla wszystkich. Musi się jednak liczyć ze skutkami negatywnej selekcji. Oznaczmy przez: U zmienną losową przyjmującą wartość jeśli podmiot nabędzie ubezpieczenie, zaś Ojeśli nie nabędzie; II składkę zaoferowaną przez ubezpieczyciela. Załóżmy, że negatywna selekcja przejawia się w tym, że: Pr(U = lla = A) = l - ex{ - ~ ) dla A > O Jeśli ubezpieczyciel ustalił składkę na poziomie II=, to oczekiwana wartość szkód dla przeciętnego podmiotu (spośród tych podmiotów które zawrą ubezpieczenie), a WIęC: E(XIU = ), wyniesie z dobrym przybliżeniem:

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 7. W modelu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym nadwyżka początkowa wynosi 3.5, składka roczna wynosi 2, a łączne wartości szkód w kolejnych latach W;,W 2,W 3, sąniezależnymi r zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie danym wzorem: Pr(W, ~ k) ~ 2G k =,2,3,... Prawdopodobieństwo ruiny wynosi: 6 6.fi fi 64 7

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 8. Niech Xt,j oznacza pomiar zmiennej w miesiącuj roku t, t =,2,... 0, j =,2,...,2. Zakładamy, że X t,} zawiera składnik wahań sezonowych oraz wahań przypadkowych. Dokładniej, wahania przypadkowe spełniają założenia: E(Xt,jl,uj)=,uj var(xtauj= S2, cov(xt,j,xs,kl,uj,,uk)=o, jeśli (j:t:-k lub t:t:-s) zaś wahania sezonowe spełniają założenia: E(uJ=,u var(uj= a 2 COV(uJ',uk)= O, jeśli j :t:- k W celu estymacji parametrów sezonowych,uj posługujemy się współczynnikiem: 2 -s -z'= 0. l' a 2 +_S2 0 Nie znamy parametrów a 2 ani S2. Estymujemy (- z) korzystając z dekompozycji sumy kwadratów odchyleń na wahania wewnątrz-sezonowe 0 2 L:L:(Xt,j-xjf -z := const._t;_i_;2_;i _ L:(xj-xf j; i między-sezonowe: gdzie X oraz X j oznaczają odpowiednio średnią ogólną (ze 20 obserwacji) i średnią z obserwacji dotyczącychj-tego miesiąca. Jeśli estymator współczynnika (- z) miałby być ilorazem nieobciążonych estymatorów parametrów ~ S2 oraz (a 2 + _ S2), to stała constwynosi: 0 0 const= const=-- 0 const= const= 9 0 const=

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 9. Pewne ryzyko generuje szkody zgodnie z procesem Poissona z parametrem intensywności A. O parametrze A zakładamy, że jest on realizacją zmiennej losowej A o rozkładzie Gamma (2,5). Niech N(t) oznacza liczbę szkód w czasie od O do t, zaś T(t) - chwilę wystąpienia pierwszej szkody po momencie t. E(T(4)-4IN(4)=2) wynosi:

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 0. W pewnym ubezpieczeniu może dojść co najwyżej do jednej szkody w ciągu roku. Wartość szkody (o ile do niej dojdzie) ma rozkład jednostajny na odcinku (0,). Ubezpieczony, któremu (niezależnie w kolejnych latach) zdarzają się szkody z prawdopodobieństwem q, wędruje po klasach systemu bonus malus, w którym: Po roku ze zgłoszeniem szkody przenosi się do klasy Po roku bez zgłoszenia przenosi się do klasy 2 Geśli był w klasie ) lub do klasy 3 Geśli był w klasie 2 lub 3). Gdyby zgłaszał wszystkie szkody które mu się zdarzają, macierz prawdopodobieństw przejść wyglądałaby następująco: [: ~ ;J. q O P Niech '' '2 oraz '3 oznaczają składkę płaconą przez ubezpieczonego przesuniętego właśnie do klasy, 2 lub 3 odpowiednio. Ponieważ fi > '2 > '3' nasz ubezpieczony postanawia zastosować następującą strategię: Zgłasza szkodę, o ile jej wartość przekracza d Szkody nie przekraczające d pokrywa we własnym zakresie; przy czym wartość d jest ta sama bez względu na klasę, w której aktualnie przebywa. Ubezpieczony tak dobiera parametr d, aby wartość oczekiwana całkowitego kosztu (płaconej składki i kosztu samodzielnie pokrywanych szkód) była jak najmniejsza. Bierze przy tym pod uwagę oczekiwany całkowity koszt w pojedynczym, odległym okresie czasu (na tyle, żeby oczekiwaną składkę liczyć w oparciu o graniczny rozkład na przestrzeni klas). Jeśli składki wynoszą odpowiednio: fi = 0., r 2 = 0.075, r 3 = 0.05, zaś parametr charakteryzujący naszego ubezpieczonego wynosi q = 0., to optymalna wartość parametru d wynosi (z dobrym przybliżeniem):

12 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Egzamin dla Aktuariuszy z 3 maja 200 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi* Imię i nazwisko:. Pesel. Zadanie nr Odpowiedź Punktacja Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.