Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności funkcji 9 Całki nieoznaczone 4 Całki oznaczone 6
Zestaw. Ciągi i ich własności Zadanie.. Napisz kilka pierwszych wyrazów ciągu a n ) n N określonego następująco: a) a n = b) a n = n + ) n ) c) a n = )n n d) a n = sin nπ e) a n = ) n + sin nπ f) a n = ) n+ + + )n n + g) a n = n )n h) a n = + n sin nπ i) a n = + n n + cos nπ. Zadanie.. Znajdź wzór ogólny ciągu a n ) n N określonego następująco: a),, 6, 4,,... b),,, 4,, 6,... c),, 7,,, 6,... d), 4, 7,,, 6,... e) 8, 4, 4,,,... f),,,,,,,,... g) 4,,,, 4, 8,... h),,,,,,... Zadanie.. Zbadaj czy podany ciąg a n ) n N jest arytmetyczny lub geometryczny, jeśli jest, to oblicz jego sumy częściowe S, S i gdzie można sumę wszystkich wyrazów a) a n = b) a n = n )n c) a n = ) n d) a n = sin nπ e) a n = n + f) a n = n g) a n = n + 7 h) a n = n 6n i) a n = n+ j) a n = 7 n+ k) a n = ) n l) a n = )n m) a n = n! n n q) a n = n n n) a n = nn o) a n n = n p)a n n = )n n r) a n = + n + n n + s) a n = n n + 4. n Zadanie.4. Zbadaj monotoniczność oraz ograniczoność ciągu a n ) n N określonego następująco: a) a n = b) a n = n )n c) a n = ) n d) a n = sin nπ e) a n = n + f) a n = n g) a n = n + 7 h) a n = n + 6n i) a n = n+ j) a n = 7 n+ k) a n = ) n l) a n = )n m) a n = n) a n n = n + q) a n = + )n r) a n = + 4n + n n + o) a n = n p)a n n = )n n s) a n = n 4n + 4. n Renata Wiertelak
Zestaw. Granica ciągu Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim n + 6 ) b) lim n + n ) d) lim n + n g) lim n + j) lim n + n n 4n e) lim 4 n4 + 4n h) lim n + n n 4 k) lim n n + c) lim n 7 + n 4 + n ) f) lim n n + 6 i) lim 6n n + n 6 l) lim n n n n + m) lim n 7 n ) n) lim n )n) o) lim n n + n n+ n n+ n+ p) lim q) lim r) lim n 7 n 6 n + 4 n+ 7 n + n n n+ n+ n 7 n+ n s) lim t) lim u) lim n 7 n 6 7 n+ + 4 n 7 n + n+ Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim n + n + ) c) lim n + n e) lim n4 + n 4 + 4n g) lim n4 + n 4 + 6 i) lim n n + 6 k) lim 4 4n + n 4 n m) lim n + n n + o) lim n + n n 8 q) lim n n n + 4 b) lim n + n 4 n d) lim 9n4 n 4 + f) lim n n n h) lim n n n n j) lim n4 n + 7 7n + l) lim n + n n) lim 9n 9n4 n 4 + p) lim 9 n4 n n 4 + 4 r) lim n n4 + 4n 4 + n Renata Wiertelak
Granica ciągu Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim + n n + 4 b) lim n) n n ) n + n d) lim e) lim n n + n ) n n + g) lim h) lim n + n 7 n ) n 7 + n + j) lim k) lim n + n ) n c) lim ) n ) 7n 4 ) n +n f) lim i) lim l) lim n 9 n ) n n ) n + n 4n n ) n n + n ) n 4 n. n + Zadanie.4. Oblicz następujące granice: a) lim ) n n 6 d) lim n n + 7 n sin nπ g) lim n b) lim ) n 6n e) lim n n + n h) lim cosnπ) n + c) lim ) n n n + n f) lim n n + 6 n + i) lim sinn + ) n + n Renata Wiertelak
Zestaw. Granica funkcji Zadanie.. Naszkicuj wykres funkcji f : A R gdzie A R) takiej, że: a) lim f) = 7, lim b) lim f) =, lim c) lim f) =, lim d) lim f) =, lim e) lim f) =, lim f) lim f) = 4, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) =, lim f) = 4, lim f) =, lim f) =, lim f) = + f) = 6 + f) = + f) = 4 + f) = 7 + f) = 8. + Zadanie.. Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie podaj granice tej funkcji na krańcach przedziałów określoności: dla < ln dla > a) f) = b) f) = dla > dla < ) dla < +) dla > c) f) = d) f) = dla > ln ) dla <. Zadanie.. Oblicz następujące granice: a) lim + 6 c) lim + ) ) d) lim ) ) b) lim 7 + 4 + e) lim 9 f) lim + 7 + + + g) lim 4 h) lim 4 i) lim ln + ) j) lim sin + ) k) lim log 6 4 +) l) lim log 4 7 7 ) ) m) lim sin + 4 n) lim cos +7 + o) lim sin 6 π) q) lim e + p) lim cos 4 + π) ) r) lim log + Renata Wiertelak 4 ).
