Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład Poissona. Momenty rozkładu wartości poedyncze szkody wynoszą:, [ ]. Wiemy także, że momenty nadwyżki wartości poedyncze szkody ponad udział własny w wysokości wynoszą: [ ], {[ ] }. Niech teraz oznacza łączna wartość szkód uciętych do wysokości udziału własnego wynoszącego dla każde szkody, a więc: { } { } { } ; Wobec tego kwadrat współczynnika zmienności zmienne, a więc: [ ] Wynosi: (A) (B) (C) (D) (E)

2 Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład dwumianowy. Liczba szkód N ma rozkład dwumianowy z parametrami o wartości oczekiwane. O rozkładzie wartości poedyncze szkody wiemy, że:, ( { }), Oraz iż ego drugi moment est skończony. Oznaczmy przez oraz części łączne wartości szkód W pokrywane przez ubezpieczyciela i reasekuratora, odpowiednio. Zgodnie z warunkami kontraktu mamy: { } { } { } ;. Kowarianca tych dwóch części wynosi: (A) (B) (C) (D) (E)

3 Zadanie 3. Niech oznacza moment zaścia n-te szkody, w procesie poawiania się szkód, który startue w momencie. Ponieważ szkody numeruemy według koleności zaścia, wobec tego zachodzi 0 T T. Likwidaca n-te szkody następue w momencie Tn Dn. Załóżmy, że zmienne losowe : są niezależne, maą taki sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwane ½. Niech oznacza liczbę szkód zlikwidowanych do momentu t. Wobec tego oczekiwana liczba szkód zlikwidowanych na odcinku czasu, a więc [ ] Wynosi: (A).975 (B).957 (C).935 (D).90 (E).883 3

4 Zadanie 4. Niech: N oznacza liczbę roszczeń z ednego wypadku ubezpieczeniowego, zaś: T, T,..., TN oznacza czas, aki upływa od momentu zaścia wypadku do zgłoszenia roszczenia odpowiednio -go, -go,, N-tego, przy czym numeraca roszczeń od -go do N-tego est całkowicie przypadkowa (porządek liczb T, T,..., TN est losowy) Załóżmy, że: zmienne losowe N T, T,,... są niezależne,, T3, T, T3 zmienne losowe T,... maą identyczny rozkład wykładniczy o gęstości dane dla dodatnich t wzorem:, przy czym ednostką pomiaru czasu est miesiąc zmienna losowa N ma rozkład logarytmiczny określony dla funkcą prawdopodobieństwa: Niech A oznacza zdarzenie, iż w ciągu pierwszego miesiąca od zaścia wypadku zgłoszono dokładnie edno roszczenie, a więc iż dokładnie edna liczba ze zbioru liczb T, T,..., T N, est mniesza lub równa. Prawdopodobieństwo, że z tego wypadku więce roszczeń uż nie będzie: Pr( N A) z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) (B) (C) (D) (E)

5 Zadanie 5. Łączna wartość szkód: X Y Y... YN, ma przy dane wartości parametru ryzyka warunkowy rozkład złożony Poissona o oczekiwane liczbie szkód równe oraz rozkładzie wartości poedyncze szkody danym dla y 0 gęstością: f Y ( y) exp y, gdzie a 0, oraz b 0. a b a b Parametr ryzyka ma w populaci ubezpieczonych rozkład dany dla x 0 gęstością: f ( x) x exp( x). ( ) Przymimy wartości parametrów zadania równe: a, b 0 4, 40 Wobec tego różnica: ( N) ( Y ) ( X ) wynosi: (A) (B) /3 (C) /3 (D) / (E) /4 5

6 Zadanie 6. Rozważamy proces dyskretny nadwyżki ubezpieczyciela postaci: U u ( c du) n, n 0,,,3,..., gdzie: n W n k n u U0 - to nadwyżka początkowa c - to kwota roczne składki d to stopa dywidendy wypłacane corocznie akconariuszom od kapitału u W W,,... - to niezależne zmienne o takim samym rozkładzie normalnym z, W3 parametrami W i W, wyrażaące łączne wartości szkód w kolenych latach Wyznaczamy równocześnie składkę c oraz kapitał początkowy u w taki sposób, aby składka była ak naniższa, przy warunku, iż prawdopodobieństwo ruiny, a więc zdarzenia, iż: dla pewnego n 0,,,3,... zadzie U n 0 równe est z góry zadane liczbie. W obliczeniach posługuemy się wzorem przybliżonym na prawdopodobieństwo ruiny opartym na aproksymaci procesu U ciągłym procesem Wienera o wartościach oczekiwanych i wariancach rocznych przyrostów takich ak w procesie n U n. Przy założeniach liczbowych: /00, W 000, W 0000, d 5%, naniższa wartość składki c spełniaąca ww. warunki znadue się w przedziale: (A) ( 030, 040) (B) ( 040, 050) (C) ( 050, 060) (D) ( 060, 070) (E) (070, 080) 6

7 Zadanie 7. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki ubezpieczyciela: Ut u ct St gdzie: u to nadwyżka początkowa, S (t) - to skumulowana wartość szkód tworząca złożony proces Poissona z intensywnością, z wykładniczymi szkodami o wartości oczekiwane / 4 Parametr intensywności składki wynosi c 3 Wiemy, że przy aktualne wysokości kapitału początkowego u prawdopodobieństwo ruiny u spełnia warunek: u / 8. Niech zdarzenie A oznacza, iż do ruiny doszło, a więc dla pewnego t 0 zaszedł warunek U ( t) 0. Niech zdarzenie B oznacza, iż do ruiny doszło w tym momencie, w którym po raz pierwszy nadwyżka U (t) spadła poniże wartości kapitału początkowego u. Prawdopodobieństwo warunkowe Pr( B A) mieści się w przedziale: (A) ( 0.00, 0.0) (B) ( 0.0, 0.0) (C) ( 0.0, 0.03) (D) ( 0.03, 0.04) (E) ( 0.04,.00) 7

