Wykład 11: Gawitacja cz. d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.pl http://laye.uci.agh.edu.pl/z.szklaski/
Pawo Gaussa - PZYKŁADY: Masa punktowa: ds Powiezchnia Gaussa M g g S g ds S g ds 0 cos180 S gds g ds g g Skoo: S ds g4 g 4GM g G M Stąd pawo powszechnego ciążenia F g m g G Mm 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Sfeyczny ozkład masy masa M ozłożona na sfeze o pomieniu gęstość powiezchniowa M masy: 4 M 1. ozpatujemy piewszy obsza > Na podstawie pawa Gaussa 4GM S g ds gdzie M jest masą powłoki zawatej wewnątz powiezchni Gaussa. 4 GM G 4 M GM g4 g g G 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
. Dla dugiego obszau < 0 g ds g 0 S gdyż żadna masa nie jest zawata wewnątz wybanej powiezchni Gaussa. M 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 4
Objętościowy ozkład masy kula o pomieniu i masie M. 1. piewszy obsza > (cała masa kuli zawata jest wewnątz powiezchni Gaussa). M 4GM g ds 4GM S g4 g GM Można stąd obliczyć potencjał i enegię potencjalną masy póbnej m znajdującej się w odległości od źódła pola gawitacyjnego M. GMm V g d E p 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 5
. dla < tylko część masy kuli zawata jest wewnątz powiezchni Gaussa. Na podstawie pawa Gaussa: 4GM ' g ds ' 4GM g4 M M ' GM g Obliczmy M : ' ' M M M M M ' M ' V V 4 4 Dla obu obszaów otzymujemy ten sam wynik gdy = g Podobnie jak popzednio: GM stąd V g d E p g GMm GM 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 6
1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 7
Liniowy i powiezchniowy ozkład masy 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 8
Inny pzykład zastosowania pawa Gaussa. W jednoodnej kuli o pomieniu, wykonanej z mateiału o gęstości 1, wykonano kuliste wydążenie o pomieniu =⅓ pzylegające do powiezchni kuli. Wydążenie wypełniono mateiałem o gęstości = ½ 1 Kozystając z pawa Gaussa oblicz natężenie pola gawitacyjnego w punkcie P, odległości od powiezchni kuli. Zób ysunek z zaznaczeniem wybanych powiezchni Gaussa. g G1 7 =+ =+⅓ P 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 9
Uczeń cukienika upiekł makowiec w kształcie badzo, badzo długiego, idealnego walca - niestety z zakalcem. Gęstość tego makowca o pomieniu można opisać w uposzczeniu funkcją = A(1-/), gdzie A - stała makowcowa. Z jaką siłą pzyciąga ten makowiec punktowy pączek o masie m umieszczony w odległości od osi makowca? 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 10
Enegia gawitacyjna jednoodnej kuli Obliczamy enegię oddziaływania pomiędzy pełną kulą o pomieniu a otaczającą ją powłoką kulistą o gubości d i masie dm. Budowanie kuli będzie polegać na doklejaniu kolejnych zewnętznych powłok. Paca potzebna na doklejenie powłoki pzeniesienie jej z : dw GMdM 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 11
masa tak twozonej kuli i powłoki jest ówna odpowiednio: M dm 4 4 d Całkowita paca potzebna do utwozenia kuli: W dw GMdM 0 G 4 4 d 16 G 0 4 d W 16 G 5 5 GM 5 W ten sposób obliczamy enegię gawitacyjną gwiazd i planet. 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1
Pzykładowo, gawitacyjna enegia własna Słońca: M s 10 0 kg s 710 8 m E p Slonca 5 6,67 10 11 (7 10 (10 8 ) 0 ) 10 J Jest to badzo duża ilość enegii i jest oczywiste, że w pocesie gawitacyjnego zapadania się gwiazdy (do stadium białego kała o pomieniu ok. 0,1 obecnego pomienia Słońca) wyzwoli się ogomna ilość enegii. 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1
Zależność pzyspieszenia ziemskiego od wysokości (dla sze.geog. 45 0 ) Wysokość [m] g [m/s ] 0 9,806 1000 9,80 4000 9,794 8000 9,78 000 9,71 szeokości geogaficznej (na poziomie moza) geoida pawie połowa zmiany g jest wywołana uchem obotowym Ziemi Szeokość geogaficzna g [m/s ] 0 0 9,780 0 0 9,79 50 0 9,811 90 0 9,8 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 14
W związku z uchem obotowym Ziemi, należy uwzględnić działanie siły odśodkowej bezwładności. Cięża ciała na szeokości geogaficznej : Mg=mg φ mg m F b mg φ mg GMm cos m T g GM 4 T cos Na biegunie: 90 o g b GM Na ówniku 0 o g GM 4 T 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 15
Wahadło Foucault a płaszczyzna wahań wykonuje pełen obót w ciągu jednej doby gwiazdowej (h 56min 04,09s). W każdym wahnięciu wahadło nieznacznie skęca, zbacza z postej dogi. Zboczenie to odpowiada ściśle kątowi, o jaki w ciągu tego wahnięcia obóciła się Ziemia. Zmianę kieunku uchu wahadła można zintepetować jako skutek działania pewnej siły. To jest właśnie siła Coiolisa, a cały efekt dowodzi nieinecjalności układu odniesienia związanego z powiezchnią Ziemi, czyli pośednio jej uchu obotowego. 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 16
cos óżnica pomiędzy każdą z tych pędkości a pędkością śodka pieścienia wahadła Foucaulta: Kula wahadła Foucaulta wykonuje wahania nad pieścieniem o pomieniu, a płaszczyzna wahań obaca się w kieunku uchu wskazówek zegaa. Pędkości względne kańcowych punktów pieścienia północnego i południowego są óżne. Szybciej pousza się punkt leżący dalej od osi obotu. Obliczamy pędkości liniowe odpowiednio północnego i południowego punktu pieścienia: v N v S cos sin cos sin v sin 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 17
Skoo obwód pieścienia wynosi więc pełny obót płaszczyzny wahań: Stąd okes obiegu: T 0 T ( sin ) 0 sin T T sin 4h sin Miejsce Miasto Dziedziniec Politechniki Gdańskiej Gdańsk 6 64 Wieża adziejowskiego dawna dzwonnica Fombok 8,5 46 Wieża Dzwonów na Zamku Książąt Pomoskich Szczecin 8,5 76 Wydział Matematyczno-Pzyodniczy Uniwesytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach L (m) Kielce 7 Wydział Fizyki Uniwesytetu im. Adama Mickiewicza Poznań 10 5 Centum Nauki Kopenik Waszawa 16 4 Planetaium Śląskie Chozów Kościół św. Piota i Pawła Kaków 46,5 5 M (kg) 1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 18
1.04.018 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 0