Granica funkcji Zadanie.4. Oblicz następujące granice czasem jednostronne -) ): a) lim 4 + 6 4 + b) lim + 6 + 9 c) lim d) lim 9 6 e) lim + 6 + 9 f) lim g) lim 4 + 6 + h) lim + 6 + 9 i) lim j) lim 4 k) lim l) lim m) lim ) + 4 n) lim log + 4 p) lim q) lim + 4 s) lim t) lim + + + ) ++ + o) lim sin 4 π) r) lim + + u) lim + + +. + Zadanie.. Wyznacz dziedzinę funkcji f i oblicz jej granice w punktach brzegowych dziedziny czyli na krańcach jej przedziałów określoności), gdy: a) f) = b) f) = ln7 ) d) f) = + 4 e) f) = 7 ln + 4) g) f) = h) f) = ln ) j) f) = e 4 k) f) = e 9 c) f) = ln ) ln) + f) f) = ln ln ) ln ) + i) f) = 4 ln ) ln ) + l) f) = e m) f) = e +6 n) f) = e 4 o) f) = e +7 p) f) = e +6 7 q) f) = e 4 r) f) = e Zadanie.6. Oblicz następujące granice: a) lim + ) b) lim d) lim + ) ) g) lim j) lim + + ) c) lim e) lim ) + h) lim ) 7 k) lim 7 7 + ). ) 7 + + ) f) lim + i) lim ) l) lim + + ) ) Renata Wiertelak.
Zestaw 4. Ciągłość funkcji Zadanie 4.. Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie wyznacz jej punkty nieciągłości oraz podaj granice tej funkcji na krańcach przedziałów określoności: ln dla > ln dla > a) f) = b) f) = + dla sin dla c) f) = ctg dla < π cos dla π d) f) = e + dla ln + ) dla >. Zadanie 4.. Zbadaj ciągłość funkcji f:, +, > a) f) = b) f) =, = +, c) f) = e, <, d) f) = +, >, e) f) = sin,, = f) f) = cos, > π sin, π. Zadanie 4.. Znajdź wartość parametru a dla którego funkcja f jest ciągła: 4, +, > a) f) = b) f) = a, = a, e +, <, > c) f) = d) f) = a, + a, e) f) = sin7), a, = f) f) = cos 4, > π a, π g) f) = + e, > a, h) f) = ln + ), a +, < i) f) = sin), > a, j) f) = cos, > a,. Renata Wiertelak 6
4 Ciągłość funkcji Zadanie 4.4. Znajdź wartość parametrów a, b dla których funkcja f jest ciągła: +, ), a) f) = a + b, < < b) f) = a + b, < <, ), c) f) = e) f) = sin, π d) f) = a + b, < π + a + b, < f) f) = 4, a sin + b cos, > π 4 + tg, π 4, + a b, > b, < π tg), > g) f) = h) f) = sina), π a + b, a + + b, 8, > 4 i) f) = + j) f) =, > 4 a 4 + b, 4 k) f) = a + b, + ), > l) f) = b, a + ), > a, + a, m) f) = n) f) = + ) b, > b + ), > a + b, ln o) f) = ln p) f) = ln + a, >, > + ln b, a + b, q) f) = r) f) = +, < 7, > 7 a + b, 7. Renata Wiertelak 7
Zestaw. Szeregi Zadanie.. Napisz kilka pierwszych wyrazów oraz oblicz n-tą sumę częściową szeregu określonego następująco: a) b) n) c) + ) n n=4 d) n= sin nπ e) ) + cos nπ f) ) g) ) n h) n i) )n. ) n + sin nπ Zadanie.. Zbadaj zbieżność następujących szeregów geometrycznych i gdzie to możliwe oblicz sumę tego szeregu: a) ) n b) ) n+ c) ) n 4 7 d) ) n 7 e) ) n+ f) ) 7n+ g) ) n h) ) n+ π ) n i) ) n ) n+ j) 7) n+ ) k) ) n n+4 9 ) l) 7 ) n+ n ). n+ Zadanie.. Czy podane szeregi spełniają warunek konieczny zbieżności szeregów? a) b) n) c) n=4 sinn) d) cos n e) n=6 sin n f) g) n n + ) n h) j) n + n k) n+ n n + n + 4n + ) n i) n= sin nπ n + n + )n ) l) + ) n n+ Zadanie.4. Na podstawie kryterium porównawczego zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) 7 9n + b) n 7n + c) 4n + 7 n n d) ) n n e) g) 7 ) n 9n h) n ) n n 4 + n 4n4 + n f) )n 9n + i) )n+ 4n +. Renata Wiertelak 8