8 Zadanie 8. W pewnym ubezpieczeniu może dość co nawyże do edne szkody w ciągu roku. Wartość szkody (o ile do nie dodzie) ma rozkład ednostany na odcinku (0,). Ubezpieczony, któremu (niezależnie w kolenych latach) zdarzaą się szkody z prawdopodobieństwem q, wędrue po klasach systemu bonus malus, w którym: Po roku ze zgłoszeniem szkody przenosi się do klasy Po roku bez zgłoszenia przenosi się do klasy (eśli był w klasie ) lub do klasy 3 (eśli był w klasie lub 3). Gdyby zgłaszał wszystkie szkody które mu się zdarzaą, macierz prawdopodobieństw prześć wyglądałaby następuąco: q p 0 q 0 p. q 0 p Niech r, r oraz r 3 oznaczaą składkę płaconą przez ubezpieczonego przesuniętego właśnie do klasy, lub 3 odpowiednio. Ponieważ r r r3, nasz ubezpieczony postanawia zastosować następuącą strategię: Zgłasza szkodę, o ile e wartość przekracza d Szkody nie przekraczaące d pokrywa we własnym zakresie; przy czym wartość d est ta sama bez względu na klasę, w które aktualnie przebywa. Ubezpieczony tak dobiera parametr d, aby wartość oczekiwana całkowitego kosztu (płacone składki i kosztu samodzielnie pokrywanych szkód) była ak namniesza. Bierze przy tym pod uwagę oczekiwany całkowity koszt w poedynczym, odległym okresie czasu (na tyle, żeby oczekiwaną składkę liczyć w oparciu o graniczny rozkład na przestrzeni klas). Jeśli składki wynoszą odpowiednio: r 0. 4, r 0. 0, r , zaś parametr charakteryzuący naszego ubezpieczonego wynosi q 0., to optymalna wartość parametru d wynosi (z dobrym przybliżeniem): (A) 0.05 (B) 0.06 (C) (D) (E)

9 Zadanie 9. Liczby szkód w kolenych latach z poedynczego ryzyka, charakteryzuącego się wartością parametru ryzyka, są warunkowo niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną. Rozkład wartości parametru ryzyka w populaci generalne ryzyk (nieskończone) ma wartość oczekiwaną i wariancę równą odpowiednio i. W poprzednim roku mieliśmy portfel złożony z 000 ryzyk wylosowanych z te populaci, i wygenerowały one N szkód. W bieżącym roku będziemy mieć 00 ryzyk, które wygeneruą M szkód, przy czym: spośród ryzyk które ubezpieczaliśmy w roku poprzednim 00 losowo dobranych ryzyk opuściło nasz portfel (pozostanie lub opuszczenie portfela nie zależy od liczby wygenerowanych szkód) oprócz 900 ryzyk kontynuuących ubezpieczenie w portfelu, 00 ryzyk to ryzyka nowe, przypadkowo wylosowane z pozostałe części populaci. Załóżmy, że: znamy edynie łączną liczbę szkód zaszłych w poprzednim roku (nie wiemy, ak ta liczba rozkłada się pomiędzy tych, którzy kontynuuą i nie kontynuuą ubezpieczenia w roku bieżącym) wiemy ponadto, że oraz. Dobieramy parametry rzeczywiste a i b predyktora zmienne losowe M postaci: ( ) w taki sposób, aby otrzymać predyktor o namnieszym błędzie średniokwadratowym wśród predyktorów nieobciążonych te postaci. Współczynnik b dla tak dobranego predyktora wynosi: (A) 9/ (B) /0 (C) / (D) (E) /0 9

10 Zadanie 0. Niech X, oznacza pomiar zmienne w miesiącu roku t, t,,... 0,,,...,. t Zakładamy, że X, zawiera składnik wahań sezonowych oraz wahań przypadkowych. t Dokładnie, wahania przypadkowe spełniaą założenia: X t, var X t, s, cov X t,, X s, k, k 0, eśli ( k lub t s ) zaś wahania sezonowe spełniaą założenia: var a cov, 0, eśli k k W celu estymaci parametrów sezonowych posługuemy się współczynnikiem: s z : 0. a s 0 Nie znamy parametrów a ani s. Estymuemy ( z) korzystaąc z dekompozyci sumy kwadratów odchyleń na wahania wewnątrz-sezonowe i między-sezonowe: ˆ 0 t z : const X X X t, X gdzie X oraz X oznaczaą odpowiednio średnią ogólną (ze 0 obserwaci) i średnią z obserwaci dotyczących -tego miesiąca. Jeśli estymator współczynnika ( z) miałby być ilorazem nieobciążonych estymatorów parametrów s oraz a s, to stała const wynosi: 0 0 (A) (B) (C) (D) (E) const 9 0 const 0 0 const 0 const 9 0 const 90 0

11 Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 03 r. Matematyka ubezpieczeń maątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktaca B A 3 B 4 C 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 0 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisa Egzaminacyna.