Szeregi Zadanie.. Na podstawie kryterium d Alemberta zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) n n! b) n n n! c) n! n n n d) n! e n e) n 7 f) n n n n g) n)! n!) j) n h) ) n+4 7 k) n n ) n 4 i) 4n 4) 7n+ ) n 4 l) n! ) 7n+ 4. Zadanie.6. Na podstawie kryterium Cauchy ego zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) ) n b) ) n n + c) 7n ) n n 7 n 4 + n d) ) 7n+ e) g) n n h) n j) ) n n + f) n ) 7n n 4 n 6n + n ) n + i) 7n + n 4 4n + n lnn + ) n 4 n+ k) )n e n l) ) n ) n 4 ) 6n. Zadanie.7. Zbadaj zbieżność następujących szeregów: a) sinn!) b) n)! n+ )n+ n!n + )! c) cosn!) 4 n+ d) n n 6n g) n n 6n j) )n 7n 9n e) 7n n 6 + n h) n + )n+ n 4 k) )n+ 4 n + f) n + n 7 i) ) n+ n n 4 l) )n + n 7n + Renata Wiertelak 9
Zestaw 6. Pochodna funkcji Zadanie 6.. Oblicz pochodną funkcji określonej wzorem: a) f) = 4 + 7 b) f) = + c) f) = 4 + 7 d) f) = sin) + ln e) f) = e arc tg f) f) = 4 cos + 6 arc cos g) f) = sin + ) cos) h) f) = + e ) arc tg) i) f) = ) ln j) f) = + 6 k) f) = ln l) f) = + sin cos m) f) = + 7) n) f) = ) o) f) = lnsin ). Zadanie 6.. Oblicz pochodną funkcji określonej wzorem: 4 8 a) f) = ln) + 7 9 7 b) f) = + e c) f) = d) f) = arc sin) + e e) f) = 9e + f) f) = ln) + ln g) f) = sin 7 ) h) f) = sin 7 ) i) f) = arc tg) j) f) = 7 sin) k) f) = 4 e + + e l) f) = e + cos ) m) f) = e sin ) e cos ) n) f) = e cos) o) f) = sin) cos ) p) f) = e tg+) cos ) Zadanie 6.. Podaj wzór ogólny na n-tą pochodną funkcji f) określonej wzorem: a) f) =, b) f) = )e, c) f) = ln + ), d) f) = e, e) f) = sin, f) f) = e cos, g) f) =, h) f) = e, i) f) = cos Renata Wiertelak
Zestaw 7. Zastosowania pochodnej funkcji Zadanie 7.. Napisz równanie stycznej do krzywej y = f) w punkcie, f )) określonej wzorem: a) f) = +, = b) f) = + )e, = c) f) = ln ) ln), = d) f) = ln + e), = e) f) = +, = f) f) = e tg, = π 4 g) f) = ln), = e h) f) = e +, = i) f) = arc tg +, = j) f) = + +, =. Zadanie 7.. Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz następujące granice: a) lim + ln b) lim + e c) lim sin ln + d) lim ln + e) lim ln) f) lim + + e sin) g) lim h) lim 7 π cos) tg) π i) lim 9 j) lim sin 7 ) sin 4 ) k) lim π cos7) cos) l) lim π ctg) ctg) m) lim sin ) n) lim e sin e ln p) lim q) lim e e cos) cos) o) lim ln ) r) lim e e) s lim + e t) lim + ln ln u) lim + Zadanie 7.. Napisz wzór Taylora dla funkcji f) określonej wzorem: a) f) = ln, =, n = 4 b) f) =, =, n = c) f) = sin, = π, n = 6 d) f) = +, =, n = e) f) =, =, n = f) f) =, =, n = g) f) =, =, n = h) f) = +, =, n = 4 Renata Wiertelak
7 Zastosowania pochodnej funkcji Zadanie 7.4. Stosując wzór Maclaurina dla funkcji f) określonej wzorem: a) f) = ln + ), ln, ), n = 4 b) f) = cos, cos, ), n = c) f) = sin, sin, ), n = 4 d) f) = +, f, ), n = e) f) =, f, ), n = 4 f) f) = +, f, ), n = g) f) =, f, ), n = 4 h) f) = +, f, ), n = 4 Zadanie 7.. Wykazać, że funkcja f nie posiada ekstremów, gdy: a) f) = 4 + b) f) = 7 c) f) = + 7 d) f) = + 4 Zadanie 7.6. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: a) y = b) y = c) y = ln d) y = ln e) y = ln f) y = ln) g) y = e h) y = e i) y = e ++ + j) y = ln k) y = l) y = sin e. Zadanie 7.7. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale: a) f) = + 6, [, ] b) f) =, [, ] c) f) = 6, [, 6] d) f) = e 4, [ 4, ] e) f) = +, [, ] f) f) = ) e, [, 4] g) f) =, [, ] h) f) =, [, ] + 9 i) f) =, [, ] j) f) =, [, ] + 4 + 9 k) f) =, [, ] l) f) =, [, ] 6 + 4 Renata Wiertelak
Zestaw 8. Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 8.. Wyznacz asymptoty funkcji: a) y = b) y = c) y = ln d) y = ln e) y = f) y = + 7 g) y = 7 h) y = + i) y = + j) y = k) y = + l) y = 4 + 4. Zadanie 8.. Określ przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f) = + b) f) = 4 + c) f) = + d) f) = 4 + e) f) = 4 + 4 + 6 f) f) = + 4 + 6 g) f) = + h) f) = 4 + 4 + 6 j) f) = + 4 + 6 k) f) = 7 l) f) = m) f) = + + n) f) = o) f) = + p) f) = 4 + 4 q) f) = tg r) f) = ln 6) s) f) = ln + ) t) f) = e u) f) = 4 + )e w) f) = 9 + ) ln ) f) = e 4+ y) f) = 9 + )e z) f) = 4 + ) ln Zadanie 8.. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) y = b) y = c) y = ln e d) y = + ) e) y = ln f) y = ln) g) y = e h) y = e i) y = e + j) y = ln k) y = l) y = sin e m) y = n) y = 4 o) y = + ) + ). Renata Wiertelak
Zestaw 9. Całki nieoznaczone Zadanie 9.. Oblicz całki nieoznaczone: a) ) d b) 6 7 + ) d c) d) ) d e) ) d f) g) e + sin ) d h) 4 cos e ) d i) + 4 ) d ) + ) d cos sin ) d + ) j) d k) d l) + d m) d n) d o) d + Zadanie 9.. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części oblicz: a) e d b) e d c) + )e d d) g) j) m) e d e) sin d h) cos) d k) ln d n) e d f) + ) cos d i) sin + ) d l) ln d o) e d sin d e sin d ln + ) d ln ln ln) p) d q) d r) s) arc sin d t) arc tg d u) arc cos d Renata Wiertelak 4
9 Całki nieoznaczone Zadanie 9.. Stosując odpowiednie podstawienia oblicz: a) 7 ) d b) + 8) 6 ) d c) e) g) i) k) m) o) q) s) u) w) y) 4 d a) c) e) 7 d f) d) d h) ) cos + 7) d j) sin ) d l) e + d n) e d p) ln + ) d r) e 6e + 4 e 9 + e d d t) v) cos sin d ) ln d z) d b) + 6 6 d d) + 6 tg d f) 7 d + + d 4 d 4 + ) cos + ) d ) sin ) d + )e + d e 4 d ln4 ) d sin cos d cos 4 sin + d sin cos ln ln d d 4 6 d e sin cos d Renata Wiertelak
Zestaw. Całki oznaczone Zadanie.. Oblicz całki oznaczone: a) ) 9 d b) + 4d c) d d) g) j) m) p) π/4 4 e sin d e) e d h) k) π/ / d + n) ln d q) e cos sin d f) e d i) e π d l) 4 d + 9 o) ln d r) / e ln d sin e cos d d + 4 d d + 9 ln Zadanie.. Korzystając z parzystości lub nieparzystości funkcji podcałkowej oblicz: a) d) g) j) 4 4 sin d b) + d e) 4 4 d h) π π d + k) e d c) sin 4 d f) e sin d i) d + 4 l) Zadanie.. Oblicz pola obszarów ograniczonych krzywymi: π π e e+ a) y = +, y = b) y =, y = 4 e + e )d sin cos d ln + )d d + 4 c) y = +, y =, =, = 4 d) y =, + y = e) y = /, y =, = e, = f) y =, y =, y = g) = y y, = h) y = e, =, y = i) y = + sin, y =, π) j) y = /, y =, y = 4 k) y =, + y = l) y =, + y = m) y =, y = n) y = 9, + y = o) y = 6, y = 4 p) y = 7, + y = Renata Wiertelak 6